专题17 坐标系与参数方程（解析版）-备战2021届高考数学（理）二轮复习题型专练 （通用版）

专题 17 坐标系与参数方程 【要点提炼】 1、直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单 位．如图，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， ρ2＝x2＋y2， tan θ＝y x x≠0. 2、几种常见曲线的参数方程 (1)圆以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是 x＝a＋rcos α， y＝b＋rsin α， 其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程为 x＝rcos α， y＝rsin α， 其中α是参数． (2)椭圆 椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的参数方程是 x＝acos φ， y＝bsin φ， 其中φ是参数． 椭圆x2 b2 ＋y2 a2 ＝1(a>b>0)的参数方程是 x＝bcos φ， y＝asin φ， 其中φ是参数． (3)直线 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α， 其中 t 是参数． 3、解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化 公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等． 考向 考向一 极坐标方程 典例 1 (2020·四川省月考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为(x－3)2＋(y－4)2 ＝25.以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)直线 l1：θ＝π 6(ρ∈R)，直线 l2：θ＝π 3(ρ∈R)，若 l1，l2 与曲线 C 分别交于异于极点的 A，B 两点，求△AOB 的面积． 解 (1)∵曲线 C 的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25， 即 x2＋y2－6x－8y＝0. ∴曲线 C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设 A ρ1，π 6 ，B ρ2，π 3 . 把θ＝π 6 代入ρ＝6cos θ＋8sin θ， 得ρ1＝|OA|＝4＋3 3， ∴A 4＋3 3，π 6 . 把θ＝π 3 代入ρ＝6cos θ＋8sin θ， 得ρ2＝|OB|＝3＋4 3， ∴B 3＋4 3，π 3 . ∴S△AOB＝1 2ρ1ρ2sin∠AOB＝1 2(4＋3 3)(3＋4 3)·sin π 3 －π 6 ＝12＋25 3 4 . 易错提醒 在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等 价性． 拓展练习 1 (2020·济南模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x＝ 3cos θ， y＝1＋ 3sin θ (θ 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＋π 6 ＝2 3. (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)射线 OP 的极坐标方程为θ＝π 6 ，若射线 OP 与曲线 C 的交点为 A，与直线 l 的交点为 B， 求线段 AB 的长． 解 (1)由 x＝ 3cos θ， y＝1＋ 3sin θ， 可得 x＝ 3cos θ， y－1＝ 3sin θ， 所以 x2＋(y－1)2＝3cos2θ＋3sin2θ＝3， 所以曲线 C 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝3， 由ρsin θ＋π 6 ＝2 3，可得ρ 3 2 sin θ＋1 2cos θ ＝2 3， 所以 3 2 ρsin θ＋1 2ρcos θ－2 3＝0， 所以直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－4 3＝0. (2)方法一 曲线 C 的方程可化为 x2＋y2－2y－2＝0， 所以曲线 C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0， 由题意设 A ρ1，π 6 ，B ρ2，π 6 ， 将θ＝π 6 代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ21－ρ1－2＝0， 所以ρ1＝2 或ρ1＝－1(舍去)， 将θ＝π 6 代入ρsin θ＋π 6 ＝2 3，可得ρ2＝4， 所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2. 方法二 因为射线 OP 的极坐标方程为θ＝π 6 ， 所以射线 OP 的直角坐标方程为 y＝ 3 3 x(x≥0)， 由 x2＋y－12＝3， y＝ 3 3 xx≥0， 解得 A( 3，1)， 由 x＋ 3y－4 3＝0， y＝ 3 3 xx≥0， 解得 B(2 3，2)， 所以|AB|＝ 2 3－ 32＋2－12＝2. 考向二 参数方程 典例 2 (2018·全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x＝2cos θ， y＝4sin θ (θ为参数)， 直线 l 的参数方程为 x＝1＋tcos α， y＝2＋tsin α (t 为参数)． (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率． 解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为x2 4 ＋y2 16 ＝1. 当 cos α≠0 时，l 的直角坐标方程为 y＝tan α·x＋2－tan α， 当 cos α＝0 时，l 的直角坐标方程为 x＝1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0. 又由①得 t1＋t2＝－42cos α＋sin α 1＋3cos2α ，故 2cos α＋sin α＝0，于是直线 l 的斜率为 tan α＝－2. 规律方法 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的 消参方法有：代入消参法，加减消参法，平方和(差)消参法，乘法消参法，混合消参法等．把 曲线 C 的普通方程 F(x，y)＝0 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前 后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围． 拓展练习 2 (2020·月考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数 方程为 x＝acos φ， y＝bsin φ (a>b>0，φ为参数)，且曲线 C 上的点 M 1， 3 2 对应的参数φ＝π 3 ，直 线 l： x＝－ 2 2 t， y＝2 5＋ 2 2 t (t 为参数)． (1)求曲线 C 的普通方程； (2)若点 A 是曲线 C 上的一动点，求点 A 到直线 l 距离的最小值． 解 (1)由题意知 1＝acos π 3 ， 3 2 ＝bsin π 3 ， 解得 a＝2， b＝1. ∴曲线 C 的普通方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)直线 l 的普通方程为 x＋y－2 5＝0， 设点 A(2cos θ，sin θ)， ∴A 到直线 l 的距离 d＝|2cos θ＋sin θ－2 5| 2 ＝| 5sinθ＋α－2 5| 2 ，其中 tan α＝2， 当 sin(θ＋α)＝1 时，dmin＝ 5 2 ＝ 10 2 ， ∴点 A 到直线 l 距离的最小值为 10 2 . 考向三 极坐标与参数方程的综合应用 典例 3 (2020·全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝coskt， y＝sinkt (t 为参 数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ －16ρsin θ＋3＝0. (1)当 k＝1 时，C1 是什么曲线？ (2)当 k＝4 时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标． 解 (1)当 k＝1 时， 曲线 C1 的参数方程为 x＝cos t， y＝sin t (t 为参数)， 两式平方相加，得 x2＋y2＝1， 所以曲线 C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆． (2)当 k＝4 时， 曲线 C1 的参数方程为 x＝cos4t， y＝sin4t (t 为参数)， 所以 x≥0，y≥0， 曲线 C1 的参数方程化为 x＝cos2t， y＝sin2t (t 为参数)， 两式相加得，曲线 C1 的方程为 x＋ y＝1， 得 y＝1－ x， 平方得 y＝x－2 x＋1,0≤x≤1,0≤y≤1， 曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0， 曲线 C2 的直角坐标方程为 4x－16y＋3＝0， 联立 C1，C2 方程 y＝x－2 x＋1， 4x－16y＋3＝0， 整理得 12x－32 x＋13＝0， 解得 x＝1 2 或 x＝13 6 (舍去)， 所以 x＝1 4 ，y＝1 4 ， 所以 C1，C2 公共点的直角坐标为 1 4 ，1 4 . 规律方法 解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点 (1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方 程，这样思路可能更加清晰． (2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 拓展练习 3 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，直线 l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线 C 的参数方程为 x＝2cos α， y＝ 3sin α (α 为参数)． (1)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值； (2)直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，已知点 M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线 C 上任意一点 N(2cos α， 3sin α)， 直线 l：x－2y＋1＝0， 则点 N 到直线 l 的距离 d＝|2cos α－2 3sin α＋1| 5 ＝|4cos α＋π 3 ＋1| 5 ≤ 5， ∴曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 5. (2)设直线 l 的倾斜角为θ， 则由(1)知 tan θ＝1 2 ，∴cos θ＝2 5 5 ，sin θ＝ 5 5 . ∴直线 l 的参数方程为 x＝1＋2 5 5 t， y＝1＋ 5 5 t (t 为参数)， 曲线 C：x2 4 ＋y2 3 ＝1， 联立方程组，消元得 16 5 t2＋4 5t－5＝0， 设方程两根为 t1，t2，则 t1t2＝－25 16 ， 由 t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t1t2＝25 16. 【专题拓展练习】 1．在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 3 2 x t y t       （t 为参数）．以坐标原点O 为极 点, x 轴的非负半轴建立极坐标系,点 P 的极坐标 53 2, 4      ，曲线C 的极坐标方程为 2 2 cos 4       ． (1)求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若Q 为曲线C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线l 的距离最小值． 【详解】 (1)直线 l 的普通方程 1 0x y   , 由 2 2 cos 4        2 22 2 cos sin2 2         2cos 2sin   , 2 2 cos 2 sin       , 即 2 2 2 2x y x y   , 曲线C 的直角坐标方程为   2 21 1 2x y    ； (2)易知 P 的直角坐标 3, 3  ，设  1 2 cos , 1 2 sinQ     , 则 PQ 的中点 2 2 cos 4 2 sin,2 2M          , 设 M 到直线l 的距离为 d , 则 2 2 cos 4 2 sin 12 2 2 d        sin 24 2      , 当sin 14      时, min 2 2d  . 2．在极坐标系下，已知圆C ： cos sin    和直线l ： 2 0x y   . （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线 l 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆C 上的点到直线 l 的最短距离． 【详解】 （Ⅰ）圆C ： cos sin    ，即 2 cos sin      ， 圆C 的直角坐标方程为： 2 2x y x y   ，即 2 2 0x y x y    ； 直线 l ： 2 0x y   ，则直线 l 的极坐标方程为 cos sin 2 0      . （Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为 2 2 0x y x y    可知圆心C 坐标为 1 1,2 2      ，半径为 2 2 ，因为圆心C 到直线的距离为  22 1 1 22 2 2 1 1      ，因此圆C 上的点到直线l 的最短距 离为 2 22 2 2   . 3．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 cos 2 sin x t y t          ， ，（t 为参数， 为倾斜 角），以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 6cos 8sin    ，圆心为C ，直线 l 与圆C 交于 A ， B 两点. （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）已知点 (1,2)M ，当 ACB 最小时，求| | | |MA MB 的值. 【详解】 （1）因为 cos sin x y        所以圆C ： 2 6 cos 8 sin      可得： 2 2 6 8x y x y   ， 整理得：   2 23 4 25x y    ． （2）因为直线 1 2 x t cosl y t sin          ， ，过点  1,2M ， 当 ACB 最小时，直线 l 与CM 垂直， 因为    2 23 1 4 2 2 2CM      ， 且点 M 在圆C 内部， 所以 MA MB AB  222 2 25 8 2 17R CM     . 4．已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 4 3 x t y t     （t 为参数）曲线 1C 的 参数方程为 cos 1 sin x y       （ 为参数），以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线 l 和曲线 1C 的极坐标方程； （2）若曲线 2C ： ( 0)3    分别交直线l 和曲线 1C 于点 A ， B ，求 | | | | OB OA . 【详解】 （1）直线l 的参数方程为 4 3 x t y t     （t 为参数），转换为直角坐标方程为： 3 4 0x y   ∴直线 l 的极坐标方程为： 3 cos sin 4 0      ∵曲线 1C 的参数方程为 cos 1 sin x y       （ 为参数），转换为直角坐标方程为  22 1 1x y   ，整理得： 2 2 2x y y  ∴曲线 1C 的极坐标方程为： 2sin  （2）曲线 2C ： ( 0)3    分别交直线l 和曲线 1C 于点 A ， B ， 所以 sin 3 cos 4 3          ，解得 4 3A  ． 同理 2sin 3      ，解得 3B  ， 所以 | | 3 3 4| | 4 3 A B OB OA     . 5．已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 tan (2 cos x y        为参数）．以原 点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 cos 63       ． （1）求曲线 1C 的普通方程以及曲线 2C 的直角坐标方程； （2）若曲线 1C 、 2C 交于 M 、 N 两点， ( 6,0)P ，求 1 1 | | | |PM PN  的值． 【详解】 解：（1）曲线 1C 的参数方程为 3 tan (2 cos x y        为参数）．转换为 sintan cos3 x    ．所 以 2 2 2 sin 3 cos x   ①， 2 2 1 2 cos y  ②， ②  ①得： 2 2 12 3 y x  ． 曲线 2C 的极坐标方程为 2 cos 63       ．根据 cos sin x y        ，转换为直角坐标方 程为 3 6 0x y   ． （2）点 ( 6,0)P 在直线 3 6 0x y   上，转换为参数方程为 36 2 ( 1 2 x t t y t      为 参数）， 代入 2 2 12 3 y x  ，得到 2 18 2 24 0(t t t   和 2t 为点 M 和 N 对应的参数）， 所以 1 2 8 2t t   ， 1 2 24t t  ， 所以 1 2 1 2 1 1 2 3 t t PM PN t t    ．