专题12 推理与证明 坐标系与参数方程 不等式选讲-【知识手册】2021年高考数学复习之考点

2021 年高考数学复习之专题突破训练《专题十二：推理与证明 坐标系与参数方程 不等式选讲》 考点卡片 1．函数的图象与图象的变换 【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下 3 个步骤 （1）列表； （2）描点； （3） 连线． 解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法 则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）． 命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象， 有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题． 【图象的变换】 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先： ① 确定函数的定义域； ② 化简函数解析式； ③ 讨论函数的性质（奇偶性、单调性、 周期性、对称性等）． 其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点， 连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换： y＝f（x）a＞0，右移 a 个单位（a＜0，左移|a|个单位） ⇒ y＝f（x﹣a）； y＝f（x）b＞0，上移 b 个单位（b＜0，下移|b|个单位） ⇒ y＝f（x）+b． （2）伸缩变换： y＝f（x） y＝f（ ω x）； y＝f（x）A＞1，伸为原来的 A 倍（0＜A＜1，缩为原来的 A 倍） ⇒ y＝Af（x）． （3）对称变换： y＝f（x）关于 x 轴对称 ⇒ y＝﹣f（x）； y＝f（x）关于 y 轴对称 ⇒ y＝f（﹣x）； y＝f（x）关于原点对称 ⇒ y＝﹣f（﹣x）． （4）翻折变换： y＝f（x）去掉 y 轴左边图，保留 y 轴右边图，将 y 轴右边的图象翻折到左边 ⇒ y＝f（|x|）； y＝f（x）留下 x 轴上方图将 x 轴下方图翻折上去 y＝|f（x）|． 解题方法点拨 1、画函数图象的一般方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的 曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出． （2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利 用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移 变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． （3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到 比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式： ① 从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ② 从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③ 从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④ 从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． （2）知式选图： ① 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ② 从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； ③ 从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④ 从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项． 注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口． 3、（1）利有函数的图象研究函数的性质 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性； 从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． （2）利用函数的图象研究方程根的个数 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求 参数值． 4、方法归纳： （1）1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y 变换”的原则，写出 每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． （2）3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： ① 正确求出函数的定义域； ② 熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函 数、形如 y＝x+的函数； ③ 掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助 我们简化作图过程． （3）3 种方法﹣﹣识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来 获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有： ① 定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋 势，利用这一特征来分析解决问题； ② 定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题； ③ 函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分 析解决问题． 2．不等式恒成立的问题 v． 3．不等关系与不等式 【不等关系与不等式】 不等关系就是不相等的关系，如 2 和 3 不相等，是相对于相等关系来说的，比如 与 就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着 它是个式子，比方说 a＞b，a﹣b＞0 就是不等式． 【不等式定理】 ① 对任意的 a，b，有 a＞b ⇔ a﹣b＞0；a＝b ⇒ a﹣b＝0；a＜b ⇔ a﹣b＜0，这三条性质是做 差比较法的依据． ② 如果 a＞b，那么 b＜a；如果 a＜b，那么 b＞a． ③ 如果 a＞b，且 b＞c，那么 a＞c；如果 a＞b，那么 a+c＞b+c． 推论：如果 a＞b，且 c＞d，那么 a+c＞b+d． ④ 如果 a＞b，且 c＞0，那么 ac＞bc；如果 c＜0，那么 ac＜bc． 【例题讲解】 例 1：解不等式：sinx≥ ． 解：∵sinx≥ ， ∴2k π + ≤x≤2k π + （k ∈ Z）， ∴不等式 sinx≥ 的解集为{x|2k π + ≤x≤2k π + ，k ∈ Z}． 这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联 结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期 就是最后的解． 例 2：当 ab＞0 时，a＞b ⇔ ． 证明：由 ab＞0，知 ＞0． 又∵a＞b，∴a ＞b ，即 ； 若 ，则 ∴a＞b． 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接 举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广． 4．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比 数列等等，常用的方法包括： （1）公式法： ① 等差数列前 n 项和公式：Sn＝na1+ n（n﹣1）d 或 Sn＝ ② 等比数列前 n 项和公式： ③ 几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{ }的前 n 项和，其中{an}为各项不为 0 的等差数列，即 ＝ （ ）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再 把它与原数列相加，就可以得到 n 个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例 1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）求 an 及 Sn； （Ⅱ）令 bn＝ （n ∈ N*），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 分 析 ： 形 如 的 求 和 ， 可 使 用 裂 项 相 消 法 如 ： ． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d， ∵a3＝7，a5+a7＝26， ∴ ，解得 a1＝3，d＝2， ∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1； Sn＝ ＝n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an＝2n+1， ∴bn＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴Tn＝ ＝ ＝ ， 即数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ ． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像 友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要 往这里面考． 5．数列递推式 【知识点的知识】 1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第 1 项（或前几项），且任一项 an 与它的前一项 an ﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式：an＝ ． 在数列{an}中，前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握． 注意：（1）用 an＝Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2， 当 n＝1 时，a1＝S1）；若 a1 适合由 an 的表达式，则 an 不必表达成分段形式，可化统一为一 个式子． （2）一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时，常需运用关系式 an＝Sn﹣Sn﹣1，先将 已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式，然后再求解． 3、数列的通项的求法： （1）公式法： ① 等差数列通项公式； ② 等比数列通项公式． （2）已知 Sn（即 a1+a2+…+an＝f（n））求 an，用作差法：an＝ ．一般 地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解． （3）已知 a1•a2…an＝f（n）求 an，用作商法：an，＝ ． （4）若 an+1﹣an＝f（n）求 an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1） +a1（n≥2）． （5）已知 ＝f（n）求 an，用累乘法：an＝ （n≥2）． （6）已知递推关系求 an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有， ① 形如 an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为 公比为 k 的等比数列后，再求 an． ② 形如 an＝ 的递推数列都可以用倒数法求通项． （7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明． 6．归纳推理 【知识点的认识】 1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理． 推理形式：设 S＝{A1，A2，A3，…，An，…}， 2．特点： （1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该 结论超越了前提所包容的范围； （2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验， 不能作为数学证明的工具； （3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究 的起点，帮助人们发现问题和提出问题． 3．作用： （1）获取新知，发现真理； （2）说明和论证问题． 【解题技巧点拨】 归纳推理一般步骤： （1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想． 【命题方向】 归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳 推理得出一般性结论． （1）考查对归纳推理理解 掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同． 例 1：下列表述正确的是（ ） ① 归纳推理是由部分到整体的推理； ② 归纳推理是由一般到一般的推理； ③ 演绎推理是由一般到特殊的推理； ④ 类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤ 类比推理是由特殊到特殊的推理． A． ①②③ B． ②③④ C． ②④⑤ D． ①③⑤分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐 一判断即可得到答案． 解答：归纳推理是由部分到整体的推理， 演绎推理是由一般到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理． 故 ①③⑤ 是正确的 故选 D 点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由 特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的 定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎 推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程． 例 2：下列推理是归纳推理的是（ ） A．A，B 为定点，动点 P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点 P 的轨迹是以 A，B 为 焦点的双曲线 B．由 a1＝2，an＝3n﹣1 求出 S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前 n 项和 Sn 的表达式 C．由圆 x2+y2＝r2 的面积 S＝ π r2，猜想出椭圆 的面积 S＝ π ab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇 分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断． 解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求． B 选项根据前 3 个 S1，S2，S3 的值，猜想出 Sn 的表达式，属于归纳推理，符合要求． C 选项由圆 x2+y2＝r2 的面积 S＝ π r2，猜想出椭圆 的面积 S＝ π ab，用的是类比推 理，不符合要求． D 选项用的是演绎推理，不符合要求． 故选 B． 点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基 础题． （2）考查归纳推理的运用 做题的关键是读懂题意． 例：对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1+3 32＝1+3+5 42＝1+3+5+7 23＝3+5 33＝7+9+11 43＝13+15+17+19 根据上述分解规律，若 m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，则 m+n＝（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 分析：根据 m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，利用所给的分解规律，求 出 m、n，即可求得 m+n 的值． 解答：：m2＝1+3+5+…+11＝ ＝36， ∴m＝6 ∵23＝3+5，33＝7+9+11， 43＝13+15+17+19， ∴53＝21+23+25+27+29， ∵n3 的分解中最小的数是 21， ∴n3＝53，n＝5 ∴m+n＝6+5＝11 故选 B． 点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定 m、n 的值是解题的关键． 7．类比推理 【知识点的认识】 1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属 性上也相同或相似的推理形式． 2．类比推理的形式： 3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的 逻辑论证．一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则 类比得出的命题就越可靠． 【解题技巧点拨】 类比推理的步骤： （1）找出两类事物之间的相似性或一致性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 例：请用类比推理完成下表： 解：本题由已知前两组类比可得到如下信息： ① 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象； ② 三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象； ③ 三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象； ④ 三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象； ⑤ 三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象． 由以上分析可知： 故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一． 【命题方向】 一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有： （1）升级类比：平面到空间的类比； （2）同级类比：圆锥曲线之间的类比； （3）运算类比：等差与等比的类比． 8．进行简单的合情推理 【知识点的知识】 1．推理 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合 情推理与演绎推理两类． 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特 征，推出该类事物的全部对象都具有 这些特征的推理，或者由个别事实概 括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特 征的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 一般 步骤 （1）通过观察个别情况发现某些相同 性质； （2）从已知的相同性质中推出一个明 确的一般性命题（猜想） （1）找出两类事物之间相似性或一致性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性 质，得出一个明确的命题（猜想） 3．演绎推理 （1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎 推理； （2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； （3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： “三段论”的结构 ① 大前提﹣﹣已知的一般原理； ② 小前提﹣﹣所研究的特殊情况； ③ 结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断． “三段论”的表示 ① 大前提﹣﹣M 是 P． ② 小前提﹣﹣S 是 M． ③ 结论﹣﹣S 是 P． 9．演绎推理 【知识点的认识】 1．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理，叫做演绎推 理．规则符号表示为： 若 p ⇒ q，p 为真，则 q 为真． *演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和 结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具． 2．三段论推理：是演绎推理的一般模式．可表示为： 若 b ⇒ c，而 a ⇒ b，则 a ⇒ c 三段论包括三要素： （1）大前提：已知的一般原理 （2）小前提：所研究的特殊情况 （3）结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 演绎推理 （1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎 推理； （2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理； （3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前 提和结论之间存在必然关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具． （4）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： “三段论”的结构 ① 大前提﹣﹣已知的一般原理； ② 小前提﹣﹣所研究的特殊情况； ③ 结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断． “三段论”的表示 ① 大前提﹣﹣M 是 P． ② 小前提﹣﹣S 是 M． ③ 结论﹣﹣S 是 P． 【例题解析】 例：关于演绎推理的说法正确的是（ ） A：演绎推理是由一般到一般的推理 B：只要大前提正确，由演绎推理得到的结果 必正确 C：演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定 正确 D：演绎推理不能用于命题的证明 解答：解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故 A 不正确， 演绎推理得到的结论不一定是正确的，还要取决于小前提是否真实，故 B 不正确， 演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，在大前提、小前提和推理形 式都正确的情况下，得到的结论一定正确，故 C 正确， 演绎推理不能用于命题的证明，故 D 不正确， 总上可知有 C 是正确的， 故选：C． 本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演 绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系． 10．分析法和综合法 【知识点的认识】 1．分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法．用 Q 表示要证明的结论，则分析法可表示为： [Q ⇐ P1]→[P1 ⇐ P2]→[P2 ⇐ P3]→…→[得到一个明显的成立条件]． 2．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用 P 表示已知条件、已有的定义、 公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可表示为： [P ⇒ Q1]→[Q1 ⇒ Q2]→[Q2 ⇒ Q3]→…→[Qn ⇒ Q]． 3．分析法和综合法的区别 综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方 法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述． 【解题思路点拨】 1．分析法：步步追溯的条件是结论成立的充分条件，表述用倒箭头或双箭头表示，在追溯 中要时时联系已知条件 P 进行猜想，选择最佳途径． 2．综合法：明确推证方向，选择最佳途径是综合法的难点，在顺推中，联系最终结果进行 猜想，防止迷路，减少无用的中间过程． 3．分析综合法：对于较复杂的证明题，常用分析综合法，即先以分析法为主寻求解题思路， 再用综合法有条理地表示证明过程，也可以用“两头凑”的方法，即根据条件的结构特点去 转化结论，得到中间结论再进行证明． 【命题方向】 分析法和综合法是高考中很重要的方法，其思维能力是数学学科能力的核心，历年高考中都 有较多的有关推理与证明的题目，有选择、填空、解答题，以解答题最多，难度较大，需具 备较强的分析问题和解决问题的能力． （1）考查分析法和综合法的基础概念 例：证明命题：“f（x）＝ex+ 在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下： 因为 f（x）＝ex+ ，所以 f′（x）＝ex﹣ ， 因为 x＞0，所以 ex＞1，0＜ ＜1， 所以 ex﹣ ＞0，即 f′（x）＞0， 所以 f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（ ） A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．以上都不是 分析：由条件根据分析法和综合法的定义，可得结论． 解答：题中命题的证明方法是由所给的条件，利用所学的定理、定义、公式证得要证的结论， 故此题的证明方法属于综合法， 故选：A． 点评：本题主要考查分析法和综合法的定义，属于基础题． （2）考查分析法和综合法的应用 例：要证明 + ＜2 ，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ） A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法 分析：要证 + ＜2 ，需证 ＜ ，即证…，显然用分析法最合理． 解答：用分析法证明如下：要证明 + ＜2 ， 需证 ＜ ， 即证 10+2 ＜20， 即证 ＜5，即证 21＜25，显然成立， 故原结论成立． 综合法：∵ ﹣ ，＝10+2 ﹣20＝2（ ﹣5）＜0，故 + ＜2 ． 反证法：假设 + ≥2 ，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论． 从以上证法中，可知最合理的是分析法． 故选 B． 点评：本题考查分析法的应用，考查分析与判定思维能力，属于中档题． 分析的含义： 分析就是把认识对象分解为各部分、各个要素、各个层次，或者把认识对象的复杂发展 过程分解为若干阶段，分别地加以认识的一种思维方法． 2、综合方法的含义： 综合是一种把认识对象的各个部分、侧面、因素和不同发展阶段，按照其固有的联系连 结和统一起来进行考察的思维方法． 3、分析与综合的辩证关系： 分 析 综 合 区 别 含 义 不 同 分析就是把认识对象分解为各个部分、各个要 素、各个层次，或者把认识对象的复杂发展过程 分解为若干阶段，分别地加以认识的一种思维方 法 综合是一种把认识对象的各个部分、侧 面、因素和不同发展阶段，按照其固有 的联系联结和统一起来进行考察的思维 方法 特分析是从事物整体走向部分的认识，精确性是其 综合是从事物部分走向整体的认识，整 征 优点 体性是其重要特征 常 用 方 法 不 同 在科学研究中，人们常常运用定性分析和定量分 析等多种方法，考察被研究的对象 在科学研究中，人们常常运用结构综合 和功能综合等多种方法，获得关于研究 对象整体结构、所具功能、演化过程的 认识，进而把握其本质和规律 联 系 ① 分析与综合是相互依存、互为前提的．一方面，综合离不开分析，分析是综合的基础， 没有分析就没有综合．另一方面，分析也离不开综合，综合是分析的先导，没有综合也 就没有分析． ② 分析与综合是相互渗透的．由于客观世界的一切事物都有多层次的结构，整体和部分 的区分在一定意义上也是相对的．因此，在现实的思维过程中，并不存在纯粹的分析或 综合．在总的分析过程中包含有综合的因素，同样在总的综合过程中也存在分析的成分． ③ 分析与综合是相互转化的．在认识过程中，当分析进行到一定程度，揭示了事物整体 的各个部分和方面，把握了事物的本质和规律时，思维活动就由分析转化为综合．随着 认识的发展，当思维经过综合，把握了事物的整体后，思维活动又会转化为更深层次的 分析．人们认识事物从现象到本质，从不太深刻的本质到更为深刻的本质的过程，就表 现为分析﹣综合﹣再分析﹣再综合这样相互转化、无限循环往复的发展过程，而每一次 新的分析与综合都使人们的认识进一步扩展和深化，由此构成了认识的螺旋式上升运动 11．反证法 【知识点的认识】 反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理， 得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成 立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法． 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手 时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证 明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定 义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明 命题为真． 12．直线的倾斜角 【知识点的认识】 1．定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角 α 叫做直线 l 的倾斜角． 2．范围：[0， π ） （特别地：当直线 l 和 x 轴平行或重合时，规定直线 l 的倾斜角为 0°） 3．意义：体现了直线对 x 轴正方向的倾斜程度． 4．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别： ① 每条直线都有倾斜角，范围是[0， π ），但并不是每条直线都有斜率． ② 倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ① 当 a≠ 时，k＝tan α ；当 α ＝ 时，斜率不存在； ② 根据正切函数 k＝tan α 的单调性：当 α∈ [0， ）时，k＞0 且 tan α 随 α 的增大而增大，当 α∈ （ ， π ）时，k＜0 且 tan α 随 α 的增大而增大． 【命题方向】 直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一， 是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中 多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题． （1）直接根据直线斜率求倾斜角 例：直线 x+y﹣1＝0 的倾斜角是（ ） A.30° B.60° C.120° D.150° 分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可． 解答：因为直线 x+y﹣1＝0 的斜率为：﹣ ， 直线的倾斜角为： α ． 所以 tan α ＝﹣ ， α ＝120° 故选 C． 点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用． （2）通过条件转换求直线倾斜角 例：若直线经过 A（0，1），B（3，4）两点，则直线 AB 的倾斜角为（ ） A．30° B.45° C．60° D．120° 分析：由直线经过 A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线 AB 的斜率，从而能求出直线 AB 的倾斜角． 解答：∵直线经过 A（0，1），B（3，4）两点， ∴直线 AB 的斜率 k＝ ＝1， ∴直线 AB 的倾斜角 α ＝45°． 故选 B． 点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理 地进行等价转化． 13．点到直线的距离公式 【知识点的知识】 从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任 何点到直线中最短的距离．设直线方程为 Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那 么这点到这直线的距离就为：d＝ ． 【例题解析】 例：过点 P（1，1）引直线使 A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程． 解：当直线平行于直线 AB 时，或过 AB 的中点时满足题意， 当直线平行于直线 AB 时，所求直线的斜率为 k＝ ＝1， 故直线方程为 y﹣1＝（x﹣1），即 x﹣y＝0； 当直线过 AB 的中点（3，4）时，斜率为 k＝ ＝ ， 故直线方程为 y﹣1＝ （x﹣1），即 3x﹣2y﹣1＝0； 故答案为：x﹣y＝0 或 3x﹣2y﹣1＝0． 这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两 点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线 的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是 一个好题． 【考点分析】 正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解 析几何中可能会涉及到点到直线的距离． 14．简单曲线的极坐标方程 【知识点的认识】 一、曲线的极坐标方程 定义：如果曲线 C 上的点与方程 f（ ρ ， θ ）＝0 有如下关系 （1）曲线 C 上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程 f（ ρ ， θ ）＝0； （2）以方程 f（ ρ ， θ ）＝0 的所有解为坐标的点都在曲线 C 上． 则曲线 C 的方程是 f（ ρ ， θ ）＝0． 二、求曲线的极坐标方程的步骤： 与直角坐标系里的情况一样 ① 建系 （适当的极坐标系） ② 设点 （设 M（ ρ ， θ ）为要求方程的曲线上任意一点） ③ 列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于 M 的等式） ④ 将等式坐标化 ⑤ 化简 （此方程 f（ ρ ， θ ）＝0 即为曲线的方程） 三、圆的极坐标方程 （1）圆心在极点，半径为 r， ρ ＝r． （2）中心在 C（ ρ 0， θ 0），半径为 r． ρ 2+ ρ 02﹣2 ρρ 0cos（ θ ﹣ θ 0）＝r2． 四、直线的极坐标方程 （1）过极点， θ ＝ θ 0（ ρ∈ R） （2）过某个定点垂直于极轴， ρ cos θ ＝a （3）过某个定点平行于极轴，rsin θ ＝a （4）过某个定点（ ρ 1， θ 1），且与极轴成的角度 α ， ρ sin（ α ﹣ θ ）＝ ρ 1sin（ α ﹣ θ 1） 五、直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 2、设点 M（ ρ ， θ ）是直线上任意一点； 3、连接 MO； 4、根据几何条件建立关于 ρ ， θ 的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求． 15．点的极坐标和直角坐标的互化 【知识点的认识】 坐标之间的互化 （1）点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位 （如图）．平面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ ρ ， θ ），则由三角函 数的定义可以得到如下两组公式： ， ． 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取 ρ ≥0，0≤ θ ＜2 π ． （2）空间点 P 的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（ ρ ， θ ，z）之间的变换公式为： ． （3）空间点 P 的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r， φ ， θ ）之间的变换关系为： ． 16．参数方程化成普通方程 【知识点的认识】 参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三 角代换法等．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f（t），把它代入普通方 程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通 方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致． 17．直线的参数方程 【知识点的认识】 直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y﹣y0＝tan α （x﹣x0） （t 为参数） 圆 （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2 （ θ 为参数） 椭圆 + ＝1（a＞b＞0） （ θ 为参数） 双曲线 ﹣ ＝1 （ θ 为参数） 抛物线 y2＝2px（p＞0） （t 为参数） 【解题思路点拨】 1．选取参数时的一般原则是： （1）x，y 与参数的关系较明显，并列出关系式； （2）当参数取一值时，可唯一的确定 x，y 的值； （3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋 转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数． 2．求曲线的参数方程常常分成以下几步： （1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点 P（x，y）； （2）选择适当的参数； （3）找出 x，y 与参数的关系，列出解析式； （4）证明（常常省略）． 3．根据直线的参数方程标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： （1）若 M1，M2 为 l 上任意两点，M1，M2 对应 t 的值分别为 t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|； （2）若 M0 为线段 M1M2 的中点，则有 t1+t2＝0； （3）若线段 M1M2 的中点为 M，则 M＝tM＝ ．一般地，若点 P 分线段 M1M2 所成的 比为 λ ，则 tP＝ ． 4．直线的参数方程的一般式 （t 为参数），是过点 M0（x0，y0），斜率为 的直 线的参数方程．当且仅当 a2+b2＝1 且 b≥0 时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何 意义．将非标准方程 化为标准方程是 （t′ ∈ R），式中 “±”号，当 a，b 同号时取正；当 a，b 异号时取负． 5．参数方程与普通方程互化时，要注意： （1）不是所有的参数方程都能化为普通方程； （2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小； （3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问 题来决定的． 6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题 转化为三角函数问题求解． 7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数 的几何意义求解． 8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找 x，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入 参数，建立动点的参数方程后求解． 18．圆的参数方程 【知识点的认识】 直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y﹣y0＝tan α （x﹣x0） （t 为参数） 圆 （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2 （ θ 为参数） 椭圆 + ＝1（a＞b＞0） （ θ 为参数） 双曲线 ﹣ ＝1 （ θ 为参数） 抛物线 y2＝2px（p＞0） （t 为参数） 【解题思路点拨】 1．选取参数时的一般原则是： （1）x，y 与参数的关系较明显，并列出关系式； （2）当参数取一值时，可唯一的确定 x，y 的值； （3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋 转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数． 2．求曲线的参数方程常常分成以下几步： （1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点 P（x，y）； （2）选择适当的参数； （3）找出 x，y 与参数的关系，列出解析式； （4）证明（常常省略）． 3．根据直线的参数方程标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： （1）若 M1，M2 为 l 上任意两点，M1，M2 对应 t 的值分别为 t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|； （2）若 M0 为线段 M1M2 的中点，则有 t1+t2＝0； （3）若线段 M1M2 的中点为 M，则 M0M＝tM＝ ．一般地，若点 P 分线段 M1M2 所 成的比为 λ ，则 tP＝ ． 4．直线的参数方程的一般式 （t 为参数），是过点 M0（x0，y0），斜率为的直线 的参数方程．当且仅当 a2+b2＝1 且 b≥0 时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意 义．将非标准方程 化为标准方程是 （t′ ∈ R），式中“±” 号，当 a，b 同号时取正；当 a，b 异号时取负． 5．参数方程与普通方程互化时，要注意： （1）不是所有的参数方程都能化为普通方程； （2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小； （3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问 题来决定的． 6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题 转化为三角函数问题求解． 7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数 的几何意义求解． 8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找 x，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入 参数，建立动点的参数方程后求解． 19．不等式的基本性质 【知识点的认识】 1．不等式的基本性质 （1）对于任意两个实数 a，b，有且只有以下三种情况之一成立： ① a＞b ⇔ a﹣b＞0； ② a＜b ⇔ a﹣b＜0； ③ a＝b ⇔ a﹣b＝0． （2）不等式的基本性质 ① 对称性：a＞b ⇔ b＜a； ② 传递性：a＞b，b＞c ⇒ a＞c； ③ 可加性：a＞b ⇒ a+c＞b+c． ④ 同向可加性：a＞b，c＞d ⇒ a+c＞b+d； ⑤ 可积性：a＞b，c＞0 ⇒ ac＞bc；a＞b，c＜0 ⇒ ac＜bc； ⑥ 同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0 ⇒ ac＞bd； ⑦ 平方法则：a＞b＞0 ⇒ an＞bn（n ∈ N，且 n＞1）； ⑧ 开方法则：a＞b＞0 ⇒ （ n ∈ N，且 n＞1）． 20．绝对值不等式的解法 【知识点的认识】 绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集 不等式 a＞0 a＝0 a＜0 |x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅ ∅|x|＞a {x|x＞a，或 x＜﹣a} {x|x≠0} R 2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法： （1）|ax+b|≤c ⇔ ﹣c≤ax+b≤c； （2）|ax+b|≥c ⇔ ax+b≥c 或 ax+b≤﹣c； （3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【解题方法点拨】 1、解绝对值不等式的基本方法： （1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； （2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通 不等式； （3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式 （组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣ a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到 A（a），B（b）两点的距离之和不小于 c 的点 所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解． 4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是 ab≥0，左侧“＝”成立的条件 是 ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是 ab≤0，左侧 “＝”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|． 21．不等式的证明 【知识点的知识】 证明不等式的基本方法： 1、比较法： （1）作差比较法 ① 理论依据：a＞b ⇔ a﹣b＞0；a＜b ⇔ a﹣b＜0． ② 证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论． 注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与 0 的大 小关系． （2）作商比较法 ① 理论依据：b＞0， ＞1 ⇒ a＞b；b＜0， ＜1 ⇒ a＜b； ② 证明步骤：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论． 2、综合法 （1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证 而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法． （2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不 断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式． 3、分析法 （1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件 或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立， 这种证明方法叫做分析法． （2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件 来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止． 注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清 楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路， 用综合法叙述、表达整个证明过程． 4、放缩法 （1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从 而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法． （2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键． 常用的放缩技巧有： 22．数学归纳法 【知识点的认识】 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下 两个步骤： （1）证明当 n＝n0 时命题成立； （2）假设当 n＝k（k ∈ N+，且 k≥n0）时命题成立，证明 n＝k+1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立．这种证明方 法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正 整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基 础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递 推下去，所以我们无法判断命题对 n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而 n＝k+1 时的情况则有待利用命题 的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ① 明确初始值 n0 并验证真假．（必不可少） ② “假设 n＝k 时命题正确”并写出命题形式． ③ 分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加 的项． ④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、 配方等，并用上假设．