专题11 算法初步 数系的扩充与复数的引入-【知识手册】2021年高考数学复习之考点

2021 年高考数学复习之专题突破训练《专题十一：算法初步 数 系的扩充与复数的引入》 考点卡片 1．虚数单位 i、复数 【虚数单位 i 的概念】 i 是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以 i 是﹣1 的平方根．我们把 a+bi 的数叫做复数， 把 a＝0 且 b≠0 的数叫做纯虚数，a≠0，且 b＝0 叫做实数．复数的模为 ． 【复数的运算】 ① 复数的加法，若 M＝a+bi，N＝c+di，那么 M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加， 虚部与虚部相加． ② 复数的乘法，若 M＝a+bi，N＝c+di，那么 M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘 法类似，只不过要加上 i． 【例题解析】 例：定义运算 ，则符合条件 的复数 z 为． 解：根据定义，可知 1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即 z（1+i）＝4+2i，∴z＝ ＝ ＝3﹣i． 这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复 数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变 成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外， 有的时候还需要设出复数的形式为 a+bi，然后在求出 a 和 b，这种类型的题一般用待定系数 法． 【复数的概念】形如 a+bi（a，b ∈ R）的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b ＝0，则 a+bi 为实数；若 b≠0，则 a+bi 为虚数；若 a＝0，b≠0，则 a+bi 为纯虚数． 2、复数相等：a+bi＝c+di ⇔ a＝c，b＝d（a，b，c，d ∈ R）． 3、共轭复数：a+bi 与 c+di 共轭 ⇔ a＝c，b+d＝0（a，b，c，d ∈ R）． 4、复数的模： 的长度叫做复数 z＝a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝ ． 2．复数的代数表示法及其几何意义 【知识点的知识】 1、复数的代数表示法 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫 做虚轴，x 轴的单位是 1，y 轴的单位是 i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0）， 对应复数 0．即复数 z＝a+bi→复平面内的点 z（a，b）→平面向量 ． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a； （2）|z﹣z0|表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距离． 3、复数中的解题策略： （1）证明复数是实数的策略： ① z＝a+bi ∈ R ⇔ b＝0（a，b ∈ R）； ② z ∈ R ⇔ ＝z． （2）证明复数是纯虚数的策略： ① z＝a+bi 为纯虚数 ⇔ a＝0，b≠0（a，b ∈ R）； ② b≠0 时，z﹣ ＝2bi 为纯虚数； ③ z 是纯虚数 ⇔ z+ ＝0 且 z≠0． 3．复数的运算 复数的加、减、乘、除运算法则 4．复数的模 【知识点的知识】 1．复数的概念：形如 a+bi（a，b ∈ R）的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a+bi 为实数；若 b≠0，则 a+bi 为虚数；若 a＝0，b≠0，则 a+bi 为纯虚数． 2、复数相等：a+bi＝c+di ⇔ a＝c，b＝d（a，b，c，d ∈ R）． 3、共轭复数：a+bi 与 c+di 共轭 ⇔ a＝c，b+d＝0（a，b，c，d ∈ R）． 4、复数的模： 的长度叫做复数 z＝a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝ ． 5．排序问题与算法的多样性 【知识点的认识】 排序问题与算法的多样性 1．对于一个有序列： ，欲将新数据 A 插入到有序列中，形成新 的有序列，其做法是：将数据 A 与原有序列中的数据从右到左依次进行比较，直到发现某 一数据 ai 使得 ai≤A，把 A 插入到 ai 的右边；如果数据 A 小于原有序列中的所有数据，则 将 A 插入到原序列的最左边． 这种排序算法通常称为有序列直接插入排序的算法． 2．折半插入排序的基本思想是：先将新数据与有序列中“中间位置”的数据进行比较．若 有序列有 2n+1 个数据则“中间位置”的数据指的是第 n+1 个数，或有序列有 2n 个数据则 “中间位置”的数据指的是第 n 个数．如果新数据小于“中间位置”的数据，则新数据插入 的位置应该在靠左边的一半；如果新数据大于“中间位置”的数据，则新数据插入的位置应 该在靠右边的一半；也就是说，一次比较就排除了数据列中一半的位置．反复进行这种比较 直到确定新数据的位置，像这样的插入排序方法我们称之为折半插入排序方法． 3．冒泡排序：冒泡排序是一种交换排序，顺次相邻位置的两个数据，如果逆序，则交换顺 序，直到将最后两个数据比较完毕．这样，完成一趟冒泡，如果数据已经有序化则停止排序．否 则，继续进行． 4．当 n 比较小时，冒泡排序用起来比较简单；但是当 n 很大时，它耗费的时间是很惊人的．著 名的英国计算机科学家霍尔（C．A．R．Hoare）对其进行改进，得到了一种新的交换排序 算法，由于性能突出，被称为快速排序法（Quicksort）． 快速排序所基于的事实是：为了得到更好的效果，交换应跨过较长的距离进行．这是对冒泡 排序算法的改进．将待排序的数组分割成两部分是快速排序的关键．我们总是以某种方式选 一个值，然后以它为参照将数组分为两部分，一部分包含的元素大于这个值，一部分包含的 元素小于这个值．快速排序算法的核心是分而治之，这和前面介绍的二分法的思想是一致的． 6．循环结构 【知识点的认识】 1．循环结构：需要重复执行同一操作的结构称为循环结构，即从某处开始，按照一定的条 件反复执行某一处理步骤，反复执行的处理步骤称为循环体． 2．两种循环结构： 【命题方向】 掌握循环结构的功能特点，注意与其他算法结构的区分．理解“当型”和“直到型”两种循 环结构的含义、作用，尤其注意区分两者区别．题目多以应用计算为主，考查纯概念性问题 较少，解题时要留意题目所给条件，细心作答． 例：若执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为 3，则判断框中应填入的条件是（ ） A．k＜6？B．k＜7？C．k＜8？D．k＜9？ 分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是 S＝3，可得判断框内应填入 的条件． 解答：根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 log23 3 第二次循环 log23•log34 4 第三次循环 log23•log34•log45 5 第四次循环 log23•log34•log45•log56 6 第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7 第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78＝log28＝3 8 故如果输出 S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是 k＜8． 故选：C． 点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在 规律，属于基础题． 7．伪代码（算法语句） 【知识点的认识】 1．伪代码：一种介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号． 2．基本算法语句： （1）输入语句：实现算法的输入信息功能． INPUT“提示内容”；变量 或 INPUY“提示内容 1，提示内容 2，提示内容 3，…”；变量 1，变量 2，变量 3，… 说明： ① “提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可 以变化的量． ② 输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式． ③ 提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，” 隔开． （2）输出语句：实现算法的输出结果功能． PRINT“提示内容”；表达式 说明： ① “提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据． ② 输出语句可以输出常量、变量或表达式的值及字符． （3）赋值语句：表明赋给某个变量一个具体的确定值的语句． 变量＝表达式（其中“＝”为赋值号） 说明： ① 先计算赋值号右边的表达式的值，再把求得的值赋值给左边的变量，使该变 量的值等于表达式的值． ② 赋值号左边只能是变量名字，不能是表达式，且赋值号左右不能对换． ③ 注意赋值号“＝”与数学中等号意义不同，不能用于进行代数式的演算． （4）条件语句：处理条件分支逻辑结构的算法语句． （IF﹣THEN﹣ELSE 格式） （IF﹣THEN 格式） IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句 1 语句 ELSE ENDIF 语句 2 ENDIF 说明： ① IF﹣THEN﹣ELSE：执行时，先对 IF 后的条件进行判断，若条件符合，执行 语句 1，否则执行语句 2． ② IF﹣THEN：执行时，先对 IF 后的条件进行判断，若条件符合，执行 THEN 后的语句， 否则结束条件语句， 执行其他语句． （5）循环语句：实现算法中的循环结构，分 WHILE（当型）和 UNTIL（直到型）两种语句． （WHILE 语句） （UNTIL 语句） WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOPUNTIL 条件 说明： ① WHILE 语句：前测试型循环．先判断真假，若条件符合执行循环体，再判断 条件真假，若仍符合， 再次执行，如此反复，直到某次条件不符合为止，跳出循环体，执行 WEND 之后的语句． ② UNTIL 语句：先执行，再判断条件是否符合，若不符合，再次执行，再判断，如此反复， 直到条件符合 为止，跳出循环体，执行循环体外的语句． 【命题方向】 伪代码知识点的考查常以选择、填空题形式出现，难度不大，属于基础题．掌握各种基本算 法语句的定义，了解它们的格式和作用，是正确理解伪代码的关键，也是解此类题的关键． （1）程序运行计算 例：根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为（ ） A.25 B.30 C.31 D.61 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用 是计算并输出分段函数 y＝ 的函数值． 解答：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出分段函数 y＝ 的函数值． 当 x＝60 时，则 y＝25+0.6（60﹣50）＝31， 故选 C． 点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序 填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： ① 分支的条件 ② 循环的条件 ③ 变量的赋 值 ④ 变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流 程图的含义而导致错误． （2）程序填空 例：阅读如下程序，若输出的结果为 ，则在程序中横线？处应填入语句为（ ） A．i≥6 B．i≥7 C．i≤7 D．i≤8． 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用 是累加并输出变量 S 的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，用表格对程序运行 过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果． 解答：程序运行过程中，各变量值如下表所示： S n i 是否继续循环 循环前 0 2 1/ 第一圈 4 2 是 第二圈 8 3 是 第三圈 16 4 是 第四圈 32 5 是 第五圈 64 6 是 第 6 圈 128 7 是 第 7 圈 否 即 i＝7 时退出循环 故继续循环的条件应为：i≥7 故选 B． 点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序 填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： ① 分支的条件 ② 循环的条件 ③ 变量的赋 值 ④ 变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流 程图的含义而导致错误． 8．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的． 输入、输 出框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输 出的位置． 处理框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在 不同的用以处理数据的处理框内． 判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结点 连接另一页或另一部分的框图 注释框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程 序框内必要的说明文字． 9．绘制程序框图解决问题 知识点的知识】 1．算法的概念 （1）算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，在数学中，现代意义的算 法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效 的，而且能够在有限步之内完成． （2）算法的特征： ① 确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”．“不重”是指不是可有可无的、 甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务． ② 逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣．分工明确，“前 一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续． ③ 有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的 结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行． （3）算法的描述：自然语言、程序框图、程序语言． 2．程序框图 （1）程序框图的概念：是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法 的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用． （3）程序框图的构成 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程 序框内必要的说明文字． 3．画程序框图的规则如下： （1）一个完整的程序框图必须有起止框，用来表示程序的开始和结束． （2）使用标准的图形符号表示操作，带箭头的流程线表示算法步骤的先后顺序，框图一般 按从上到下、从左到右的方向画． （3）算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框中． （4）如果一个流程由于纸面等原因需要分开画．要在断开处画上连结点，并标出连结的号 码． （5）注释框不是流程图必需的部分，只是为了提示用户一部分框图的作用以及对某些框图 的操作结果进行说明．它帮助阅读流程图的用户更好的理解流程图的来龙去脉． （6）在图形符号内用于描述的语言要非常简练清楚． 10．秦九韶算法 【知识点的知识】 秦九韶算法 特点：通过一次式的反复计算，有规律的推算出下一个值，从而计算高次多项式的值，这种 算法也称为“递推法”．对于一个 n 次多项式当最高次项的系数不为 1 时，需进行 n 次乘法； 若各项均不为零，则需进行 n 次加法（或减法）． 注意：若多项式函数中间出现空项，要以系数为 0 补齐此项，即 0×xm． 11．进位制 【知识点的知识】 进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数 字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数或底数，基数为 n，即可称 n 进位 制，简称 n 进制．现在最常用的是十进制，通常使用 10 个阿拉伯数字 0﹣9 进行记数． 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示．比如：十进数 57（10），可以用二 进制表示为 111001（2），也可以用五进制表示为 212（5），也可以用八进制表示为 71（8）、 用十六进制表示为 39（16），它们所代表的数值都是一样的． 数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法．计算机是信 息处理的工具，任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理，存储和传输．