专题 15 坐标系与参数方程
【要点提炼】
1、直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
位．如图，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则 x＝ρcos θ，
y＝ρsin θ，
ρ2＝x2＋y2，
tan θ＝y
x x≠0 .
2、几种常见曲线的参数方程
(1)圆以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是
x＝a＋rcos α，
y＝b＋rsin α，
其中α是参数．
当圆心在(0,0)时，方程为 x＝rcos α，
y＝rsin α，
其中α是参数．
(2)椭圆
椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的参数方程是 x＝acos φ，
y＝bsin φ，
其中φ是参数．
椭圆x2
b2
＋y2
a2
＝1(a>b>0)的参数方程是 x＝bcos φ，
y＝asin φ，
其中φ是参数．
(3)直线
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是
x＝x0＋tcos α，
y＝y0＋tsin α，
其中 t 是参数．
3、解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化
公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
考向
考向一 极坐标方程
典例 1 (2020·四川省月考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为(x－3)2＋(y－4)2
＝25.以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
(2)直线 l1：θ＝π
6(ρ∈R)，直线 l2：θ＝π
3(ρ∈R)，若 l1，l2 与曲线 C 分别交于异于极点的 A，B
两点，求
△
AOB 的面积．
解 (1)∵曲线 C 的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，
即 x2＋y2－6x－8y＝0.
∴曲线 C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.
(2)设 A ρ1，π
6 ，B ρ2，π
3 .
把θ＝π
6
代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，
得ρ1＝|OA|＝4＋3 3，
∴A 4＋3 3，π
6 .
把θ＝π
3
代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，
得ρ2＝|OB|＝3＋4 3，
∴B 3＋4 3，π
3 .
∴S
△
AOB＝1
2ρ1ρ2sin∠AOB＝1
2(4＋3 3)(3＋4 3)·sin
π
3
－π
6 ＝12＋25 3
4 .
易错提醒 在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等
价性．
拓展练习 1 (2020·济南模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x＝ 3cos θ，
y＝1＋ 3sin θ
(θ
为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
ρsin θ＋π
6 ＝2 3.
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
(2)射线 OP 的极坐标方程为θ＝π
6
，若射线 OP 与曲线 C 的交点为 A，与直线 l 的交点为 B，
求线段 AB 的长．
解 (1)由 x＝ 3cos θ，
y＝1＋ 3sin θ，
可得 x＝ 3cos θ，
y－1＝ 3sin θ，
所以 x2＋(y－1)2＝3cos2θ＋3sin2θ＝3，
所以曲线 C 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝3，
由ρsin θ＋π
6 ＝2 3，可得ρ
3
2 sin θ＋1
2cos θ ＝2 3，
所以 3
2 ρsin θ＋1
2ρcos θ－2 3＝0，
所以直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－4 3＝0.
(2)方法一 曲线 C 的方程可化为 x2＋y2－2y－2＝0，
所以曲线 C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0，
由题意设 A ρ1，π
6 ，B ρ2，π
6 ，
将θ＝π
6
代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ21－ρ1－2＝0，
所以ρ1＝2 或ρ1＝－1(舍去)，
将θ＝π
6
代入ρsin θ＋π
6 ＝2 3，可得ρ2＝4，
所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.
方法二 因为射线 OP 的极坐标方程为θ＝π
6
，
所以射线 OP 的直角坐标方程为 y＝ 3
3 x(x≥0)，
由
x2＋ y－1 2＝3，
y＝ 3
3 x x≥0 ， 解得 A( 3，1)，
由
x＋ 3y－4 3＝0，
y＝ 3
3 x x≥0 ， 解得 B(2 3，2)，
所以|AB|＝ 2 3－ 3 2＋ 2－1 2＝2.
考向二 参数方程
典例 2 (2018·全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x＝2cos θ，
y＝4sin θ
(θ为参数)，
直线 l 的参数方程为 x＝1＋tcos α，
y＝2＋tsin α
(t 为参数)．
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率．
解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为x2
4
＋y2
16
＝1.
当 cos α≠0 时，l 的直角坐标方程为 y＝tan α·x＋2－tan α，
当 cos α＝0 时，l 的直角坐标方程为 x＝1.
(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin
α)t－8＝0.①
因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，
所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0.
又由①得 t1＋t2＝－4 2cos α＋sin α
1＋3cos2α
，故 2cos α＋sin α＝0，于是直线 l 的斜率为 tan α＝－
2.
规律方法 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的
消参方法有：代入消参法，加减消参法，平方和(差)消参法，乘法消参法，混合消参法等．把
曲线 C 的普通方程 F(x，y)＝0 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前
后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
拓展练习 2 (2020·月考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数
方程为 x＝acos φ，
y＝bsin φ
(a>b>0，φ为参数)，且曲线 C 上的点 M 1， 3
2 对应的参数φ＝π
3
，直
线 l：
x＝－ 2
2 t，
y＝2 5＋ 2
2 t
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 的普通方程；
(2)若点 A 是曲线 C 上的一动点，求点 A 到直线 l 距离的最小值．
解 (1)由题意知
1＝acos π
3
，
3
2
＝bsin π
3
，
解得 a＝2，
b＝1.
∴曲线 C 的普通方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)直线 l 的普通方程为 x＋y－2 5＝0，
设点 A(2cos θ，sin θ)，
∴A 到直线 l 的距离 d＝|2cos θ＋sin θ－2 5|
2
＝| 5sin θ＋α －2 5|
2
，其中 tan α＝2，
当 sin(θ＋α)＝1 时，dmin＝ 5
2
＝ 10
2
，
∴点 A 到直线 l 距离的最小值为 10
2 .
考向三 极坐标与参数方程的综合应用
典例 3 (2020·全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝coskt，
y＝sinkt
(t 为参
数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ
－16ρsin θ＋3＝0.
(1)当 k＝1 时，C1 是什么曲线？
(2)当 k＝4 时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标．
解 (1)当 k＝1 时，
曲线 C1 的参数方程为 x＝cos t，
y＝sin t
(t 为参数)，
两式平方相加，得 x2＋y2＝1，
所以曲线 C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．
(2)当 k＝4 时，
曲线 C1 的参数方程为 x＝cos4t，
y＝sin4t
(t 为参数)，
所以 x≥0，y≥0，
曲线 C1 的参数方程化为 x＝cos2t，
y＝sin2t
(t 为参数)，
两式相加得，曲线 C1 的方程为 x＋ y＝1，
得 y＝1－ x，
平方得 y＝x－2 x＋1,0≤x≤1,0≤y≤1，
曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0，
曲线 C2 的直角坐标方程为 4x－16y＋3＝0，
联立 C1，C2 方程 y＝x－2 x＋1，
4x－16y＋3＝0，
整理得 12x－32 x＋13＝0，
解得 x＝1
2
或 x＝13
6 (舍去)，
所以 x＝1
4
，y＝1
4
，
所以 C1，C2 公共点的直角坐标为
1
4
，1
4 .
规律方法 解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点
(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方
程，这样思路可能更加清晰．
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．
(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
拓展练习 3 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，直线 l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线 C 的参数方程为 x＝2cos α，
y＝ 3sin α
(α
为参数)．
(1)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值；
(2)直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，已知点 M(1,1)，求|MA|·|MB|的值．
解 (1)设曲线 C 上任意一点 N(2cos α， 3sin α)，
直线 l：x－2y＋1＝0，
则点 N 到直线 l 的距离 d＝|2cos α－2 3sin α＋1|
5
＝|4cos α＋π
3 ＋1|
5
≤ 5，
∴曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 5.
(2)设直线 l 的倾斜角为θ，
则由(1)知 tan θ＝1
2
，∴cos θ＝2 5
5
，sin θ＝ 5
5 .
∴直线 l 的参数方程为
x＝1＋2 5
5 t，
y＝1＋ 5
5 t
(t 为参数)，
曲线 C：x2
4
＋y2
3
＝1，
联立方程组，消元得 16
5 t2＋4 5t－5＝0，
设方程两根为 t1，t2，则 t1t2＝－25
16
，
由 t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t1t2＝25
16.
【专题拓展练习】
1．将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程
（1） 4sin
（2） sin 2cos
（3）
6
【详解】
（1） 22 2 2 24sin 4 sin 4 2 4x y y x y ；
（2）
2
22 2 2 1 5sin 2cos sin 2 cos 2 1 2 4x y y x x y
；
（3） 3
6 3y x
2．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中
取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程为
1 cos2
sin
x t
y t
(t 为参数， 0 )，抛物
线 C 的普通方程为 2 2y x .
(1)求抛物线 C 的准线的极坐标方程；
(2)设直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，求| |AB 的最小值及此时 的值.
【详解】
解:(1)依题意可得，抛物线C 的准线的普通方程为 1
2x ，
化为极坐标方程即是 1cos 2
.
(2)将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程 2 2y x ，化简整理得，
2 2sin 2 cos 1 0t t ，设 ,A B 两点对应的参数分别为 1 2,t t ,则有 1 2 2
2cos
sint t
，
1 2 2
1
sint t ，
所以 2
1 2 1 2 1 2 2
2( ) 4 sinAB t t t t t t ，因为 0 ，
所以， 20 sin 1 ， 2
2 2sin ，即 2AB ，
当且仅当
2
时， AB 取得最小值 2 .
3．在平面直角坐标系中，直线 m 的参数方程为 cos
sin
x t
y t
（t 为参数，0≤α＜π）．以坐
标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线 E 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ
﹣3＝0，直线 m 与曲线 E 交于 A，C 两点．
（1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线 m 的极坐标方程；
（2）过原点且与直线 m 垂直的直线 n，交曲线 E 于 B，D 两点，求四边形 ABCD 面积的最
大值．
【详解】
（1）曲线 E 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 ，
所以曲线 E 的直角坐标方程为 2 21 4x y ，
因为直线 m 的参数方程为 cos
sin
x t
y t
（t 为参数， 0 ）
所以 tany x ，
所以直线 m 的极坐标方程为 R ．
（2）设点 ,A C 的极坐标分别为 1 2, , , ．
由 2 2 cos 3 0
可得 2 2 cos 3 0 ，
1 2 1 22cos , 3 ，
2
1 2 2 cos 3AC ＝ ＝ ；
同理得 22 sin 3BD ；
设四边形 ABCD 面积为 S ，
2 2 2 21 2 cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 72S AC BD ，
当且仅当 2 2cos 3 sin 3 ，即
4
或 3 4
时，等号成立，
∴四边形 ABCD 面积的最大值为 7 ．
4．在极坐标系中，圆 C: 4sin( )6
.在以极点为原点，以极轴为 x 轴正半轴且单位长
度一样的直角坐标系中，直线 l 的参数方程为
12 2
33 2
x t
y t
（t 为参数）
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A，B.且点 P (2, 3) ，求| | | |PA PB .
【详解】
（1）圆 C 的极坐标方程为 4cos 3
，
2cos 2 3sin ，
2 2 cos 2 3 sin ＝ ，
∴C 的直角坐标方程为： 2 2 2 2 3 0x y x y （或 2 2( 1) ( 3) 4x y ）
（2）∵直线
12 2:
33 2
x t
l
y t
过定点 2 3P , ，
将
12 2
33 2
x t
y t
代入圆 C 的直角坐标方程，得 2 3 0t t ，
∴ 1 4 3 13 0 ， 1 2 1 0t t ， 1 2 3 0t t ，
∴ 1 2| | | | 3PA PB t t .
5．在极坐标系中， 0,0O ， 6, 2A
， 6 2, 4B
，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，己知直线 1 的参数方程为 1 cos
2 sin
x t
y t
(t 为参数， R )，
且点 P 的直角坐标为 1,2 .
（1）求经过 O，A，B 三点的圆 C 的直角坐标方程；
（2）求证：直线 l 与（1）中的圆 C 有两个交点 M，N，并证明 PM PN 为定值.
【详解】
（1）由已知 O,A,B 的极坐标和极直互化公式 x cos
y sin
得 O,A,B 的直角坐标分别为
(0,0),(0,6),(6,6),∴∠OAB 为直角，∴经过 O,A,B 三点的圆 C 的圆心为(3,3),且经过原点 O,
∴圆 C 的方程为： 2 2 6 6 0x y x y ；
（2）将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程，并整理得： 2 2 4cos sin 1 0t t ,
此方程的判别式 2 2
2 4cos sin 4 1 1 2 4cos sin 4 0 ,
∴此方程有两个不等实根，∴直线 l 与（1）中的圆 C 有两个交点.
设两个交点 M,N 所对应的参数值分别为 1 2,t t ,则 1 2,t t 是该方程的两个实数根，
∴ 1 2 1t t ，由直线 l 的参数方程和点 P 的坐标可知， PM PN = 1 2 1 2 1t t t t .
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