2021年新高考数学 高三冲刺模拟卷05(解析版)

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资料简介
第 1 页 共 16 页 绝密★启用前 2021 年新高考数学 高三冲刺模拟卷 05(江苏专用)数学 (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 A={x|x2+2ax﹣3a2=0},B={x|x2﹣3x>0},若 A⊆B,则实数 a 的取值范围为( ) A.{0} B.{﹣1,3} C.(﹣∞,0)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 【答案】D 【解析】已知集合 A={x|x2+2ax﹣3a2=0}={x|(x+3a)(x﹣a)=0}, B={x|x2﹣3x>0}={x|x>3 或 x<0}, 若 A⊆B,则 B 集合包含 A 集合的所有元素, 若 a=0 时,A={0},不符合题意舍去, 当 a≠0 时,A={﹣3a,a}, 则 a>0 时,因为 A⊆B,则 a>3; a<0 时,﹣3a>0,因为 A⊆B,则﹣3a>3;即 a<﹣1, 故实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞). 故选:D. 2.已知 i 是虚数单位,若复数 iz 34 5  ,则 z 的共轭复数 z ( ) A. i5 3 5 4  B. i5 3 5 4  C. i5 3 5 4  D. i5 3 5 4  【答案】A 【解析】复数 iii i iz 5 3 5 4 )34)(34( )34(5 34 5   , 第 2 页 共 16 页 ∴z 的共轭复数 iz 5 3 5 4  ,故选:A. 3.已知 a,b 都是实数,那么“ 2a  ”是“方程 2 2 2 0x y x a    表示圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程 2 2 2 0x y x a    ,即 2 2( 1) 1x y a    , 表示圆则需1 0a  ,解得 1a   , 因为 2 1a a    ,而反之不成立, 所以“ 2a  ”是“方程 2 2 2 0x y x a    表示圆”的充分不必要条件, 故选:A 4.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5 人坐一排.若小明的父母都与他相 邻,则不同坐法的种数为( ) A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】B 【解析】根据题意,要求小明的父母都与他相邻,即小明坐在父母中间,将三人看成一个整体,有 2 种排 法,将这个整体与爷爷和奶奶全排列,有 A33=6 种排法,则有 2×6=12 种不同的排法, 故选:B. 5. 2log3,6log,2 32 3 1 的大小关系是( ) A. 2log36log2 32 3 1  B. 6log2log32 23 3 1  C. 6log22log3 2 3 1 3  D. 3 1 23 26log2log3  【答案】B 【解析】解:∵ , , 3log32=log38<log39=2,log26>log24=2,所以 . 故选:B. 6.函数 f(x)= 的部分图象大致是( ) 第 3 页 共 16 页 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 cosx≠1 得 x≠2kπ,k∈Z,则 x≠0 排除 C, f(﹣x)= =﹣f(x),则函数 f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除 B, 当 0<x< 时,cosx﹣1<0,则 f(x)<0,排除 A,故选:D. 7.如图,设椭圆 C1: (a>b>0)与双曲线 C2: (m>0,n>0)的公共焦点为 F1, F2,将 C1,C2 的离心率分别记为 e1,e2,点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点,若点 A 关于 C2 的一条渐 近线的对称点为 F1,则 + =( ) A.2 B. C. D.4 【答案】D 【解析】连结 AF2,由题意可得,焦距为 2c,椭圆的长轴长为 2a,双曲线的实轴长为 2m, 则由双曲线的定义可得:AF1﹣AF2=2m①, 由椭圆的定义可得:AF1+AF2=2a②, 因为点 A 关于 C2 的一条渐近线的对称点为 F1, 则 C2 的一条渐近线是线段 AF1 的中垂线, 所以∠F1AF2=90°, 故 , 第 4 页 共 16 页 由①②可得 , 所以 a2+m2=2c2, 所以 + =4. 故选:D. 8.已知定义在 R 上的函数  1 3y f x   是奇函数,当  1,x   时,   1 31f x x x     ,则不等式    3 ln 1 0f x x     的解集为( ) A.  1, B.   1,0 ,e   C.   0,1 ,e  D.   1,0 1,   【答案】D 【解析】【分析】本题首先可根据题意得出函数  f x 的图像关于点 1,3 中心对称且  1 3f  ,然后根据 基本不等式得出   0f x  ,则函数  f x 在 R 上单调递增,最后将不等式    3 ln 1 0f x x     转化为     3 0 ln 1 0 f x x      或     3 0 ln 1 0 f x x      ,通过计算即可得出结果. 【详解】因为函数  1 3y f x   是定义在 R 上的奇函数, 所以函数  f x 的图像关于点 1,3 中心对称,且  1 3f  , 当  1,x  时, 1 0x   , 则    1 1 13 1 2 2 1 2 01 1 1x x xx x x              ,当且仅当 2x  时取等号, 故   1 3 01f x x x      ,函数  f x 在 1, 上单调递增, 因为函数  f x 的图像关于点 1,3 中心对称, 所以函数  f x 在 R 上单调递增, 第 5 页 共 16 页 不等式    3 ln 1 0f x x     可化为     3 0 ln 1 0 f x x      或     3 0 ln 1 0 f x x      ,     3 0 ln 1 0 f x x      ,即 1 0 x x    ,解得 1x  ,     3 0 ln 1 0 f x x      ,即 1 1 0 x x     ,解得 1 0x   , 故不等式的解集为   1,0 1,   , 故选:D. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得 5 分。部分选对的特 2 分,有选错的得 0 分。 9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到如下整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90 后” 从事互联网行业闵位分布条形图,则下列结论中正确的是 注:“90 后”指 1990 年及以后出生的人,“80 后”指 1980—1989 年之间出生的人,“80 前”指 1979 年及 以前出生的人. A.互联网行业从业人员中“90 后”占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C.互联网行业中从事运营岗位的人数“90 后”比“80 前”多 D.互联网行业中从事技术闵位的人数“90 后”比“80 后”多 【答案】ABC 【解析】由题图可知,互联网行业从业人员中“90 后”占总人数的 56% ,超过一半,A 正确; 互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的 56% 39.6% 22.176%  ,超过 20% ,所 以互联网行业从业人员(包括“90 后”“80 后”“80 前”)从事技术岗位的人数超过总人数的 20%,B 正确; 互联网行业从业人员中“90 后”从事运营岗位的人数占总人数的 56% 17% 9.52%  ,超过“80 前”的人数占 总人数的比例,且“80 前”中从事运营岗位的比例未知,C 正确; 互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的 56% 39.6% 22.176%  ,小于“80 后”的人 数占总人数的比例,但“80 后”中从事技术岗位的比例未知,D 不一定正确.故选 ABC. 第 6 页 共 16 页 10.二项展开式 5 5 4 3 2 5 4 3 2 1 0(2 1)x a x a x a x a x a x a       ,则 A. 0 1a   B. 5 4 3 2 15 4 3 2 10a a a a a     C. 3 80a  D. 1 2 3 4 5 1a a a a a     【答案】ABC 【解析】当 x=0 时,可得 0 1a   ,A 正确;当 x=1 时, 0 1 2 3 4 5 1a a a a a a      ,又 0 1a   ,所以 1 2 3 4 5 2a a a a a     ,故 D 错误; 2 3 3 2 5 2 ( 1) 80a C   ,故 C 正确;对原式两边同时求导,得 4 4 3 2 5 4 3 2 110(2 1) 5 4 3 2x a x a x a x a x a      ,当 x=1 时, 5 45 4a a  3 2 13 2 10a a a   ,故 B 正确.综 上,选 ABC. 11.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则,它是在 1766 年由德国的一位中学 老师戴维斯·提丢斯发现的,后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律,即数列 na :0.4,0.7,1.6, 2.8,5.2,10,19.6,…,表示的是太阳系第 n 颗行星与太阳的平均距离(以天文单位 A.U.为单位).现将数列 na 的各项乘以 10 后再减 4 ,得到数列 nb ,可以发现数列 nb 从第 3 项起,每项是前一项的 2 倍,则下列说 法正确的是( ) A.数列 nb 的通项公式为 23 2n nb   B.数列 na 的第 2021 项为 20200.3 2 0.4  C.数列 na 的前 n 项和 10.4 0.3 2 0.3n nS n     D.数列 nnb 的前 n 项和   13 1 2n nT n    【答案】CD 【解析】数列 na 各项乘以 10 再减 4 得到数列 :0,3,6,12,24,48,96,192, ,nb  故该数列从第 2 项起构成公比为 2 的等比数列,所以 nb  2 0, 1, 3 2 , 2,n n n    … 故 A 错误; 从而 4 10 n n ba   2 0.4, 1, 0.3 2 0.4, 2,n n n     … 所以 2019 2021 0.3 2 0.4,a    故 B 错误; 当 1n  时 1 1, 0.4S a  ;当 2n… 时, nS   0 1 2 1 2 0.4 0.3 2 2 2 n na a a           第 7 页 共 16 页   1 11 20.4 1 0.4 0.3 0.4 0.3 21 2 n nn n n          0.3.当 1n  时 1, 0.4S  也符合上式,所以 nS  10.4 0.3 2 0.3,nn    故C 正确; 因为 nnb  2 0, 1, 3 2 , 2,n n n n    … 所以当 1n  时 1 1, 0,T b  当 n… 2 时  0 1 2 3, 2 3 0 3 2 2n nT b b b nb          1 2 2 13 2 4 2 2 .2 3 2 2 3n nn T          2 3 12 4 2 2 ,nn      所以 0 3(2nT     1 1 2 2 1 2 22 2 2 2 3 2 1 2 n n nn n                  1 12 3 1 2 ,n nn    所以   13 1 2 .n nT n    又 当 1n  时 1,T 也满足上式,所以  3 1nT n   12n ,故 D 正确. 12. 如图,正方形 ABCD 中, E F、 分别是 AB BC、 的中点将 , ,ADE CDF BEF  分别沿 DE DF EF、 、 折起,使 、 、A B C 重合于点 P .则下列结论正确的是( ) A. PD EF 第 8 页 共 16 页 B. 平面 PDE PDF 平面 C. 二面角 P EF D  的余弦值为 1 3 D. 点 P 在平面 DEF 上的投影是 DEF 的外心 【答案】ABC 【解析】对于 A 选项,作出图形,取 EF 中点 H,连接 PH,DH,又原图知 BEF 和 DEF 为等腰三角形, 故 PH EF , DH EF ,所以 EF  平面 PDH ,所以 PD EF ,故 A 正确;根据折起前后,可知 , ,PE PF PD 三线两两垂直,于是可证平面 PDE PDF 平面 ,故 B 正确;根据 A 选项可知 PHD 为二 面角 P EF D  的平面角,设正方形边长为 2,因此 1PE PF  , 2 2PH  , 2 3 22 2 2 2DH    , 2 2 2PD DF PF   , 由 余 弦 定 理 得 : 2 2 2 1cos 2 3 PH HD PDPHD PH HD     , 故 C 正 确 ; 由 于 PE PF PD  ,故点 P 在平面 DEF 上的投影不是 DEF 的外心,即 D 错误;故答案为 ABC. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知直线 y=2x+b 是曲线 y=lnx+3 的一条切线,则 b= . 【答案】 ln 2 2  【解析】 1 12 2y xx      ,故切点坐标为( 1 2 ,﹣ln2+3),故 1ln2 3 2 ln2 22b         . 14.已知数列 满足 1 2a  , m n m na a a   (m,n *N ),用[x]表示不超过 x 的最大整数,则数列 2[log ]na 的前 10 项和为 . 【答案】 33 【解析】当 m=1 时, 1 1 1 2n n n na a a a a      ,所以数列 na 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,所 以 2na n , 2 2 2log log (2 ) 1 logna n n   ,当 n=1 时,[ 2log na ]=1;当 2≤n≤3 时,[ 2log na ]=2;当 4≤n≤7 时,[ 2log na ]=3;当 8≤n≤10 时,[ 2log na ]=4;故数列 2[log ]na 的前 10 项和为 33. 第 9 页 共 16 页 15.如图,在底面边长为 2,高为 3 的正四棱柱中,大球与该正四棱柱的五个面均相切,小球在大球上方且 与该正四棱柱的三个面相切,也与大球相切,则小球的半径为 . 【答案】 2 155 【解析】大球的半径为 R=1,设小球的半径为 r,如图, 由题意可知,OD= ﹣ ,CD=2﹣r,CO=1+r,所以(1+r)2=(2﹣r)2+( ﹣ )2,2r2﹣10r+5 =0,r∈(0,1),解得 2 155 4 4010010 r ,故答案为: 2 155 . 16.已知 , 分别为曲线 的左、右焦点, 的离心率 ,过 的直线与双曲线 的 右支交于 、 两点(其中 点在第一象限),设点 、 分别为 、 的内心,则 的 范围是_______.(用只含有 的式子表示) 【答案】 【解析】由曲线的性质可得: 、 的内心 、 在直线 上,设 的右顶点为 ,直 线 的倾斜角为 ,则 ,且 ,在 中, , , 第 10 页 共 16 页 则 又 ,即 ,故 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分) 已知 ABC△ 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a , b , c .设 23sin 3sin 3sin 4 2sin sin sin sin B C A C B B C    . (1)求 tan A的值; (2)若 2 sin 3sinB C ,且 2 2ABCS △ ,求 a 的值. 【解析】(1)由正弦定理,得 23 3 3 4 2b c a c b bc    , 即 2 2 23 3 3 4 2b c a bc   ,得 2 2 2 2 2 cos2 3 b c a Abc     , 而 2 2sin cos 1A A  ,又 (0, )A  ,解得 1sin 3A  ,故 sin 2tan cos 4 AA A   . (2)因为 2 sin 3sinB C ,则 3 2 cb  , 因为 2 2ABCS △ ,故 1 sin 2 22 bc A  ,故 21 3 1 2 22 32 c   ,解得 2 2c  , 故 6b  , 则 2 2 2 22 cos 36 8 2 6 2 2 2 33a b c bc A          . 18.(本题满分 12 分) 已知 na 等差列,a1=2,a3=6. (1)求 na 的通项公式; 第 11 页 共 16 页 (2)设  2 100na nb   ,求数列 nb 的前 10 项和 T10. 【解析】(1)设等差数列{ }na 的公差为 d ,由条件得 1 3 1 2 2 6 a a a d      ,解得 1 2 2 a d    . 故 2na n . …………………(4 分) (2)由(1)可知 100 2 ,1 6| 2 100 | 2 100,7 10 n n n n nb n           ,其中 *n N 故{ }nb 的前 10 项和          1 2 6 7 10 10 100 2 100 2 100 2 2 100 2 100T                 1 2 6 7 8 10200 2 2 2 2 2 2             1 6 7 42 1 2 2 1 2 200 19941 2 1 2    - - =- - .…(12 分) 19.(本题满分 12 分) 如图,在直角梯形 ABED 中,BE∥AD,DE⊥AD,BC⊥AD,AB=4, .矩形 BEDC 沿 BC 翻折, 使得平面 ABC⊥平面 BCDE. (1)若 BC=BE,证明:平面 ABD⊥平面 ACE; (2)当三棱锥 A﹣BCE 的体积最大时,求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 【解析】(1)证明:∵BC=BE,∴矩形 BCDE 为正方形,∴BD⊥CE, ∵平面 ABC⊥平面 BCDE,平面 ABC∩平面 BCDE=BC,AC⊥BC,AC⊂平面 ABC, ∴AC⊥平面 BCDE, ∵BD⊂平面 BCDE,∴AC⊥BD, 又 CE∩AC=C,CE、AC⊂平面 ACE, ∴BD⊥平面 ACE, ∵BD⊂平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 ACE. 第 12 页 共 16 页 (2)在△ABC 中,设 AC=x,则 BC= (0<x<4), ∴S△ABC= AC•BC= x• = ≤ × =4, 当且仅当 x= ,即 x=2 时,等号成立, 此时△ABC 的面积有最大值 4. ∵平面 ABC⊥平面 BCDE,平面 ABC∩平面 BCDE=BC,BE⊥BC,BE⊂平面 BCDE, ∴BE⊥平面 ABC, ∴VA﹣BCE=VE﹣ABC= S△ABC•BE≤ ×4× = , 故当三棱锥 A﹣BCE 的体积最大时,AC=2 . ∵BE∥CD,∴CD⊥平面 ABC, 以 C 为原点,CA,CB,CD 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 C(0,0,0),A( ,0,0),D(0,0, ),E(0, , ), ∴ =(﹣ ,0, ), =(0, ,0), 设平面 ADE 的法向量为 =(x,y,z),则 ,即 , 令 x= ,则 y=0,z= ,∴ =( ,0, ), ∵CD⊥平面 ABC, ∴平面 ABC 的一个法向量为 =(0,0, ), ∴cos< , >= = = , 故平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 . 第 13 页 共 16 页 20.(本题满分 12 分) 某共享单车经营企业欲向甲巿投放单车,为制定适宜的经营策略﹐该企业首先在已投放单车的乙市进行单 车使用情况调查.调查过程分随机问卷﹑整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段,A,B 两个调查小 组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回﹔在整理分析阶段,两个调查小组从所获取的有效问卷中,针对 15 岁至 45 岁的人群,按比例随机抽取了 300 份,进行了数据统计,具体情况如下表: 组别 年龄 A 组统计结果 B 组统计结果 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车  15,25 27 人 13 人 40 人 20 人  25,35 23 人 17 人 35 人 25 人  35,45 20 人 20 人 35 人 25 人 参考公式:        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 参考数据:  2 0P k k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 (1)先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 人的样本,再用分层 抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去. ①求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数﹔ ②为听取对发展共享单车的建议,调查组专门组织所抽取的"年龄达到 35 岁且偶尔使用单车的人员召开座谈 会,会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人,每人 1 份(其余人员仅赠送骑行优惠券). 已知参加座谈会的人员中有且只有 4 人来自 A 组,求 A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的分布列和数学期望; (2)从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论 成立时,为使犯错误的概率尽可能小,当年龄设定为 25 岁时,根据已有数据,完成下列 2×2 列联表(单位: 人),并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的前提下有把握认为“经常使用共享单车与年龄有关”? 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到 25 岁 达到 25 岁 合计 第 14 页 共 16 页 【解析】(1)①从 300 人中抽取 60 人,其中“年龄达到 35 岁”的有 10060 20300   人, 再将这 20 人用分层抽样法按"是否经常使用单车"进行名额划分,其中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人 数为 4520 9100   . ②A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的可能取值为 0,1,2,3,相应概率为:   3 5 3 9 50 42 CP X C    ,   1 2 4 5 3 9 101 21 C CP X C    ,   2 1 4 5 3 9 C C 52 C 14P X    ,   3 4 3 9 C 13 C 21P X    . 故其分布列为 X 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 ∴数学期望   5 10 5 1 40 1 2 342 21 14 21 3E X          (2) 25m  时,按“年龄是否达到 25 岁”对数据进行整理,得到如下列联表 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到 25 岁 67 33 100 达到 25 岁 113 87 200 合计 180 120 300  2 2300 67 87 113 33 300 2100 49 3.063200 100 180 120 200 100 180 120 16K              ∴3.063 6.635 所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下没有把握认为“经常使用共享单车与年龄有关”. 21.(本题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) : 1x yC a b l y xa b      与直线 交于 P,Q 两点,过原点 O 与线段 PQ 中点 E 的直线的 斜率为 1.2 (I)求椭圆 C 的离心率; (II)若椭圆 C 的短轴长为 2 2, A点 为长轴的右顶点,求 △APQ 的面积. 【解析】(I)设 2 2 1 1, ,m na b   则椭圆 C 的方程为 2 2 1,mx ny  第 15 页 共 16 页 2 2 1, 1 , mx ny y x       联立 消去 2( ) 2 1 0.y m n x nx n    得 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2( , ), ( , ), , 1 2, 2 ( ) , ( , ). 3 1 1 1, , .2 2 2 , 1 21 , .2 2 OE nP x y Q x y x x m n n mx x y y x xm n m n n mPQ E m n m n m bk n a e be ea                       设 则 的中点 的坐标为 分 由题意得 即 设椭圆的离心率为 则 即 6 分 (本问也可以用“点差法”直接求得 2 2 1)2 b a  (II) 2 2.C b 椭圆 的短袖长为2 , 2 2 2 1 , 4, 82 b aa    由(I)知 分 1 1(2,0), , ,4 2A m n   1 2 122 42 ,1 1 3 4 2 nx x m n        1 2 2 , 93x x     分 2 2 1 2 1 2| | (1 )[( ) 4 ]PQPQ k x x x x     24 82[( ) ]3 3 4 5 . 103      分 点 2 2 | 2 0 1| 2(2,0) : 1 , 1121 1 A l y x d        到直线 的距离 分 △ 1 1 4 5 2 10| | . 122 2 3 2 3APQ S PQ d      的面积 分 22.(本题满分 12 分) 第 16 页 共 16 页 已知 f(x)=x2ex﹣1. (1)判断 f(x)的零点个数,并说明理由; (2)若 f(x)≥a(2lnx+x),求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=2xex+x2ex=xex(x+2), 令 f′(x)>0,解得:x>0 或 x<﹣2, 令 f′(x)<0,解得;﹣2<x<0, 故 f(x)在(﹣∞,﹣2)递增,在(﹣2,0)递减,在(0,+∞)递增, 故 x=﹣2 时,f(x)取极大值,f(x)的极大值是 f(﹣2)= <0, 而 f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0, 故 f(x)只有 1 个零点; (2)若 lnx 有意义,则 x>0, 由 2lnx+x=lnx2+lnex=ln(x2ex), 故原不等式等价于 x2ex﹣1≥aln(x2ex), 令 t=x2ex,则 t﹣1≥alnt, 由(1)知:x>0 时,f(x)>f(0),即 x2ex﹣1>﹣1, 故 x2ex>0,即 t∈(0,+∞),∴t﹣1≥alnt, 即 t﹣alnt﹣1≥0 在 t∈(0,+∞)时恒成立, 令 g(t)=t﹣alnt﹣1,则 g′(t)=1﹣ = ,且 g(1)=1﹣aln1﹣1=0, ①若 a≤0,则 g′(t)>0 在 t∈(0,+∞)时恒成立,g(t)在(0,+∞)单调递增, ∴t∈(0,1)时,g(t)<g(1)=0,不满足 g(t)≥0 恒成立, ②若 a>0,令 g′(t)=0,解得:t=a, ∴t∈(0,a)时,g′(t)<0,g(t)递减,t∈(a,+∞)时,g′(t)>0,g(t)递增, (i)若 0<a<1,则 g(t)在(a,1)上单调递增, t∈(a,1)时,g(t)<g(1)=0,不满足 g(t)≥0 恒成立, (ii)若 a=1,则 g(t)min=g(1)=0,g(t)≥0, (iii)若 a>0,则 g(t)在(1,a)上单调递减, t∈(1,a)时,g(t)<g(1)=0,不满足 g(t)≥0 恒成立, 综上:a=1 时,符合题意, 故 a 的取值范围是{1}.

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