2021年新高考数学 高三冲刺模拟卷05（解析版）

第 1 页 共 16 页 绝密★启用前 2021 年新高考数学 高三冲刺模拟卷 05（江苏专用）数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知集合 A＝{x|x2+2ax﹣3a2＝0}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，若 A⊆B，则实数 a 的取值范围为（ ） A．{0} B．{﹣1，3} C．（﹣∞，0）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】D 【解析】已知集合 A＝{x|x2+2ax﹣3a2＝0}＝{x|（x+3a）（x﹣a）＝0}， B＝{x|x2﹣3x＞0}＝{x|x＞3 或 x＜0}， 若 A⊆B，则 B 集合包含 A 集合的所有元素， 若 a＝0 时，A＝{0}，不符合题意舍去， 当 a≠0 时，A＝{﹣3a，a}， 则 a＞0 时，因为 A⊆B，则 a＞3； a＜0 时，﹣3a＞0，因为 A⊆B，则﹣3a＞3；即 a＜﹣1， 故实数 a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故选：D． 2．已知 i 是虚数单位，若复数 iz 34 5  ，则 z 的共轭复数 z （ ） A． i5 3 5 4  B． i5 3 5 4  C． i5 3 5 4  D． i5 3 5 4  【答案】A 【解析】复数 iii i iz 5 3 5 4 )34)(34( )34(5 34 5   ， 第 2 页 共 16 页 ∴z 的共轭复数 iz 5 3 5 4  ，故选：A． 3．已知 a，b 都是实数，那么“ 2a  ”是“方程 2 2 2 0x y x a    表示圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程 2 2 2 0x y x a    ，即 2 2( 1) 1x y a    ， 表示圆则需1 0a  ，解得 1a   ， 因为 2 1a a    ，而反之不成立， 所以“ 2a  ”是“方程 2 2 2 0x y x a    表示圆”的充分不必要条件， 故选：A 4．小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5 人坐一排．若小明的父母都与他相 邻，则不同坐法的种数为（ ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】B 【解析】根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在父母中间，将三人看成一个整体，有 2 种排 法，将这个整体与爷爷和奶奶全排列，有 A33＝6 种排法，则有 2×6＝12 种不同的排法， 故选：B． 5． 2log3,6log,2 32 3 1 的大小关系是（ ） A． 2log36log2 32 3 1  B． 6log2log32 23 3 1  C． 6log22log3 2 3 1 3  D． 3 1 23 26log2log3  【答案】B 【解析】解：∵ ， ， 3log32＝log38＜log39＝2，log26＞log24＝2，所以 ． 故选：B． 6．函数 f（x）＝ 的部分图象大致是（ ） 第 3 页 共 16 页 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 cosx≠1 得 x≠2kπ，k∈Z，则 x≠0 排除 C， f（﹣x）＝ ＝﹣f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 B， 当 0＜x＜ 时，cosx﹣1＜0，则 f（x）＜0，排除 A，故选：D． 7．如图，设椭圆 C1： （a＞b＞0）与双曲线 C2： （m＞0，n＞0）的公共焦点为 F1， F2，将 C1，C2 的离心率分别记为 e1，e2，点 A 是 C1，C2 在第一象限的公共点，若点 A 关于 C2 的一条渐 近线的对称点为 F1，则 + ＝（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】连结 AF2，由题意可得，焦距为 2c，椭圆的长轴长为 2a，双曲线的实轴长为 2m， 则由双曲线的定义可得：AF1﹣AF2＝2m①， 由椭圆的定义可得：AF1+AF2＝2a②， 因为点 A 关于 C2 的一条渐近线的对称点为 F1， 则 C2 的一条渐近线是线段 AF1 的中垂线， 所以∠F1AF2＝90°， 故 ， 第 4 页 共 16 页 由①②可得 ， 所以 a2+m2＝2c2， 所以 + ＝4． 故选：D． 8．已知定义在 R 上的函数  1 3y f x   是奇函数，当  1,x   时，   1 31f x x x     ，则不等式    3 ln 1 0f x x     的解集为（ ） A．  1, B．   1,0 ,e   C．   0,1 ,e  D．   1,0 1,   【答案】D 【解析】【分析】本题首先可根据题意得出函数  f x 的图像关于点 1,3 中心对称且  1 3f  ，然后根据 基本不等式得出   0f x  ，则函数  f x 在 R 上单调递增，最后将不等式    3 ln 1 0f x x     转化为     3 0 ln 1 0 f x x      或     3 0 ln 1 0 f x x      ，通过计算即可得出结果. 【详解】因为函数  1 3y f x   是定义在 R 上的奇函数， 所以函数  f x 的图像关于点 1,3 中心对称，且  1 3f  ， 当  1,x  时， 1 0x   ， 则    1 1 13 1 2 2 1 2 01 1 1x x xx x x              ，当且仅当 2x  时取等号， 故   1 3 01f x x x      ，函数  f x 在 1, 上单调递增， 因为函数  f x 的图像关于点 1,3 中心对称， 所以函数  f x 在 R 上单调递增， 第 5 页 共 16 页 不等式    3 ln 1 0f x x     可化为     3 0 ln 1 0 f x x      或     3 0 ln 1 0 f x x      ，     3 0 ln 1 0 f x x      ，即 1 0 x x    ，解得 1x  ，     3 0 ln 1 0 f x x      ，即 1 1 0 x x     ，解得 1 0x   ， 故不等式的解集为   1,0 1,   ， 故选：D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得 5 分。部分选对的特 2 分，有选错的得 0 分。 9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到如下整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90 后” 从事互联网行业闵位分布条形图，则下列结论中正确的是 注：“90 后”指 1990 年及以后出生的人，“80 后”指 1980—1989 年之间出生的人，“80 前”指 1979 年及 以前出生的人． A．互联网行业从业人员中“90 后”占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C．互联网行业中从事运营岗位的人数“90 后”比“80 前”多 D．互联网行业中从事技术闵位的人数“90 后”比“80 后”多 【答案】ABC 【解析】由题图可知，互联网行业从业人员中“90 后”占总人数的 56% ，超过一半，A 正确； 互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的 56% 39.6% 22.176%  ，超过 20% ，所 以互联网行业从业人员（包括“90 后”“80 后”“80 前”）从事技术岗位的人数超过总人数的 20%，B 正确； 互联网行业从业人员中“90 后”从事运营岗位的人数占总人数的 56% 17% 9.52%  ，超过“80 前”的人数占 总人数的比例，且“80 前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确； 互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的 56% 39.6% 22.176%  ，小于“80 后”的人 数占总人数的比例，但“80 后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确．故选 ABC． 第 6 页 共 16 页 10．二项展开式 5 5 4 3 2 5 4 3 2 1 0(2 1)x a x a x a x a x a x a       ，则 A． 0 1a   B． 5 4 3 2 15 4 3 2 10a a a a a     C． 3 80a  D． 1 2 3 4 5 1a a a a a     【答案】ABC 【解析】当 x＝0 时，可得 0 1a   ，A 正确；当 x＝1 时， 0 1 2 3 4 5 1a a a a a a      ，又 0 1a   ，所以 1 2 3 4 5 2a a a a a     ，故 D 错误； 2 3 3 2 5 2 ( 1) 80a C   ，故 C 正确；对原式两边同时求导，得 4 4 3 2 5 4 3 2 110(2 1) 5 4 3 2x a x a x a x a x a      ，当 x＝1 时， 5 45 4a a  3 2 13 2 10a a a   ，故 B 正确．综 上，选 ABC． 11.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在 1766 年由德国的一位中学 老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列 na ：0.4，0.7，1.6， 2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第 n 颗行星与太阳的平均距离(以天文单位 A.U.为单位).现将数列 na 的各项乘以 10 后再减 4 ，得到数列 nb ，可以发现数列 nb 从第 3 项起，每项是前一项的 2 倍，则下列说 法正确的是（ ） A.数列 nb 的通项公式为 23 2n nb   B.数列 na 的第 2021 项为 20200.3 2 0.4  C.数列 na 的前 n 项和 10.4 0.3 2 0.3n nS n     D.数列 nnb 的前 n 项和   13 1 2n nT n    【答案】CD 【解析】数列 na 各项乘以 10 再减 4 得到数列 :0,3,6,12,24,48,96,192, ,nb  故该数列从第 2 项起构成公比为 2 的等比数列，所以 nb  2 0, 1, 3 2 , 2,n n n    … 故 A 错误； 从而 4 10 n n ba   2 0.4, 1, 0.3 2 0.4, 2,n n n     … 所以 2019 2021 0.3 2 0.4,a    故 B 错误; 当 1n  时 1 1, 0.4S a  ；当 2n… 时, nS   0 1 2 1 2 0.4 0.3 2 2 2 n na a a           第 7 页 共 16 页   1 11 20.4 1 0.4 0.3 0.4 0.3 21 2 n nn n n          0.3.当 1n  时 1, 0.4S  也符合上式，所以 nS  10.4 0.3 2 0.3,nn    故C 正确; 因为 nnb  2 0, 1, 3 2 , 2,n n n n    … 所以当 1n  时 1 1, 0,T b  当 n… 2 时  0 1 2 3, 2 3 0 3 2 2n nT b b b nb          1 2 2 13 2 4 2 2 .2 3 2 2 3n nn T          2 3 12 4 2 2 ,nn      所以 0 3(2nT     1 1 2 2 1 2 22 2 2 2 3 2 1 2 n n nn n                  1 12 3 1 2 ,n nn    所以   13 1 2 .n nT n    又 当 1n  时 1,T 也满足上式，所以  3 1nT n   12n ，故 D 正确. 12. 如图,正方形 ABCD 中, E F、 分别是 AB BC、 的中点将 , ,ADE CDF BEF  分别沿 DE DF EF、 、 折起,使 、 、A B C 重合于点 P .则下列结论正确的是（ ） A. PD EF 第 8 页 共 16 页 B. 平面 PDE PDF 平面 C. 二面角 P EF D  的余弦值为 1 3 D. 点 P 在平面 DEF 上的投影是 DEF 的外心 【答案】ABC 【解析】对于 A 选项，作出图形，取 EF 中点 H，连接 PH，DH，又原图知 BEF 和 DEF 为等腰三角形， 故 PH EF , DH EF ，所以 EF  平面 PDH ，所以 PD EF ，故 A 正确；根据折起前后，可知 , ,PE PF PD 三线两两垂直，于是可证平面 PDE PDF 平面 ，故 B 正确；根据 A 选项可知 PHD 为二 面角 P EF D  的平面角，设正方形边长为 2，因此 1PE PF  ， 2 2PH  ， 2 3 22 2 2 2DH    ， 2 2 2PD DF PF   ， 由 余 弦 定 理 得 ： 2 2 2 1cos 2 3 PH HD PDPHD PH HD     ， 故 C 正 确 ； 由 于 PE PF PD  ，故点 P 在平面 DEF 上的投影不是 DEF 的外心，即 D 错误；故答案为 ABC. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知直线 y＝2x＋b 是曲线 y＝lnx＋3 的一条切线，则 b＝ ． 【答案】 ln 2 2  【解析】 1 12 2y xx      ，故切点坐标为( 1 2 ，﹣ln2＋3)，故 1ln2 3 2 ln2 22b         ． 14．已知数列 满足 1 2a  ， m n m na a a   (m，n *N )，用[x]表示不超过 x 的最大整数，则数列 2[log ]na 的前 10 项和为 ． 【答案】 33 【解析】当 m＝1 时， 1 1 1 2n n n na a a a a      ，所以数列 na 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所 以 2na n ， 2 2 2log log (2 ) 1 logna n n   ，当 n＝1 时，[ 2log na ]＝1；当 2≤n≤3 时，[ 2log na ]＝2；当 4≤n≤7 时，[ 2log na ]＝3；当 8≤n≤10 时，[ 2log na ]＝4；故数列 2[log ]na 的前 10 项和为 33． 第 9 页 共 16 页 15．如图，在底面边长为 2，高为 3 的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且 与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ． 【答案】 2 155 【解析】大球的半径为 R＝1，设小球的半径为 r，如图， 由题意可知，OD＝ ﹣ ，CD＝2﹣r，CO＝1+r，所以（1+r）2＝（2﹣r）2+（ ﹣ ）2，2r2﹣10r+5 ＝0，r∈（0，1），解得 2 155 4 4010010 r ，故答案为： 2 155 ． 16．已知 ， 分别为曲线 的左、右焦点， 的离心率 ，过 的直线与双曲线 的 右支交于 、 两点（其中 点在第一象限），设点 、 分别为 、 的内心，则 的 范围是_______．（用只含有 的式子表示） 【答案】 【解析】由曲线的性质可得： 、 的内心 、 在直线 上，设 的右顶点为 ，直 线 的倾斜角为 ，则 ，且 ，在 中， ， ， 第 10 页 共 16 页 则 又 ，即 ，故 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 10 分） 已知 ABC△ 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ．设 23sin 3sin 3sin 4 2sin sin sin sin B C A C B B C    ． （1）求 tan A的值； （2）若 2 sin 3sinB C ，且 2 2ABCS △ ，求 a 的值． 【解析】（1）由正弦定理，得 23 3 3 4 2b c a c b bc    ， 即 2 2 23 3 3 4 2b c a bc   ，得 2 2 2 2 2 cos2 3 b c a Abc     ， 而 2 2sin cos 1A A  ，又 (0, )A  ，解得 1sin 3A  ，故 sin 2tan cos 4 AA A   ． （2）因为 2 sin 3sinB C ，则 3 2 cb  ， 因为 2 2ABCS △ ，故 1 sin 2 22 bc A  ，故 21 3 1 2 22 32 c   ，解得 2 2c  ， 故 6b  ， 则 2 2 2 22 cos 36 8 2 6 2 2 2 33a b c bc A          ． 18．（本题满分 12 分） 已知 na 等差列，a1=2,a3=6. （1)求 na 的通项公式； 第 11 页 共 16 页 （2)设  2 100na nb   ,求数列 nb 的前 10 项和 T10. 【解析】（1）设等差数列{ }na 的公差为 d ，由条件得 1 3 1 2 2 6 a a a d      ，解得 1 2 2 a d    . 故 2na n . …………………（4 分） (2)由(1)可知 100 2 ,1 6| 2 100 | 2 100,7 10 n n n n nb n           ，其中 *n N 故{ }nb 的前 10 项和          1 2 6 7 10 10 100 2 100 2 100 2 2 100 2 100T                 1 2 6 7 8 10200 2 2 2 2 2 2             1 6 7 42 1 2 2 1 2 200 19941 2 1 2    － － ＝－ － .…（12 分） 19.（本题满分 12 分） 如图，在直角梯形 ABED 中，BE∥AD，DE⊥AD，BC⊥AD，AB＝4， ．矩形 BEDC 沿 BC 翻折， 使得平面 ABC⊥平面 BCDE． （1）若 BC＝BE，证明：平面 ABD⊥平面 ACE； （2）当三棱锥 A﹣BCE 的体积最大时，求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：∵BC＝BE，∴矩形 BCDE 为正方形，∴BD⊥CE， ∵平面 ABC⊥平面 BCDE，平面 ABC∩平面 BCDE＝BC，AC⊥BC，AC⊂平面 ABC， ∴AC⊥平面 BCDE， ∵BD⊂平面 BCDE，∴AC⊥BD， 又 CE∩AC＝C，CE、AC⊂平面 ACE， ∴BD⊥平面 ACE， ∵BD⊂平面 ABD，∴平面 ABD⊥平面 ACE． 第 12 页 共 16 页 （2）在△ABC 中，设 AC＝x，则 BC＝ （0＜x＜4）， ∴S△ABC＝ AC•BC＝ x• ＝ ≤ × ＝4， 当且仅当 x＝ ，即 x＝2 时，等号成立， 此时△ABC 的面积有最大值 4． ∵平面 ABC⊥平面 BCDE，平面 ABC∩平面 BCDE＝BC，BE⊥BC，BE⊂平面 BCDE， ∴BE⊥平面 ABC， ∴VA﹣BCE＝VE﹣ABC＝ S△ABC•BE≤ ×4× ＝ ， 故当三棱锥 A﹣BCE 的体积最大时，AC＝2 ． ∵BE∥CD，∴CD⊥平面 ABC， 以 C 为原点，CA，CB，CD 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C（0，0，0），A（ ，0，0），D（0，0， ），E（0， ， ）， ∴ ＝（﹣ ，0， ）， ＝（0， ，0）， 设平面 ADE 的法向量为 ＝（x，y，z），则 ，即 ， 令 x＝ ，则 y＝0，z＝ ，∴ ＝（ ，0， ）， ∵CD⊥平面 ABC， ∴平面 ABC 的一个法向量为 ＝（0，0， ）， ∴cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 故平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 ． 第 13 页 共 16 页 20.（本题满分 12 分） 某共享单车经营企业欲向甲巿投放单车，为制定适宜的经营策略﹐该企业首先在已投放单车的乙市进行单 车使用情况调查.调查过程分随机问卷﹑整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A，B 两个调查小 组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回﹔在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对 15 岁至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，进行了数据统计，具体情况如下表： 组别 年龄 A 组统计结果 B 组统计结果 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车  15,25 27 人 13 人 40 人 20 人  25,35 23 人 17 人 35 人 25 人  35,45 20 人 20 人 35 人 25 人 参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 参考数据：  2 0P k k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 （1）先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 人的样本，再用分层 抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去. ①求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数﹔ ②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的"年龄达到 35 岁且偶尔使用单车的人员召开座谈 会，会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份（其余人员仅赠送骑行优惠券）. 已知参加座谈会的人员中有且只有 4 人来自 A 组，求 A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的分布列和数学期望； （2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论 成立时，为使犯错误的概率尽可能小，当年龄设定为 25 岁时，根据已有数据，完成下列 2×2 列联表（单位： 人），并判断是否在犯错误的概率不超过 1%的前提下有把握认为“经常使用共享单车与年龄有关”? 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到 25 岁 达到 25 岁 合计 第 14 页 共 16 页 【解析】（1）①从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的有 10060 20300   人， 再将这 20 人用分层抽样法按"是否经常使用单车"进行名额划分，其中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人 数为 4520 9100   . ②A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的可能取值为 0，1，2，3，相应概率为：   3 5 3 9 50 42 CP X C    ，   1 2 4 5 3 9 101 21 C CP X C    ，   2 1 4 5 3 9 C C 52 C 14P X    ，   3 4 3 9 C 13 C 21P X    . 故其分布列为 X 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 ∴数学期望   5 10 5 1 40 1 2 342 21 14 21 3E X          （2） 25m  时，按“年龄是否达到 25 岁”对数据进行整理，得到如下列联表 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到 25 岁 67 33 100 达到 25 岁 113 87 200 合计 180 120 300  2 2300 67 87 113 33 300 2100 49 3.063200 100 180 120 200 100 180 120 16K              ∴3.063 6.635 所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下没有把握认为“经常使用共享单车与年龄有关”. 21.（本题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) : 1x yC a b l y xa b      与直线 交于 P，Q 两点，过原点 O 与线段 PQ 中点 E 的直线的 斜率为 1.2 （I）求椭圆 C 的离心率； （II）若椭圆 C 的短轴长为 2 2, A点 为长轴的右顶点，求 △APQ 的面积. 【解析】（I）设 2 2 1 1, ,m na b   则椭圆 C 的方程为 2 2 1,mx ny  第 15 页 共 16 页 2 2 1, 1 , mx ny y x       联立 消去 2( ) 2 1 0.y m n x nx n    得 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2( , ), ( , ), , 1 2, 2 ( ) , ( , ). 3 1 1 1, , .2 2 2 , 1 21 , .2 2 OE nP x y Q x y x x m n n mx x y y x xm n m n n mPQ E m n m n m bk n a e be ea                       设 则 的中点 的坐标为 分 由题意得 即 设椭圆的离心率为 则 即 6 分 （本问也可以用“点差法”直接求得 2 2 1)2 b a  （II） 2 2.C b 椭圆 的短袖长为2 ， 2 2 2 1 , 4, 82 b aa    由（I）知 分 1 1(2,0), , ,4 2A m n   1 2 122 42 ,1 1 3 4 2 nx x m n        1 2 2 , 93x x     分 2 2 1 2 1 2| | (1 )[( ) 4 ]PQPQ k x x x x     24 82[( ) ]3 3 4 5 . 103      分 点 2 2 | 2 0 1| 2(2,0) : 1 , 1121 1 A l y x d        到直线 的距离 分 △ 1 1 4 5 2 10| | . 122 2 3 2 3APQ S PQ d      的面积 分 22．（本题满分 12 分） 第 16 页 共 16 页 已知 f（x）＝x2ex﹣1． （1）判断 f（x）的零点个数，并说明理由； （2）若 f（x）≥a（2lnx+x），求实数 a 的取值范围． 【解析】（1）f′（x）＝2xex+x2ex＝xex（x+2）， 令 f′（x）＞0，解得：x＞0 或 x＜﹣2， 令 f′（x）＜0，解得；﹣2＜x＜0， 故 f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，0）递减，在（0，+∞）递增， 故 x＝﹣2 时，f（x）取极大值，f（x）的极大值是 f（﹣2）＝ ＜0， 而 f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝e﹣1＞0， 故 f（x）只有 1 个零点； （2）若 lnx 有意义，则 x＞0， 由 2lnx+x＝lnx2+lnex＝ln（x2ex）， 故原不等式等价于 x2ex﹣1≥aln（x2ex）， 令 t＝x2ex，则 t﹣1≥alnt， 由（1）知：x＞0 时，f（x）＞f（0），即 x2ex﹣1＞﹣1， 故 x2ex＞0，即 t∈（0，+∞），∴t﹣1≥alnt， 即 t﹣alnt﹣1≥0 在 t∈（0，+∞）时恒成立， 令 g（t）＝t﹣alnt﹣1，则 g′（t）＝1﹣ ＝ ，且 g（1）＝1﹣aln1﹣1＝0， ①若 a≤0，则 g′（t）＞0 在 t∈（0，+∞）时恒成立，g（t）在（0，+∞）单调递增， ∴t∈（0，1）时，g（t）＜g（1）＝0，不满足 g（t）≥0 恒成立， ②若 a＞0，令 g′（t）＝0，解得：t＝a， ∴t∈（0，a）时，g′（t）＜0，g（t）递减，t∈（a，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）递增， （i）若 0＜a＜1，则 g（t）在（a，1）上单调递增， t∈（a，1）时，g（t）＜g（1）＝0，不满足 g（t）≥0 恒成立， （ii）若 a＝1，则 g（t）min＝g（1）＝0，g（t）≥0， （iii）若 a＞0，则 g（t）在（1，a）上单调递减， t∈（1，a）时，g（t）＜g（1）＝0，不满足 g（t）≥0 恒成立， 综上：a＝1 时，符合题意， 故 a 的取值范围是{1}．