大题专练三（概率统计）含答案-2021届高三高考数学（艺术班）二轮复习

大题专练三（概率与统计） 一、解答题 1．海关对同时从 , ,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此 种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽 取 6 件样品进行检测． 地区 A B C 数量/件 50 150 100 （1）求这 6 件样品中来自 A，B，C 三个地区商品的数量； （2）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自 相同地区的概率． 2．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除 第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ．假设各局比赛 结果相互独立． （Ⅰ）分别求甲队以3:0,3:1,3: 2胜利的概率； （Ⅱ）若比赛结果为求3:0 或3:1，则胜利方得3分，对方得 0 分；若比赛结果为3:2 ， 则胜利方得 2 分、对方得1分．求乙队得分 X 的分布列及数学期望． 3．随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三 等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、 1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元．设 1 件产品的利润(单位：万元)为 ． （1）求 的分布列； （2）求 1 件产品的平均利润(即 的数学期望)； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品提高为 70%.如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？ 4．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状 态下生产的零件的尺寸服从正态分布  2,N   . （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )u u   之外的零件数，求 ( 1)P X  及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )u u   之外的零件，就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.9716 i i x x    ，   16 162 2 2 1 1 1 1 16 0.21216 16i i i i s x x x x            ， 其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i   . 用样本平均数 x 作为μ的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为σ的估计值 ˆ ，利用估计值判 断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外的数据，用剩下的数 据估计μ和σ（精确到 0.01）. 附：若随机变量 Z 服从正态分布  2,N   ，则  – 3 3 0.9974P Z       ， 160.9974 0.9592 ， 0.008 0.09 . 5．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛 前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛， 负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其 中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场 比赛双方获胜的概率都为 1 2 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率 6．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支 付方式之一．为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生 中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使 用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下： 交付金额（元） 支付方式 （0,1000] （1000,2000] 大于 2000 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概 率； （Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个 月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A 的学生中， 随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元．根据抽查结果，能否认为样 本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由． 7．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元） 对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 ix 和 年销售量 iy （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. x y w 8 2 1 ( )i i x x   8 2 1 ( )i i w w   8 1 ( )( )i i i x x y y    8 1 ( )( )i i i w w y y    46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 i iw x ， ˆw = 1 8 8 1 i i w   （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列 问题： （ⅰ）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 1 1( , )u v , 2 2( , )u v ，……，( , )n nu v ,其回归线 v u   的斜率和截距 的最小二乘估计分别为： 参考答案 1．（1）1，3，2；（2） 4 15 . （1）由题意，样品中来自 A 地区商品的数量为 650 150 150 100    ， 来自 B 地区商品的数量为 6150 350 150 100    ， 来自 C 地区商品的数量为 6100 250 150 100    ； （2）设来自 A 地区的样品编号为 a ，来自 B 地区的样品编号为 1b , 2b , 3b ，来自C 地区的样 品编号为 1c , 2c ，则从 6 件样品中抽取 2 件产品的所有基本事件为:  1,a b ,  2,a b ,  3,a b , 1,a c ,  2,a c , 1 2,b b , 1 3,b b , 1 1,b c ,  1 2,b c , 2 3,b b ,  2 1,b c , 2 2,b c , 3 1,b c , 3 2,b c , 1 2,c c ,共 15 个； 抽取的这 2 件产品来自相同地区的基本事件有: 1 2,b b , 1 3,b b , 2 3,b b , 1 2,c c ,共 4 个； 故所求概率 4 15P  . 2．（Ⅰ） 8 27 8 27 4 27 （Ⅱ） 7 9 解法一 （Ⅰ）设甲胜局次分别为 , , , , ,A B C D E 负局次分别为 , , , .A B C D     2 2 2 83:0 ;3 3 3 27P P ABC            3:1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 8 ;3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 P P ABCD P ABCD P ABCD                       3: 2 3 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 43 2 .3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 27 P P ABCDE P ABCDE P ABCDE                       （Ⅱ）根据题意乙队得分分别为 0,1,2,3.       8 8 160 0:3 1:3 ;27 27 27P X P P          41 2:3 ;27P X P       42 3: 2 ;27P X P         1 2 13 3:0 3:1 .27 27 9P X P P      所以乙队得分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 27 4 27 4 27 1 9 16 4 4 1 70 1 2 3 .27 27 27 9 9EX          解法二（Ⅰ）记“甲队以 3：0 胜利”为事件 1A ，“甲队以 3：1 胜利”为事件 2A ，“甲队以 3：2 胜利”为事件 3A ，由题意，各局比赛结果相互独立， 故 3 1 2 8( ) ( )3 27P A   ， 2 2 2 3 2 2 2 8( ) ( ) (1 )3 3 3 27P A C    ， 1 2 2 3 4 2 2 1 4( ) ( ) (1 )3 3 2 27P A C    所以，甲队以 3：0,3:1,3:2 胜利的概率分别是 8 27 ， 8 27 ， 4 27 ； （Ⅱ）设“乙队以 3:2 胜利”为事件 4A ，由题意，各局比赛结果相互独立，所以 1 2 2 4 4 2 2 1 4( ) (1 ) ( ) (1 )3 3 2 27P A C     由题意，随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3，，根据事件的互斥性得 1 2 1 2( 0) ( ) ( ) ( )P X P A A P A P A     16 27  , 3 4( 1) ( ) 27P X P A   , 4 4( 2) ( ) 27P X P A   , ( 3)P X   1 ( 0)P X  ( 1)P X  ( 2)P X  3 27  故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 16 27 4 27 4 27 3 27 所以 16 4 4 30 1 2 327 27 27 27EX         7 9  ． 3．（1） 的分布列见解析；（2）4.34；（3） 3% . （１） 的可能取值有 6,2,1, 2 ;    126 506 0.63, 2 0.25200 200P P          20 41 0.1, 2 0.02200 200P P        故 的分布列为  6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 （2）  6 0.63 2 0.25 1 0.1 2 0.02 4.34E           （3）设技术革新后的三等品率为 x，则此时１件产品的平均利润        6 0.7 2 1 0.7 0.01 1 2 0.01 4.76 0 0.29E x x x x x                ， 依题意 ( ) 4.76 4.73, 0 0.03E x x x      ， 所以三等品率最多是3% . 4．（1）  1 0.0408 P X ， 0.0416EX （2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. 10.02  , 0.09  （1）抽取的一个零件的尺寸在 3 , 3     之内的概率为 0.9974， 从而零件的尺寸在 3 , 3     之外的概率为 0.0026， 故  ~ 16,0.0026X B . 因此     161 1 0 1 0.9974 0.0408P X P X       . X 的数学期望为 16 0.0026 0.0416EX    . （2）（i）如果生产状态正常， 一个零件尺寸在 3 , 3     之外的概率只有 0.0026， 一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 3 , 3     之外的零件 概率只有 0.0408，发生的概率很小. 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的. （ii）由 9.97, 0.212x s  ，得  的估计值为 ˆ 9.97  ， 的估计值为 ˆ 0.212  ， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在  ˆ ˆ ˆ ˆ3 , 3     之外，因此需对当天的生产过程 进行检查.剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ3 , 3     之外的数据9.22，剩下数据的平均数为  1 16 9.97 9.22 10.0215    ，因此  的估计值为 10.02. 1 2 2 2 16 16 0.212 16 9.97 1591.134 i ix        ，剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ3 , 3     之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为  2 21 1591.134 9.22 15 10.02 0.00815     ， 因此 的估计值为 0.008 0.09 . 5．（1） 1 16 ；（2） 3 4 ；（3） 7 16 . （1）记事件 :M 甲连胜四场，则   41 1 2 16P M      ； （2）记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为         41 14 2 4P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA            ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为 31 4P P   ； （3）记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输， 记事件 :M 甲赢，记事件 :N 丙赢， 则甲赢的基本事件包括： BCBC 、 ABCBC 、 ACBCB 、 BABCC 、 BACBC 、 BCACB 、 BCABC 、 BCBAC ， 所以，甲赢的概率为   4 51 1 972 2 32P M              . 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为   9 71 2 32 16P N     . 【 6．(Ⅰ) 2 5 ； (Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：100 30 25 5 40    人，则： 该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率 40 2 100 5p   . (Ⅱ)由题意可知， 仅使用 A 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 3 5 ，金额大于 1000 的人数占 2 5 ， 仅使用 B 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 2 5 ，金额大于 1000 的人数占 3 5 ， 且 X 可能的取值为 0,1,2.   3 2 60 5 5 25p X     ，   2 23 2 131 5 5 25p X              ，   3 2 62 5 5 25p X     ， X 的分布列为： X 0 1 2  p X 6 25 13 25 6 25 其数学期望：   6 13 60 1 2 125 25 25E X        . (Ⅲ)我们不认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率 越来越稳定于概率． 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定， 出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”. 7．（Ⅰ） y c d x  ；（Ⅱ） ˆ 100.6 68y x  ；（Ⅲ）（ⅰ） 66.32 ；（ⅱ）46.24 （Ⅰ）由散点图可以判断， y c d x  适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类 型. （Ⅱ）令 w x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于 8 1 8 2 1 ( )( ) ( ) ˆ i i i i i w w y y d w w         =108.8 =6816 ， ∴ ˆˆc y dw  =563-68×6.8=100.6. ∴ y 关于 w 的线性回归方程为 ˆ 100.6 68y w  ， ∴ y 关于 x 的回归方程为 ˆ 100.6 68y x  . （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 x =49 时，年销售量 y 的预报值 100. 8 9ˆ 6 6 4y   =576.6， ˆ 576.6 0.2 49 66.32z     . （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润 z 的预报值 ˆ 0.2(100.6 68 ) 13.6 20.12z x x x x       ， ∴当 x =13.6 =6.82 ，即 46.24x  时， ˆz 取得最大值. 故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.