------------------------------- 易错题·典例正误辨析-------------------------------
易错点 1. 柱、锥、台结构特征判断中的误区
【例 1】如图所示，几何体的正确说法的序号为________．
(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；
(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由
四棱柱截去一个三棱柱得到．
【错解】 (1)正确，因为有六个面，属于六面体
的范围；
(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；
(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；
(4)(5)都错误．
【错因】忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，
而不注意逻辑推理．
知识点：确定空间几何体的结构特
征.紧扣定义，由已知构建几何模
型，在条件不变的情况下，变换模
型中的线面关系或增加线、面等基
本要素，根据定义进行判定
【正解】(4)(5)如图，都正确。正确答案：(1)(3)(4)(5)
易错点 2. 解答平面图形直观图还原问题的易错点
一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形
OA′B′C′的面积为 2，则原梯形的面积为( )
A．2 B. 2 C．2 2 D．4
【错解】OC 的长度 2倍，故其面积是梯形 OA′B′C′面积的
2倍，梯形 OA′B′C′的面积为 2，所以原梯形的面积是 2.
【错因】原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高
的长度不一样．原梯形的高 OC 是直观图中 OC′的长度的 2 倍，
OC′长度是直观图中梯形的高的 2倍，此处易出错．
知识点：对于几何体的直观图，除
掌握斜二测画法外，记住原图形面
积 S 与直观图面积 S′之间的关系
S′＝ 2
4 S，能更快捷地进行相关
问题的计算．
【正解】原梯形的高 OC 是直观图中 OC′长度的 2 倍，OC′的
长度是直观图中梯形的高的 2倍，由此知原梯形的高 OC 的长
度是直观图中梯形高的 2 2倍，故其面积是梯形 OA′B′C′
面积的 2 2倍，梯形 OA′B′C′的面积为 2，所以原梯形的
面积是 4.
易错点 3. 求几何体表面积、体积考虑不全.
【例 3】把长、宽分别为 4、2 的矩形卷成一个圆柱的侧面，求
这个圆柱的体积．
【错解】设圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h.当 2πr＝4，
l＝2 时，r＝2
π
，h＝l＝2，所以 V 圆柱＝πr2h＝8
π.
【错因】把矩形卷成圆柱时，可以以 4 为底，2 为高；也可以以
2 为底，4 为高．容易漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑
全面．
知识点：1.多面体的表面积是
各个面的面积之和；组合体的
表面积注意衔接部分的处理.
2.旋转体的表面积问题注意其
侧面展开图的应用.
【正解】设圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h.
当 2πr＝4，l＝2 时，r＝2
π
，h＝l＝2，所以 V 圆柱＝πr2h＝8
π.
当 2πr＝2，l＝4 时，r＝1
π
，h＝l＝4，所以 V 圆柱＝πr2h＝4
π.
综上所述，这个圆柱的体积为8
π
或4
π.
易错点 4. 垂直性质定理应用的误区
【例 4】已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平
面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【错解】如图在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，对于①AD1⊂平面 AA1D1D，
BD⊂平面 ABCD，AD1 与 BD 是异面直线，成角 60°，
①错误；②正确．
对于③，AD1⊂平面 AA1D1D，
AD1 不垂直于平面 ABCD；
对于④，过平面 AA1D1D 内点 D1，作 D1C.
知识点：在证明线面垂直、面面垂
直时，一定要注意判定定理成立的
条件，同时抓住线线、线面、面面
垂直的转化关系.
∵AD⊥平面 D1DCC1，D1C⊂平面 D1DCC1，
∴AD⊥D1C.故正确，故选 B.
【错因】“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”
与“过一个平面内任意一点作交线的垂线”，此垂线与另一个
平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面
内．
【正解】对于④，过平面 AA1D1D 内点 D1，作 D1C.∵AD⊥平面 D1DCC1，
D1C⊂平面 D1DCC1，
∴AD⊥D1C.但 D1C 不垂直于平面 ABCD，故④错误，故选 C.
易错点 5. 空间图形位置关系考虑不全面
【 例 5 】 ① 若 a ， a ， 则 // ， ② 若
//,, 则
③ 若 baba //,,,// 则 ， ④ 若
baba //,,,// 则
其中正确命题的序号有________.
【错因】此题容易错选③，错误原因是没有考虑到 a,b 异面的
情况
知识点：点、线、面位置关系
的判定，要注意几何模型的选
取，常借助正方体为模型，以
正方体为主线直观感知并认
识空间点、线、面的位置关系.
【 正 解 】 ② 中 可能平行可能相交, 。 ③
可能平行可能异面，ba .选①④
易错点 6．几何体计算公式掌握不牢
【例 6】凸多面体的体积V ( )
A． 21 6
B． 1 C．
6
2 D．
2
21
【错因】此题容易错选为 D，
错误原因是对棱锥的体积公式记忆不牢。
知识点：当一个几何体的形状
不规则时，常通过分割或者补
形的手段将此几何体变为一
个或几个规则的、体积易求的
几何体，然后再计算.经常考虑
将三棱锥还原为三棱柱或长
方体，将三棱柱还原为平行六
面体，将台体还原为锥体.
【正解】将展开图还原为立体图，再确定上面棱锥的高。平面
展开图复原的几何体是下部为正方体，上部是正四棱锥，棱长
都是 1，正方体 的体积是 1；棱长为 1 的正四棱锥的体积是：
2 21 3 1 21 1 ( ) ( )3 2 2 6
，故答案为 21 6
易错点 7. 找不到要求的角
【例 7】长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝AD＝4，AB＝3，则直线
A1B 与平面 A1B1CD 所成角的正弦值是 .
【错因】此题容易错在线面角的寻找上。
知识点：作(或找)出斜线在平面内
的射影，作射影要过斜线上一点作
平面的垂线，再过垂足和斜足作直
线，注意斜线上点的选取以及垂足
的位置要与问题中已知量有关，才
能便于计算．
【正解】由条件知，BC1 平面 A1B1CD，设 BC1 B1C＝O，则∠BA1O
为所求角，
其正弦值为
BA
BO
1
＝
5
22
考场必记内容
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式❶
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
2.柱、锥、台、球的表面积和体积❷
名称
几何体
表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝1
3Sh
台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V＝1
3(S 上＋S 下＋
S 上 S 下)h
球 S＝4πR2 V＝4
3πR3
3．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的
一条直线平行，则该直线与此平
面平行(线线平行⇒线面平行)
∵l∥a，a⊂α，
l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过
这条直线的任一平面与此平面
的交线与该直线平行(线面平行
⇒线线平行)
∵l∥α，l⊂β，α∩β
＝b，∴l∥b
4．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一
个平面平行，则这两个平面平行(线
面平行⇒面面平行)
∵a∥β，b∥β，
a∩b＝P，a⊂α，b
⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平
面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，∴a∥b
5．直线与平面垂直
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理
一条直线与一个平面
内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此
平面垂直
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
l⊥b
⇒
l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的
两条直线平行
a⊥α
b⊥α
⇒a∥b
6．平面与平面垂直的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平
面垂直
l⊂β
l⊥α
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个
平面内垂直于交线的
直线与另一个平面垂
直
α⊥β
l⊂β
α∩β＝a
l⊥a
⇒l⊥α
7．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2
l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线 l 的方向向量为 n，平面α的法向量为 m
l∥α n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分别为 n，m
α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R)
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
8．异面直线所成角
设异面直线 a，b 所成的角为θ，则 cos θ＝|a·b|
|a||b|
， 其中 a，b 分别是直线 a，b 的方向向量．
9．直线与平面所成角
如图所示，设 l 为平面α的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为 l 与α所成
的角，则 sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n|
|a||n|
10．二面角
(1)若 AB，CD 分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小
就是向量 AB―→与 CD―→的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线 l，平面α的法向量为 n1，平面β的法向量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β
为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2|
|n1||n2|
，如图(2)(3)．
考场技法
1．特殊的四棱柱
四棱柱 ―――→底面为平
行四边形
平行六面体 ――――→侧棱垂直
于底面
直平行六面体 ――→底面为
矩形
长方体 ―――→底面边
长相等
正四棱柱
―――――→侧棱与底面
边长相等
正方体
上述四棱柱有以下集合关系：{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直平行六面体} {平行六面
体} {四棱柱}．
2．球的截面的性质
(1)球的截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r＝ R2－d2.
3.空间几何体以球的“切”与“接”
（1）设正方体的棱长为 a，则它的内切球半径 r＝a
2
，外接球半径 R＝ 3
2 a.
（2）设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则它的外接球半径 R＝ a2＋b2＋c2
2
.
（3）设正四面体的棱长为 a，则它的高为 6
3 a，内切球半径 r＝ 6
12a，外接球半径 R＝ 6
4 a.
（4）直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面
外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．
4.平行关系
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）同一条直线与两个平行平面所成角相等．
（6）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
5.垂直关系
（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
（3）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（4）若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平行．
（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也
和这条斜线垂直．
6.解空间角最值问题时往往会用到最小角定理
cos θ＝cos θ1cos θ2.
如图，若 OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为 OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的
一条直线，其中θ为 OA 与 OC 所成的角，θ1 为 OA 与 OB 所成的角，即线面角，θ2 为 OB 与 OC 所
成的角，那么 cos θ＝cos θ1cos θ2.
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