第四章 三角函数、解三角形-【高效复习】2021年高考数学复习之易错点拨

------------------------------- 易错题·典例正误辨析------------------------------- 易错点 1：忽视对角终边位置的讨论致误 例 1 若 的终边所在直线经过点 3 3(cos ,sin )4 4P   ，则sin  ． 【错解】∵ 3 3 2 2(cos ,sin ) ( , )4 4 2 2P     ， 所以 2 2 2 22sin 22 2( ) ( )2 2      ． 【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论 知识点：利用定义求 解三角函数值，要 重视角终边的位置， 如果不确定，需要分析 讨论. 【正解】∵直线经过二、四象限，又点 P 在单位圆上，若 的终边在第二象限， 则 3 2sin sin 4 2    ，若 的终边在第四象限，∴ 2sin 2    ，综上可 知 2sin 2    ． 易错点 2：忽视函数的定义域对角范围的制约致错 例 2 求函数 x xy 2tan1 tan2  的最小正周期． 【错解】 xx xy 2tantan1 tan2 2  ， 2 T ，即函数的最小正周期为 2  ． 【错因】忽视其定义域导致错误， 2  不是 x xy 2tan1 tan2  的周期，因为当 0x 时， x xy 2tan1 tan2  有意义，所以由周期函数定义知应有 )0()20( ff   成立， 然而 )20( f 根本无意义，故 2  不是其周期． 知识点：求解三角函 数的性质，要注意 函 数 定 义 域 的 要 求，这是大前提条 件. 【 正 解 】 由 于 函 数 x xy 2tan1 tan2  的 定 义 域 为 )(4,2 Zkkxkx   ，故作出函数 xy 2tan 的图象，可以看出， 所求函数周期应为 ． 易错点 3：对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误 例 3 若 3 1 6sin       ，则        23 2cos =（ ） A． 9 7 B． 3 1 C． 3 1 D． 9 7 知识点：利用诱导公 式化简、求值，要明确： “奇变偶不变，符号看 【错解一】        23 2cos cos[ ( 2 )]3     sin( 2 ) 2sin( )cos( )3 6 6          1 2 2 4 22 ( )3 3 9      ，无答案． 【错解二】 22 7cos 2 cos[ ( 2 )] cos( 2 ) 1 2sin ( )3 3 3 6 9                     ， 故选 D． 【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的 “奇、偶”指的是π 2 的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化； “符号看象限”的含义是：在该题中把整个角 ( 2 )3   看作锐角时， ( 2 )3    所在象限的相应余弦三角函数值的符号． 象限”的含义.这是解 题的关键. 正 解 ： 22 7cos 2 cos[ ( 2 )] cos( 2 ) 1 2sin ( )3 3 3 6 9                     ，故选 A． 易错点 4：因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错 例 4 函数 )23sin(2 xy   单调增区间为（ ） A． 5[ , ]12 12k k    , ( )k Z B． ]12 11,12 5[   kk , ( )k Z C． ]6,3[   kk , ( )k Z D． 2[ , ]6 3k k    , ( )k Z 【错解】由题意， 2 2 22 3 2k x k         ( )k Z ， 解得 5 212 12k x k       ，所以 )23sin(2 xy   单调增区间 为 5[ , ]12 12k k    , ( )k Z ，故选 A． 【错因】内层函数为减函数，因此不能直接套用 siny x 的单调性来求． 知识点：求三角函数的 单调性，就是将比较复 杂的三角函数含自变 量的代数式整体当作 一个角 u(或 t)，利用 复合函数的单调性求 解. 【正解】∵ sin( 2 ) sin(2 )3 3y x x      ， 即求函数 sin(2 )3y x   的减区间．故函数 )23sin(2 xy   的增区间 为 ]12 11,12 5[   kk ,( )k Z ，故选 B． 易错点 5： 图象变换知识混乱 例 5 要得到函数 sin 2 3y x      的图象，只需将函数 1sin 2y x 的图象 （ ） A．先将每个值扩大到原来的 4 倍， y 值不变，再向右平移 3  个单位． B．先将每个值缩小到原来的 1 4 倍， y 值不变，再向左平移 3  个单位． C．先把每个值扩大到原来的 4 倍， y 值不变，再向左平移个 6  单位． D．先把每个值缩小到原来的 1 4 倍， y 值不变，再向右平移 6  个单位． 【错解】A、C、B 【错因】 1sin 2y x 变换成 sin 2y x 误认为是扩大到原来的倍，这样就误 选 A 或 C；把 sin 2y x 平移到 sin 2 3y x      平移方向错了，平移的单位 误认为是 3  ，误选 B． 知识点：对于三角函 数图象的平移变换问 题，其平移变换规则 是“左加、右减”，并 且在变换过程中只变 换自变量 x，如果 x 的 系数不是 1，那么需把 x 的系数提取后再确 定 平 移 的 单 位 和 方 向． 【正解】由 1sin 2y x 变形为 sin 2 3y x      常见有两种变换方式，一种 先进行周期变换，即将 1sin 2y x 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为 原来的 1 4 倍得到函数 sin 2y x 的图象，再将函数 sin 2y x 的图象纵坐标不 变，横坐标向右平移 6  单位．即得函数 sin 2 3y x      ，故选 D． 易错点 6：已知条件弱用 例 6 在不等边△ABC 中， a 为最大边，如果 a b c2 2 2  ，求 A 的取值范围． 【错解】∵ a b c b c a2 2 2 2 2 2 0    ，∴ ，则 cos A b c a bc     2 2 2 2 0， 由于 cosA 在（0°，180°）上为减函数且 cos90 0° ， 90A ∴ °，又∵A 为△ABC 的内角， ∴0°＜A＜90°． 【错因】审题不细，已知条件弱用，题设是为最大边，而错解中只把看做是三 角形的普通一条边，造成解题错误． 知识点：利用正弦、余 弦定理求解角的范围. 不仅要利用三角函数 的单调性，还要注意大 边对大角，锐角，钝角 这些隐含条件。 【正解】由上面的解法，可得 A＜90°，又∵ a 为最大边，∴A＞60°， 因此得 A 的取值范围是（60°，90°）． 易错点 7：解三角形时漏解 例 7 已知在△ABC 中，a＝ 3 ，b＝ 045,2 B ,求 A 、 C 和边 c ． 【错解】由正弦定理 B b A a sinsin  ,得 sinA＝ .2 3 所以，  60A ，  7560-45-180C ，所以， c ＝ sin 6 2 sin 2 b C B  ． 【错因】上述解法中，用正弦定理求 C 时，丢了一个解，实际上， 由 sinA＝ .2 3 可得  60A 或 120A ，故  75A 或 15A 知识点：解斜三角形 中最典型的是边边角 问题，一般是先用正 弦定理求出一个角的 正弦值，如 sin A＝x. ①若 sin A＝1，则∠A ＝90°；②若 sin A＞1， 矛盾无解；③若 0＜sin A＜1，可能有两解， 也可能只有一解．需 要 比 较 两 个 边 的 大 小，用“大边对大角” 来确定 A 是两解或者 一解． 【正解】由正弦定理 B b A a sinsin  ,得 sinA＝ .2 3 因为， ba  ，所以  60A 或 120A ，当  60A 时，  7560-45-180C ， c ＝ sin 6 2 sin 2 b C B  ． 当 120A 时，  15120-45-180C ， c ＝ sin 6 2 sin 2 b C B  ． 考场必记内容 1.弧度制 角α的弧度数公式 |α|＝l r(l 表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ π 180 rad；②1 rad＝ 0)180(  ° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝1 2lr＝1 2|α|r2 2．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝sin α cos α. 3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R },2{ Zkkxx   值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 ]22,22[  kk  (k∈Z)上是递增 函数，在 ]22 3,22[  kk  (k∈Z)上 是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递 增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k ∈Z)上是递减函数 在－π 2 ＋kπ，π 2 ＋kπ(k∈ Z)上是递增函数 周期性 周期是 2kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小正周期是 2π 周期是 2kπ(k∈Z 且 k≠0)，最小 正周期是 2π 周期是 kπ(k∈Z 且 k≠ 0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是 x＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，对称中心是 (kπ，0)(k∈Z) 对称轴是 x＝kπ(k∈Z)，对称中 心是 )0,2(  k (k∈Z) 对称中心是 )0,2( k (k ∈Z) 4.由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法 5．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)； (2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)； (3)tan(α±β)＝ tan α±tan β 1∓tan αtan β(两式相除、上同下异)． 6.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α. 7.正弦、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形形式(边 角转化) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R ； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝b2＋c2－a2 2bc ； cos B＝c2＋a2－b2 2ca ； cos C＝a2＋b2－c2 2ab 考场技法 1．象限角 2．轴线角 3.同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α . (2)sin α＝tan αcos α ),2( Zkk   . (3)sin2α＝ sin2α sin2α＋cos2α ＝ tan2α tan2α＋1 ； cos2α＝ cos2α sin2α＋cos2α ＝ 1 tan2α＋1. 4．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与 对称轴之间的距离是1 4 个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 5．奇偶性 若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 6.求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用公式 T＝2π ω (ω＞0)求周期； ②根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最 值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值； ③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋t 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋t 的单调区 间． 7.三角函数式的化简要遵循“3 看”原则 8.解三角形常用结论 （1）．在△ABC 中，内角 A，B，C 成等差数列⇔B＝π 3 ，A＋C＝2π 3 . （2）．在斜△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. （3）．在△ABC 中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sin A＞sinB. （4）．三角形中的射影定理：在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.