第二章 函数及其性质-【高效复习】2021年高考数学复习之易错点拨

------------------------------- 易错题·典例正误辨析------------------------------- 易错点 1：不理解函数的定义域 1.已知函数 ( )f x 的定义域为[0，1]，求函数 ( 1)f x  的定义域 错解：由于函数 ( )f x 的定义域为[0，1]，即 0 1x  ， 1 1 2x    ∴ ( 1)f x  的定义域是[1，2] 错因：对函数定义域理解不透，不明白 ( )f x 与 ( ( ))f u x 定义域之间的区别与 联系，其实在这里只要明白： ( )f x 中 x 取值的范围与 ( ( ))f u x 中式子 ( )u x 的 取值范围一致就好了. 知识点：若已知函 数 f(x)的定义域为 [a，b]，则复合函 数 f[g(x)]的定义域 可 由 不 等 式 a≤g(x)≤b 求 出 . 切勿混淆. 正解：由于函数 ( )f x 的定义域为[0，1]，即 0 1x  ∴ ( 1)f x  满足 0 1 1x    ， 1 0x   ，∴ ( 1)f x  的定义域是[－1，0] 易错点 2：奇偶性的判别方法不灵活 2.判断 2 2( ) log ( 1)f x x x   的奇偶性. 错解：∵ )1(log)1)((log)( 2 2 2 2  xxxxxf ∴ )()( xfxf  且 )()( xfxf  所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)，也可改为研究 f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0 是否成立. 知识点：判断 f(x) 与 f(－x)是否具有 等量关系，在判断 奇偶性的运算中， 可以转化为判断 奇偶性的等价等 量 关 系 式 (f(x) ＋ f(－x)＝0(奇函数) 或 f(x)－f(－x)＝ 0(偶函数))是否成 立. 正解：方法一：∵ )1(log)1)((log)( 2 2 2 2  xxxxxf ＝ 1 1log 22  xx ＝ )1(log 2 2  xx ＝－ )(xf ，∴ )(xf 是奇函数 方法二：∵ )1(log)1(log)()( 2 2 2 2  xxxxxfxf ＝ 01log)1()1[(log 2 22 2  xxxx )()( xfxf  ∴ )(xf 是奇函数 易错点 3：不理解定义域和单调性的联系 3.已知奇函数 f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式 f(x－3)+f(x2－ 3)0 解得 x>2 或 x2 或 x0，且 a≠1)的图象 ――→关于直线 y＝x 对称 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象． (3)翻折变换 y＝f(x)的图象 ――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方 x 轴及上方部分不变 y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象 ――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧 原 y 轴左侧部分去掉，右侧不变 y＝f(|x|)的图象． 5.指数函数的图象和性质❷ 函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1) 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性 单调递增 单调递减 函数值变 化规律 当 x＝0 时，y＝1 当 x＜0 时，0＜y＜1； 当 x＞0 时，y＞1 当 x＜0 时，y＞1； 当 x＞0 时，0＜y＜1 6.值、对数式的互化 7.对数函数的图象与性质 函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1) 图象❸ a＞1 0＜a＜1 图象特征 在 y 轴右侧，过定点(1,0) 当 x 逐渐增大时，图象是上升的 当 x 逐渐增大时，图象是下降的 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值变 化规律 当 x＝1 时，y＝0 当 x＞1 时，y＞0； 当 0＜x＜1 时，y＜0 当 x＞1 时，y＜0； 当 0＜x＜1 时，y＞0 8.零点存在性定理 考场技法 1．周期性的 4 个常用结论 设函数 y＝f(x)，x∈R，a>0. (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2a； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2a； (3)若 f(x＋a)＝ 1 fx ，则函数的周期为 2a； (4)若 f(x＋a)＝－ 1 fx ，则函数的周期为 2a. 3．对称性的 3 个常用结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； （3）对于函数 y＝f(x)定义域内任意一个 x 的值，若 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x ＝a＋b 2 对称． （4）对于函数 y＝f(x)定义域内任意一个 x 的值，若 f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于点 （a＋b 2 ，0）中心对称． 4.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象， 底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b. 规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 5．换底公式的两个重要结论 (1)logab＝ 1 logba ；(2)logambn＝n mlogab. 其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m≠0，n∈R. 6．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故 0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 7．若函数 f(x)在[a，b]上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则 f(a)·f(b)＜0⇒函数 f(x)在[a， b]上只有一个零点．