第五章 平面向量-【高效复习】2021年高考数学复习之易错点拨

------------------------------- 易错题·典例正误辨析------------------------------- 易错点 1：遗漏零向量 已知 )2,3( ma  与 ( , )b m m  平行，则 m 值的个数是________． 【 错 解 】 由 ba // 得 3 2 m m m  ， 即 052  mm ， 解 之 得 0,5 21  mm （舍），∴ m 的值只有一个． 【错因】零向量与任一向量平行，当 0m  时，为零向量，也与平行． 知识点：零向量和单位向量 是两个特殊的向量，它们的 模是确定的，但是方向不确 定，因此在解题时要注意它 们的特殊性． 【正解】由 ba // 得 )2()(3 mmm  ，解得 0,5 21  mm ，∴ m 的 值应有两个． 易错点 2：弄错两个向量的夹角 在 ABC 中, 060,8,5  Cba ,则 CABC  的值为 ( ) A 20 B -20 C 320 D 320 【错解】因为 060 CABC ,则 2 185,cos  CABCCABCCABC =20,故选 A. 【错因】弄错向量 BC 与CA  的夹角． 知识点：利用数量积公式时， 要用到两个向量的夹角。如 图所示，∠BAC 不是 CA―→与 AB―→的夹角，∠BAD 才是 CA―→与 AB―→的夹角． 【正解】由题意 0120 CABC , 故 2 185,cos  CABCCABCCABC -20，选 B. 易错点 3：混淆向量与向量的模致误 两列火车从同一站台沿相反方向开去，行驶了相同的路程，设两列火 车的位移向量分别为 a  和b  ，那么下列命题中错误的是( ) A． a  与b  为平行向量 B． a  与b  为模相等的向量 C． a  与 b  为共线向量 D． a  与b  为相等向量 【解析】由向量的基本概念知 a  与 b  方向相反，∴ a  与b  是平行向量， 即共线向量．又∵两列火车所行路程相同，∴ a  与b  的模相等． ∴ a  与b  是模相等且方向相反的向量，即 A 错． 【错因】路程相同对应向量的模相等. 知识点：相等向量的关键是 方向相同且长度相等，要区 分相等向量与向量的模相 等. 【正解】由向量的基本概念知 a  与 b  方向相反，∴ a  与 b  是平行向量， 即共线向量．又∵两列火车所行路程相同，∴ a  与b  的模相等． ∴ a  与b  是模相等且方向相反的向量，即 D 错． 易错点 4：认为 a 与b 的夹角为钝角（锐角）   00 ba 致错 【例 4】设平面向量  1,2a ，  1, b ，若 a 与b 的夹角为钝 角，则 的取值范围是（ ） A ． ),2()2,2 1(   B ． (2, ) C ． )2 1(  ， D． )2 1,(  【错解】由与的夹角为钝角，所以 0ba ，即 2 1 0   ，解得 2 1 ，故选 C． 【错因】忽视使用 0ba 时，其中包含了两向量反向的情况． 知识点：两个向量 a 与 b 的 夹角为锐角，则有 a·b＞0， 反之不成立(因为 a 与 b 夹角 为 0 时不成立)． 两个向量 a 与 b 的夹角为钝 角，则有 a·b＜0，反之不成 立(因为 a 与 b 夹角为π时不 成立)． 【正解】由与的夹角为钝角，所以 0ba ，即 2 1 0   ，解得 ， 又当 a 与b 共线且反向时， 2 0  ，得 2  ． 所以 的取值范围是 2 1 且 2  ，故选 A． 易错点 3：记错两个向量平行的坐标关系 已知向量  1,2 a  mb ,1 ，  2,1c ，若 cba //)(  ，则 m ＝ . 【 错 解 】 ∵ )1,1()(  mba ， 又 cba //)(  ， ∴ 02)1()1(1  m ， 得 2 1m . 【错因】把“若 ),( 11 yxa  ， 2 2( , ) 0b x y   ，则 0// 1221  yxyxba ”错记成“ 0// 2211  yxyxba ”. 知识点：a∥b 的充要条件 不能表示为x1 x2 ＝y1 y2 ，因为 x2， y2 有可能为 0. 【 正 解 】 ∵ )1,1()(  mba ， 又 cba //)(  ， ∴ 0)1()1(21  m ，得 1m . 易错点 4：不能将向量与三角函数进行联系 若平面向量 ,α β 满足| | 1α ，| 1β |„ ，且以向量 ,α β 为邻边的平行四 边形的面积为 1 2 ，则 α 与 β 的夹角 的取值范围是 ． 【 错 解 】 以 ,α β 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 为 ： 1| || | sin | | sin 2S    α β β ，所以 1sin 2 | |   β ， [0,π)  ． 【错因】忽视三角函数有界性应用致误 知识点：向量与三角函数结 合时，通常以向量为表现形 式，实现三角函数问题，所 以要灵活运用三角函数中的 相关方法与技巧求解． 【 正 解 】 以 ,α β 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 为 ： 1| || | sin | | sin 2S    α β β ，所以 1sin 2 | |   β ，又因为| 1β |„ ，所 以 1 1 2 | | 2β … ，即 1sin 2  … 且 [0,π]  ，所以  π 5[ , π]6 6 ． 易错点 3：忽视向量的方向致误 已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2 2OP OA BA    ，则( ) （A）点 P 在线段 AB 上 （B）点 P 在线段 AB 的反向延长线 上 （C）点 P 在线段 AB 的延长线上 （D）点 P 不在直线 AB 上 错解：因为 2 2OP OA BA    ，所以 2AP BA  ，所以点 P 在线段 AB 上，故选 A. 错因： 2AP BA  表示 P 点在 AB 的延长线上，而不是在 AB 上. 知识点：a∥b⇔a＝λb(b≠0) 是判断两个向量共线的主要 依据．注意向量的方向. 【正解】因为 2 2OP OA BA    ，所以 2AP BA  ，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选 B. 考场必记内容 1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和 的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； 三角形法则 平行四边形法则 (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋ (b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反 向量－b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量 a 的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0 时，λa 的方 向与 a 的方向相同；当λ＜0 时， λa 的方向与 a 的方向相反；当λ ＝0 时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa ＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 2．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实 数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 3．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做 a 与 b 的数量 积，记作 a·b 投影 |a|cos θ叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cos θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积 4．向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21 夹角 cos θ＝ a·b |a||b| cos θ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22 a⊥b 的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21x22＋y22 考场技法 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量， 即A1A2 ―→＋A2A3 ―→＋A3A4 ―→＋…＋An－1An ―→ ＝A1An ―→ .特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2.在△ABC 中，AD，BE，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点 G(如图所示)，易知 G 为△ ABC 的重心，则有如下结论： (1) GA―→＋ GB―→＋ GC―→＝0； (2) AG―→＝1 3( AB―→＋ AC―→ )； (3) GD―→＝1 2( GB―→＋ GC―→ )＝1 6( AB―→＋ AC―→ )． 3．若 OA―→＝λ OB―→＋μ OC―→ (λ，μ为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝ 1. 4．对于任意两个向量 a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当 a，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的 差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． 5．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为 )2,2( 2121 yyxx  . 6 ． 已 知 △ ABC 的 顶 点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， C(x3 ， y3) ， 则 △ ABC 的 重 心 G 的 坐 标 为 )2,3( 321321 yyyxxx  . 7．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2 －x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)． 8．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 9．有关向量夹角的两个结论： (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b＞0，反之不成立(因为 a 与 b 夹角为 0 时不成立)． (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b＜0，反之不成立(因为 a 与 b 夹角为π时不成立)． 10．平面向量中有关最值、范围问题的 2 种解题思路 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形 的特征直接进行判断． (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程 有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 11．求向量模的最值(范围)的方法 (1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． (2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．