第六章 数列-【高效复习】2021年高考数学复习之易错点拨

------------------------------- 易错题·典例正误辨析------------------------------- 易错点 1：已知 nS 求 na 时, 易忽略 1n  致错． 例 1】已知数列{ }na 的前项和为 nS ＝1 2 n2＋1 2 n＋1，求{ }na 的通项公式． 【错解】an＝Sn－Sn－1＝1 2 n2＋1 2 n＋1－1 2 (n－1)2－1 2 (n－1)－1＝n，所以 na n ． 【错因】 1n n na S S   成立的条件是 2n  ，当 1n  要单独验证． 知识点：由 nS 求 na 时， 数列通项公式 an求出后， 还需要验证数列首项 a1 是否也满足通项公式，即 “通项求出莫疏忽，验证 首项满足否”，这一步容 易忘记，切记！ 【正解】当 n＝1 时，a1＝S1＝1 2 ＋1 2 ＋1＝2； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝1 2 n2＋1 2 n＋1－1 2 (n－1)2－1 2 (n－1)－1＝n. 当 n＝1 时不符合上式，所以 , 1 , 2n n na n n    ． 易错点 2：利用等比数列前 n 项和公式时，忽略公比 1q  致错． 【例 2】求数列 2 3 11,3 ,5 ,7 ,......(2 1) ,.....( 0)na a a n a a  的前 n 项和． 【错解】由于 1(2 1) n na n a   ( *)n N ， 2 3 2 11 3 5 7 ...... (2 3) (2 1)n n nS a a a n a n a          naS  2 3 4 13 5 7 ...... (2 3) (2 1)n na a a a n a n a        两式相减得 2 3 1(1 ) 1 2 2 2 .....2 (2 1)n n na S a a a a n a       = 12 (2 1) 11 n na n aa     2 1 (2 1) 12 (1 ) 1 n n n a n aS a a       . 【错因】上述解法只适合 1a  的情形． 事实上，当 1a  时， 1 3 5 7 ...... (2 3) (2 1)nS n n         2(1 2 1) 2 n n n   知识点：在研究等比数 列时，切记等比数列中 的任何一项都不为 0，且 公比 q≠0.在利用等比数 列求和时，如果含有参 数，根据公比是否为 1， 需分类讨论. 【正解】 2 2 1 (2 1) 12 , 1(1 ) 1 , 1 n n n a n a aa aS n a            ． 易错点 3：忽略数列与函数的区别致错． 例 3】已知函数 5 , 6 ( ) (4 ) 4, 62 xa x f x a x x       ，数列{ }na 满足 ( )na f n （ *Nn ），且数列{ }na 是单调递增数列，则的取值范围是_______． 【错解】由题有 6 5 1 4 02 (4 ) 6 42 a a a a              ，得 7 8a  ． 【错因】忽略数列与函数的区别致错，实际上，数列是一串离散的点，不 能直接将 6n  带入到分段函数的两个部分进行比较 知识点：利用函数的性质 研究数列时，需明确数列 是一串离散的点，只能去 正整数. 【正解】由题有 1 4 02 (5) (6) a a f f       ，得 48 87 a  ． 易错点 4：数列的定义域是全体的正整数 【例 4】已知数列 13 3na n  ，其前项和为 nS ，则 nS 的最大值是 ________． 【错解】由题意， 1 10a  ， 2(10 13 3 ) 3 23 529( )2 2 6 24n n nS n      ， 当 23 6n  时， nS 的最大，最大值是为 529 24nS  ． 【错因】数列的自变量是正整数，不能取非正数． 知识点：用求函数最值的 方法来求前 n 项和的最 值，这里应由 n∈N*及二 次函数图象的对称性来 确定 n 的值． 【 正 解 】 方 法 1 ： 由 题 意 ， 1 10a  ， 2(10 13 3 ) 3 23 529( )2 2 6 24n n nS n      ， 当 4n  时 ， 离 二 次 函 数 对 称 轴 最 近 ， 所 以 nS 的 最 大 值 是 为 4S  223 4 3 4 222     ． 方法 2：令 13 3 0na n   ，解得 13 4n  ，即{ }na 前 4 项为正数，后面 项均为负数，所以 nS 的最大值为 4S  223 4 3 4 222     ． 易错点 5：乱设常量致错． 【例 5】数列 na 与 nb 的前项和分别为 ,n nS T ， 且 : (5 13) :(4 5)n nS T n n   ，则 10 10:a b  _______ 【 错 解 】 (5 13) , (4 5)n nS n k T n k    ， 则 1 5n n na S S k   ， 1 4n n nb T T k   ，所以 10 10: 5: 4a b  ． 【 错 因 】 从 : (5 13) :(4 5)n nS T n n   可 知 ， 比 值 :nS (5 13)n  = nT : (4 5)n  随着项数的变化而变化，不能设为常数，这 里忽略了项数的可变性而致错． 知识点：在求解数列基 本量问题中主要使用的 是方程思想，要注意使用 公式时的准确性与合理 性，更要注意运算的准确 性．在遇到一些较复杂的 方程组时，要注意运用整 体代换思想，使运算更加 便捷 【正解】设 (5 13) , (4 5)n nS n nk T n nk    ，则 1 (10 8)n n na S S n k    ， 1 (8 1)n n nb T T n k    ，其中 2n  ， :n na b  (10 8) :(8 1)n n  ． 所以 10 10:a b  4:3． 易错点 6：数列加绝对值后，认为其还是等差数列 【例 6】在等差数列 na 中， 3 31na n  ，记 | |n nb a ，求数列 nb 的 前 30 项和. 【错解】依题意， | |n nb a 也是等差数列， 1 1| | 28b a  ， 30 30| | 59b a  ， 所以 30 1 2 3 30 (28 59) 30| | | | | | ...... | | 12602S a a a a         ． 【错因】这里易错点是 nb 也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内 知识点：含绝对值这类数 列求和，要先去绝对值， 那就要弄清各项的符号， 利用分段求和 的 na 的正负号进行讨论，当 10n  时， 0, 11na n  时， 0na  【正解】 30 1 2 3 30| | | | | | ...... | |S a a a a     1 2 3 10 11 12 13 30( ...... ) ( ...... )a a a a a a a a           1 10 11 3010( ) 20( ) 2 2 a a a a    =755． 易错点 7：使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错． 【例 7】已知数列{an}满足 11 a ， 1 2 1n na a   ，求 na 的通项公式． 【错解】 * 1 2 1( )n na a n N    ， 1 1 2( 1),n na a     1na  是以 2 为公比的等比数列 1 11 2 2n n na      *( )n N ． 【错因】新数列的首项是 1 1 2a   ，不是 1a ． 知识点：构造新数列后， 新数列的公比也发生变 化，不要盲目认为 1a 是数列的首项. 【正解】 * 1 2 1( )n na a n N    ， 1 1 2( 1),n na a     1na  是以 1 1 2a   为首项，2 为公比的等比数列 1 2 .n na   即 *2 1( ).n na n N   考场必记内容 1．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (3)前 n 项和公式：Sn＝na1＋nn－1 2 d＝na1＋an 2 . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1 (2)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (3)前 n 项和公式：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a1（1－qn） 1－q ＝a1－anq 1－q . 3.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列 的前 n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解. 考场技法 1.等差数列 （1）若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an. （2）若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d. （3）若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列． （4）若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m 分别为{an}的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则 Sm，S2m －Sm，S3m－S2m 也成等差数列． （5）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． ①若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd，S 奇 S 偶 ＝ an an＋1 .②若项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝nan，S 奇 －S 偶＝an，S 奇 S 偶 ＝ n n－1 . （6）两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和 Sn，Tn 之间的关系为an bn ＝S2n－1 T2n－1 . 2.等比数列常用结论 （1）若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a2k. （2）在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为 等比数列，公比为 qk. （3）．{an}为等比数列，若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，T2n Tn ，T3n T2n ，…成等比数列． （4）当 q≠0，q≠1 时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时 k＝ a1 1－q. （5）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． 3.裂项求和常用的三种变形 (1) 1 n（n＋1）＝1 n － 1 n＋1. (2) 1 （2n－1）（2n＋1）＝1 2 )12 1 12 1(  nn . (3) 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n.