第十一章 计数原理-【高效复习】2021年高考数学复习之易错点拨

------------------------------- 易错题·典例正误辨析------------------------------- 易错点 1：没有理解两个基本原理出错 【例 1】从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中 至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种. 【错解】因为可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机，所以只有 2 种取法. 【错因】误解的原因在于没有意识到“选取 2 台原装与 3 台组装计 算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机”是完成任务的两“类”办法， 每类办法中都还有不同的取法. 知识点：在综合应用两个原 理解决问题时应注意：(1) 一般是先分类再分步.在分 步时可能又用到分类加法 计数原理.(2)对于较复杂 的两个原理综合应用的问 题，可恰当地列出示意图 或列出表格，使问题形象 化、直观化. 【正解】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装 计算机中任意选取 2 台，有 2 6C 种方法；第二步是在组装计算机任 意选取 3 台，有 3 5C 种方法，据乘法原理共有 3 5 2 6 CC  种方法.同理， 完成第二类办法中有 2 5 3 6 CC  种方法.据加法原理完成全部的选取过 程共有  3 5 2 6 CC 3502 5 3 6 CC 种方法. 易错点 2：判断不出是排列还是组合出错 【例 2】有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一 排，共有多少种不同的排列方法？ 【错解】因为是 8 个小球的全排列，所以共有 8 8A 种方法. 【错因】误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的，5 个白色小 球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法. 知识点：区分一个问题属于 排列问题还是组合问题， 关键在于是否与顺序有关. 如果与顺序有关，则是排 列；如果与顺序无关，则 是组合.【正解】8 个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这 3 个红 球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有： 563 8 C 排 法. 易错点 3：重复计算出错 【例 3】某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一 人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（ ）种. （A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630 【错解】第一个人先挑选 2 天，第二个人再挑选 2 天，剩下的 3 天 给第三个人，这三个人再进行全排列.共有： 12603 3 2 5 2 7 ACC ， 选 B. 【错因】这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二， 第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周 四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计 算了. 知识点：对于整体均分问 题，往往是先分组再排列， 在解题时要注意分组后， 不管它们的顺序如何，都 是一种情况，所以分组后 一定要除以 Ann(n 为均分的 组数)，避免重复计数. 【正解】 6302 3 3 2 5 2 7 ACC 种. 易错点 4：遗漏计算出错 【例 4】 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比 1000 大的 奇数共有（ ） （A）36 个 （B）48 个 （C）66 个 （D）72 个 【错解】如右图，最后一位只能是 1 或 3 有两种取法，又因为第 1 位不能是 0，在最后一位取定后只有 3 种取法，剩下 3 个数排中间 两个位置有 2 3A 种排法，共有 3632 2 3  A 个. 【错因】误解只考虑了四位数的情况，而比 1000 大的奇数还可能是 五位数. 0 1，3 知识点：分类要做到“不重 不漏”，分类后再分别对 每一类进行计数，最后用 分类加法计数原理求和， 得到总数. 【正解】任一个五位的奇数都符合要求，共有 3632 3 3  A 个， 再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有 72 个，选 D. 易错点 5：未考虑特殊情况出错 【例5】现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币 各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值 种数是（ ） (A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 【错解】因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况， 减去全不取的1种情况，共有 10231210  种. 【错因】这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种 情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况. 知识点：解决排列、组合问 题特殊元素优先安排。即 先安排有限制条件的元素 或有限制条件的位置，对 于分类过多的问题可以采 用间接法. 【正解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人 民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有 15351329  种. 易错点 6：混淆二项式系数和项的系数 【例 7】已知 n x x ) 2 1(  的展开式中前三项的系数成等差数列，则 n 的取值所构成的集合为 . 【 错 解 】 由 已 知 条 件 可 得 2012 nnn CCC  ， 化 简 可 得 0252  nn ，此方程无整数解，故没有满足条件的 n 值 【错因】审题不清，没有弄清二项式系数和项的系数的区别. 知识点：二项式系数与项的 系数是完全不同的两个概 念.二项式系数是指 C0n， C1n，…，Cnn，它只与各项 的项数有关，而与 a，b 的 值无关；而项的系数是指 该项中除变量外的常数部 分，它不仅与各项的项数 有关，而且也与 a，b 的值 有关. 【正解】由题设，可得 120 2 124 1 nnn CCC  ，即 ，0892  nn 解 得 18  nn ， （舍去）,故答案为 }8{ 易错点 8：混淆二项式最大项与展开式系数最大项 【例 8】已知 n xx )2( 2 的展开式中，第五项的系数与第三项的系 数之比为 10：1，求展开式中系数最大的项. 【错解】由题意知第五项系数为 44 2nC ，第三项系数为 22 2nC ，则 有 1 10 2 2 22 44   n n C C ，所以 8n 所以系数最大的项为 65 11120 xT  . 【错因】错误的认为展开式中的二项式系数最大项就是展开式中系 数的最大项，混淆了两个概念. 知识点：二项展开式系数最 大 项 的 求 法 ： 如 求 (a ＋ bx)n(a，b∈R)的展开式系 数最大的项，一般是采用 待定系数法，设展开式各 项系数分别为 A1，A2，…， An＋1，且第 k 项系数最大， 应用 Ak≥Ak－1， Ak≥Ak＋1， 从而解出 k 来，即得. 【正解】由题意知第五项系数为 44 2nC ，第三项系数为 22 2nC ，则 有 1 10 2 2 22 44   n n C C ，所以 8n 设第r+1项的系数绝对值最大，则有        11 88 11 88 22 22 rrrr rrrr CC CC ，解得 5 ≤r≤6， 故系数最大的项T6＝T7＝1792x﹣11 考场必记内容 1.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定 义 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n，m，n∈N*)个元素的 所有不同排列的个数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n，m，n∈ N*)个元素的所有不同组合的个数 公 式 A mn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m ＋1)＝ n！ n－m！ Cmn ＝Amn Amm ＝nn－1n－2…n－m＋1 m！ 性 质 Ann＝n！，0！＝1 C0n＝1，Cmn ＝Cn－mn ，Cmn ＋Cm－1n ＝Cmn＋1 2.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第 r＋1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C0n，C1n，…，Cnn. 3.二项式系数的性质 4.各二项式系数和 (1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝ 2n－1. 考场技法 1.完成一件事可以有 n 类不同方案，各类方案相互独立，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法……在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法.那么，完成这件事共有 N＝ m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法. 2.完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同 的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么，完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法. 3.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4) 相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直 排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件. 4.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值都成立.因此，可将 x，y 设定为一些特殊的值. 在使用赋值法时，令 x，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1 或 0”，有时也取其他值. 如： (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 x＝1 即 可. (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可. 5.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)的展开式中 (1)各项系数之和为 f(1). (2)奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－1 2 . (3)偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－1 2 .