第一章 集合与常用逻辑用语-【高效复习】2021年高考数学复习之易错点拨

------------------------------- 易错题·典例正误辨析------------------------------- 易错点 1：忽视集合元素的互异性致错 已知集合 A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且 A∩B ＝{3,7}，求集合 B. 【错解】由 A∩B＝{3,7}得 a2＋4a＋2＝7， 解得 a＝1 或 a＝－5. 当 a＝1 时，集合 B＝{0,7,3,1}； 当 a＝－5 时，集合 B＝{0,7,3}． 综上知集合 B＝{0,7,3,1}或 B＝{0,7,3}． 【错因】由题设条件知集合 B 中有四个元素，集合中出现了相同的 元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解． 知识点：进行集合运算时，根 据集合中元素的确定性，可以 解出字母的所有可能取值，但 要时刻关注集合中元素的三 个特性，尤其是互异性，解题 后要注意进行检验． 【正解】应将当 a＝－5 时的集合 B＝{0,7,3}舍去，故集合 B＝ {0,7,3,1}． 【答案】{0,7,3,1} 易错点 2：忽视空集致错 已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A， 求实数 m 的取值范围． 【错解】由 B⊆A，得 m＋1≥－2， 2m－1≤5， m＋1≤2m－1， 解得 2≤m≤3. 【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法． 原因是考虑不全面，由集合 B 的含义及 B⊆A，忽略了集合为∅的可 能而漏掉解．因此题目若 知识点：利用集合的包含关 系，求参数，此类问题一定要 注意“空集”的情况，因为空集 是任何集合的子集． 【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且 B⊆A. ①若 B＝∅，则 m＋1>2m－1，解得 m0，反之也成立，所以 p 是 q 的充要条件． 【错因】判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判 断，以防判断出现错误． 知识点：判断条件之间的关 系要注意条件之间关系的 方向，正确理解“p 的一 个充分而不必要条件是 q”等语言，要注意特殊情况 的判断. 【正解】若向量 a 与向量 b 夹角θ为锐角，则 cos θ＝ a·b |a||b|>0⇒a·b>0； 而 a·b>0 时，θ＝0°也成立，但此时 a 与 b 夹角不为锐角．故 p 是 q 的充分不必要条件． 【答案】充分不必要 考场必记内容 1.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为 U，则集合 A 的补集 为∁UA❹ 图形表示 意义 {x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x∉A} 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p ⇒ q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p ⇒ q 且 q p p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q ⇒ p p 是 q 的充要条件 p ⇔ q p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p 3.全称命题和特称命题 名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对 M 中的任意一个 x，有 p(x) 成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0) 成立 简记 ∀ x∈M，p(x) ∃ x0∈M，p(x0) 否定 ∃ x0∈M，p(x0) ∀ x∈M，p(x) 考场技法 1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个. 2.子集的传递性：A ⊆ B，B ⊆ C ⇒ A ⊆ C. 3.A ⊆ B ⇔ A∩B＝A ⇔ A∪B＝B ⇔ ∁UA ⊇ ∁UB. 4. ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 5.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命 题的结论. 6.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与綈 p→ 真假相反.