高考冲刺 专题 11 圆锥曲线中的范围和最值问题
1．如图，椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左顶点为 A ，离心率为 1
2
，长轴长为 4，椭圆C 和抛物线
2: 2 0F y px p 有相同的焦点，直线 : 0l x y m 与椭圆交于 M ，N 两点，与抛物线交于 P ，Q
两点．
（1）求抛物线 F 的方程；
（2）若点 D ， E 满足 AD AM AN ， AE AP AQ ，求 AD AE 的取值范围．
【答案】（1） 2 4y x ；（2） 144 96 7,487 7AD AE
．
【分析】
（1）根据题意可得 2a ， 1c ，再根据 12
p 即可求解.
（2）将直线 : 0l x y m 与椭圆方程联立，设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，利用韦达定理可得
8 64 ,7 7
m mAD
，再将直线 : 0l x y m 与抛物线方程联立设 3 3,P x y ， 4 4,Q x y ，利用韦达
定理可得 8 2 ,4AE m ，再由从而可得 216 96 327 7AD AE m m ，配方即可求解.
【详解】
（1）因为椭圆C 的离心率为 1
2
，长轴长为 4，
2 4
1
2
a
c
a
，
，，所以 2a ， 1c ，
因为椭圆 C 和抛物线 F 有相同的焦点，所以 12
p ，即 2p ，
所以抛物线 F 的方程为 2 4y x ．
（2）由（1）知椭圆
2 2
: 14 3
x yC ，
由
2 2
14 3
0
x y
x y m
，
，
得 2 27 8 4 12 0x mx m ，
2 2
1 64 4 7 4 12 0m m ，得 2 7m ， 7 7m ．
设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
则 1 2
8
7
mx x ，
所以 1 2 1 2
62 7
my y x x m ．
易知 2,0A ，所以 1 2 1 2
8 64, 4 ,7 7
m mAD AM AN x x y y
．
由
2 4
0
y x
x y m
，
，得 2 22 4 0x m x m ．
2 2
2 2 4 4 0m m ，得 1m ．
设 3 3,P x y ， 4 4,Q x y ，
则 3 4 4 2x x m ，
所以 3 4 3 4 2 4y y x x m ，
所以 3 4 3 44, 8 2 ,4AE AP AQ x x y y m ．
所以 8 64 , 8 2 ,47 7
m mAD AE m
28 6 16 964 8 2 4 327 7 7 7
m mm m m
， 7 1m ，
易知函数 216 96 327 7y m m 在 7,1m 上单调递减，
所以 144 96 7,487 7AD AE
．
【点睛】
方法点睛：求解圆锥曲线中最值或范围问题的一般方法：一是建立关系，二是求最值或范围，即先由题设
条件建立关于所求目标的函数关系式，再对目标函数求最值，如本题中需先将直线方程分别与椭圆、抛物
线方程联立，利用根与系数的关系将 AD
，AE
用 m 表示出来，再结合 m 的范围及函数的单调性求 AD AE
的取值范围．
2．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，椭圆上的点到焦点 1F 的距离的最小
值为 5 1 ，以椭圆 E 的短轴为直径的圆过点 2,0 ．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若过 2F 的直线交椭圆 E 于 A 、 B 两点，过 1F 的直线交椭圆 E 于C ，D 两点，且 AB CD ，求四边
形 ACBD 面积的取值范围．
【答案】（1）
2 2
15 4
x y ；（2） 640 ,881
.
【分析】
（1）根据题意 2b ， 5 1a c 结合 2 2 2a b c ， 即可求得 ,a b 的值，进而可得椭圆 E 的标准方程；
（2）分别讨论 AB x 轴、 CD x 轴时分别计算四边形 ACBD 面积，当 AB 和 CD 都不与 x 轴垂直时，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，以及直线 AB 的方程，联立直线与椭圆的方程得出 1 2x x 、 1 2x x ，利用弦长公
式计算 AB ，同理求出 CD ，四边形 ACBD 面积为
1
2S AB CD ，利用换元法和配方法求最值即可.
【详解】
解：（1）由题意知， 2b ， 5 1a c ，
又 2 2 2a b c ，解得 5a ， 1c ，
所以椭圆的标准方程为
2 2
15 4
x y ．
（2）设四边形 ACBD 面积为S，则 1
2S AB CD ，
①当 AB x 轴时，
22bAB a
， 2CD a ，所以
2
21 2 2 2 82
bS a ba
，
②当CD x 轴时，
22bCD a
， 2AB a ，所以
2
21 22 2 82
bS a ba
，
③当 AB 和CD 都不与 x 轴垂直时，直线 AB 斜率存在且不为 0，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
直线 AB 斜率为 k ，则直线 CD 斜率为 1
k
，
: 1ABl y k x ，联立方程
2 2
1
15 4
y k x
x y
，消去 y 得：
2 2 2 25 4 10 5 20 0k x k x k ，
2 2 2 22
10 4 5 54 20 320 01k k k k ，
2
1 2 2
10
5 4
kx x k
， 21
2
2
20
4
5
5
kx x k
，
所以 2 2
2 2
1 2 2 2
320 81 15
5 41 5 41
k
AB k k kx
k
kx
，（*）
过 2F 做直线 CD 的平行线和椭圆 E 交于点 1C ， 1D ，
由对称性知 1 1C D CD ，
在（*）中把 k 换成 1
k
，得 22
1 1 2
2
18 5 1 8 5 1
5 4 54
kkC D k
k
，
所以 2
2
8 5 1
4 5
k
CD k
，
所以
2 2 2
2 2 2 2
2
1 1 1
4
8 5 8 5 1601 1
2 2 5 4 5 45 4 5
S
k k k
k k
D kAB C
k
，
令 2 1k t ，则 1t ，所以
2 2
22
160 160 160
5 1 4 1 20 1 1 1 20
t tS t t t t
t t
，
令1 ut
，则 0,1u ，所以 22
160 160
20 1 81
2 4
S u u u
，
因为
21 81 8120,2 4 4u
，所以 640 ,881S
．
综上所述：四边形 ACBD 面积取值范围是 640 ,881
．
【点睛】
方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先
建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
3．已知点 A，B 在椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上，点 A 在第一象限，O 为坐标原点，且OA AB .
（1）若 3, 1a b ，直线 OA 的方程为 3 0x y ，求直线OB 的斜率；
（2）若 OAB 是等腰三角形(点 O，A，B 按顺时针排列)，求 b
a
的最大值.
【答案】（1） 1
12
；（2）最大值 5 1
2
.
【分析】
（1）根据已知条件求出点 B 坐标即可得结果；
（2）法 1：设 1 1 2 2 1 1 1 2, , , ,( 0, 0, )A x y B x y x y x x ，因为 OAB 是等腰直角三角形得两坐标点关
系，分别代入椭圆方程得一元二次方程有解，故判别式大于或等于零，化简求得 b
a
不等式，即可求得最大
值；法 2：设直线 OA 的斜率为 ( 0)k k ，因为 OAB 是等腰直角三角形且OA AB ，所以直线OB 的斜
率为 tan 45OBk 或 tan 135OBk ，故用 ,OA OB 两直线分别联立椭圆方程解得 ,A B 坐标，
由 2OB OA 列方程求得 ,a b 关系即可求结果.
【详解】
（1）由 3a ， 1b ，得椭圆方程为
2
2 13
x y .
由
2
2 1,3
3 0,
x y
x y
得
3 ,2
1
2
x
y
或
3 ,2
1 .2
x
y
因为点 A 在第一象限，所以 3 1,2 2A
.
又OA AB ，
所以直线 AB 的方程为 1 332 2y x
，即 3 5 0x y .
由
2
2 1,3
3 5 0,
x y
x y
得
12 ,7
1
7
x
y
或
3 ,2
1 ,2
x
y
所以 12 1,7 7B
，
所以直线 OB 的斜率为
1
17
12 12
7
OBk
.
（2）法 1：设直线 OA 的斜率为 ( 0)k k ，则直线 AB 的斜率为 1
k
.
因为 OAB 是等腰直角三角形(点 O，A，B 按顺时针排列)，
所以设 1 1 2 2 1 1 1 2, , , ,( 0, 0, )A x y B x y x y x x .
又OA AB ，所以 2 22 2
1 1 1 2 1 2x y x x y y ，
得
2
1 1 22
1 11 1y x xk k
.
所以 1 2 1y x x ，即 2 1 1x x y .
又由 OA AB ，得 1 2 1
1 2 1
1y y y
x x x
，所以 2 1 1y y x .
因为点 1 1,A x y ， 1 1 1 1,B x y y x 在椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
上，
所以
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1 1 1
2 2
1,
1,
x y
a b
x y y x
a b
所以 2 22 2
1 1 1 11 1
2 2 2 2
x y y xx y
a b a b
.
整理得
2
2 2 2 21 1
1 1
2 0y yb a b ax x
.
所以 22 2 2 24 4 0a b a b
，即 2 2 2 2 0a b ab a b ab
.
因为 2 2 0a b ab ，
所以 2 2 0a b ab
，即
2
1 0b b
a a
，
所以 5 1
2
b
a
，
当 2 2 2
1
2 2
1
2 5 112 2
a by ak x b b
时， b
a
取最大值 5 1
2
.
法 2：设直线 OA 的斜率为 ( 0)k k ，倾斜角为 0 90 .
因为 OAB 是等腰直角三角形(点 O，A，B 按顺时针排列)，且OA AB ，
所以直线 OB 的斜率为 tan 45OBk 或 tan 135OBk .
所以 1
1OB
kk k
.
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 1 1 1 20, 0,x y x x .
由 2 2
2 2
,
1,
y kx
x y
a b
得
2 2
2
1 2 2 2
a bx b a k
.
由 2 2
2 2
1 ,1
1,
ky xk
x y
a b
得
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
(1 )
(1 ) (1 )1
1
a b a b kx b k a kkb a k
.
又 2OB OA ，所以 2 22OA OB ，得
2
2 2 2
1 2
12 1 1 1
kk x xk
，
22 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 (1 )2 1 1 1 (1 ) ( 1)
a b k a b kk b a k k b k a k
.
整理得 2 2 2 2 22 0b k b a k a ，
所以 22 2 2 24 4 0b a a b
，即 22 2 2 2 0a b a b
，
所以 2 2 2 2 0a b ab a b ab
.
因为 2 2 0a b ab ，
所以 2 2 0a b ab
，即
2
1 0b b
a a
，
所以 5 1
2
b
a
，
当 2 2 2
2 2
2 5 112 2
b a ak b b
时， b
a
取最大值 5 1
2
.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
4．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率 1
2e ，且经过点 31, 2
，点 1 2,F F 为椭圆 C 的左、右焦点．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）过点 1F 分别作两条互相垂直的直线 1 2,l l ，且 1l 与椭圆交于不同两点 2, ,A B l 与直线 1x 交于点 P．若
1 1AF FB ，且点 Q 满足QA QB ，求 1PQF△ 面积的最小值．
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）6.
【分析】
（1）根据椭圆的离心率为 1
2e ，可得
2
2
3
4
b
a
，再将点 31, 2
代入椭圆方程可得 2 2
1 9 14a b
，解出 2 2,a b
可得答案.
（2）设直线 1 : 1l x my ，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出 1QF 的长度，得出
直线 2l 的方程为： 1 1x ym
与直线 1x 求出点 P 坐标，得出 1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最
值.
【详解】
解析：（1）由题意，得
2
2
2
2 2
11 4
9
1 4 1
be a
a b
，解得： 2 24, 3a b ，所以椭圆的方程为
2 2
14 3
x y ．
（2）由（1）可得 1 1,0F ,若直线 1l 的斜率为 0，则 2l 的方程为： 1x 与直线 1x 无交点，不满足条件.
设直线 1 : 1l x my ，若 0m ，则 1 则不满足QA QB ，所以 0m
设 1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y Q x y ，
由
2 23 4 12
1
x y
x my
，得： 2 23 4 6 9 0m y my ，
1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
my y y ym m
，
因为 1 1AF F B
QA QB
，即
1 1 2 2
1 0 1 0 2 0 2 0
1 , 1,
, ,
x y x y
x x y y x x y y
则 1 2y y ， 1 0 2 0y y y y
所以 1 01
2 2 0
y yy
y y y
，解得 1 2
0
1 2
2 3y yy y y m
．
于是 2
1
31FQ m m
．
直线 2l 的方程为： 1 1x ym
联立
1 1
1
x ym
x
，解得 (1 2 )P m， ，所以 2
1 2 1PF m ．
所以
1
2
1 1
3 11 13 62PQF
m
S FQ F P mm m
，
当且仅当 1m 时， 1 min
6PQFS ．
【点睛】
关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出
1 2
0
1 2
2 3y yy y y m
，进而求出点的坐标，得到 1QF 的长度，从而表示出三角形的面积，属于中档题.
5．已知椭圆
2
2
1 : 14
xC y 与双曲线
2 2
2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b
有共同的焦点 1F ， 2F 且双曲线的实轴
长为 2 2 .
（1）求双曲线 2C 的标准方程；
（2）若曲线 1C 与 2C 在第一象限的交点为 P ，求证： 1 2 90F PF .
（3）过右焦点 2F 的直线l 与双曲线 2C 的右支相交于的 A，B 两点，与椭圆 1C 交于C ，D 两点.记 AOB ，
COD△ 的面积分别为 1S ， 2S ，求 1
2
S
S 的最小值.
【答案】（1）
2
2 12
x y ；（2）证明见解析；（3）最小值为 2 .
【分析】
（1）解方程组
2 2 3
2 2 2
a b
a
求得 ,a b 的值，即可求双曲线 2C 的标准方程；
（2）联立曲线 1C 与 2C 的方程，求得在第一象限的交点为 P 的坐标，可得 1 2,F P F P
的坐标，利用
1 2 0F P F P 可得结论.
（3）斜率不存在时，直接求出面积比，斜率存在时，设出直线方程，分别与椭圆、双曲线方程联立，利用
韦达定理、结合弦长公式与三角形面积公式可得
2
1
22
2
2 2 1 4 1 32 2,2 124 2 1
kABS
S CD kk
，进而可得答案.
【详解】
（1）因为椭圆
2
2
1 : 14
xC y 与双曲线
2 2
2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b
有共同的焦点 1F ， 2F ，且双曲线的
实轴长为 2 2 ，所以
2 2 3
2 2 2
a b
a
解之得 2
1
a
b
双曲线 2C 的标准方程为
2
2 12
x y
（2）联立方程组
2
2
2
2
14
12
x y
x y
解之得
2 6
3
3
3
x
y
所以点 2 6 3,3 3P
1 3,0F ， 2 3,0F
1
2 6 3 3 3,3 3F P
， 2
2 6 3 3 3,3 3F P
1 2
24 27 1 09 3F P F P ，∴ 1 2 90F PF
（3）当直线l 的斜率不存在时，
2AB ， 1CD ，此时 1
2
2ABS
S CD
当直线l 的斜率存在时，设方程为 3y k x
代入椭圆方程得 2 2 2 21 4 8 3 12 4 0k x k x k ，
2 2
1 2 1 22 2
8 3 12 4,1 4 1 4
k kx x x xk k
由弦长公式得 2
22
1 2 1 2 2
4 1
1 4 1 4
k
k x x x x kCD
把直线方程 3y k x 代入双曲线方程得
2 2 2 21 2 4 3 6 2 0k x k x k
2 2
1 2 1 22 2
4 3 6 2,1 2 1 2
k kx x x xk k
由弦长公式得 2
22
1 2 1 2 2
2 2 1
1 4 2 1
k
k x x x x kAB
因为直线l 与双曲线 2C 的右支相交于的 A， B 两点，
所以
2
2
2
2
2
2
1 2 0
0
4 3 101 2 2
6 2 01 2
k
k kk
k
k
设原点到直线l 的距离为 d ，
∴
2
1
22
2
2 2 1 4 1 32 2,2 124 2
1
2
1
2
1
dAB kABS
S CD kd kCD
综上可知， 1
2
S
S 的最小值为 2 .
【点睛】
求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于 , ,a b c 的方程组，解出 , ,a b ，从而写出双曲
线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与双曲线方程联立，
消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，
往往会更简单
6．已知双曲线
2 2
2 2 1( )0 0ax y
a b b ， ，O 为坐标原点，离心率 2e ，点 5 3M ， 在双曲线上．
（1）求双曲线的方程;
（2）如图，若直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 Q，P，且 0OP OQ ，求 2 2| |OP OQ 的最小
值．
【答案】（1） 2 23 12x y ；（2）24.
【分析】
（1）由条件可知 2c
a
，再代入点求双曲线方程；（2）设直线 OP 的方程为 0y kx k ，则直线 OQ 的
方程为 1 y xk
，与双曲线方程联立，求点 P 的坐标，并求 2OP ，再将 k 换为 1
k
求 2OQ ，利用
2 2
1 1
| | | |OP OQ
是定值，求 2 2| |OP OQ 的最小值再表示
【详解】
1 因为 2ce a
，所以 2c a ， 2 2 2 23b c a a ．
所以双曲线的方程为
2 2
2 2 13
x y
a a
，即 2 2 23 3x y a ．
因为点 5 3M ， 在双曲线上，所以 215 3 3a ，所以 2 4a ．
所以所求双曲线的方程为 2 23 12x y ．
2 设直线 OP 的方程为 0y kx k ，则直线 OQ 的方程为 1 y xk
，
由
2 23 12x y
y kx
，得
2
2
2
2
2
12
3
12
3
x k
ky k
，
所以 2
2 2 2
2
12 1
| | 3
k
OP x y k
．
同理可得， 22
2
2
2
112 1 12 1
| | 1 3 13
kkOQ k
k
，
所以
2 2 2
2 2 2 2
3 3 11 1 2 2 1
| | | | 612 1 12 1
k k k
OP OQ k k
．
设 2 2| |OP OQ t ，
则 2 2
2 2
1 1 2 ( ) ( ) 2 2 4| | | |
OQ OPt OP OQ OP OQ
，
所以
4 241
6
t ，即 2 2| | 24(OP OQ 当且仅当 2 3OP OQ 时取等号 ) ．
所以当 2 3OP OQ 时， 2 2| |OP OQ 取得最小值 24．
【点睛】
关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线 OP 和OQ 垂直，利用斜率的关系求 2OQ ，第二个关键是注意
隐含条件 2 2
1 1 1
| | | | 6OP OQ
7．双曲线 C 的一条渐近线方程是 x－2y＝0，且双曲线 C 过点( 2 2 ，1).
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）设双曲线 C 的左、右顶点分别是 A1，A2，P 为 C 上任意一点，直线 PA1，PA2 分别与直线 l：x＝1 交
于 M，N，求|MN|的最小值.
【答案】（1）
2
2 14
x y ；（2） 3 .
【分析】
（1）设出双曲线方程 x2－4y2＝k(k≠0)，将点代入即可求解.
（2）设直线 PA1，PA2 的斜率分别为 k1，k2(k1，k2＞0)，由（1）可得 k1k2＝ 1
4
，写出直线 PA1 的方程与 PA2
的方程，求出点 M，N，表示出|MN|，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由渐近线方程可设双曲线 C 的方程为 x2－4y2＝k(k≠0)，
把(2 2 ，1)代入可得 k＝4，所以双曲线 C 的方程为
2
4
x －y2＝1.
(2)由题易知，P 在右支上时|MN|取最小值.
由(1)可得 A1(－2,0)，A2(2,0)，设 P(x，y)，根据双曲线方程可得
2
y
x · 2
y
x
＝ 1
4
，
直线 PA1，PA2 的斜率分别为 k1，k2(k1，k2＞0)，则 k1k2＝ 1
4
，
PA1 的方程为 y＝k1(x＋2)，
令 x＝1，得 M(1,3k1)，
PA2 的方程为 y＝k2(x－2)，
令 x＝1，得 N(1，－k2)，
所以|MN|＝|3k1－(－k2)|＝3k1＋k2≥2 1 23k k ＝ 3 ，
当且仅当 3k1＝k2，即 k1＝ 3
6
，k2＝ 3
2
时，等号成立.
故|MN|的最小值为 3 .
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是求出 k1k2＝ 1
4
，再表示出|MN|，考查了运
算能力.
8．已知双曲线的中心在原点，焦点 1F ， 2F 在坐标轴上，离心率为 2 ，且过点 (4, 10) ，
（1）求双曲线的方程；
（2）若点 ,0M a 为 x 轴上一定点， P 为双曲线右支上一点，求线段 PM长的最小值.
【答案】（1） 2 2 6x y ；（2）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
（1）根据 2e 可设双曲线方程为 2 2 ( 0)x y ，然后将点 (4, 10) 代入求解即可；
（2）设 ( , )( 6)P x y x ， 2 2 2 2( ) 2 2 6( 6)PM x a y x ax a x ，然后分 2 6a 、
2 6a 两种情况讨论即可.
【详解】
（1）因为 2e ，则双曲线的实轴、虚轴相等
所以可设双曲线方程为 2 2 ( 0)x y
因为双曲线过点（4， 10 ），所以16 10 ＝ ，即 6
所以双曲线方程为 2 2 6x y
（2）设 ( , )( 6)P x y x ， 2 2 2 2( ) 2 2 6( 6)PM x a y x ax a x
令 2 2( ) 2 2 6f x x ax a
2
22( ) 62 2
a ax ( 6)x
①当 62
a 即 2 6a 时，当 6x 时， 2
min( ) ( 6 )f x a ， min 6PM a
②当 62
a 即 2 6a 时，当
2
ax 时，
2
min( ) 62
af x ，
2
min 62
aPM
【点睛】
本题考查的是双曲线标准方程的求法及双曲线中的最值问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
9．如图，点 0 0,P x y 在抛物线 2:C y x 外，过点 P 作抛物线C 的两切线，设两切点分别为 2
1 1,A x x 、
2
2 2,B x x ，记线段 AB 的中点为 M ．
（1）证明：线段 PM的中点 N 在抛物线C 上；
（2）设点 P 为圆 22: 2 1D x y 上的点，当 AB
PM
取最大值时，求点 P 的纵坐标．
【答案】（1）证明见解析；（2） 29 1
4
.
【分析】
（1）求出直线 PA 、 PB 的方程，联立这两条直线的方程，可求得点 P 的坐标，并求出点 M 的坐标，进一
步可求得线段 PM的中点 N 的坐标，然后将点 N 的坐标代入抛物线C 的方程即可证得结论成立；
（2）求出 AB
PM
关于 0y 的表达式，换元 04 1 11, 3t y ，利用基本不等式可求得当 AB
PM
取最大值
时对应的 0y 的值，即可得出结果.
【详解】
（1）设直线 PA 的方程为 2
1 1 1y x k x x ，
联立 2
1 1 1
2
y x k x x
y x
，可得 2 2
1 1 1 1 0x k x k x x ，
22 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 14 4 4 2 0k k x x x kx k x k ， 1 12k x ，
所以，直线 PA 的方程为 2
1 1 12y x x x x ，即 2
1 12y x x x ，
同理可知直线 PB 的方程为 2
2 22y x x x .
联立
2
1 1
2
2 2
2
2
y x x x
y x x x
，解得
1 2
1 2
2
x xx
y x x
，即点 1 2
1 2,2
x xP x x
，
线段 AB 的中点为
2 2
1 2 1 2,2 2
x x x xM
，
所以，线段 PM的中点为
2 2
1 2 1 1 2 22,2 4
x x x x x xN
，
因此，
22 2
1 1 2 2 1 22
4 2
x x x x x x
，因此，线段 PM的中点 N 在抛物线 C 上；
（2）由（1）知， 22 2 22 2
1 2 1 2 1 2 1 21AB x x x x x x x x ，
22 2
1 21 2
1 22 2
x xx xPM x x
，
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 12 2
4
x x x xAB x x x x
PM x x x x x x x x
22 2
0 0 00 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
4 1 41 4 1 4 1 42 44 4
x y yx x y
x y x y x y x y
0 0
2 2
0 00 0
4 1 4 14 4 5 31 2
y y
y yy y
，
令 04 1 11, 3t y ，则
0
22 2
0 0
4 1 16 16
295 3 29 185 11 1834 4
y t t
y y t ttt t t
，
所以，
16 164 429 2918 18
AB
PM t tt t
，
所以，当 29 0t tt
时，即当 29 11, 3t 时， AB
PM
取最大值，
此时 04 1 29y ，解得 0
29 1
4y ，
因此，当 AB
PM
取最大值时，点 P 的纵坐标为 29 1
4
.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
10．已知抛物线 21: 2C y x ，过不在 y 轴上的点 P 作 C 的两条切线 ,PA PB ，切点分别为 ,A B ．直线 AB
与 y 轴交于点 M，直线 PO （O 为坐标原点）与 AB 交于点 N，且 PN AB ．
（1）证明 M 是一个定点；
（2）求 | |
| |
PN
MN
的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 2 2 ．
【分析】
（1）利用导数的几何意义及点斜式方程求得直线 PA 和 PB 方程，可得直线 AB 的方程为 0 0y xx y ，由
直线 PO 的斜率为 0
0
y
x ，结合OP AB 可求得 0 1y ，即可得出定点；
（2）由点到直线的距离公式及两点之间的距离公式求得 2
2
| | 1
|
1
| PM
N
MN
PN
P
，利用基本不等式的性质即
可求得
2
2
PM
PN
的最大值，进而得出所求.
【详解】
解：（1）证明：设 0 0 0, , 0P x y x ，显然 0 0y ，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
由 21
2y x ，求导 y x ，
则直线 PA 的斜率 1k x ，直线 PA 的方程： 1 1 1y y x x x ，则 2
1 1 1y y x x x ，即 1 1y y x x ，
同理直线 PB 的方程： 2 2y y x x ，
∴由直线 ,PA PB 过切点 P，则 0 1 1 0 0 2 2 0,y y x x y y x x ，
则 A 和 B 的坐标满足 0 0y y xx ，
∴直线 AB 的方程为 0 0y xx y ，则直线 PO 的斜率为 0
0
y
x ，直线 AB 的斜率为 0x ，
由 PN AB ，即OP AB ， 0
0
0
1y xx
，则 0 1y ，
则直线 AB 的方程 0 1y xx ，
AB 与 y 轴的交点 M 是定点 (0,1) ；
（2）由（1） 0, 1P x ，则| |PN 为 P 到直线 0: 1 0AB xx y 的距离，
2
20 2 2
0 02
0
2
| | ,| | 0 ( 1 1) 4
1
x
PN PM x x
x
，
由
2
2 2 2
2
2 | | | | 1| | | | | | , | | | | | | 1
PN PNMN PM PN MN PM PN PM
PN
，
由
22 2 4 2 22
0 0 0 0 0
22 4 2 4 22 0 0 0 00
4 1 5 4| | 1| | 4 4 4 42
x x x x xPM
PN x x x xx
，
0 2
0
1 1 91 14 4 4 84x x
，当且仅当 2
0 2
0
4x x
，即 0 2x 时，取等号，
则 2
2
| | 1 1 | |2 2,9| | |181PM
PN
N
P
PN
N M
N
M
∣
的最小值 2 2 ．
【点睛】
关键点睛：本题考查抛物线中直线过定点问题，考查最值的求解，解题的关键是利用导数的几何意义及点
斜式方程求得直线 PA 和 PB 方程，得出直线 AB 的方程为 0 1y xx ，得出 2
2
| | 1
|
1
| PM
N
MN
PN
P
，用基
本不等式的性质即可求得
2
2
PM
PN
的最大值.
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点与椭圆：
2
2 12
x y 的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）记 (4,0)P ，若抛物线 C 上存在两点 B，D，使 PBD△ 为以 P 为顶点的等腰三角形，求直线 BD 的
斜率的取值范围．
【答案】（Ⅰ）方程为 2 4y x ，准线为 1x ；（Ⅱ） 2 2, ,2 2
【分析】
（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为 1,0 ，即可求出 p ，得出抛物线方程和准线；
（Ⅱ）设直线 BD 的方程为 y kx m ，联立直线与抛物线方程，可得 1km ，表示出 BD 中点 M ，由题
可得 PM BD ，由 1
PMk k
建立关系可求.
【详解】
（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为 1,0 ，
抛物线与椭圆右焦点重合， 12
p ，即 2p ，
故抛物线 C 的方程为 2 4y x ，准线为 1x ；
（Ⅱ）设直线 BD 的方程为 y kx m ，
联立直线与抛物线方程 2 4
y kx m
y x
，可得 2 2 22 4 0k x km x m ，
则 2 2 22 4 4 0km k m ，可得 1km ，
设 1 1 2 2, , ,B x y D x y ，
2
1 2 1 22 2
4 2 ,km mx x x xk k
，
设 BD 中点为 0 0,M x y ，则 1 2
0 2
2
2
x x kmx k
， 0 0
2y kx m k
，
PBD△ 为以 P 为顶点的等腰三角形，则 PM BD ，
则 2
2
2 0 2 1
2 2 44
PM
kkk km km k k
k
，整理可得 22 2km k ，
1km Q ，则 22 2 1k ，解得 2
2k 或 2
2k ，
故直线 BD 的斜率的取值范围为 2 2, ,2 2
.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 1 1A x y， ， 2 2B x y， ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 x （或 y ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 1 2 1 2,x x x x 形式；
（5）代入韦达定理求解.
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