高考冲刺 专题 12 圆锥曲线中的定值问题
1．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
长轴的两个端点分别为 ( 2,0), (2,0)A B ，离心率为 3
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）P 为椭圆C 上异于 ,A B 的动点，直线 ,AP PB 分别交直线 6x 于 ,M N 两点，连接 NA并延长交椭
圆C 于点Q .
（ⅰ）求证：直线 ,AP AN 的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断 , ,M B Q 三点是否共线，并说明理由.
【答案】（1）
2
2 14
x y ；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.
【分析】
（1）根据长轴的两个端点分别为 ( 2,0), (2,0)A B 和离心率为 3
2
，由 32, 2
ca e a
求解；
（2）（ⅰ）设 0 0( , )P x y ，则直线 AP 的斜率为 0
0 2
y
x ，直线 BP 的斜率为 0
0 2
y
x ，再由直线的交点，求得
点 N 的坐标，进而得到直线 AN 的斜率，然后结合
2
20
0 14
x y 运算即可；（ⅱ）设直线 AP 斜率为 k ，易
得 M 的坐标，再由（ⅰ）得到直线 AN 斜率为 1
2k
，写出直线 AN 的方程，与椭圆方程联立，求得Q 点
的坐标，再判断直线 BQk 与 BMk 是否相等即可.
【详解】
（1）由题意得 32, 2
ca e a
，
所以 2 2 23, 1 c b a c ，
所以椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y .
（2）（ⅰ）证明：设 0 0( , )P x y ，
因为 P 在椭圆C 上，所以
2
20
0 14
x y .
因为直线 AP 的斜率为 0
0 2
y
x ，直线 BP 的斜率为 0
0 2
y
x ，
所以直线 BP 的方程为 0
0
( 2)2
yy xx
.
所以 N 点的坐标为 0
0
8( 6, )2
yN x
.
所以直线 AN 的斜率为
0
0 0
0
8
2 2
6 2 2
y
x y
x
.
所以直线 ,AP AN 的斜率之积为：
2
0
2
0 0 0
2 2
0 0 0 0
2 1 42 2 1
2 2 4 4 2
x
y y y
x x x x
.
（ⅱ） , ,M B Q 三点共线.
设直线 AP 斜率为 k ，易得 ( 6, 4 )M k .
由（ⅰ）可知直线 AN 斜率为 1
2k
，所以直线 AN 的方程为 1 ( 2)2y xk
.
联立
2 24 4 0,
2 2,
x y
x ky
可得 2 2(4 4 ) 8 0k y ky .
解得 Q 点的纵坐标为 2
2
1
k
k
，
所以 Q 点的坐标为
2
2 2
2 2 2( , )1 1
k kQ k k
.
所以，直线 BQ 的斜率为
2
2
2
2 01
2 2 221
k
kk
k
k
，直线 BM 的斜率为 4 0
6 2 2
k k .
因为直线 BQ 的斜率等于直线 BM 的斜率，
所以 , ,M B Q 三点共线.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接
推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2．如图，已知椭圆C ：
2
2
2 1 1x y aa
的左焦点为 F ，直线 0y kx k 与椭圆C 交于 A ， B 两点，
且 0FA FB 时， 3
3k .
（1）求 a 的值；
（2）设线段 AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于 D ，E 两点，当 k 变化时，直线 DE 与直线 AB 的斜率之
比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1） 3 ；（2）为定值 5.
【分析】
（1）联立直线与椭圆方程，得
2
2
0 2 2 1
ax k a
，
2 2
2
0 2 2 1
k ay k a
，由题意再将 0FA FB 坐标化，得到
2 2 2
0 0 1x y a ，将 2
0x ， 2
0y ， 3
3k 代入得到 a .
（2）设直线 AD 方程，代入椭圆C ，利用韦达定理及直线斜率的关系，求得 D 坐标及 E 坐标，代入斜率
公式求得直线 DE 的斜率，可得结论.
【详解】
（1）设 0 0,A x y ，则 0 0,B x y ，由题意得焦点为 2 1,0F a
所以， 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 01, 1, 1FA FB x a y x a y x y a
uur uur
.
当 0FA FB 时，有 2 2 2
0 0 1x y a .
联立 2
2
2
,
1,
y kx
x ya
得
2
2
0 2 2 1
ax k a
，
2 2
2
0 2 2 1
k ay k a
，从而
2 2 2
2
2 2 2 2 11 1
a k a ak a k a
.
将 3
3k 代入，得
2
2
2
4 13
a aa
，
所以 2 3 1a a ，故 3a .
（2）由（1）知， 2,0F ，椭圆C ：
2
2 13
x y .
设 AD ： 0
0
2 2xx yy
，代入椭圆C ： 2 23 3x y ，
得
2
0 02
2
0 0
2 2 2 2
3 1 0
x x
y yy y
.
而 2 2
0 03 3x y ，即 2 2
0 0 0 05 2 2 2 2 2 0x y x y y y ，
从而 0
05 2 2D
yy
x
.
同理 BE ： 0
0
2 2xx yy
， 0
05 2 2E
yy
x
.
从而 02 2
5
E D
E D
xy y
y y
.
于是
0
000 0
0 00 0
1 5 5
2 2 2
E D E D
DE
E D E D
E D
E D
yy y y yk kx x xx y yx xy y y y y yy y
.
所以 DE ， BC 的斜率之比为定值 5.
【点睛】
方法点睛：第二问设而求点法：当直线与曲线的两个交点坐标中，已知一个点的坐标，求另一点坐标时，
常用此方法.
3．已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左焦点为 F ，点 61, 2M
在椭圆C 上，且椭圆C 上存在点 N
与点 F 关于直线 y x 对称．
（1）求椭圆C 的标准方程．
（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，点 A ， B 是 x 轴上关于原点对称的两点，且点 A ， B 在直线l 上
的射影分别为 P ，Q ，判断是否存在点 A ， B ，使得 AP BQ 为定值，若存在，求出 A ， B 的坐标及该
定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
2 2
14 2
x y ；（2），存在点 2,0A ， 2,0B 或 2,0A ， 2,0B ，使得 AP BQ
为定值，该定值为 2．
【分析】
（1）依题意可得点 61, 2M
， 0,N c 在椭圆上，代入得到方程组，解得即可；
（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为 y kx m ，联立直线与椭圆方程，消元，根据 0 ，得到 ,k m
的关系，设 ,0 0A t t ，则 ,0B t ，求出点到直线的距离 AP 、 BQ ，即可得到 AP BQ 为定值
时t 的值，再计算斜率不存在时 AP BQ 也为定值；
【详解】
解：（1）因为点 61, 2M
在椭圆 C 上，所以 2 2
1 12
3
a b
．
由题意知 ,0F c ，因为点 N 与点 F 关于直线 y x 对称，所以点 N 的坐标为 0,N c ，
代入椭圆 C 的方程，得
2
2 1c
b
，即
2 2
2 1a b
b
，所以 2 22a b ，
与 2 2
1 12
3
a b
联立并求解，得 2 4a ， 2 2b ，
所以椭圆 C 的标准方程为
2 2
14 2
x y ．
（2）存在点 A ， B ，使得 AP BQ 为定值．
当直线l 的斜率存在时，设其方程为 y kx m ，
将 y kx m 代入
2 2
14 2
x y ，得 2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m ，
则 2 2 24 4 1 2 2 4 0km k m ，得 2 24 2m k ．
设 ,0 0A t t ，则 ,0B t ，点 ,0A t 到直线l 的距离
2 1
tk mAP
k
，
点 ,0B t 到直线l 的距离
2 1
tk mBQ
k
，
所以 2 22 2 2
2 2
4 2
1 1
t km t k
AP BQ k k
，
当 24 2t ，即 2t 时， 2AP BQ ，为定值，
所以存在点 2,0A ， 2,0B 或 2,0A ， 2,0B ，使得 2AP BQ ．
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 2x ，
2,0A ， 2,0B 或 2,0A ， 2,0B 均满足 2AP BQ ．
综上，存在点 2,0A ， 2,0B 或 2,0A ， 2,0B ，使得 AP BQ 为定值，该定值为 2．
【得解】
解决本题时，易忽略直线l 的斜率不存在的情况．一般地，解决关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，
只要题设条件没有给定直线的斜率，都要对直线分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论．当直线的斜
率存在时，按照常规的研究直线与圆锥曲线位置关系的方法求解；当直线的斜率不存在时，可以根据直线
的斜率存在时得到的结论，借助几何图形直观求解．
4．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率 2
2e ，过右焦点 ,0F c 的直线 y x c 与椭圆交于
A ， B 两点， A 在第一象限，且 2AF ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）在 x 轴上是否存在点 M ，满足对于过点 F 的任一直线l 与椭圆C 的两个交点 P ，Q ，都有 MP MQ
为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
2 2
118 9
x y ；（2）存在点 15,04M
，满足 MP MQ 为定值．.
【分析】
（1）根据题意得出
2 2 2
2
2
ce a
a b c
，及| | 2AF ，直线与椭圆联立解出 ,a b 即可得出椭圆方程；
（2）设出直线方程（要分类讨论），联立直线与椭圆，将向量的数量积用 1 2 1 2,y y y y 的形式表示，再利用
韦达定理整理并分析出得到定值的条件即可求解.
【详解】
（1）由 2
2e ，及 2 2 2a b c ，得 2 2a c b ，设椭圆方程为
2 2
2 2 12
x y
b b
，联立方程组
2 2 22 2x y b
y x b
得 23 4 0x bx ．则 4
3A
bx ，
所以 2 2 23A F
bAF x x ．所以 3b ．
所以椭圆 C 的方程为
2 2
118 9
x y ．
（2）当直线l 不与 x 轴重合时，设 : 3l x ny ，联立方程组
2 22 18
3
x y
x ny
得 2 22 6 9 0n y ny ．
设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ， ,0M t ，则有 1 2 2
6
2
ny y n
， 1 2 2
9
2y y n
．
于是 1 2 1 2 1 2 1 23 3MP MQ x t x t y y ny t ny t y y
2 22 2 2 2
1 2 1 2 2
11 3 3 9 1 6 3 3 22n y y n t y y t n n t t nn
2 22 2 2 2
2 2
6 27 3 2 3 9 18 2 12 9
2 2
t t n t t n t t
n n
，
若 MP MQ 为定值，则有 2 22 12 9 2 18t t t ，得12 45t ， 15
4t ．
此时 2 18MP MQ t ：当直线l 与 x 轴重合时， 3 2,0P ， 3 2,0Q ，
也有 2
1 2 3 2 3 2 18MP MQ x t x t t t t
．
综上，存在点 15,04M
，满足 MP MQ 为定值．
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 1 1P x y， ， 2 2Q x y， ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 x （或 y ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 1 2 1 2,x x x x （或 1 2 1 2,y y y y ）形式；
（5）代入韦达定理求解.
5．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右顶点分别为 A ， B ， E 为C 上不同于 A ， B 的动点，直
线 AE ， BE 的斜率 AEk ， BEk 满足 1
2AE BEk k ， AE BE 的最小值为-4.
（1）求C 的方程；
（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线 1l ， 2l 满足 1 //l AE ， 2 //l BE ，且 1l ， 2l 分别交 C 于 M ，N 和 P ，Q .
试判断四边形 MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）
2 2
18 4
x y ；（2）是定值，8 2 .
【分析】
（1）由 ( ,0), ( ,0)A a B a ，设 0 0,E x y ，可得
2
2AE BE
bk k a
，
2
2 2
02
cAE BE x ca
，结合已知列方程
求参数 a、b、c，写出椭圆方程即可；
（2）由椭圆对称性知： 4MPNQ OMPS S ，设 1l ， 2l 的斜率分别为 1k ， 2k ，由题设知 1 2
1
2k k ，讨论直
线 MP 的斜率，联立直线与椭圆方程，应用根与系数关系确定 MPNQS 是否为定值.
【详解】
（1）设 0 0,E x y ，则
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
，故 ( ,0), ( ,0)A a B a ，
∴
2
2 0
22 2
0 0 0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
AE BE
xb ay y y bk k x a x a x a x a a
，
又
2
2 2 0
0 0 0 0 0 21 xAE BE x a x a y x a x a b a
2
2 2 2
02
c x c ca
，
由题意知：
2
2
2
1
2
4
b
a
c
，解得
2
2
8
4
a
b
，
∴椭圆C 的方程为
2 2
18 4
x y .
（2）根据椭圆的对称性，可知OM ON ，OP OQ ，
∴四边形 MPNQ 为平行四边形，所以 4MPNQ OMPS S .
设 1l ， 2l 的斜率分别为 1k ， 2k ， 1 1,M x y ， 2 2,P x y ，则 1 1 1y k x ①， 2 2 2y k x ②.
又 1 //l AE ， 2 //l BE ，即 1 2
1
2AE BEk k k k .
当 MP 的斜率不存在时， 1 2y y ， 1 2x x .
由① ②，得 2 2 2
1 1 2 1 1
1
2y k k x x ，结合
2 2
1 1 18 4
x y ，解得 1 2x ， 1 2y .
∴ 1 1
14 4 2 8 22MPNQ OMPS S y x .
当 MP 的斜率存在时，设直线 MP 的方程为 y kx m ，
联立方程组得 2 2
18 4
y kx m
x y
，得 2 2 22 1 4 2 8 0k x kmx m ，则
2 2 2 2 2(4 ) 4 2 1 2 8 8 8 4 0km k m k m ，即 1 2 2
4
2 1
kmx x k
，
2
1 2 2
2 8
2 1
mx x k
.
∵ 2 2
1 2 1 21 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1
2
k x x km x x my y kx m kx mk k x x x x x x
，
∴
2
2 2
2 2
2
2
2 8 4
12 1 2 1
2 8 2
2 1
m kmk km mk k
m
k
，整理得： 2 24 2m k .
由直线 MP 过 (0, )m ，
2
1 2 1 2 1 2
14 4 | | 2| | 42MPNQ OMPS S m x x m x x x x
2 2 2 2
2 2 2
4 2 8 4 2 | | 8 42 | | 42 1 2 1 2 1
km m m k mm k k k
，
将 2 24 2m k 代入，整理得 8 2MPNQS .
综上，四边形 MPNQ 的面积为定值，且为8 2 .
【点睛】
关键点点睛：
（1）应用两点斜率公式、向量数量积的坐标表示，求 AE BEk k ， AE BE 关于椭圆参数的代数式，结合已
知条件列方程求参数，写出椭圆方程；
（2）利用椭圆的对称性，由直线与椭圆的位置关系，讨论直线斜率的存在性，结合直线与椭圆方程及根与
系数关系，求四边形的面积并判断是否为定值.
6．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的两个焦点分别为 1 2,F F ，点 3,1P 在椭圆上，且 1 2 90F PF .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）不过点 P 的直线与椭圆交于 ,A B 两点，且 OP 平分线段 AB （ O 为坐标原点）.设直线 ,PA PB 的斜
率分别为 1 2,k k ，试判断 1 2k k 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）
2 2
16 2
x y ；（Ⅱ）是， 1
3 .
【分析】
（Ⅰ）设点 1 2,0 , ,0F c F c ，根据 1 2 0PF PF 求出 2c ，再由 2 2 2a b c 即可求解.
（Ⅱ）设点 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，代入椭圆，利用点差法可得 1
3AB OPk k ，从而可得 3
3ABk ，设
直线 AB 的方程为 3
3y x t ，将直线与椭圆联立，利用韦达定理求出 1 2k k 为定值.
【详解】
（Ⅰ）设点 1 2,0 , ,0F c F c .
由 1 2 90F PF ，得 1 2 0PF PF ，
即 3, 1 3, 1 0c c ，解得 2c .
因为点 3,1P 在椭圆上，所以 2 2
3 1 1a b
.
又因为 2 2 2a b c ，所以 6, 2a b ，
所以椭圆的标准方程为
2 2
16 2
x y .
（Ⅱ）设点 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
因为点 ,A B 在椭圆上，
所以
2 2
1 1 16 2
x y ，
2 2
2 2 16 2
x y ，
两式相减变形后得 2 1 2 1
2 1 2 1
1
3
y y y y
x x x x
，
即 1
3AB OPk k ，解得 3
3ABk .
设直线 AB 的方程为 3
3y x t ，
联立方程组
2 2
3
3
3 6 0
y x t
x y
，
消去 y 后整理得 2 22 2 3 3 6 0x tx t ， 248 12 0t ，
1 2 3x x t ， 2
1 2
3 32x x t ，
则
1 2
1 2
1 2
1 1
3 3
y yk k
x x
2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 3 1 2 13 3
3 3
x x t x x t t
x x x x
2
2
2
1 3 33 1 3 2 13 2 3
3 3 3 3 32
t t t t t
t t
1= 3
，
所以 1 2k k 是定值，其值为 1
3 .
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用“点差法”求直线 AB 的斜率，求出直线
方程，考查了运算求解能力.
7．已知椭圆
2 2
2 2C: 1( 0)x y a ba b
的离心率为 1
2
，直线 1: 22l y x 与椭圆 C 有且仅有一个公共点
A ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及 A 点坐标；
（Ⅱ）设直线 l 与 x 轴交于点 B．过点 B 的直线与 C 交于 E，F 两点，记点 A 在 x 轴上的投影为 G，T 为
BG 的中点，直线 AE，AF 与 x 轴分别交于 M，N 两点．试探究| | | |TM TN 是否为定值?若为定值，求出
此定值；否则，请说明理由．
【答案】（1）
2 2 31, 1,4 3 2
x y A
；（2）| | | |TM TN 为定值 9
4
【分析】
（1）由题得，椭圆方程可表示为
2 2
2 2 14 3
x y
c c
，与直线 l 的方程联立，根据 0 得到 c 的值，即可求得
椭圆的方程，然后根据题意求出 A 点坐标即可；
（2）先求出点 B 和点T 的坐标，然后先讨论斜率 0EFk 时，| | |TM TN 为定值，然后讨论 0EFk 时，
设 EFl 的方程并与椭圆方程联立，表示出| |TM 和| |TN 的表达式，然后化简得到 9| | | | 4TM TN 为定值.
【详解】
（1）设椭圆C 的半焦距为 c ，则 1
2
c
a
，则 2 24a c ， 2 2 2 23b a c c ，
所以椭圆 C 的方程为：
2 2
2 2 14 3
x y
c c
，
将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得： 2 22 4 3 0x x c ,
所以 24 4 (4 3 ) 0c ，解得： 2 1c ，
所以 2 4a ， 2 3b ，故椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y ，
此时将 2 1c 代入 2 22 4 3 0x x c 得： 2 2 1 0x x ，
所以 1x ，此时 3
2y 。
所以 A 点坐标为 3(1, )2
；
（2）将 0y 直线 1 22y x 联立，得到 4x ，所以 (4,0)B 。
因为 31, 2A
， (4,0)B ，所以 5( ,0)2T ，
①当斜率 0EFk 时， ( 2,0)M ， (2,0)N 或 ( 2,0)N ， (2,0)M ，
9| | 2TM ， 1| | 2TN 或 9| | 2TN ， 1| | 2TM ，
此时有 9| | | | 4TM TN ，
②当斜率 0EFk 时，设 EFl ： 4x ny ，代入
2 2
14 3
x y 得：
2 2(3 4) 24 36 0n y ny ，设 1 1( , )E x y ， 2 2( , )F x y ，
所以 1 2 2
24
3 4
ny y n
， 1 2 2
36
3 4y y n
，
所以 AEl ： 1
1
3
3 2 ( 1)2 1
y
y xx
，则 1
1
3( 1)(1 ,0)2 3
xM y
，
1 1 1 1
1 1 1 1
3( 1) 3( 1) (6 6) 9 (2 2) 35 3 3| | 12 2 3 2 2 3 2(2 3) 2 2 3
x x n y n yTM y y y y
同理， 2
2
(2 2) 33| | 2 2 3
n yTN y
，
所以 1 2
1 2
(2 2) 3 (2 2) 39| | | | 4 2 3 2 3
n y n yTM TN y y
，
对分子：
2
2
1 2 1 2 1 2 2
9(3 16 20)(2 2) 3 (2 2) 3 (2 2) 3(2 2)( ) 9 3 4
n nn y n y n y y n y y n
对分母：
2
1 2 1 2 1 2 2
9(3 16 20)(2 3)(2 3) 4 6( ) 9 3 4
n ny y y y y y n
，
所以 9| | | | 4TM TN .
综上， 9| | | | 4TM TN 为定值.
【点睛】
易错点睛：容易忽视斜率 0EFk 的情况讨论，在对于 1 2
1 2
(2 2) 3 (2 2) 39| | | | 4 2 3 2 3
n y n yTM TN y y
的
化简也容易出错.
8．已知椭圆 E ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的焦距为 2 2 ，点 0,2P 关于直线 y x 的对称点在椭圆 E 上.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）如图，椭圆 E 的上、下顶点分别为 A ， B ，过点 P 的直线l 与椭圆 E 相交于两个不同的点C ， D .
求 COD△ 面积的最大值
②当 AD 与 BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）
2 2
14 2
x y ；（2）① 2 ；②是，1.
【分析】
（1）求出点 0,2P 关于直线 y x 的对称点，由椭圆的性质得出 ,a b ，进而得出椭圆 M 的方程；
(2) ①设直线l 的方程为 2y kx ， 1 1,C x y ， 2 2,D x y ，联立椭圆方程，表示出三角形的面积，利用
基本不等式求解面积的最大值；
②设出直线 AD ，直线 BC 的方程，联立两直线方程求出点 Q 的纵坐标
1 2 1 2 2 1
2 1 1 2
2 2 2 2 2
2 2
kx x x x x xy
x x x x
，利用韦达定理代入化简即可得出Q 的纵坐标是定值.
【详解】
解：（1）因为点 0,2P 关于直线 y x 的对称点为 2,0 ，
且 2,0 在椭圆 E 上，所以 2a ，
又 2 2 2c ，∴ 2c
则 2 2 2 4 2 2b a c ，
所以椭圆 E 的方程为
2 2
14 2
x y ；
（2）①设直线l 的方程为 2y kx ， 1 1,C x y ， 2 2,D x y ，
点O 到直线l 的距离为 d .
2 2
2
14 2
y kx
x y
消去 y 整理得： 2 21 2 8 4 0k x kx ，
由 0 ，可得 2 1
2k ，
且 1 2 2
8
1 2
kx x k
， 1 2 2
4
1 2x x k
∴
2
2
1 2 22
1 1 2 4 2 112 2 1 21COD
kS CD d k x x kk
△
设 22 1 0t k t ，则 2
4 4 4 222 2 2COD
tS t t t
△
当且仅当 2t 即 6
2k 时等号成立，
∴ COD△ 的面积的最大值为 2 ；
②由题意得， AD ： 2
2
2 2yy xx
， BC ： 1
1
2 2yy xx
，
联立方程组，消去 x 得
1 2 1 2 2 1
2 1 1 2
2 2 2 2 2
2 2
kx x x x x xy
x x x x
，
又∵ 1 2 2
8
1 2
kx x k
， 1 2 2
4
1 2x x k
，
解得
2 12
2 1 2
8 2 21= 182 2 1
k x xky kx x k
故点 Q 的纵坐标为定值 1.
【点睛】
关键点睛：在解决问题（2）第一小问时，会利用换元法结合基本不等式求解最值.
9．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左､右焦点分别为 1 2,F F ，点 (3,1)P 在 C 上，且 1 2 10PF PF .
（1）求 C 的方程；
（2）斜率为 3 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 B 关于原点的对称点为 D.若直线 ,PA PD 的斜率存在且
分别为 1 2,k k ，证明： 1 2k k 为定值.
【答案】（1）
2 2
18 8
x y ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由点的坐标求 c,再根据双曲线定义求 a,即可求解；
（2）设直线 l 方程为 3y x m ，直接求出 ,PA PD 的斜率，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，化
简即可求解.
【详解】
（1）设 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)( 0)F c c ，其中 2 2c a b .
因为 1 2 10PF PF ，所以 2 2(3 ) 1 (3 ) 1 10c c ，
解得 2 16c 或 0c = ，又 0c ，故 4c .
所以 2 22 (3 4) 1 (3 4) 1 4 2a ，即 2 2a .
所以 2 2 2 8b c a .
所以 C 的方程为
2 2
18 8
x y .
（2）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 2 2,D x y .
设直线 l 方程为 3y x m ，与双曲线 C 方程联立，
消去 y 得， 2 28 6 8 0x mx m .
由 2 2( 6 ) 32 8 0m m ，得| | 8m .
1 2
3
4
mx x ，
2
1 2
8
8
mx x .
所以
2
2
1 2 1 2 1 2 1 23 3 9 3 98
my y x m x m x x m x x m .
所以 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
3 3 3 3 9
y y y y y yk k x x x x x x
2
1 2
2
1 2
8 38 1
8 38
m x x
m x x
.
所以 1 2k k 为定值.
【点睛】
关键点点睛：设直线 l 方程为 3y x m ，联立直线与双曲线方程，消元，由韦达定理可得 1 2
3
4
mx x ，
2
1 2
8
8
mx x ，计算斜率 1 2k k 化简是解题关键，属于中档题.
10．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
过点 ( 4,6)A ，且 3b a ．
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）过点 ( 1,0)B 的直线l 交双曲C 于点 ,M N ，直线 ,MA NA分别交直线 1x 于点 ,P Q ．试判断 | |
| |
PB
BQ
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
2 2
14 12
x y ；（2） | | 1| |
PB
BQ
【分析】
（1）将点 ( 4,6)A ， 3b a 代入
2 2
2 2 1x y
a b
，求出 2a ，进一步得出 2b ，即求.
（2）设直线 MN 所在的直线方程，与双曲线方程联立，设出 ,M N 的坐标，写出 ,MA NA所在的直线方程，
求出 ,P Q 的纵坐标，结合根与系数的关系可得 P Qy y ，从让他可得 | | 1| |
P
Q
yPB
BQ y
.
【详解】
（1）将点 ( 4,6)A ， 3b a 代入
2 2
2 2 1x y
a b
，
可得 2 2
16 36 13a a
，解得 2 4a ，则 2 23 12b a ，
双曲线的方程为
2 2
14 12
x y .
（2）由题意可知，直线 MN 的斜率存在，
设直线 MN 的方程为 1y k x ，
联立
2 2
1
14 12
y k x
x y
，可得 2 2 2 23 2 12 0k x k x k ，
由 4 2 24 4 3 12 0k k k ，
解得 2 2k ，
设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
则
2
1 2 2
2
3
kx x k
，
2
1 2 2
12
3
kx x k
，
又点 4,6A ，
AM 的方程为 1
1
66 44
yy xx
，
令 1x ，得 1 1 1
1 1
3 6 6 3 664 4P
y x yy x x
1 1 1
1 1
6 3 1 6 3 6 1
4 4
x k x k x
x x
，
同理可得 2
2
3 6 1
4Q
k xy x
，
1 2
1 2
3 6 1 3 6 1
4 4P Q
k x k xy y x x
1 2 2 1
1 2
3 6 1 4 1 4
4 4
k x x x x
x x
1 2 2 1 1 2 1 21 4 1 4 2 5 8x x x x x x x x
2 2
2 2
2 24 10 83 3
k k
k k
2 2 2
2
2 24 10 24 8 03
k k k
k
，
0P Qy y ，即 P Qy y ，
| | 1| |
P
Q
yPB
BQ y
，
| |
| |
PB
BQ
为定值1.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了双曲线方程的求法，考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是利用韦达定
理得出 P Qy y ，考查了运算求解能力.
11．已知双曲线的方程 2 2: 2 1C x y ．
（1）求点 (0,1)P 到双曲线C 上的点的距离的最小值；
（2）已知直线 :l y kx t 与圆 2 2: 1M x y 相切
①求 k 和t 的关系
②若l 与双曲线C 交于 A 、B 两点，那么 AOB 是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1） 30
6
；（2）（i） 2 21t k ；（ii） AOB 为定值90 ．
【分析】
（1）设 ( , )Q a b 为双曲线上的点，代入双曲线的方程，结合两点的距离公式和二次函数的最值，可得最小
值；
（2）设直线l 的方程为 y kx t ，由直线和圆相切可得 2 21t k ，设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，联立双曲
线的方程，消去 y 可得 x 的二次方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得 AOB 为定值．
【详解】
解：（1）设 0 0,Q x y 为双曲线上的点，则 2 2
0 02 1 x y ，
则
2
22 2
0 0 0 0 0
3 3 3 2 5| | 1 22 2 2 3 6
PQ x y y y y ，
当 0
2
3y 时| |PQ 最小，且为 30
6
，
所以点 (0,1)P 到从曲线C 上点的距离的最小值为 30
6
；
（2）①设直线线l 的方程为 y kx t ，
由直线l 与圆相切，可得
2
| | 1
1
td
k
，即 2 21t k ，
②设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，联立得 2 2 2
2 2 2 2 1 02 1
y kx t k x ktx tx y
，
则
2 2
2
1 2 1 22 2 2
2 1 22 0, ,2 2 2
kt t kk x x x xk k k
，
所以 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 y y kx t kx t k x x kt x x t
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
k t k k t t k t t k k
k k k
，
所以
2 2
1 2 1 2 2 2
2 2 02 2
k kOA OB x x y y k k
，
所以 AOB 为定值90 ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用
韦达定理和向量的坐标运算，考查方程思想和运算能力、推理能力．
12．已知双曲线 C 过点 4, 3 ，且渐近线方程为 1
2y x ，直线 l 与曲线 C 交于点 M、N 两点.
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）若直线l 过点 1,0 ，问在 x 轴上是否存在定点 Q，使得QM QN 为常数？若存在，求出点坐标及此
常数的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
2
2 14
x y ；（2）存在； 23( ,0)8Q ； 273
64QM QN
.
【分析】
（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于 ,a b 的方程组，解之可得；
（2）设直线 l 的方程为 1x my ，设定点 ( ,0)Q t ，设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，直线方程代入双曲线方
程得应用韦达定理得 1 2y y ， 1 2y y ，计算QM QN ，并代入 1 2y y ， 1 2y y ，利用此式与 m 无关可得t（如
果得不出t 值，说明不存在）．
【详解】
（1）∵双曲线 C 过点 (4, 3) ，且渐近线方程为 1
2y x ，
∴
2 2
16 3 1
1
2
a b
b
a
，解得 2 21, 4b a ，
∴双曲线的方程为
2
2 14
x y ；
（2）设直线 l 的方程为 1x my ，设定点 ( ,0)Q t
联立方程组
2
2 14
1
x y
x my
，消 x 可得 2 24 2 3 0m y my ，
∴ 2 4 0m ，且 2 24 12 4 0m m ，解得 2 3m 且 2 4m ，
设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
∴ 1 2 1 22 2
2 3,4 4
my y y ym m
，
∴
2
1 2 1 2 2 2
2 82 24 4
mx x m y y m m
，
2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
3 2 4 41 1 1 14 4 4
m m mx x my my m y y m y y m m m
2
204 4m
∴ 1 1 2 2 1 2 1 2, ,QM QN x t y x t y x t x t y y
2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
20 8 3 8 234 44 4 4 4
tx x t x x t y y t t tm m m m
为常数，与 m 无
关.
∴8 23 0t ，
解得 23
8t ．即 23( ,0)8Q ，此时 273
64QM QN ．
【点睛】
方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思
想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算 QM QN
（要求定值的量），利用它是关于参数 m 的恒等式，求出定点坐标．
13．已知双曲线的方程 2 2: 2 1C x y .
（1）求点 0,1P 到双曲线 C 上点的距离的最小值；
（2）已知圆 2 2: 1M x y 的切线l (直线l 的斜率存在)与双曲线 C 交于 A，B 两点，那么∠AOB 是否为定
值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1） 30
6
；（2）是定值， 90AOB .
【分析】
（1）设双曲线上任意一点为 0 0,N x y ，则 2 2
0 02 1x y ，利用两点间的距离公式求出 PN ，利用二次函
数求最值即可；（2）设直线l 的方程为： y kx b ，利用直线l 与圆相切可得到 2 21b k ，设
1 1 2 2, , ,A x y B x y ，直线与双曲线的方程联立消 y ，利用韦达定理得到
2
1 2 2
2
2
kx x k
，再求出
2
1 2 2
2
2
ky y k
，最后利用OA OB 得出结论即可.
【详解】
（1）设双曲线上任意一点为 0 0,N x y ，
则 2 2
0 02 1x y ，
2
2 2 20
0 0 0 0
10 1 2 12
yPN x y y y
2
0
3 2 5 30
2 3 6 6y
，
当 0
2
3y 时，等号成立，
即点 0,1P 到双曲线 C 上点的距离的最小值为 30
6
；
（2）设直线l 的方程为： y kx b ，
因为直线l 与圆相切，
所以圆 M 的圆心 0,0 到直线l 的距离等于圆的半径1，
即 2 2
2
1 1
1
b b k
k
，①
设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
由
2 22 1x y
y kx b
消 y 得，
2 2 22 2 1 0k x kbx b ，
由题意知： 22 k 0 ，
2 2 2 2 24 4 2 1 4 16 0k b k b k ，
由韦达定理得
1 2 2
2
1 2 2
2
2
1
2
kbx x k
bx x k
，
由①得：
2 2
1 2 2 2
1 2
2 2
b kx x k k
，
则
2 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 2 2
2 2
2 2
b k ky y k x x kb x x b k k
，
因为
2 2
1 2 1 2 2 2
2 2 02 2
k kOA OB x x y y k k
，
所以 90AOB 为定值.
【点睛】
关键点睛：求解圆锥曲线中的定值问题，直线与曲线方程联立利用韦达定理求解是解题的关键.
14．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过原点的直线 1 1: 0l y k x k 交抛物线 2: 2C y x 于点 P（异于
原点 O），抛物线 C 上点 P 处的切线交 y 轴于点 M，设线段OP 的中点为 N，连结线段 MN 交 C 于点 T.
（1）求 | |
| |
TM
MN
的值；
（2）过点 P 作圆 2 2:( 1) 1O x y 的切线交 C 于另一点 Q，设直线 OQ 的斜率为 2k ，证明： 1 2k k 为
定值．
【答案】（1） | | 1
| | 2
TM
MN
；（2）证明见解析.
【分析】
（1）引入一个变量，分别计算出点 N 与点 T 的横坐标即可求得答案；
（2）先设点 1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，然后表示出斜率 1 2
1 2
1 2
,y yk kx x
，结合相切的条件，再运用韦达定理
即可证明.
【详解】
法一：
（1）设
2
, ( 0)2
aP a a
，点 P 处的切线方程为
2
2
ay k x a
，
联立方程组
2
2
2
2
y x
ay k x a
，
，得 2 22 2 0y ay ak k
，
由
2
22 24 0a ak k
，解得 1k a
；
可知切线为
21 , 0, , ,2 2 4 2
a a a ay x M Na
，
联立方程组
2 2
2
y x
ay
，
，
得
2
,8 2
a aT
，即 T 为 MN 的中点，
所以 | | 1
| | 2
TM
MN
．
（2）法 1：
当直线 PQ 的斜率不存在时，其方程为 2x ，
解得 1 2(2,2), (2, 2), 1, 1P Q k k ，则 1 2 2k k ．
当直线 PQ 的斜率存在时，设方程为 y mx b ，由题意知 0, 0m b ，
因为直线 PQ 与圆 O 相切，所以
2
| | 1
1
m b
m
，即 2 2 1b mb ．
联立方程组
2 2y x
y mx b
，
，得到元二次方程 2 2 22( 1) 0m x bm x b ，
设 1 1 2 2 1 2, , , , 0P x y Q x y x x ，
由韦达定理可知
2
1 2 1 22 2
2(1 ),bm bx x x xm m
，
又 1 2
1 2
1 2
,y yk kx x
，则 2 1 1 21 2 2 1 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
x mx b x mx by y x y x yk k x x x x x x
2 2
21 2 1 2
1 2 1 2
1 2
4b x x m x x m x x x xx x b b
2 2 22 2 2 2
4 2
4(1 ) 4 4(1 2 )4(1 ) 4 4 2mb
b b b b
m b mbm mb b b
m m
．
综上可知 1 2k k 为定值 2．
法 2：
由题意可知直线 PQ 的斜率不能为 0，故可设 PQ 的方程为 ( 0)x my t t ；
因为直线 PQ 与圆相切，所以
2
|1 | 1
1
t
m
，即 2 2 2m t t ．
联立方程组
2 2y x
x my t
，
，得到一元二次方程 2 2 2 0y my t ．
设 1 1 2 2 1 2, , , , 0P x y Q x y x x ，
由韦达定理可知 1 2 1 22 , 2y y m y y t ，则 2
1 2x x t ．
又 1 2
1 2
1 2
,y yk kx x
，
则 1 2 2 11 2 2 1 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
y my t y my ty y x y x yk k x x x x x x
21 21 2
1 2 1 2
1 2
1 4| | | |
y yt y y y y y yx x t t
2
21 44 8 2| | | |
tm tt t
．
即 1 2k k 为定值 2．
法二：
（1） 1 2 2
12 2 2
1 1 1
2 2 22 , , ,2
y k x k x x x Py x k k k
．
P 处的切线方程为 2
1
2
1 1
2
2 22 2
x ky xk k
．
令
1 1
1 10 , 0,x y Mk k
．
OP 中点 2
1 1
1 1,N k k
， MN 方程： 2
1 1 1
1 1 1, ,2y Tk k k
．
2 2
1 1
1 1 | | 1| | ,| | ,2 | | 2
TMTM MNk k MN
．
（2）设直线 PQ 的方程为 1 1 2 2, , , ,x my t P x y Q x y
2
2 22 2 2 , 2 2 0y x y my t y my t
x my t
，
且 2 2
2
| 1| 1 2
1
t t t m
m
1 21 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
t y yy y y yk k x x my t my t my t my t
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2
t y y t y y y y
m y y mt y y t m t m t t t
24 8 2m t
t
为定值．
【点睛】
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
（2）求定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
15．如图，已知过拋物线 2: 4C y x 的焦点 F 的直线交抛物线C 于点 , (A B 点 A 在第一象限)，线段 AB 的
中点为 ,M 拋物线C 在点 A 处的切线与以 AM 为直径的圆交于另一点 P .
（1）若 4AF FB ，求直线 AB 的方程；
（2）试问
2| |AP
AB AF 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.
【答案】（1） 4 3 4 0x y ；（2）是定值，定值为 1
4 .
【分析】
（1）设直线 AB 的方程为 1x my ，
2 2
1 2
1 2, , ,4 4
y yA y B y
，联立直线与抛物线，结合韦达定理，再
由 4AF FB ， 1 24y y 可得 m 的值；
（2）设过 A 点的切线 Al 的方程为： ( )1 1y k x x y= - + ，代入 2 4 ,y x 由 Δ 0 得
1
2 ,k y
所以 Al 的方程为：
1 12 2y y x x ，进而确定点 Q ， AQ
， AM
， AP
，再由 AF AB AF AB ，可得
2| |
| | | |
AP
AB AF .
【详解】
解：（1）设
2 2
1 2
1 2: 1, , , ,4 4AB
y yl x my A y B y
由 2
1
4
x my
y x
得 2 4 4 0,y my
则 1 2 1 24 , 4y y m y y
因为 4 ,AF FB 所以 1 24 ,y y
从而 1 2
34, 1, ,4y y m
所以直线 AB 的方程为 4 3 4 0x y ；
（2）设过 A 点的切线 Al 的方程为： ( )1 1y k x x y= - + ，
代入 2 4 ,y x 由 Δ 0 得
1
2 ,k y
所以 Al 的方程为： 1 12 2y y x x .
设直线 Al 与 y 轴交点为 ,Q 令 0,x 得 1 1
1
2
2Q
x yy y
，
2 2 2
1 1 2 1
2 1
1 1, , ,4 2 2 2 4 4
y y y yAQ AM AB y y
2 2 4 2
31 2 1 1 2 1
2 2
1
4 2
11 1
1
42 16 16 2 2cos , 8
16 4
y y y y y y
AM AQ y
AP AM AM AQ yAQ y y
,
32 6 4 2
12 1 1 1
2 2
1 1
4 12 48 64| | 64 64
y y y yAP y y
,
2 2 2 6 4 2
1 2 1 1 1 1
1 2 1 2
1
12 48 641 , ,4 4 4 16
y y y y y yAF AB AF AB y y y y
,
2| | 1
| | | | 4
AP
AB AF
.
【点睛】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|
＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
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