高考冲刺 专题 13 圆锥曲线中的定点问题
1．如图，已知椭圆C ：
2
2
2 1 1x y aa
的左焦点为 F ，直线 0y kx k 与椭圆C 交于 A ， B 两点，
且 0FA FB 时， 3
3k .
（1）求 a 的值；
（2）设线段 AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于 D ，E 两点，当 k 变化时，直线 DE 是否过定点？若过定
点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1） 3 ；（2）过定点，定点为 6 2,05
.
【分析】
（1）联立直线 0y kx k 与椭圆
2
2
2 1 1x y aa
，求出 A 的坐标，再利用 0FA FB 时， 3
3k
可求出 a 的值；
（2）由（1）知， 2,0F ，椭圆C ：
2
2 13
x y ，设出直线 AD 的方程与椭圆方程联立解得 D 的坐
标，同理得 E 的坐标，再求出直线 DE 的方程，令 0y ，可得 x 为定值，从而可知直线 DE 过定点.
【详解】
（1）设 0 0,A x y ，则 0 0,B x y ，由题意得焦点为 2 1,0F a
所以， 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 01, 1, 1FA FB x a y x a y x y a
uur uur
.
当 0FA FB 时，有 2 2 2
0 0 1x y a .
联立 2
2
2
,
1,
y kx
x ya
得
2
2
0 2 2 1
ax k a
，
2 2
2
0 2 2 1
k ay k a
，从而
2 2 2
2
2 2 2 2 11 1
a k a ak a k a
.
将 3
3k 代入，得
2
2
2
4 13
a aa
，即 4 22 3 0a a ，
所以 2 3a 或 2 1a （舍），故 3a .
（2）由（1）知， 2,0F ，椭圆C ：
2
2 13
x y .
设 AD ： 0
0
2 2xx yy
，代入椭圆C ： 2 23 3x y ，
消去 x 并整理得
2
0 02
2
0 0
2 2 2 2
3 1 0
x x
y yy y
，
所以 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0(3 2 2 2) 2 2( 2) 0y x x y x y y y ，
而 2 2
0 03 3x y ，所以 2 2
0 0 0 05 2 2 2 2 2 0x y x y y y ，
由韦达定理得
2
0
0
05 2 2D
yy y
x
，所以 0
05 2 2D
yy
x
.
同理 BE ： 0
0
2 2xx yy
，即 0
0
2 2xx y
， 0
05 2 2E
yy
x
，
所以 0 0 0 0
2
00 0
4 2
25 85 2 2 5 2 2E D
y y x yy y xx x
，
0 0 0
2
00 0
10
25 85 2 2 5 2 2E D
y y yy y xx x
所以
0 0
2
0 0
0
2
0
4 2
25 8 2 2
10 5
25 8
E D
E D
x y
x xy y
yy y
x
，
于是
0
000 0 0 0
0 00 0 0 0
1 1 5 5
2 2 2 2 22
5
E D E D
DE
E D E D
E D
E D
yy y y yk kx x xx y yx x x xy y y y y yy y y y
所
以直线 DE ： 0
0
5
D D
yy y x xx
.
令 0y ，得 0 0 0
0 0 0
2 25 5D D D D
x x xx x y y yy y y
0
0
4 5 2 25 D
x yy
，
将 0
05 2 2D
yy
x
代入得 6 25x ，
所以 DE 经过定点 6 2,05
.
【点睛】
关键点点睛：将 A 的坐标当已知，求出 ,D E 的坐标和直线 DE 的方程，再令 0y 得到 x 为定值是本题解
题关键.
2．在平面直角坐标系 xOy 中， P 为坐标原点， 3,0M ，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之
和等于 4 ．
（1）求动点 P 的轨迹方程；
（2 过 3,0M 作互相垂直的两条直线 1l 、 2l ， 1l 与动点 P 的轨迹交于 A 、B ， 2l 与动点 P 的轨迹交于点
C 、 D ， AB 、 CD 的中点分别为 E 、 F ；
①证明：直线 EF 恒过定点，并求出定点坐标．
②求四边形 ACBD 面积的最小值．
【答案】（1）
2
2 1 04
x y y ；（2）①证明见解析，定点坐标为 4 3 ,05
；② 32
25 .
【分析】
（1）设点 P 的坐标为 ,x y ，根据已知条件得出 2 22 2 333 4 2x y yx ，结合椭
圆的定义可知点 P 的轨迹是椭圆，求出 a 、b 、c 的值，结合椭圆的焦点位置可得出点 P 的轨迹方程，并求
出 y 的取值范围；
（2）①分析出直线 1l 的斜率存在且不为零，可设直线 1l 的方程为 ( )3 0x my m= + ¹ ，可得出直线 2l 的方
程为 1 3x ym
，设点 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，将直线 1l 的方程与点 P 的轨迹方程联立，求出点 E 的
坐标，同理求出点 F 的坐标，求出直线 EF 的方程，进而可得出直线 EF 所过定点的坐标；
②求得 AB 、 CD ，利用基本不等式可求得四边形 ACBD 面积的最小值．
【详解】
（1）设点 ,P x y ，依题意 4MP ON OP OM OP OM
，
2 22 23 4 2 33y xx y ，
所以动点 P 的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则 2 4a ， 3c ， 2 2 1b a c ，
动点 P 的轨迹方程是
2
2 1 04
x y y ；
（2）①若 1l 与 x 轴重合，则直线 1l 与动点 P 的轨迹没有交点，不合乎题意；
若 2l 与 x 轴重合，则直线 2l 与动点 P 的轨迹没有交点，不合乎题意；
设直线 1l 的方程为 ( )3 0x my m= + ¹ ，则直线 2l 的方程为 1 3x ym
，
直线 1l 、 2l 均过椭圆的焦点（椭圆内一点）， 1l 、 2l 与椭圆必有交点．
设 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，由 2 2
2 2
3 4 2 3 1 0
4 4
x my m y my
x y
，
由韦达定理可得 1 2 2
2 3
4
my y m
，则 1 2 1 2 2
8 32 3 4x x m y y m
，
所以点 E 的坐标为 2 2
4 3 3,4 4
m
m m
，同理可得点
2
2 2
4 3 3,4 1 4 1
m mF m m
，
直线 EF 的斜率为 2 2
22
2 2
3 3
54 4 1 1
4 14 3 4 3
4 1 4
EF
m m
mm mk m
mm
m m
，
直线 EF 的方程是 2 22
3 5 4 3
4 44 1
m my xm mm
，
即
22 2
22 2 2
4 3 15 4 3 5 4 3
4 54 1 5 4 4 1
mm my x xmm m m
，
当 1m 时，直线 EF 的方程为 4 3
5x ，直线 EF 过定点 4 3 ,05
．
综上，直线 EF 过定点 4 3 ,05
；
②由①可得 1 2 2
2 3
4
my y m
， 1 2 2
1
4y y m
，
2
22 2
1 2 1 2 1 2 2
4 1
1 1 4 4
m
AB m y y m y y y y m
，
同理可得 22
2
2
14 1 4 1
1 4 14
mmCD m
m
，
所以，四边形 ACBD 的面积为
2 22 2
22 2 2 2
8 1 8 1 32
254 4 1 4 4 12
2
1 m m
S AB CD
m m m m
，
当且仅当 2 1m 取等号．
因此，四边形 ACBD 的面积的最小值为 32
25 .
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
3．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的两焦点为 1 1,0F ， 2 1,0F ，点 P 在椭圆C 上，且 1 2PF F△ 的
面积最大值为 3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）点 M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点（ ,A B 均不是椭圆 C
的右顶点），且满足 AM BM ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（Ⅰ）
2 2
14 3
x y ；（Ⅱ）证明见解析，定点坐标为 2 ,07
．
【分析】
（Ⅰ）由 1 2PF F△ 面积最大值可求得b ，由 2 2 2a b c 求得 a ，由此得到椭圆方程；
（Ⅱ）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， :l y kx m ，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，根据 AM BM
得到 0MA MB ，根据平面向量数量积的坐标运算和韦达定理可化简整理得到 2 27 16 4 0m km k ，从
而求得 m ；根据直线过定点的求解方法可得结论.
【详解】
（Ⅰ）由椭圆的对称性可知：当点 P 落在椭圆的短轴的两个端点时 1 2PF F△ 的面积最大，此时 1 2 32 b ，
解得： 3b ．
由 2 2 2a b c 得： 2 3 1 4a ．
椭圆 C 的标准方程为
2 2
14 3
x y ．
（Ⅱ）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，直线l 的方程为 y kx m ，
联立 2 2
14 3
y kx m
x y
得： 2 2 23 4 8 4 3 0k x mkx m ，
则 2 2 2 264 16 3 4 3 0m k k m ，即 2 23 4 0k m ，
1 2 2
8
3 4
mkx x k
， 2
1 2 2
4 3
3 4
m
x x k
．
1 2 1 2y y kx m kx m 2 2
1 2 1 2k x x mk x x m 2 2
2
3 4
3 4
m k
k
．
椭圆的右顶点为 2,0M ， AM BM ， 0MA MB ，
1 2 1 22 2 0x x y y ，即 1 2 1 2 1 22 4 0y y x x x x ，
2 2 2
2 2
3 4 4 3
3 4 3 4
m k m
k k
2
16 4 03 4
mk
k
．
整理可得： 2 27 16 4 0m km k ，
解得： 1 2m k ， 2
2
7
km ，（ 1m ， 2m 均满足 2 23 4 0k m ）．
当 2m k 时，l 的方程为 2y k x ，直线l 过右顶点 2,0 ，与已知矛盾；
当 2
2
7
km 时，l 的方程为 2
7y k x
，过定点 2 ,07
，
直线l 过定点，定点坐标为 2 ,07
．
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于 x 或 y 的一元二次方程的形式；
②利用 0 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
4．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的上顶点到右顶点的距离为 7 ，离心率为 1
2
，过椭圆C 的左焦点
1F 作不与 x 轴重合的直线 MN 与椭圆C 相交于 ,M N 两点，过点 M 作直线 : 2m x a 的垂线 ME ，E 为
垂足．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）①已知直线 EN 过定点 P ，求定点 P 的坐标；②点 O 为坐标原点，求 OEN 面积的最大值．
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）①直线 EN 过定点 5 ,02P
；②15
4 .
【分析】
（1）根据离心率、上顶点到右顶点的距离和椭圆 , ,a b c 关系可构造方程组求得 , ,a b c ，由此可得椭圆方程；
（2）①设直线 MN 方程，与椭圆方程联立整理可得韦达定理的形式，从而得到 1 2 1 22 3my y y y ，代
入直线 EN 方程后，知 0y 时， 5
2x ，由此可得定点坐标；
②结合①中韦达定理的结论可求得 1 2y y ，由 1 2
1
2OENS OP y y ，令 2 1t m ，将 OENS 化为
15
13t t
，
由函数单调性可确定最大值点，由此求得最大值.
【详解】
（1）由题意得：
2 2
2 2 2
7
1
2
a b
ce a
a b c
，解得： 2a ， 3b ， 1c .
故椭圆的标准方程为
2 2
14 3
x y .
（2）①由（1）知： 1,0F ，
设直线 MN 方程： 1x my ， 1 1,M x y ， 2 2,N x y ， 14,E y ，，
联立方程 2 2
1
14 3
x my
x y
得： 2 23 4 6 9 0m y my ，
2 21
6
3 4y y m
m
， 1 2 2
9
3 4y y m
， 1 2 1 22 3my y y y ，
又 2 1
2 4EN
y yk x
，直线 EN 方程为： 2 1
1
2
44
y yy y xx
，
令 0y ，则 1 21 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
3
4 3 3 524 4 4 4 2 2
y yy x my y yx y y y y y y
，
直线 EN 过定点 5 ,02P .
②由①中 2144 1 0m 知： m R ，
又
2
2
1 2 1 2 1 2 2
12 14 3 4
my y y y y y m
，
所以
2 2
1 2 2 2
1 5 12 1 15 1
2 4 3 4 3 4OEN
m mS OP y y m m
，
令 2 1t m ， 1t ，则 2
15 15
13 1 3
OEN
tS t t t
令 15 113
f t t
t t
，
f t 在 1, 单调递减，当 1t 时， max
151 4f t f ，
即 OEN 面积的最大值为15
4 .
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路
如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于 x 或 y 的一元二次方程的形式；
②利用 0 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；
④通过换元法将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性求得函数值域，由
此可求解出所求的范围.
5．已知焦点在 x 轴上的椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0)x y a ba b
（ ，短轴长为 2 3 ，椭圆左顶点到左焦点的距离为1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，已知点 2( ,0)3P ，点 A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,E F ， ,E F 两点都
在 x 轴上方，且 APE OPF ．证明直线 l 过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）证明见解析， (6,0) .
【分析】
（1）利用已知和 , ,a b c 的关系，列方程组可得椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， APE OPF 可得 0PE PFk k ，利用根与
系数的关系代入化简，可得直线l 所过定点．
【详解】
（1）由
2 2 2
2 2 3
1
b
a c
a c b
得
3
2
1
b
a
c
，
所以椭圆 C 的标准方程为
2 2
14 3
x y .
（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在 x 轴两侧，不合题意.
所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为 y kx m .
设 1 1( , )E x y 、 2 2( , )F x y ，
由
2 2
14 3
x y
y kx m
得 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m ，
所以 1 2 2
8
3 4
kmx x k
，
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
.
因为 APE OPF ，
所以 0PE PFk k ，
即
1 2
1 2
02 2
3 3
y y
x x
，整理得 1 2 1 2
2 42 ( )( ) 03 3
mkx x m k x x
化简得 6m k ，
所以直线l 的方程为 6 ( 6)y kx k k x ，
所以直线l 过定点 (6,0) .
6．已知斜率为的 3
4
的直线l 与椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
交于点 ,A B ，线段 AB 中点为 11D , ，直
线l 在 y 轴上的截距为椭圆C 的长轴长的 7
16
倍.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点 , , ,P Q M N 都在椭圆上，且 ,PQ MN 都经过椭圆 C 的右焦点 F ，设直线 ,PQ MN 的斜率分别为
1 2,k k ， 1 2 1k k ，线段的中点分别为 ,G H ，判断直线GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不
过定点，说明理由.
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）过定点， 31, 4
.
【分析】
（1）利用点差法可得
2
2
3
4
b
a
，再由直线l 的方程为 31 14y x ，求出 y 轴上的截距，结合题意即可求
解.
（2）设直线 ,PQ MN 的方程分别为 1 2( )1 , 1y k x y k x ，分别将直线与椭圆方程联立，分别求出
2 2
1 1
2 2
1 1
4 3,3 4 3 4
k kG k k
，
2 2
2 2
2 2
2 2
4 3,3 4 3 4
k kH k k
，求出直线GH 方程
2
21 1
1 12 2
1 1
3 43
3 4 4 3 4
k ky k k xk k
，化简整理即可求解.
【详解】
本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养.
（1）设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
则 1 2 1 22, 2x x y y ，
且
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 21, 1x x x x
a b a b
两式相减得
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
x x y y
a b
即
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
y y y y b
x x x x a
，
即
2
2
2 3
2 4
b
a
，
所以
2
2
3
4
b
a
又直线l 的方程为 31 14y x ，
令 0x ，得 7
4y
所以 7 72 , 2, 316 4a a b ，
所以椭圆 C 的方程为
2 2
14 3
x y .
（2）由题意得 1,0F ，直线 ,PQ MN 的方程分别为 1 2( )1 , 1y k x y k x ，
设 3 3 4 4, , ,P x y Q x y ，联立
1
2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
，
得 2 2
1
2
1
2
13 4 8 4 12 0k k kx x ，
所以 2
1
2
3 4
1
8
3 4x k
kx ，
则
2 2
1 1
2 2
1 1
4 3,3 4 3 4
k kG k k
同理
2 2
2 2
2 2
2 2
4 3,3 4 3 4
k kH k k
所以
1 2
2 2 1 2
1 2
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2
3 3 3
3 4 3 4 4
4 4
3 4 3 4
GH
k k
k kk kk k k k k
k k
由 1 2 1k k
得 1 1
3 14GHk k k ，
所以直线GH 的方程为
2
21 1
1 12 2
1 1
3 43
3 4 4 3 4
k ky k k xk k
整理得 2
1 1
3 314 4y k k x
，
所以直线GH 过定点 31, 4
.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程，求出点G 、H 以及直线GH
的方程为
2
21 1
1 12 2
1 1
3 43
3 4 4 3 4
k ky k k xk k
，考查了运算求解能力，综合性比较强.
7．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的上、下顶点分别为 , ,A B P 为直线 2y 上的动点，当点 P 位于点
1,2 时， ABP 的面积 1ABPS ，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点 1F 的最短距离为 2 1 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）连接 ,PA PB ，直线 ,PA PB 分别交椭圆于 ,M N （异于点 ,A B ）两点，证明：直线 MN 过定点.
【答案】（1）
2
2 12
x y ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由椭圆的上、下顶点 ,A B ，点 P 1,2 ， ABP 的面积 1ABPS ，求得 b,再由椭圆C 上任意一点到
椭圆的左焦点 1F 的最短距离为 2 1 ，即 2 1a c 求解.
（2）设 ( ,2)P t ，由题意知直线 PA，PB 的斜率存在，设 1 3: 1, : 1PA PBl y x l y xt t
，分别与椭圆方程联立，
求得 M，N 的坐标，写出直线 M,N 的方程求解.
【详解】
（1）因为椭圆的上、下顶点分别为 ,A B ，点 P 1,2 ， ABP 的面积 1ABPS ，
所以 1 2 12ABPS b ，基底 1b ，
又因为椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点 1F 的最短距离为 2 1 ，
设 , M x y 是椭圆上任意一点， ( ,0)F c ，
则
2
2 2 2 2 2
2( ) 2cMF x c y x cx aa
，对称轴
2ax ac
，
所以在区间 [ , ]x a a 上递增，则 x a 时， minMF a c ，
即 2 1a c ，又 2 2 2a b c ，解得 2a ，
所以椭圆方程为
2
2 12
x y .
（2）设 ( ,2)P t ，由题意得，直线 PA，PB 的斜率存在，
设 1 3: 1, : 1PA PBl y x l y xt t
，
由 2
2
1 1
12
y xt
x y
得
2
2 2
4 2,2 2
t tM t t
，
由 2
2
3 1
12
y xt
x y
得
2
2 2
12 18,18 18
t tN t t
，
所以 :MNl
2 2
2 2 2
2 2
2 2
18 2
2 418 2
12 42 2
18 2
t t
t tt ty xt tt t
t t
，
化简得
26 1
8 2
ty xt
所以直线 MN 过定点 10, 2
，
【点睛】
方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程；
②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
8．如图，已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）的离心率为 2
2
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 1F ，
2F 为顶点的三角形的周长为 4 2 1 ，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设 P
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 1PF 和 2PF 与椭圆的交点分别为 A、B 和C 、D ，其中 A、C 在 x
轴的同一侧．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线 1PF 、 2PF 的斜率分别为 1k 、 2k ，证明 1 2 1k k ；
（3）是否存在题设中的点 P ，使得 3
4AB CD AB CD ．若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1）
2 2
14 4
x y ；（2）证明见解析；（3）存在点 P 的坐标为 2 2, 2 ．
【分析】
（1）根据离心率 2
2
c
a
，及三角形周长 2 2 4 2 1a c ，即可求得 a，c 的值，利用 2 2 2a b c ，
即可求得 b 的值，进而可得椭圆方程；根据实轴长等于虚轴长，可设双曲线方程为
2 2
2 2 1x y
m m
（ 0m ），
根据题意，可求得 m 的值，即可得双曲线方程.
（2）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 0 0,P x y ，则 0
1
0 2
yk x
， 0
2
0 2
yk x
，即可得 1 2k k 的表达式，又 0 0,P x y
在双曲线上，可得 2 2
0 0 4x y ，代入表达式，即可得证.
（3）设 1PF 方程为 2y k x ，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得 AB 的表达式，同理可得 CD
的表达式，设 ,CAB D
夹角为 ，根据条件，可求得 cos 的值，利用数量积公式
1 2 1 2 cosPF PF PF PF
，代入数据，即可求得 P 点坐标.
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为 c ，由题意知； 2
2
c
a
，
∵ 2 2 4 2 1a c ，∴ 2 2a ， 2c ．
又∵ 2 2 2a b c ，∴ 2b ．
故椭圆的标准方程为
2 2
18 4
x y ．
由题意设等轴双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1x y
m m
（ 0m ），
∵等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，∴ 2m ，
∴双曲线的标准方程为
2 2
14 4
x y ．
（2）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 0 0,P x y ，则 0
1
0 2
yk x
， 0
2
0 2
yk x
．
∵点 P 在双曲线 2 2 4x y 上，所以 2 2
0 0 4x y ．
∴
2
0 0 0
1 2 2
0 0 0
12 2 4
y y yk k x x x
，即 1 2 1k k ．
（3）设 1PF 方程为 2y k x ， 2PF 的方程为 1 2y xk
，
设 1 2,A x y ， 2 2,B x y ，则
2 2
18 4
2
x y
y k x
2 2 2 22 1 8 8 8 0k k xx k ，
2
1 2 2
1
8
2 1
kx x k
，
2
1 2 2
8 8
2 1
kx x k
，
所以 22
1 2 1 21 4AB k x x x x
22 2
2
2 2
8 8 81 42 1 2 1
k kk k k
2
2
4 2 1
2 1
k
k
，
同理，
2
2
2 2
14 2 1 4 2 1
212 1
k k
CD k
k
，
设 ,CAB D
夹角为 ，即 1 2F PF
由题意得， 3 3 cos4 4AB CD AB CD AB CD
所以
2
2
3 14 1 1 4 2cos 3 3 24 2 1
k
CD kAB
，
因为 1 2 1 2 cosPF PF PF PF
所以 0 0 0 02 2x x y y 2 22 2
0 0 0 0
22 2 2x y x y ，
又 2 2
0 0 4x y ，所以 2 22 2 2
0 0 0 0 0
22 4 2 4 2 4 2x x x x x
2 2
0 0 0 0
22 4 2 4 2x x x x 2 2
0 02 4x x ，
所以 2
0 8x ，则 2
0 4y ，即存在点 P 的坐标为 2 2, 2 ．
【点睛】
本题考查椭圆、双曲线标准方程的求法、弦长公式的应用、数量积公式的应用等知识，一般将直线方程与
椭圆联立，利用韦达定理求出 1 2x x 、 1 2x x ，代入弦长公式，进行求解，考查分析理解，化简求值的能力，
属中档题.
9．已知双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
经过点 (2,3) ，两条渐近线的夹角为 60 ，直线l 交双曲线于 A､ B 两点.
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于 A､ B 的一点，且直线 PA ､ PB 的斜率 PAk ､ PBk 均存在，求证： PA PBk k
为定值；
（3）若l 过双曲线右焦点 1F ，是否存在 x 轴上的点 ( ,0)M m ，使得直线l 绕点 1F 无论怎样转动，都有
0MA MB
成立？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
2
2 13
yx ；（2）证明见解析；（3）存在， ( 1,0)M .
【分析】
（1）利用双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
经过点 (2,3) ，两条渐近线的夹角为 60，建立方程即可求解；
（2）设 A点坐标为 0 0,A x y ，则由对称性知 B 点坐标 0 0,B x y ，设 ( , )P x y ，由点 A,P 在双曲线上可
得
2
2 0
0 13
yx ，
2
2 13
yx ，代入 PA PBk k 中化简即可；
(3）先假设存在定点 M，使 MA MB 恒成立，设出 M 点坐标，根据数量积为 0，求得结论.
【详解】
（1）由题意得：
2 2
4 9 1
3
a b
b
a
解得：
2
2
1
3
a
b
∴双曲线 C 的方程为
2
2 13
yx
（2）证明：设 A点坐标为 0 0,A x y ，则由对称性知 B 点坐标为 0 0,B x y
设 ( , )P x y ，则
2 2
0 0 0
2 2
0 0 0
PA PB
y y y y y yk k x x x x x x
2
2 0
0
2
2
13
13
yx
yx
，得 2 2 2 2
0 03 y y x x
∴
2 2
0
2 2
0
3PA PB
y yk k x x
（3）当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为 ( 2)y k x ，与双曲线方程联立消 y 得：
2 2 2 23 4 4 3 0k x k x k ，
∴
2 3 0
0
k
得 2 3k 且
2
1 2 2
2
1 2 2
4
3
4 3
3
kx x k
kx x k
设 1 1,A x y ､ 2 2,B x y
∵ 1 2 1 2MA MB x m x m y y
2
1 2 1 2 ( 2) x m x m k x x
2 2 2
1 2 21 2 ( ) 4 k x x k m x x m k
2 2
2 2
2 2
1 4 3 4 (2 ) 43 3
k k k k m m kk k
2
2
2
3 (4 5)
3
m k mk
假设存在实数 m ，使得 0MA MB
，
∴ 2 2 23 1 4 5 0m k m m 对任意的 2 3k 恒成立，
∴
2
2
1 0
4 5 0
m
m m
，解得 1m .
∴当 1m 时， 0MA MB
.
当直线 l 的斜率不存在时，由 (2,3), (2, 3)A B 及 ( 1,0)M 知结论也成立
综上：存在 1m ，使得 0MA MB
.
【点睛】
本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强，属于难题.
10．已知双曲线 2 2 2x y 的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过点 2F 的动直线与双曲线相交于 ,A B 两点.在 x 轴
上是否存在定点C ，使CA CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】存在， (1,0)C ．
【分析】
假设在 x 轴上存在定点 ( ,0)C m ，使CA CB
为常数，当 AB 不与 x 轴垂直时，设出直线 AB 的方程，然后
与双曲线方程联立消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，进而可得到两根之和与两根之积，表示出向量
CA CB
并将所求的两根之和与两根之积代入整理即可求出 C 的坐标；当 AB 与 x 轴垂直时可直接得到 A ，
B 的坐标，再由 1CA CB
，可确定答案．
【详解】
解：由条件知 1 2( 2,0), (2,0)F F ，
设点 ,A B 的坐标分别为 1 1 2 2, , ,x y x y ，
假设在 x 轴上存在定点 ( ,0)C m ，使CA CB 为常数，
当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 ( 2)( 1)y k x k ，
代入 2 2 2x y ，得 2 2 2 21 4 4 2 0k x k x k ，
2 2
1 2 1 22 2
4 4 2,1 1
k kx x x xk k
，
∴ 2
1 2 1 22 2CA CB x m x m k x x 2 2 2 2
1 2 1 21 2 4k x x k m x x k m
2 2
2
1 4 2
1
k k
k
2 2
2 2
2
4 2
41
k k m
k mk
2
2
2
2(1 2 ) 2
1
m k mk
2
2
4 42(1 2 ) 1
mm mk
，
∵CA CB 是与 k 无关的常数，
∴ 4 4 0m ，即 1m ，此时 1CA CB ；
当 AB 与 x 轴垂直时，点 ,A B 的坐标可分别设为 (2, 2),(2, 2) ，
此时 (1, 2) (1, 2)CA CB 1 1 2 2 1 ；
故在 x 轴上存在定点 (1,0)C ，使CA CB 为常数．
【点睛】
本题主要考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．
11．已知双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的右焦点为 F ，半焦距 2c ，点 F 到右准线
2ax c
的距
离为 1
2
，过点 F 作双曲线C 的两条互相垂直的弦 AB ， CD ，设 AB ， CD 的中点分别为 M ， N .
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）证明：直线 MN 必过定点，并求出此定点坐标.
【答案】（1）
2
2 13
x y （2）证明见解析；定点 3,0
【分析】
（1）由题意可得 c 的值，再由点 F 到直线
2ax c
的距离为 1
2
，可得 a 的值，再由 a ，b ，c 之间的关系求
出双曲线的方程；
（2）设弦 AB 所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得 AB 的中点 M 的坐标，再由
椭圆可得弦CD 的中点 N 的坐标，分别讨论当 MN 的斜率存在和不存在两种情况可得直线 MN 恒过定点.
【详解】
（1）由题设可得
2 1
2
ac c
， 2c ，所以 2 3a ， 2 2 2 1b c a .
所以双曲线的标准方程为
2
2 13
x y .
（2）证明：点 2,0F ，设过点 F 的弦 AB 所在的直线方程为 2x ky ， 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
则有 1 2 1 22,2 2
k y y y yM
.
联立
2
2 13
2
x y
x ky
，可得 2 23 4 1 0k y ky .
因为弦 AB 与双曲线C 有两个交点，所以 2 3 0k ，
所以 1 2 2
4
3
ky y k
，所以 2 2
6 2,3 3
kM k k
.
（1）当 0k 时， M 点即是 F 点，此时，直线 MN 为 x 轴.
（2）当 0k 时，将上式 M 点坐标中的 k 换成 1
k
，同理可得
2
2 2
6 2,3 1 3 1
k kN k k
.
①当直线 MN 不垂直于 x 轴时，
直线 MN 的斜率
2 2
2 2
2 2
2 2
23 3 1
6 6 3 1
3 3 1
MN
k k
kk kk k k
k k
，
其方程 2 22
2 2 6
3 33 1
k ky xk kk
，化简得 2
2 3
3 1
ky x
k
，
所以直线 MN 过定点 3,0 ；
②当直线 MN 垂直于 x 轴时，
2
2 2
6 6
3 3 1
k
k k
，此时， 1k ，直线 MN 也过定点 3,0 .
综上所述，直线 MN 过定点 3,0 .
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程及性质、定点问题等知识以及逻辑思维与运算求解能力，考查了学生的计
算能力，属于难题.
12．设双曲线
2 2
2 2 1 , 0x y a ba b
的实轴长为 4 3 .焦点到渐近线的距离为 3 .
（1）求此双曲线的方程；
（2）已知直线 3 23y x 与双曲线的右支交于 A， B 两点.且在双曲线的右支上存在点 C ，使得
OA OB mOC ，求 m 的值及点C 的坐标.
【答案】（1）
22
112 3
yx （2）4， 4 3,3
【分析】
（1）由实轴长可得 a 值，由焦点到渐近线的距离可得 b ，即可求得双曲线的方程；
（2）设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 0(C x ， 0 )y ，则 21 0x x mx ， 21 0y y my ，联立直线方程与双曲线
方程消掉 y 得 x 的二次方程，由韦达定理可得 1 2x x ，进而求得 1 2y y ，从而可得 0
0
x
y ，再由点 D 在双曲
线上得一方程，联立方程组即可求得 C 点坐标，从而求得 m 值．
【详解】
（1）由实轴长为 4 3 ，得 2 3a ，
所以渐近线方程为
2 3
by x ，即 2 3 0bx y 或 2 3 0bx y ，
取渐近线方程为 2 3 0bx y ，
焦点到渐近线的距离为 3 ，
2
| | 3
12
bc
b
，又 2 2 2c b a ， 2 3b ，
双曲线方程为:
22
112 3
yx
（2）设 1 2,A x y ， 2 2,B x y ， 0 0,C x y ，
则 21 0x x mx ， 21 0y y my ，
由直线与双曲线方程联立，可得 2 16 3 84 0x x ，
1 2 16 3x x ， 1 2
3 16 3 4 123y y ，
0
0
2 2
0 0
4 3
3 ,
112 3
x
y
x y
解得 0 4 3x ， 0 3y ，
4m
4 3,3C ， 4m .
【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线标准方程，以及向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题
的能力．
13．已知动圆 P 过点 2 2,0F ，并且与圆 1F ： 2 22 4x y 相外切，设动圆的圆心 P 的轨迹为C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）过动点 P 作直线与曲线 2 23 0x y 交于 ,A B 两点，当 P 为 AB 的中点时，求 OA OB 的值；
（3）过点 2F 的直线 1l 与曲线C 交于 ,E F 两点，设直线l ： 1
2x ，点 1,0D ，直线 ED 交l 于点 M ，
求证：直线 FM 经过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
2
2 1( 0)3
yx x ；（2）4；（3）证明见解析，定点的坐标为 (1,0) .
【分析】
（1）利用动圆经过的点及外切关系可求；
（2）设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到OA OB ，进而可求 OA OB ；
（3）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线 FM 经过定点.
【详解】
（1）设动圆的圆心 ( , )P x y ，半径为 r ，则由题意可得 2
1 2
PF r
PF r
，即 1 2 2PF PF ，
因为 1 2 4 2F F ，所以点 P 的轨迹是以 1 2,F F 为焦点的双曲线的右支，且 1, 2a c ，
所以曲线 C 的方程为
2
2 1( 0)3
yx x .
（2）当直线的斜率不存在时， (1,0), (1, 3), (1, 3)P A B ，此时 4OA OB ；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 y kx m ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，
联立 2 23 0
y kx m
x y
得 2 2 2(3 ) 2 0k x kmx m ，
23 0k ，
2
1 2 1 22 2
2 ,3 3
km mx x x xk k
，
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2
6 32 ,3 3
m my y k x x m y y k x x km x x mk k
.
因为 P 为 AB 的中点，所以 2 2
3( , )3 3
km mP k k
，代入曲线方程得
2 2 2
2 22 2
3 1
3 3
k m m
k k
；
整理可得 2 2 3m k ；
2 2 2
1 2 1 2 2 2 2
3 2 23 3 3
m m mOA OB x x y y k k k
，
因为 2 23 0x y 恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线 3y x 的倾斜角为 60 ，
所以 1cos120 22OA OB OA OB OA OB ，所以 4OA OB
.
综上可得 4OA OB
.
（3）证明：当直线 1l 的斜率不存在时， (2,3), (2, 3)E F , 1 3( , )2 2M ，直线 :3 3 0FM x y 经过点 (1,0) .
当直线 1l 的斜率存在时，设直线 1 : ( 2)l y k x ， 1 1 2 2( , ), ( , )E x y F x y ，
直线 1
1
: ( 1)1
yED y xx
，当 1
2x 时，
1
1
3
2 1M
yy x
，
1
1
31( , )2 2 1
yM x ，联立
2 2
2
3 3
y k x
x y
得 2 2 2 2(3 ) 4 (3 4 ) 0k x k x k ，
23 0k ，
2 2
1 2 1 22 2
4 3 4,3 3
k kx x x xk k
，
下面证明直线 FM 经过点 1,0Q ，即证 FQ MQk k ， 1 2
1 2
3
1 1
y y
x x
，
把 1 1 2y k x ， 2 2 2y k x 代入整理得 1 2 1 24 5 4 0x x x x ，
即
2 2 2 2
2 2 2
3 4 4 12 16 204 5 4 4 4 4 03 3 3
k k k k
k k k
，
所以直线 FM 经过点 1,0 .
【点睛】
本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重
考查数学运算的核心素养.
14．已知点 0, 1A ， 0,1B ，动点 P 满足 PB AB PA BA
．记点 P 的轨迹为曲线C ．
（1）求C 的方程；
（2）设 D 为直线 2y 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别是 E ， F ．证明：直线 EF 过定点．
【答案】（1） 2 4x y ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得C 的方程；
（2）设 , 2D t ， 1 1,E x y ， 2 2,F x y ，利用导数得出切线 ,DE DF 的方程，由 D 在切线上，从而可
得直线 EF 的方程，由直线方程可得定点坐标．
【详解】
（1）设 ,P x y ，则 , 1PA x y ， ,1PB x y ，
0,2AB ， 0, 2BA ，
所以， PB AB PA BA
可以化为 2 21 1 0,2x y yAB ，
化简得 2 4x y ．
所以，C 的方程为 2 4x y ．
（2）由题设可设 , 2D t ， 1 1,E x y ， 2 2,F x y ，
由题意知切线 DE ， DF 的斜率都存在，
由 2 4x y ，得
2
4
xy ，则 2y x
，
所以 1
2DE
xk ，
直线 DE 的方程为 1
1 12
xy y x x ，即
2
1 1
1 2 2
x xy y x ，①
因为 1 1,E x y 在 2 4x y 上，所以 2
1 14x y ，即
2
1
122
x y ，②
将②代入①得 1 12 2 0x x y y ，
所以直线 DE 的方程为 1 12 2 0x x y y
同理可得直线 DF 的方程为 2 22 2 0x x y y ．
因为 , 2D t 在直线 DE 上，所以 1 12 4 0tx y ，
又 , 2D t 在直线 DF 上，所以 2 22 4 0tx y ，
所以直线 EF 的方程为 2 4 0tx y ，
故直线 EF 过定点 2,0 ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐
标，由导数的几何意义写出切线方程，再由 D 在切线上，根据直线方程的意义得出直线 EF 方程，然后得
定点坐标．
15．设抛物线 2 2y px 0p 的焦点为 F ，已知直线 1l ： 2 0mx y m ，圆 E ：
2 2 2 4 4 0x y x y .
（1）设直线 1l 与圆 E 的交点分别为 P ，Q ，求当 PQ 取得最小值时，直线 1l 的方程；
（2）若抛物线过圆 E 的圆心，直线 1l ， 2l 过同一定点且与抛物线相交于 A ，B 和C ，D 点， 1 2l l ，设 M
是 AB 的中点， N 是CD 的中点，证明：直线 MN 恒过定点.
【答案】（1） 2 2 0x y ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先判断直线 1l ： 2 0mx y m 过定点 2,0T ，由垂径定理表示出 2 22 3PQ d ，当 PQ ET 时，
当 d 最大时， PQ 最小，求出 PQ 斜率 m，得到直线方程；
（2）联立方程组表示出点 M、N，进而表示出直线 MN 的方程，利用点斜式方程说明直线过定点.
【详解】
解：（1）由题意得直线 1l ： 2 0mx y m 过定点 2,0T ，
由 2 2 2 4 4 0x y x y 得 2 21 2 9x y .
因为 2 22 1 0 2 9 ，
所以点 2,0T 在圆 E 内.
设圆心 1,2 到直线 1l 的距离为 d ， 2 22 3PQ d ，当 d 最大时， PQ 最小，
此时 PQ ET ，所以 1 1
2PQ
ET
m k k
，
此时直线 1l 的方程为 2 2 0x y .
（2）证明：因为抛物线过圆 E 的圆心 1,2 ，
所以 22 2 p ，解得 2p ，
所以抛物线的方程为 2 4y x .
由直线 1l 的方程为 2 0mx y m ，可得直线 1l ： 1 2x ym
，且过定点 2,0T ，
由 1 2l l 可得直线 2l ： 2x my ，
联立
2 4 ,
2,
y x
x my
，消 x 整理得 2 4 8 0y my .
设点 1 1,C x y ， 2 2,D x y ，则 1 2 4y y m ，
所以 2Ny m ，
则 22 2Nx m ，即点 22 2 , 2N m m ，
同理得点 2
2 22 ,M mm
，
当 1m 时，
直线 MN 的斜率 22
2
2 2 1
2 1 12
MN
m mmk
mm mmm
，
则直线 MN 的方程为 2 2
2 2 2
1
my xm m m
，
即
2
2 2
2 2 12
1
m my x m mm m
，
所以直线 MN 的方程为 2 4
1
my x
m
，
即直线 MN 恒过定点 4,0 ；
当 1m 时， 4, 2N ， 4,2M ，直线 MN 的方程为 4x ，也过定点 4,0 .
综上，直线 MN 恒过定点 4,0 .
【点睛】
证明直线过定点，通常有两类：
（1）直线方程整理为斜截式 y=kx+b，过定点(0,b)；
（2）直线方程整理为点斜式 y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) ．
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