专题14 圆锥曲线中的离心率问题（解析版）-2021年高考数学二轮复习之解答题专题

高考冲刺 专题 14 圆锥曲线中的离心率问题 1．直线 1 0x y   经过椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左焦点 F ，交椭圆于 A 、B 两点，交 y 轴于C 点， 若 2FC AC  ，则该椭圆的离心率是（ ） A． 10 2 2  B． 3 1 2  C． 2 2 2 D． 2 1 【答案】A 【分析】 求出椭圆的两个焦点坐标以及点 C 的坐标，由 2FC AC  求出点 A 的坐标，利用椭圆的定义求得 2a 的值， 进而可求得椭圆的离心率. 【详解】 由题意可知，点  ,0F c 在直线 1 0x y   上，即1 0c  ，可得 1c  ， 直线 1 0x y   交 y 轴于点  0,1C ， 设点  ,A m n ，  1,1FC  ，  ,1AC m n   ， 由 2FC AC  可得   2 1 2 1 1 m n      ，解得 1 2 1 2 m n      ， 椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的右焦点为  1,0E ，则 2 21 1 101 02 2 2AE               ， 又 2 21 1 21 02 2 2AF                ， 10 22 2a AE AF     ， 因此，该椭圆的离心率为  4 10 22 2 4 10 2 2 8 210 2 10 2 2 ce a         . 故选：A. 【点睛】 方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得 a 、 c 的值，根据离心率的定义求解离心率 e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于 a 、 c 的齐次方程，然后转化为关于 e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 2．已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的左、右焦点分别是 1F ， 2F ，点 P 在椭圆上，O 是坐标原点， 1 2 1 2 3F PF FOP     ，则椭圆的离心率是（ ） A． 3 2 2  B． 3 3 2  C． 10 2 3 D． 10 2 2  【答案】D 【分析】 利用 1 2 1 2 3F PF FOP     ，得到 1 2 1PFO F F P∽△△ ，利用 1 1 1 2 1 PF FO F F PF  ，求得 1 2PF c ，利用定义得到 2 2 2PF a c  ，再利用余弦定理得解. 【详解】 根据 1 2 1 2 3F PF FOP     以及 1 2 1PF F OF P   ，得 1 2 1PFO F F P∽△△ ，于是 1 1 1 2 1 PF FO F F PF  ，所以 1 2PF c ，又 1 2 2PF PF a  ，所以 2 2 2PF a c  ．在 2 1F F P△ 中，由余弦定理，得      2 22 14 2 2 2 2 2 2 2 ( )2c c a c c a c        ，即 2 22 2 0c ac a   ，所以 2 2 2 0e e   ， 因为 0 1e  ，所以椭圆的离心率 10 2 2e  ． 故选 D 【点睛】 本题以椭圆为载体，考查三角形相似、余弦定理以及椭圆的定义与性质．利用三角形相似、椭圆定义得到 焦半径是解题关键. 3．已知 1F ， 2F 分别是椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左、右焦点，若椭圆上存在点 P ，使得 1 2 0PF PF   ， 则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． 2 ,12      B． 20, 2       C． 1 2,2 2       D． 2 3,2 2       【答案】A 【分析】 由向量数量积为零可确定点 P 在以    1 2,0 , ,0F c F c 为直径端点的圆，由此可得 c b ，根据椭圆 , ,a b c 关 系可构造不等关系求得离心率的范围. 【详解】 由 1 2 0PF PF   得： 1 2PF PF ，点 P 在以    1 2,0 , ,0F c F c 为直径端点的圆上， 由此可得该圆的半径 r c b  ， 2 2 2 2c b a c    ，即 2 22c a ， 2 2 2 1 2 ce a    ， 2 12 e   . 故选：A. 4．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点为 (c,0)F ，上顶点为 (0, )A b ，直线 2ax c  上存在一点 P 满 足 ( ) 0FP FA AP     ，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A． 1 ,12     B． 2 ,12      C． 5 1,12      D． 20, 2       【答案】C 【分析】 根据平面向量的坐标运算公式，结合椭圆中 , ,a b c 的关系、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】 设 P 点的坐标为 2 ( , )a yc ，所以 2 2 ( , ), ( , ), ( , )a aFP c y FA c b AP y bc c         ， 因此 2 ( 2 , )aFP FA c y bc      ，因为 ( ) 0FP FA AP     ， 所以 2 2 ( 2 ) ( )( ) 0a ac y b y bc c       ，可得： 4 2 2 2 22 ay a b c    ， 因为 2 2 2 20,y b a c   ，所以可化简得： 4 2 2 4 4 2 23 5 5 13 0 3 1 0 1 12 2a a c c e e e e              ， 故选：C 5．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，记双曲线C 过一、三象限的渐近线 的倾斜角为 ，若点 M 在过原点且倾斜角为 2  的直线上，且 1 2| 2MF MF a ∣ ， 2 90OMF   ，则双 曲线C 的离心率为（ ） A． 2 5 2 B． 5 1 C． 2 5 1 D． 5 【答案】B 【分析】 由题意，延长 2F M 交直线 tan 0 2y x         于点 P ，可知 M 为 2PF 的中点，而由 2| |OP OF c  ， 且 tan b a   ，从而可得 ( , )P a b ，进而可求出点 M 的坐标，再把点 M 的坐标代入双曲线方程中化简可求 得离心率 【详解】 由题意，延长 2F M 交直线 tan 0 2y x         于点 P ，则由角平分线的性质可得 M 为 2PF 的中点， 2| |OP OF c  ，易得 ( , )P a b ，则 ,2 2 a c bM      ， 因为 1 2| 2MF MF a ∣ ，所以点 M 在双曲线上， 将点 M 的坐标代入双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   中，则 2 2 2 2 2 2 1 a c b a b             ，解得 5 1ce a    ． 故选：B 6．已知 1F ， 2F 是双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左，右焦点，过点 1F 倾斜角为 30°的直线与双曲 线的左，右两支分别交于点 A ， B .若 2 2AF BF ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 【答案】A 【分析】 设 1AF t ，据双曲线的定义可用t 表示 2 2AF BF， ，作 2F H AB H  ，构造直角三角形可计算得t ，并 用勾股定理列出了    2 223 2c c a  ，进而可求 e . 【详解】 设 1AF t ，则 2 22AF t a BF   ， 从而 1 4BF t a  ，进而 4BA a . 过 2F 作 2F H AB H  ，则 2AH a .如图： 在 1 2Rt F F H△ 中， 2 2 sin30F H c c   ， 1 22 cos 3F H c c AF   ； 在 2Rt AF H△ 中，   2 223 2c c a  ， 即 2 22 4c a ，所以 2e  . 故选：A 【点睛】 （1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义； （2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于 , ,a b c 的齐次等式，再化为 e 的等式可求； （3）此题的关键是作 2F H AB H  得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立 , ,a b c 的齐次等式. 7．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点分别为  1 2,0F  ，  2 2,0F ， P 为双曲线上位于第 二象限内的一点，点Q 在 y 轴上运动，若 2 1PQ QF PF  的最小值为 2 3 3 ，则双曲线的离心率为（ ） A． 3 B． 2 3 C．3 3 D． 4 3 【答案】B 【分析】 由 2 1 2 1 2PQ QF PF PF PF a     ，求得 a，再由左、右焦点分别为  1 2,0F  ，  2 2,0F 得到 c=2 求解. 【详解】 如图所示： 连接 2PF ，因为 2 1 2 1 2PQ QF PF PF PF a     ， 当且仅当 P ，Q ， 2F 三点共线时等号成立， 所以 2 1PQ QF PF  的最小值为 2a ， 所以 2 32 3a  ， 解得 3 3a  ． 由题意知 2c  ， ∴ 2 3ce a   ， 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题关键是利用三角形的性质得出 2 1PQ QF PF  取得最小值时 P ，Q ， 2F 三点共线求 解. 8．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b     的焦点在 1F ，过点 1F 的直线与两条渐近线的交点分别为 M､N 两点(点 1F 位于点 M 与点 N 之间)，且 13MN F N  ，又过点 1F 作 1F P OM 于 P(点 O 为坐标原点)，且 | | | |ON OP ，则双曲线 E 的离心率 e  （ ） A． 5 B． 3 C． 2 3 3 D． 6 2 【答案】C 【分析】 由题意知 1F N ON ， 1 1 1 3 2 FMMNF N F P   ，即 1Rt MPF△ 中 1 1sin 2PMF  ，进而求出 1PMF ， 又 Rt MNO 中可求 MON ，可得渐近线的倾斜角大小，进而求离心率. 【详解】 由题意，可得如下示意图： 其中，| | | |ON OP 知： 1 1OPF ONF  ，又 1F P OM ， 13MN F N  ，即 1F N ON 且 1 1 1 3 2 FMMNF N F P   ， ∴ 1Rt MPF△ 中，有 1 1 1 1sin 2 F PPMF F M    ，得 1 6PMF   ， ∴在 Rt MNO 中， 3MON   ，若 by xa  与 x 轴夹角为 ，即 2 3   ， ∴ 3tan 3 b a    ，由 2 2 2 a b c ，即可得 2 3 3 ce a   . 故选：C 【点睛】 关键点点睛：利用线段的比例关系，以及垂直关系求两渐近线的夹角大小，进而根据渐近线的斜率求参数 a、 b 的数量关系，即可求离心率. 9．已知 F 是双曲线 E ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点，直线 4 3y x 与双曲线 E 交于 A ，B 两点，O 为坐标原点， AF ， BF 的中点分别为 P ，Q ，若 0OP OQ   ，则双曲线 E 的离心率为（ ） A． 5 B． 2 C． 2 2 D． 2 5 【答案】A 【分析】 设 A 位于第一象限，由 0OP OQ   ，得到 OP OQ  ，连接 2AF ，得到 22AOF AF F   ， 根据题意得到 4tan 3AOF  ，求得 2 1tan 2AF F  ，得出 2 2cos sinAF F AF F ， 的值， 结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解. 【详解】 如图所示，不妨设点 A 位于第一象限，因为 0OP OQ   ，所以OP OQ  ， 设 2F 为双曲线 E 的左焦点，连接 2AF ， 因为 O ， P ， Q 分别为 AB ， AF ， BF 的中点，所以 //OQ AF ， 2//OP AF ， 所以 2 90FAF   ，所以 2OA OF OF  ，所以 22AOF AF F   ， 又直线 AB 的方程为 4 3y x ，所以 4tan 3AOF  ， 所以 2 2 2 2 2tan 4tan tan2 1 tan 3 AF FAOF AF F AF F       ，得 2 1tan 2AF F  ， 所以 2 2 5cos 5AF F  ， 2 5sin 5AF F  ， 所以 2 2 2 2 5 4 5cos 2 5 5AF FF AF F c c      ， AF  2 2 5 2 5sin 2 5 5FF AF F c c     ， 由双曲线的定义可知 2 2 5 25AF AF c a   ， 所以双曲线 E 的离心率 5ce a   ． 故选：A 【点睛】 求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得 ,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率 e ； 2、齐次式法：由已知条件得出关于 ,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于 e 的一元二次方程求解； 3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 10．已知 1F ， 2F 分别是双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点，与 y 轴垂直的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于点 A ， B ，且 1 1 22 AF F F AB  ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A． 3 11, 2      B． 5 11, 2      C． 3 1,2       D． 5 1,2       【答案】D 【分析】 由余弦定理可求出 2AF ，利用双曲线定义可得 2 1 2AF AF a  ，代入离心率公式，结合 π0 2   求值 即可. 【详解】 由题意得 1 1 22 2AF F F c  ，所以 1AF c ．设 1 2AF F   ，则 π0 2   ，连接 2AF ，则 2 2 2 2 2 1 1 2 1 11 22 2 cos 5 4 cosAF AF a AF F F AF F F c c        ． 由双曲线的定义得 2 1 2AF AF a  ， 所以 2 2 2 2 2 2 5 4cos 15 4 cos c c ce a a c c c         ． 因为 π0 2   ， 所以  cos 0,1  ，所以 2 5 1,25 4cos 1         ，即双曲线 C 的离心率的取值范围为 5 1,2       ， 故选：D 11．已知 1 2( ,0) ( ,0)F c F c ， 分别是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两个焦点，双曲线 1C 和圆 2 2 2 2 :C x y c  的一个交点为 P ，且 2 1 π 3PF FÐ = ，那么双曲线 1C 的离心率为（ ） A． 5 2 B． 3 C．2 D． 3 1 【答案】D 【分析】 由题知， 1 2 90F PF   ，计算得 1 23 ,PF c PF c  ，由双曲线定义列出 3 2c c a  ，计算可得离心率. 【详解】 由题知， 1 2 90F PF   ，又 2 1 π 3PF FÐ = ，且 1 2 2F F c ，则 1 23 ,PF c PF c  ， 由双曲线定义得， 3 2c c a  ，得 3 1  ce a 故选：D 12．已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右顶点为 P，右焦点 F 与抛物线 2C 的焦点重合， 2C 的顶点与 1C 的中心 O 重合.若 1C 与 2C 相交于点 A，B，且四边形OAPB 为菱形，则 1C 的离心率为___________. 【答案】 1 3 【分析】 设抛物线的方程为 2 2 ,y px 得到 2 4y cx ，把 ( , 2 )2 aA ac 代入椭圆的方程化简即得解. 【详解】 设抛物线的方程为 2 22 , , 2 , 42 py px c p c y cx      . 由题得 ( , 2 )2 aA ac ，代入椭圆的方程得 2 2 2 24 1 a ac a b   ， 所以 2 2 2 2 28 3 3( ), 3 8 3 0ac b a c c ac a       ， 所以 23 8 3 0e e   ， 所以 (3 1)( 3) 0,e e   因为 0 1e  ， 所以 1 3e  . 故答案为： 1 3 【点睛】 方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出 ,a c 代入离心率的公式即得解）；（2） 方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 13．已知点 F 是椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左焦点，   0, 0P m m b  ，直线 PF 交C 于 A ，B 两点，若 P ， F 均是线段 AB 的三等分点，则椭圆C 的离心率为______ 【答案】 5 5 【分析】 依题意求得点 B 的坐标，再将坐标代入椭圆方程化简求得离必率． 【详解】 如图，不妨设点 B 在第三象限，作 BB x  轴于点 B ，设 F是椭圆 C 的右焦点，连接 AF ，显然 OP 是 FF A△ 的中位线，∴ AF x  轴．易得 2bAF a   ，又 FOP△ ≌ FB B△ ，∴ 21 2 2 bB B OP AF a     ， ∴点 B 的坐标是 2 2 , 2 bc a      ．将点 B 的坐标代入椭圆方程，得 2 2 2 2 4 14 c b a a   ，∴ 2 2 2 2 2 4 14 c a c a a   ，即 2 2 14 14 ee   ，得 5 5e  ． 故答案为： 5 5 14．已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ，左、右焦点分别为 1F ， 2F ，设以线段 1 2F F 为直径的圆和此椭圆在 第一象限和第三象限内的公共点分别为 M ， N ，四边形 1 2MF NF 的面积为S，周长为l ，若 2 1 32 S l  ，则 该椭圆的离心率______． 【答案】 3 2 【分析】 由椭圆的定义知 4l a ，由圆的性质以及椭圆的对称性知四边形 1 2MF NF 为矩形，则有 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |MF MF F F  求 1 2| |,| |MF MF ，再由 1 2| | | |S MF MF  求面积，结合 2 1 32 S l  及椭圆参数关系 即可求离心率. 【详解】 由题意知： 1 2 1 2| | | | | | | | 4l MF MF NF NF a     ，且 1 2 1 2,MF MF NF NF  ，由对称性知：四边形 1 2MF NF 为矩形， ∴设 1 2| | | | 2MF m MF a m    ，即 2 2 2(2 ) 4a m m c   ，得 2 22 2 0m am b   ， ∴解得： 2 22m a a b   或 2 22m a a b   （舍）， ∴ 2 2 2 2 1 2| | 2 ,| | 2MF a a b MF a a b      ，有 2 1 2| | | | 2S MF MF b   ， 又 2 2 2 2 1 16 32 S b l a   ，即 2 2 2 2 11 4 a c ea     ，则 3 2e  . 故答案为： 3 2 . 【点睛】 关键点点睛：利用圆的性质，椭圆的对称性及定义求出焦点相关的四边形的周长和面积，根据它们的比例 关系以及椭圆参数关系，列齐次方程求离心率.