专题18 利用直线参数方程的几何意义解决问题（解析版）-2021年高考数学二轮复习之解答题专题

高考冲刺 专题 18 利用直线参数方程的几何意义解决问题 1．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 3 3 4 x t y t     （t 为参数）.在以坐标原点为极点， x 轴的 正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为 2 60 sin 5 0     . （1）求l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）已知点 ( 3, 1)M   ，直线l 与圆C 相交于 A 、 B 两点，求 MA MB . 【答案】（1） 4 3 9 0x y   ， 2 2( 3) 4x y   ；（2）21. 【分析】 （1）由参数方程消参化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化可得答案. (2)先将直线l 的参数方程化为标准形式 33 5 41 5 x s y s         （ s 为参数），再与圆的方程联立，由直线参数方程中 参数的几何意义可得答案. 【详解】 （1）将直线l 的参数方程 3 3 4 x t y t     消去参数 t 得直线l 的普通方程为 4 3 9 0x y   ， 将 2 2 2x y   和 siny    代入到 2 6 sin 5 0      中， 则圆 C 的直角坐标方程为 2 2 6 5 0x y y    ，即 2 2( 3) 4x y   ； （2）将l 的参数方程化为 33 5 41 5 x s y s         （ s 为参数）代入到圆C 的直角坐标方程 2 2( 3) 4x y   ，得 2 10 21 0s s   ，设这个方程的两个实根分别为 1s 、 2s ， 则由直线参数 s 的几何意义即知， 1 2 21MA MB s s    . 2．在直角坐标系 xOy 中，直线 1l 的参数方程为 32 2 1 2 x t y t      （t 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2cos  ． （1）求直线 1l 的普通方程和 C 的直角坐标方程； （2）若直线 1l 与C 交于 A ， B 两点（ A 点的横坐标小于 B 点的横坐标），直线 2 : ( )3l   R 与直线 1l 交于点 P ，求 | | | | PA PB ． 【答案】（1） 3 2 0x y   ； 2 2 2 0x y x   ；（2） 1 2 ． 【分析】 （1）消去参数t ，即可得出直线 1 :l 3 2 0x y   ，将 2cos  两边同时乘以  ，根据 2 2 2 cos sin x y x y            即可求解. （2）将直线 1l 的参数方程分别代入 3y x 与 2 2 2 0x y x   ，利用参数的几何意义即可求解. 【详解】 解：（1）将直线 1l 的参数方程 32 2 1 2 x t y t      ，消去参数t ，得 3 2 0x y   ． 在曲线C 的极坐标方程 2cos  两边同时乘以  ，得 2 2 cos   ， 转化为直角坐标方程为 2 2 2 0x y x   ． （2）曲线C 是圆，它的标准方程为 2 2( 1) 1x y   ， 所以 1l 与C 交于点 (2,0) ，另一点的横坐标在 (0,2) 内， 所以交点 B 的坐标为 (2,0) ． 直线 2 : ( )3l   R 的直角坐标方程为 3y x ， 与直线 1l 的参数方程 32 2 1 2 x t y t      （t 为参数）联立， 解得 2 3t   ，由直线参数方程中参数的几何意义得| | 2 3PB  ． 将 1l 的参数方程 32 2 1 2 x t y t      （t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程 2 2 2 0x y x   ，解得 0t  或 t 3  ，所以| | 3AB  ， 所以| | | | | | 3PA PB AB   ，从而 | | 3 1 | | 22 3 PA PB   ． 3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 的坐标为 (0,2) ，直线 1C 的方程为： cos 2 sin x t y t       （其中t 为参 数）．以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为： 2cos 4 3cos 0      ． （1）将直线 1C 的方程化为普通方程，曲线 2C 的方程化为直角坐标方程； （2）若直线 1C 过点 ( 3, 1)Q  且交曲线 2C 于 A ， B 两点，设线段 AB 的中点为 M ，求| |PM ． 【答案】（1） sin cos 2cos 0x y     ， 2 4 3y x ；（2） 8 3 3 . 【分析】 （1）根据参数方程，消去参数t 即可求解；将曲线 2C 的极坐标方程两边同时乘以  ，根据 2 2 2 cos sin x y x y            即 可求解. （2）将点代入可得 2 3   ，将直线的参数方程代入 2C 的直角坐标方程，设 A ， B ， M 对应的参数分别 为 1t ， 2t ， 0t ，得出 1 2 0 8 3 2 3 t tt    ，利用参数的几何意义即可求解. 【详解】 解：（1）由直线 1C 的参数方 cos 2 sin x t y t       （t 为参数）， 消去参数t 可得其普通方程为： sin cos 2cos 0x y     ． 曲线 2C 的极坐标方程 2cos 4 3cos 0      ，即为 2 2 2cos 4 3 cos 0       ， 化为直角坐标方程为： 2 4 3y x ． （2）直线 1C 过点 ( 3, 1)Q  ，所以 3sin cos 2cos 0     ，所以 tan 3   ，所以 2 3   ．直 线 1C 的参数方程为 1 2 32 2 x t y t       ，代入 2 4 3y x ， 可得 23 16 3 16 0t t   ． 设 A ， B ， M 对应的参数分别为 1t ， 2t ， 0t ，则 1 2 0 8 3 2 3 t tt    ， 所以 0 8 3| | 3PM t  ． 4．已知平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 1 3 x t y t     （t 为参数），曲线C 的参数方程为 2cos 2 2sin x y       （ 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，其中点 M 的极坐标为 1, 2      ． （1）求直线l 以及曲线C 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 交于 A 、 B 两点，求 1 1 MA MB  的值． 【答案】（1） : 3 1l y x  ， 2 2: 4 0C x y y   ；（2） 3 3 . 【分析】 （1）在直线l 的参数方程中消去参数t ，可得出直线l 的普通方程，在曲线C 的参数方程中消去参数 可得 出曲线C 的普通方程； （2）将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，进而得出 1 2 1 2 1 1 t t MA MB t t   ，代 入韦达定理即可得解. 【详解】 （1）在l 的参数方程中消去参数t 可得 3 1y x  ， 在曲线C 的参数方程中，可得 2cos 2 2sin x y       ，      2 2 22 2 2cos 2sin 4x y        ，即 2 2 4 0x y y   ， 所以，直线l 的普通方程为 3 1y x  ，曲线 C 的普通方程为 2 2 4 0x y y   ； （2）易知点  0,1M ，设直线l 的参数方程为 1 2 31 2 x t y t      （t 为参数）， 设点 A 、 B 对应的参数分别 1t 、 2t ，将直线l 的参数方程代入 2 2 4 0x y y   得 2 3 3 0t t   ， 3 4 3 15     ，所以 1 2 3t t   ， 1 2 3t t  ． 由于直线l 过  0,1M ，故 1 2 1 2 1 1 3 3MA M t B t t t    ． 【点睛】 结论点睛：直线参数方程的三个应用： 已知倾斜角为 的直线l 经过点  0 0,P x y ，则直线l 的参数方程为 0 0 cos sin x x t y y t        （t 为参数），已知直线 A 、 B 为直线l 上的两个点，对应的参数分别为 1t 、 2t . （1） 1 2PA PB t t  ， 1 2AB t t  ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 0 , 0 t t t tPA PB t t t t t t          ； （2）线段 AB 的中点 M 对应的参数为 1 2 2 t tt  ； （3）若线段 AB 的中点为 P ，则 1 2 0t t  且 1 2 0t t  . 5．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程是 cos 1 sin x y       （ 为参数）.以O 为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 2C 的极坐标方程是 1sin 2    . （Ⅰ）求曲线 1C 的极坐标方程和直线 2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）过点O 的直线l 与 1C 异于点O 的交点为点 A ，与 2C 的交点为点 B ，求 OA OB 的值. 【答案】（Ⅰ） 1 : 2sinC   ， 2 1: 2C y  ；（Ⅱ）1. 【分析】 （Ⅰ）将 1C 参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得 2C 的直角坐 标方程； （Ⅱ）解法一：设  : 0l       ，代入 1 2,C C 的极坐标方程可表示出 ,OA OB ，相乘可得结果； 解法二：设 cos: sin x tl y t      （t 为参数），将l 代入 1 2,C C 的直角坐标方程，根据t 的几何意义可得 ,OA OB ， 相乘可得结果. 【详解】 （Ⅰ） 曲线 1C 的参数方程是 cos 1 sin x y       （ 为参数）， 普通方程为 2 2 2 0x y y   ，化为极坐标方程为 2sin  . 直线 2C 的直角坐标方程为： 1 2y  . （Ⅱ）解法一：设以点 O 为端点的射线l 的极坐标方程为  0      . 将  分别代入 2sin  和 1sin 2    中得： 2sinOA  ，  1 02sinOB     ， 12sin 12sinOA OB       . 解法二：设过点O 的直线l 的倾斜角为  0    ， 则直线l 的参数方程为 cos sin x t y t      （t 为参数）. 把 cos sin x t y t      代入 2 2 2 0x y y   得： 2 2 sin 0t t   ，解得： 2sint  . 根据直线参数方程中t 的几何意义可知：  2sin 0OA      . 把 cos sin x t y t      代入 1 2y  得： 1 2sint  ， 1 2sinOB   ， 12sin 12sinOA OB       . 【点睛】 思路点睛：本题第二问考查距离之积的求解问题，解决此类问题可利用极坐标中  的意义或直线参数方程 中t 的几何意义来进行求解. 6．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 1 : ( )3l R   与直线 2 : 3 cos sin 4 0l       交于点 P ． （1）求点 P 的直角坐标； （2）若直线 2l 与圆C ： 3cos 3sin x y      （ 为参数）交于 ,A B 两点，求| | | |PA PB 的值． 【答案】（1） 2 3 ,23P     ；（2）11 3 . 【分析】 （1）先求出直线 1l 和 2l 的直角坐标方程，再联立方程即可求出； （2）求出直线 2l 的参数方程，代入圆的普通方程，利用直线参数的几何意义即可求出. 【详解】 （1）直线 1l 的直角坐标方程为 3y x ①， 直线 2l 的直角坐标方程为 3 4 0x y   ②， 联立①②解方程组得 2 3 3 2 x y     ， 所以点 P 的直角坐标为 2 3 ,23       . （2）直线 2l 的直角坐标方程为 3 4 0x y   ，倾斜角为 120°， 所以直线 2l 的参数方程为 2 3 1 3 2 32 2 x t y t       （t 为参数）①， 圆C 的普通方程为 2 2 9x y  ②， 将①代入②得 2 4 3 11 03 3t t   . 设点 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 1 2 11| | | | | | | | | | 3PA PB t t t t      . 【点睛】 关键点睛：本题考查直线参数方程的几何意义，解题的关键是求出直线 2l 的参数方程，利用 1 2 1 2| | | | | | | | | |PA PB t t t t     求解. 7．已知某曲线 C 的参数方程为 2x cos y sin      （ 为参数）． （Ⅰ）若  ,P x y 是曲线C 上的任意一点，求 2x y 的最大值； （Ⅱ）已知过C 的右焦点 F ，且倾斜角为 0 2       的直线l 与C 交于 ,D E 两点，设线段 DE 的中点 为 M ，当 3 1 1 16 FMFE FD       时，求直线l 的普通方程． 【答案】（Ⅰ） 2 2 ；（Ⅱ） 5 2 15 0x y   ． 【分析】 （Ⅰ）由 2 2 2 2 2 4x y cos sin sin           ，利用三角函数性质计算求解即可； （Ⅱ）曲线C 化为普通方程为 2 2 14 x y  ，设直线l 的参数方程为 3 sin x tcos y t       （t 为参数），联立，由 直线参数方程的几何意义可知， 1 2 1 2 1 2 | |1 1 1 1 | | | | | | | | | | t t EF FD t t t t     ， 1 2 2 t tFM  ，利用韦达定理化 简计算即可求得结果. 【详解】 解：（Ⅰ）依题意得 2x cos ， siny  ， 2 2 2 2 2 4x y cos sin sin           ， 当 2 ,4 2k k Z     ， 即 2 4k    时， , 14k Z sin       ， 2x y 的最大值为 2 2 ． （Ⅱ） 2x cos ， siny  ， 由于 2 2 1cos sin   ，整理得 2 2 14 x y  ． 由直线l 的倾斜角为 0 2       ，依题意易知：  3,0F ， 可设直线l 的参数方程为 3 sin x tcos y t       （t 为参数）， 代 2 2 14 x y  得到：  2 21 3 2 3 1 0sin t tcos     ， 易知  2 212 4 1 3 16 0cos sin       ， 设点 D 和点 E 对应的参数为 1t 和 2t ， 所以 1 2 2 2 3 1 3 cost t sin      ， 1 2 2 1 01 3t t sin    ， 则  2 1 2 1 2 1 2 2 44 1 3t t t t t t sin       ， 由参数的几何意义： 1 2 1 2 1 2 | |1 1 1 1 4| | | | | | | | | | t t EF FD t t t t      ， 3 1 1 3 16 | | | | 4EF FD       ， 0 2   ， 1 2 2 2 3 3 3 2 1 3 1 3 4 t t cos cosFM sin sin           ， 所以 2 3cos  ， 所以直线l 的斜率为 5 2 ， 直线l 的普通方程为 5 2 15 0x y   ． 【点睛】 关键点睛：本题利用直线参数方程中t 的几何意义解题，关键是能够根据参数t 的几何意义将已知弦长用韦 达定理的形式表示. 8．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3 3cos 3sin x y       （ 为参数），点 P 的坐标为 0m, ． （1）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）若直线l ： 1 2 3 2 x m t y t      （t 为参数）与曲线C 交于 A ， B 两点，若 2PA PB  ，求 2 6m m 的取 值范围． 【答案】（1） 6cos  ；（2）   9, 2 2,3   ． 【分析】 （1）先消去参数得到C 的直角坐标方程，再利用 cos , sinx y     代入即得 C 的极坐标方程； （2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得到关于 t 的二次方程，再根据判别式大于零和 1 2 2PA PB t t   ，即解得 2 6m m 的取值范围. 【详解】 解：（1）因为C 的参数方程为 3 3cos 3sin x y       （  为参数），所以C 的直角坐标方程为 2 23 9x y   ， 即 2 2 6x y x  ，故C 的极坐标方程为 6cos  ； （2）将直线l ： 1 2 3 2 x m t y t      （ t 为参数）代入 2 2 6x y x  ，可得：  2 23 6 0t m t m m     ，则    2 23 4 6 0m m m      ，即 2 6 3m m  ， 因为 2 1 2 6 2PA PB t t m m     ，所以 29 6 2m m     或 22 6 3m m   ， 故 2 6m m 的取值范围为   9, 2 2,3   ． 9．在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 2cos 1 2sin x y        ( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 cos 24       . （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）直线l 与曲线C 交于 ,M N 两点，设点 P 的坐标为 0, 2 ，求 2 2| | | |PM PN 的值. 【答案】（1）曲线C ： 2 2( 2) ( 1) 4x y    ，直线l ： 2 0x y   ；（2）32. 【分析】 （1）利用公式 2 2sin cos 1   消除参数 ，可得曲线C 的方程，再利用直角坐标与极坐标的转化公式求 得直线l 的方程； （2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解. 【详解】 （1）曲线C ： 2 2( 2) ( 1) 4x y    ，直线l ： 2 0x y   （2）设l ： 2 2 22 2 x t y t       (t 为参数) 将l 的参数方程代入 2 2( 2) ( 1) 4x y    , 得 2 22 2( 2) ( 3 ) 42 2t t     , 2 5 2 9 0t t   , 故 1 2 5 2t t  ， 1 2 9t t  , 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 50 18 32PM PN t t t t t t         , 故 2 2 32PM PN  . 【点睛】 直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式 cos sin x y        ，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是 利用公式 2 2 2 tan x y y x       ，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生 2 ， cos  , sin  以便转化另一方面， 当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数 来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的 最值问题. 10．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2cos sin x y      （ 为参数） ，直线l 的参数方程为 2 2 3 x t y t      （t 为参数）. （1）求直线l 普通方程； （2）设  2,3A ，若直线l 与曲线C 相交于 ,P Q 两点，求 AP AQ 的值. 【答案】（1） 2 1y x  ；（2） 52 5 17 . 【分析】 （1）消参可得结果. （2）直线过点 (2,3)A ，由直线的参数方程中 t 的几何意义，即可得出结果. 【详解】 （1）消参可得直线l 普通方程为 2 1y x  ， （2）曲线C 的普通方程为 2 2 14 x y  ，将直线 l 的参数方程 化为 12 5 23 5 x t y t       ，（t 为参数） 代入椭圆方程得： 217 52 36 05 5 t t   ， 由韦达定理可得 1 2 1 2 52 5 36 5, 1717 5 t t t t     . 1 2 1 20, ,t t t t 同号， 1 2 52 5| | | | 17AP AQ t t    . 【点睛】 方法点睛：利用直线参数方程中t 的几何意义解题，计算简便.本题考查了理解辨析能力和计算能力，属于一 般题目.