高考冲刺 专题 19 消参法解决普通方程和参数方程之间的互化问题
1.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为
62 cos ,2
6 sin2
x
y
( 为参数).以坐标原点 O 为极点,
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 4cos 0 .
(1)求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程;
(2)设直线l :
22 ,2
2
2
x t
y t
(t 为参数)与曲线 2C , 1C 的交点从上到下依次为 P , M , N ,Q ,求
PM NQ 的值.
【答案】(1) 1C : 2 2 32 2x y , 2C : 2 4y x ;(2)3 6 .
【分析】
(1)利用 2 2sin cos 1 对曲线 1C 的参数方程进行化简可得曲线 1C 的普通方程,由 cos
sin
x
y
可求
出曲线 2C 的直角坐标方程;
(2)将直线l 的参数方程代入曲线 2C 的方程,化简得 2 4 2 16 0t t ,解出方程的两根 1 2 2 2 6t ,
2 2 2 2 6t ,则有 1 2 1 2 4 6PQ t t t t ,同理可求出 3 4 3 4 6MN t t t t ,进而可
求出答案;或利用弦长公式求出 PQ ,利用圆的几何性质求出 MN ,从而可求出 PM NQ 的值
【详解】
解析:(1)将曲线 1C 的参数方程化为普通方程,
得 2 2 32 2x y .
曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 4cos 0 ,有 2 2sin 4 cos 0 ,
由 cos
sin
x
y
得曲线 2C 的直角坐标方程为 2 4y x .
(2)法一:将
22 ,2
2
2
x t
y t
(t 为参数)代入曲线 2C 的方程得,
2
2 24 22 2t t
,
即 2 4 2 16 0t t .
由于 2
4 2 4 16 96 0 .
故可设 1t , 2t 是方程 2 4 2 16 0t t 的两个不同的实根,
所以 1 2 2 2 6t , 2 2 2 2 6t ,
由t 的几何意义得, 1 2 1 2 4 6PQ t t t t .
同理将
22 ,2
2
2
x t
y t
(t 为参数)代入曲线 1C 的方程得, 2 3
2t ,
解得两根为 3
6
2t , 4
6
2t .
所以 3 4 3 4 6MN t t t t .
故 4 6 6 3 6PM NQ PQ MN .
法二:直线l 的普通方程为 2y x ,将直线l 与曲线 2C 的方程联立,得 2
2,
4 ,
y x
y x
消去 y ,整理得 2 8 4 0x x .
设 1 1,P x y , 2 2,Q x y ,则 1 2 8x x , 1 2 4x x .
所以 2
1 22 2 8 4 4 4 6PQ x x .
而曲线 1C 是以 2,0 为圆心, 6
2
为半径的圆,
显然点 1 2,0C 在直线l : 2y x 上,
所以 62 62MN .
故 4 6 6 3 6PM NQ PQ MN .
【点睛】
关键点点睛:本小题主要考查直线、圆的参数方程与普通方程互化,抛物线的极坐标方程与直角坐标方程互
化.直线与圆,直线与抛物线的位置关系等基础知识;考查运算求解、逻辑推理等数学能力;考查数形结合等
数学思想,解题的关键是利用直线参数方程的几何意义求出弦长.
2.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 1C 的参数方程为
cos
1 sin
x
y
( 为参数),直线l 的极坐标方程为 1sin 03 2
πρ θ .
(1)求曲线 1C 普通方程和直线l 的直角坐标方程;
(2)已知曲线 1C 和直线l 相交于 A 、 B 两点,求三角形 ABO 面积.
【答案】(1) 1C : 22 1 1x y ;l : 3 1 0x y ;(2) 1
2 .
【分析】
(1)根据圆的参数方程的公式计算即可得曲线 1C 普通方程,根据正弦差角公式展开,再结合 cos
sin
x
y
求解即可;
(2)根据直线经过圆心得 2AB ,再根据点到直线的距离公式得O 到直线l 的距离为 1
2d ,再根据面
积公式求解即可.
【详解】
解:(1)曲线 1C 的参数方程为 cos
1 sin
x
y
( 为参数),
所以 22 2 21 cos sin 1x y α α ,
曲线 1C 的普通方程: 22 1 1x y .
直线l 的极坐标方程为 1sin 03 2
πρ θ
,展开得 2 sin cos cos sin 1 03 3
π πρ θ θ
由 cos
sin
x
y
得, 3 1 0y x .
直线l 的直角坐标方程: 3 1 0x y .
(2)由于直线 : 3 1 0l x y 经过圆 22
1 : 1 1C x y 圆心,所以 2AB .
而 0,0O 到直线 : 3 1 0l x y 的距离为 d , 3 0 0 1 1
23 1
d
.
所以三角形 ABO 面积 1 1 122 2 2S .
【点睛】
本题考查参数方程,极坐标方程,普通方程之间的互化,直线与圆的位置关系,考查运算求解能力,是基
础题.本题第二问解题的关键在于根据题意得直线l 经过圆 1C 圆心,进而得 2AB .
3.在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为
3 13 113
2 13
13
x t
y t
(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系,直线l 与极轴交于点 N ,且动点 M 满足 1MN .
(1)求直线l 的极坐标方程和点 M 的轨迹的极坐标方程C ;
(2)若直线 π
4
R 分别交直线l 、曲线C 于点 A , B (非极点),求 1 1
OA OB
的值.
【答案】(1) : 2 cos 3 sin 2 0l ; 2: cosC ;(2) 3 2
4
.
【分析】
(1)先消参得到直线l 的直角坐标方程,再利用极坐标公式得到直线的极坐标方程;先求出点 M 的轨迹方
程为 2 21 1x y ,再化成极坐标方程;
(2)求出 2 2OA , 2OB ,代入即得解.
【详解】
解:(1)由
3 13 1,13
2 13
13
x t
y t
(t 为参数)得 2 3 2 0x y ,
∴直线l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 2 0 .
令 0 ,得 1 ,∴点 1,0N ,
由 1MN 得点 M 的轨迹为以点 1,0N 为圆心,l 为半径的圆,
∴点 M 的轨迹方程为 2 21 1x y ,
∴ 2cos .
(2)联立
2 cos 3 sin 2 0,
π
4
得 2 2 ,
∴点 π2 2, 4A
, 2 2OA .
联立
2cos ,
π
4
得 2 ,
∴点 π2, 4B
, 2OB .
∴ 1 1 1 1 3 2
42 2 2OA OB
.
【点睛】
方法点睛:研究极坐标问题,常用法方法有:(1)先将所有条件化成直角坐标解答,再化成极坐标得解;(2)
直接利用极坐标的知识得解.
4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线C 的参数方程为 2cos 2sin
cos sin
x
y
( 为参数).以坐标原点 O
为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为 3sin 4 24
.
(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程;
(2)过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于 A , B 两点,求 2 2
1 8
OA OB
的最大值.
【答案】(1)
2 2
18 2
x y , 8 0x y ;(2) 7 13
16
.
【分析】
(1)消去参数即可得到曲线C 的直角坐标方程,再由 cosx , siny 代入即可得到直线l 的直角
坐标方程;
(2)在极坐标系内,可设 1,A , 2 ,B ,则 2 2 2 2
1 2
1 8 1 8
OA OB ,再根据三角函数的性质计
算可得;
【详解】
解:(1)由曲线C 的参数方程 2cos 2sin
cos sin
x
y
( 为参数)得:
2
2 22 cos sin cos sin 24
x y
∴曲线C 的直角坐标方程为
2 2
18 2
x y .
又由 3sin 4 24
, cos sin 8
将 cosx , siny 代入上式,
得直线l 的直角坐标方程为 8 0x y .
(2)在极坐标系内,可设 1,A , 2 ,B ,
则
2 2 2 2
1 1cos sin 18 2
, 2 2cos sin 8
2 2
2 2 2 2
1 2
1 8 1 8 cos 4sin 1 sin 2
8OA OB
7 13sin 2 7 13
16 16
(当 sin 2 1 时取等号,符合题意)
∴ 2 2
1 8
OA OB
的最大值为 7 13
16
5.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 1C 的参数方程为
1
1
x t t
y t t
,
,
(t 为参数).以原点 O 为极点, x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 2 28 cos 16 0( 0)r r .
(1)若 3r ,设双曲线 1C 的一条渐近线与 2C 相交于 ,A B 两点,求 AB ;
(2)若 1r ,分别在 1C 与 2C 上任取点 P 和 Q ,求 PQ 的最小值.
【答案】(1)2;(2) 2 3 1 .
【分析】
(1)首先消参求得曲线 1C 和曲线 2C 的直角坐标方程,再求双曲线的渐近线方程,利用直线和圆相交,求
弦长 AB ;另解:分别求渐近线的极坐标方程,与曲线 2C 的极坐标方程联立,求弦长 1 2AB ;(2)
设双曲线 1C 上任取点 0 0,P x y ,先求点 P 和圆心的距离的最值,再求 PQ 的最小值.
【详解】
解:(1)若 3r ,曲线 2C 的直角坐标方程为: 2 24 9x y , 双曲线 2 2
1 4C y x ,一条渐近线
方程为: 0x y ,圆心 4.0 到直线的距离 4 0 =2 2
2
d ,
2| | 9 8 12
AB
,则 2AB .
另解:可知双曲线 2 2
1 : 4C y x .一条渐近线方程为: 0x y .其极坐标方程为 = 4
R
由
2 8 cos 7 0
= 4
得 2 4 2 7 0 ,故 1 2 1 24 2, 7 .
2
1 2 1 2 1 2| | 4 2AB .
(2)若 1r ,曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2( 4) 1x y ,圆心 4,0 ,半径 1R .
设双曲线 1C 上任取点 0 0,P x y ,则 2 22 2 2
2 0 0 0 0 0 04 4 4 2 8 20PC x y x x x x ,
当 0 2x 时, 2 min 2min min2 3,| | 2 3 1PC PQ PC R .
【点睛】
方法点睛:本题考查弦长公式,一般求弦长的方法包含以下几点:
1.直角坐标系下的弦长公式 2 2
1 2 1 2| | 1 ( ) 4AB k x x x x 或是 2
1 2 1 22
11 ( ) 4y y y yk
;
2.利用直线参数方程t 的几何意义可知 1 2| | | |AB t t ;
3.极坐标系下,过原点的直线与曲线相交的弦长 1 2| | | |AB .
6.在直角坐标系 xOy 中,直线l 的直角坐标方程为 3 2 3,3y x 曲线 C 的参数方程为 3 3cos
3sin
x
y
( 为参数),以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l 和 C 的极坐标方程;
(2)设直线l 与曲线 C 交于 M,N 两点,求 MN .
【答案】(1)直线l 的极坐标方程为 sin( ) 36
,曲线 C 的极坐标方程为 6cos ;(2)3 3 .
【分析】
(1)根据 2 2 2cos , sin ,x y x y ,代入直线直角坐标方程,即可求得 l 的极坐标方程;根据
曲线 C 的参数方程,可得曲线 C 的直角坐标方程,化简整理,即可得答案.
(2)由(1)可得曲线 C 的直角坐标方程,与直线联立,可求得交点横坐标,根据弦长公式,即可求得答
案.
【详解】
(1)因为 2 2 2cos , sin ,x y x y ,
所以 3sin cos 2 33
,即 3 sin cos 6
整理可得直线l 的极坐标方程为: sin( ) 36
;
由题意得,曲线 C 的直角坐标方程为 2 2( 3) 9x y ,即 2 2 6 0x y x ,
所以曲线 C 的极坐标方程为: 2 6 cos 0 ,即 6cos .
(2)由(1)可得曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 6 0x y x ,
与直线 3 2 3,3y x 联立,得 22 15 18 0x x ,
解得 1 2
3
26,x x ,
所以 2
1 2
1 91 1 3 33 2MN k x x .
【点睛】
解题的关键是熟练掌握直角坐标与参数方程、极坐标之间的互化,并灵活应用,在求直线被圆所截弦长时,
常用弦长公式、垂径定理、参数方程 t 的几何意义等方法求解,考查计算化简的能力,属中档题.
7.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为:
2
cos
2 tan
x
y
( 为参数),直线l 的参数方程为:
2 2x t
y t
(t 为参数),曲线C 与直线l 交于 A 、 B 两点.
(1)把曲线C 和直线l 的参数方程化为普通方程;
(2)设 AB 中点为 M ,以原点O 为圆心、 OM 为半径的圆与 x 轴正半轴交于 N ,以原点O 为极点,x 轴
的非负半轴为极轴,建立极坐标系,求以 ON 为直径的圆的极坐标方程.
【答案】(1)
2 2
14 2
x y , 1 22y x ;(2) 2cos .
【分析】
(1)消参得到曲线C 和直线l 的普通方程;
(2)先求出 2, 2M ,再求出以 ON 为直径的圆的极坐标方程.
【详解】
(1)由曲线C 的参数方程
2
cos
2 tan
x
y
,
得:
22 2
2
2 2
1 1 sintan 12 cos cos2
x y
,
即
2 2
14 2
x y 即为C 的普通方程.
由直线l 的参数方程 2 2x t
y t
得: 1 22y x 为l 的普通方程.
(2)设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,
将直线l 方程 1 22y x 代入
2 2
14 2
x y 并整理得 2 2 2 10 0x x ,
易知 0 ,则 1 2 2 2x x , 1 2 1 2
1 2 2 2 22y y x x ,
则 2, 2M , 2 2
2 2 2OM ON ,
设以 ON 为直径的圆上任一动点的极坐标为 ,P ,( P 不与 O , N 重合)
则 Rt PON△ 中, 2cos 当 P 与O , N 重合时也满足.
∴ 2cos 即所求的极坐标方程.
【点睛】
方法点睛:求曲线的极坐标方程常用的方法:(1)先将所有条件化成直角坐标,求出曲线的直角坐标,再
把曲线的方程转化为极坐标方程;(2)直接利用极坐标知识求曲线的极坐标方程.
8.在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 4 cos ,
3 sin
x t
y t
(t 为参数,
4 2
).以坐标原点为
极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 6sin 0 .
(1)求曲线C 与直线l 的直角坐标方程;
(2)若直线l 与曲线C 有公共点,求 tan 的取值范围.
【答案】(1)C : 22 3 9x y ,l : tan 4tan 3 0x y ;(2) 3 71, 7
.
【分析】
(1)利用 cos
sin
x
y
化极坐标方程为直角坐标方程,消去参数 t 可得直线的普通方程;
(2)曲线是圆,求出圆心到直线的距离,与圆半径比较可得.
【详解】
解:(1)因为 6sin 0 ,所以 2 6 sin 0 ,
所以 C 的直角坐标方程为 2 2 6 0x y y ,即 22 3 9x y .
由 4 cos ,
3 sin ,
x t
y t
得 3 sin tan4 cos
y t
x t
,
即直线l 的直角坐标方程为 tan 4tan 3 0x y .
(2)由(1)知,曲线 C 表示圆心为 0, 3 ,半径为 3 的圆,
直线l 与曲线C 有公共点,所以圆心到直线l 的距离
2
4tan 3
1 tan
d
,
解得 2 9tan 7
,即 3 7 3 7tan7 7
.
又
4 2
,所以 3 71 tan 7
,故 tan 的取值范围是 3 71, 7
.
【点睛】
结论点睛:本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查参数方程与普通方程的互化,考查直线与圆
的位置关系.求出圆心与直线的距离 d ,根据 d 与圆的半径的关系可得直线与圆的位置关系,圆心到直线
的距离为 d ,圆半径 r ,则相离 d r ,相切 d r ,相交 d r .一般用这种几何法,也可用直
线方程与圆方程联立方程组,由方程组的解的个数判断.
9.在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 cos ,
2 sin
x t
y t
( ,t tR 为参数 0, 2
).以坐标原
点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为 32sin , ,4 4
.
(1)求半圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程;
(2)直线l 与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B ,点 D 在半圆C 上,且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角
的 2 倍, ABD△ 的面积为1 3 ,求 的值.
【答案】(1)C : cos ,
1 sin
x
y
( 为参数, (0, ) ),l : tan 2, 0, 2y x
;(2)
3
【分析】
(1)消去参数得直线的普通方程,利用半圆C 的极坐标方程,写出直角坐标方程为 22 1 1( 1)x y y ,
再写出半圆的参数方程;
(2)由题意设 (cos2 ,1 sin 2 )D ,利用点到线的距离求出点 D 到直线 AB 的距离,利用两点之间的距
离求出 AB ,再由三角形的面积公式,结合同角之间的关系求出 tan ,即可求出 的值.
【详解】
(1)半圆C 的参数方程为 cos ,
1 sin
x
y
(其中 为参数, (0, ) ),
直线l 的直角坐标方程为 tan 2, 0, 2y x .
(2)由题意可知,可设 (cos2 ,1 sin 2 )D ,其中 0, 2
所以点 D 到直线 AB 的距离为:
2
tan cos2 (1 sin 2 ) 2
1 tan
d
sin cos2 cos sin 2 3cos sin 3cos ,
又 2 ,0 , (0, 2)tanA B
,
2
2 2 2( 2) tan sinAB
.
三角形 ABD 的面积 1 1 2 3sin 3cos 1 1 32 2 sin tanS AB d .
tan 3 ,
又 0, 2
,
3
.
【点睛】
方法点睛:本题考查极坐标方程,直角坐标方程,参数方程的互化,极坐标与直角坐标方程的互化,即四
个公式: 2 2 , tan yx y x
, cos , sinx y ,考查学生的转化与化归能力,运算求解能力,
属于中档题.
10.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1 : 2 0C x y ,曲线 2
cos: 1 sin
xC y
( 为参数),以坐标原点 O
为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 1 2,C C 的极坐标方程;
(2)射线 : 0,0 2l
分别交曲线 1 2,C C 于 ,M N 两点,求 | |
| |
ON
OM
的最大值.
【答案】(1) 1 :C cos sin 2 0 , 2 :C 2sin ;(2) 2 1
2
.
【分析】
(1) 2C 消去参数 后得普通方程,然后由公式 cos
sin
x
y
化直角坐标方程为极坐标方程;
(2)把 代入 1 2,C C 的极坐标方程,得 ,OM ON ,求出比值 2
1
| |
| |
ON
OM
,然后利用三角函数知识
求得最大值.
【详解】
(1)因为 cosx , siny , 2 2 2x y ,
所以 1C 的极坐标方程为
cos sin 2 0 ,
因为 2C 的普通方程为 22 ( 1) 1yx ,
即 2 2 2 0x y y ,对应极坐标方程为
2sin .
(2)因为射线 : 0,0 2l
,则 1 2, , ,M N ,
则 1 2
2 , 2sinsin cos
,
所以
22
1
| | 1 cos2 1 2 1sin (sin cos ) sin sin cos sin 2 sin 2| | 2 2 2 4 2
ON
OM
又 0 2
, 32 ,4 4 4
,所以当 2 4 2
,即 3
8
时, | |
| |
ON
OM
取得最大值 2 1
2
.
【点睛】
关键点点睛:本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,极坐标的应用,
在极坐标方程中只要 0 ,则 表示曲线上的点到极点的距离.利用这个定义可以由极坐标方程解决许
多距离问题.