高考冲刺 专题 19 消参法解决普通方程和参数方程之间的互化问题
1．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为
62 cos ,2
6 sin2
x
y
( 为参数).以坐标原点 O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 4cos 0 .
（1）求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）设直线l ：
22 ,2
2
2
x t
y t
(t 为参数)与曲线 2C ， 1C 的交点从上到下依次为 P ， M ， N ，Q ，求
PM NQ 的值.
【答案】（1） 1C ： 2 2 32 2x y ， 2C ： 2 4y x ；（2）3 6 .
【分析】
（1）利用 2 2sin cos 1 对曲线 1C 的参数方程进行化简可得曲线 1C 的普通方程，由 cos
sin
x
y
可求
出曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的参数方程代入曲线 2C 的方程，化简得 2 4 2 16 0t t ，解出方程的两根 1 2 2 2 6t ，
2 2 2 2 6t ，则有 1 2 1 2 4 6PQ t t t t ，同理可求出 3 4 3 4 6MN t t t t ，进而可
求出答案；或利用弦长公式求出 PQ ，利用圆的几何性质求出 MN ，从而可求出 PM NQ 的值
【详解】
解析：（1）将曲线 1C 的参数方程化为普通方程，
得 2 2 32 2x y .
曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 4cos 0 ，有 2 2sin 4 cos 0 ，
由 cos
sin
x
y
得曲线 2C 的直角坐标方程为 2 4y x .
（2）法一：将
22 ,2
2
2
x t
y t
(t 为参数)代入曲线 2C 的方程得，
2
2 24 22 2t t
，
即 2 4 2 16 0t t .
由于 2
4 2 4 16 96 0 .
故可设 1t ， 2t 是方程 2 4 2 16 0t t 的两个不同的实根，
所以 1 2 2 2 6t ， 2 2 2 2 6t ，
由t 的几何意义得， 1 2 1 2 4 6PQ t t t t .
同理将
22 ,2
2
2
x t
y t
(t 为参数)代入曲线 1C 的方程得， 2 3
2t ，
解得两根为 3
6
2t ， 4
6
2t .
所以 3 4 3 4 6MN t t t t .
故 4 6 6 3 6PM NQ PQ MN .
法二：直线l 的普通方程为 2y x ，将直线l 与曲线 2C 的方程联立，得 2
2,
4 ,
y x
y x
消去 y ，整理得 2 8 4 0x x .
设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ，则 1 2 8x x ， 1 2 4x x .
所以 2
1 22 2 8 4 4 4 6PQ x x .
而曲线 1C 是以 2,0 为圆心， 6
2
为半径的圆，
显然点 1 2,0C 在直线l ： 2y x 上，
所以 62 62MN .
故 4 6 6 3 6PM NQ PQ MN .
【点睛】
关键点点睛：本小题主要考查直线､圆的参数方程与普通方程互化，抛物线的极坐标方程与直角坐标方程互
化.直线与圆，直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解､逻辑推理等数学能力；考查数形结合等
数学思想，解题的关键是利用直线参数方程的几何意义求出弦长.
2．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的参数方程为
cos
1 sin
x
y
（ 为参数），直线l 的极坐标方程为 1sin 03 2
πρ θ .
（1）求曲线 1C 普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 1C 和直线l 相交于 A 、 B 两点，求三角形 ABO 面积.
【答案】（1） 1C ： 22 1 1x y ；l ： 3 1 0x y ；（2） 1
2 .
【分析】
（1）根据圆的参数方程的公式计算即可得曲线 1C 普通方程，根据正弦差角公式展开，再结合 cos
sin
x
y
求解即可；
（2）根据直线经过圆心得 2AB ，再根据点到直线的距离公式得O 到直线l 的距离为 1
2d ，再根据面
积公式求解即可.
【详解】
解：（1）曲线 1C 的参数方程为 cos
1 sin
x
y
（ 为参数），
所以 22 2 21 cos sin 1x y α α ，
曲线 1C 的普通方程： 22 1 1x y .
直线l 的极坐标方程为 1sin 03 2
πρ θ
，展开得 2 sin cos cos sin 1 03 3
π πρ θ θ
由 cos
sin
x
y
得， 3 1 0y x .
直线l 的直角坐标方程： 3 1 0x y .
（2）由于直线 : 3 1 0l x y 经过圆 22
1 : 1 1C x y 圆心，所以 2AB .
而 0,0O 到直线 : 3 1 0l x y 的距离为 d ， 3 0 0 1 1
23 1
d
.
所以三角形 ABO 面积 1 1 122 2 2S .
【点睛】
本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的互化，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是基
础题.本题第二问解题的关键在于根据题意得直线l 经过圆 1C 圆心，进而得 2AB .
3．在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
3 13 113
2 13
13
x t
y t
（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 与极轴交于点 N ，且动点 M 满足 1MN .
（1）求直线l 的极坐标方程和点 M 的轨迹的极坐标方程C ；
（2）若直线 π
4
R 分别交直线l 、曲线C 于点 A ， B （非极点），求 1 1
OA OB
的值.
【答案】（1） : 2 cos 3 sin 2 0l ； 2: cosC ；（2） 3 2
4
.
【分析】
（1）先消参得到直线l 的直角坐标方程，再利用极坐标公式得到直线的极坐标方程；先求出点 M 的轨迹方
程为 2 21 1x y ，再化成极坐标方程；
（2）求出 2 2OA ， 2OB ，代入即得解.
【详解】
解：（1）由
3 13 1,13
2 13
13
x t
y t
（t 为参数）得 2 3 2 0x y ，
∴直线l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 2 0 .
令 0 ，得 1 ，∴点 1,0N ，
由 1MN 得点 M 的轨迹为以点 1,0N 为圆心，l 为半径的圆，
∴点 M 的轨迹方程为 2 21 1x y ，
∴ 2cos .
（2）联立
2 cos 3 sin 2 0,
π
4
得 2 2 ，
∴点 π2 2, 4A
， 2 2OA .
联立
2cos ,
π
4
得 2 ，
∴点 π2, 4B
， 2OB .
∴ 1 1 1 1 3 2
42 2 2OA OB
.
【点睛】
方法点睛：研究极坐标问题，常用法方法有：（1）先将所有条件化成直角坐标解答，再化成极坐标得解；（2）
直接利用极坐标的知识得解.
4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为 2cos 2sin
cos sin
x
y
（ 为参数）.以坐标原点 O
为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 3sin 4 24
.
（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于 A ， B 两点，求 2 2
1 8
OA OB
的最大值.
【答案】（1）
2 2
18 2
x y ， 8 0x y ；（2） 7 13
16
.
【分析】
（1）消去参数即可得到曲线C 的直角坐标方程，再由 cosx ， siny 代入即可得到直线l 的直角
坐标方程；
（2）在极坐标系内，可设 1,A ， 2 ,B ，则 2 2 2 2
1 2
1 8 1 8
OA OB ，再根据三角函数的性质计
算可得；
【详解】
解：（1）由曲线C 的参数方程 2cos 2sin
cos sin
x
y
（ 为参数）得：
2
2 22 cos sin cos sin 24
x y
∴曲线C 的直角坐标方程为
2 2
18 2
x y .
又由 3sin 4 24
， cos sin 8
将 cosx ， siny 代入上式，
得直线l 的直角坐标方程为 8 0x y .
（2）在极坐标系内，可设 1,A ， 2 ,B ，
则
2 2 2 2
1 1cos sin 18 2
， 2 2cos sin 8
2 2
2 2 2 2
1 2
1 8 1 8 cos 4sin 1 sin 2
8OA OB
7 13sin 2 7 13
16 16
（当 sin 2 1 时取等号，符合题意）
∴ 2 2
1 8
OA OB
的最大值为 7 13
16
5．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1C 的参数方程为
1
1
x t t
y t t
，
，
（t 为参数）.以原点 O 为极点， x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 28 cos 16 0( 0)r r .
（1）若 3r ，设双曲线 1C 的一条渐近线与 2C 相交于 ,A B 两点，求 AB ；
（2）若 1r ，分别在 1C 与 2C 上任取点 P 和 Q ，求 PQ 的最小值.
【答案】（1）2；（2） 2 3 1 .
【分析】
（1）首先消参求得曲线 1C 和曲线 2C 的直角坐标方程，再求双曲线的渐近线方程，利用直线和圆相交，求
弦长 AB ；另解：分别求渐近线的极坐标方程，与曲线 2C 的极坐标方程联立，求弦长 1 2AB ；（2）
设双曲线 1C 上任取点 0 0,P x y ，先求点 P 和圆心的距离的最值，再求 PQ 的最小值.
【详解】
解：（1）若 3r ，曲线 2C 的直角坐标方程为： 2 24 9x y ， 双曲线 2 2
1 4C y x ，一条渐近线
方程为： 0x y ，圆心 4.0 到直线的距离 4 0 =2 2
2
d ，
2| | 9 8 12
AB
，则 2AB .
另解：可知双曲线 2 2
1 : 4C y x .一条渐近线方程为： 0x y .其极坐标方程为 = 4
R
由
2 8 cos 7 0
= 4
得 2 4 2 7 0 ，故 1 2 1 24 2, 7 .
2
1 2 1 2 1 2| | 4 2AB .
（2）若 1r ，曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2( 4) 1x y ，圆心 4,0 ，半径 1R .
设双曲线 1C 上任取点 0 0,P x y ，则 2 22 2 2
2 0 0 0 0 0 04 4 4 2 8 20PC x y x x x x ，
当 0 2x 时， 2 min 2min min2 3,| | 2 3 1PC PQ PC R .
【点睛】
方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点：
1.直角坐标系下的弦长公式 2 2
1 2 1 2| | 1 ( ) 4AB k x x x x 或是 2
1 2 1 22
11 ( ) 4y y y yk
；
2.利用直线参数方程t 的几何意义可知 1 2| | | |AB t t ；
3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长 1 2| | | |AB .
6．在直角坐标系 xOy 中，直线l 的直角坐标方程为 3 2 3,3y x 曲线 C 的参数方程为 3 3cos
3sin
x
y
（ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l 和 C 的极坐标方程；
（2）设直线l 与曲线 C 交于 M,N 两点，求 MN .
【答案】（1）直线l 的极坐标方程为 sin( ) 36
，曲线 C 的极坐标方程为 6cos ；（2）3 3 .
【分析】
（1）根据 2 2 2cos , sin ,x y x y ，代入直线直角坐标方程，即可求得 l 的极坐标方程；根据
曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的直角坐标方程，化简整理，即可得答案.
（2）由（1）可得曲线 C 的直角坐标方程，与直线联立，可求得交点横坐标，根据弦长公式，即可求得答
案.
【详解】
（1）因为 2 2 2cos , sin ,x y x y ，
所以 3sin cos 2 33
，即 3 sin cos 6
整理可得直线l 的极坐标方程为： sin( ) 36
；
由题意得，曲线 C 的直角坐标方程为 2 2( 3) 9x y ，即 2 2 6 0x y x ，
所以曲线 C 的极坐标方程为： 2 6 cos 0 ，即 6cos .
（2）由（1）可得曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 6 0x y x ，
与直线 3 2 3,3y x 联立，得 22 15 18 0x x ，
解得 1 2
3
26,x x ，
所以 2
1 2
1 91 1 3 33 2MN k x x .
【点睛】
解题的关键是熟练掌握直角坐标与参数方程、极坐标之间的互化，并灵活应用，在求直线被圆所截弦长时，
常用弦长公式、垂径定理、参数方程 t 的几何意义等方法求解，考查计算化简的能力，属中档题.
7．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为：
2
cos
2 tan
x
y
（ 为参数），直线l 的参数方程为：
2 2x t
y t
（t 为参数），曲线C 与直线l 交于 A 、 B 两点．
（1）把曲线C 和直线l 的参数方程化为普通方程；
（2）设 AB 中点为 M ，以原点O 为圆心、 OM 为半径的圆与 x 轴正半轴交于 N ，以原点O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴，建立极坐标系，求以 ON 为直径的圆的极坐标方程．
【答案】（1）
2 2
14 2
x y ， 1 22y x ；（2） 2cos ．
【分析】
（1）消参得到曲线C 和直线l 的普通方程；
（2）先求出 2, 2M ，再求出以 ON 为直径的圆的极坐标方程.
【详解】
（1）由曲线C 的参数方程
2
cos
2 tan
x
y
，
得：
22 2
2
2 2
1 1 sintan 12 cos cos2
x y
，
即
2 2
14 2
x y 即为C 的普通方程．
由直线l 的参数方程 2 2x t
y t
得： 1 22y x 为l 的普通方程．
（2）设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
将直线l 方程 1 22y x 代入
2 2
14 2
x y 并整理得 2 2 2 10 0x x ，
易知 0 ，则 1 2 2 2x x ， 1 2 1 2
1 2 2 2 22y y x x ，
则 2, 2M ， 2 2
2 2 2OM ON ，
设以 ON 为直径的圆上任一动点的极坐标为 ,P ，（ P 不与 O ， N 重合）
则 Rt PON△ 中， 2cos 当 P 与O ， N 重合时也满足．
∴ 2cos 即所求的极坐标方程．
【点睛】
方法点睛：求曲线的极坐标方程常用的方法：（1）先将所有条件化成直角坐标，求出曲线的直角坐标，再
把曲线的方程转化为极坐标方程；（2）直接利用极坐标知识求曲线的极坐标方程.
8．在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 4 cos ,
3 sin
x t
y t
(t 为参数，
4 2
).以坐标原点为
极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 6sin 0 .
（1）求曲线C 与直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 有公共点，求 tan 的取值范围.
【答案】（1）C ： 22 3 9x y ，l ： tan 4tan 3 0x y ；（2） 3 71, 7
.
【分析】
（1）利用 cos
sin
x
y
化极坐标方程为直角坐标方程，消去参数 t 可得直线的普通方程；
（2）曲线是圆，求出圆心到直线的距离，与圆半径比较可得．
【详解】
解：（1）因为 6sin 0 ，所以 2 6 sin 0 ，
所以 C 的直角坐标方程为 2 2 6 0x y y ，即 22 3 9x y .
由 4 cos ,
3 sin ,
x t
y t
得 3 sin tan4 cos
y t
x t
，
即直线l 的直角坐标方程为 tan 4tan 3 0x y .
（2）由（1）知，曲线 C 表示圆心为 0, 3 ，半径为 3 的圆，
直线l 与曲线C 有公共点，所以圆心到直线l 的距离
2
4tan 3
1 tan
d
，
解得 2 9tan 7
，即 3 7 3 7tan7 7
.
又
4 2
，所以 3 71 tan 7
，故 tan 的取值范围是 3 71, 7
.
【点睛】
结论点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆
的位置关系．求出圆心与直线的距离 d ，根据 d 与圆的半径的关系可得直线与圆的位置关系，圆心到直线
的距离为 d ，圆半径 r ，则相离 d r ，相切 d r ，相交 d r ．一般用这种几何法，也可用直
线方程与圆方程联立方程组，由方程组的解的个数判断．
9．在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 cos ,
2 sin
x t
y t
（ ,t tR 为参数 0, 2
）．以坐标原
点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 32sin , ,4 4
．
（1）求半圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）直线l 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，点 D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角
的 2 倍， ABD△ 的面积为1 3 ，求 的值．
【答案】（1）C ： cos ,
1 sin
x
y
（ 为参数， (0, ) ），l ： tan 2, 0, 2y x
；（2）
3
【分析】
（1）消去参数得直线的普通方程，利用半圆C 的极坐标方程，写出直角坐标方程为 22 1 1( 1)x y y ，
再写出半圆的参数方程；
（2）由题意设 (cos2 ,1 sin 2 )D ，利用点到线的距离求出点 D 到直线 AB 的距离，利用两点之间的距
离求出 AB ，再由三角形的面积公式，结合同角之间的关系求出 tan ，即可求出 的值．
【详解】
（1）半圆C 的参数方程为 cos ,
1 sin
x
y
（其中 为参数， (0, ) ），
直线l 的直角坐标方程为 tan 2, 0, 2y x .
（2）由题意可知，可设 (cos2 ,1 sin 2 )D ，其中 0, 2
所以点 D 到直线 AB 的距离为：
2
tan cos2 (1 sin 2 ) 2
1 tan
d
sin cos2 cos sin 2 3cos sin 3cos ,
又 2 ,0 , (0, 2)tanA B
，
2
2 2 2( 2) tan sinAB
.
三角形 ABD 的面积 1 1 2 3sin 3cos 1 1 32 2 sin tanS AB d .
tan 3 ，
又 0, 2
，
3
.
【点睛】
方法点睛：本题考查极坐标方程，直角坐标方程，参数方程的互化，极坐标与直角坐标方程的互化，即四
个公式： 2 2 , tan yx y x
， cos , sinx y ，考查学生的转化与化归能力，运算求解能力，
属于中档题.
10．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1 : 2 0C x y ，曲线 2
cos: 1 sin
xC y
( 为参数)，以坐标原点 O
为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 1 2,C C 的极坐标方程；
（2）射线 : 0,0 2l
分别交曲线 1 2,C C 于 ,M N 两点，求 | |
| |
ON
OM
的最大值.
【答案】（1） 1 :C cos sin 2 0 ， 2 :C 2sin ；（2） 2 1
2
．
【分析】
（1） 2C 消去参数 后得普通方程，然后由公式 cos
sin
x
y
化直角坐标方程为极坐标方程；
（2）把 代入 1 2,C C 的极坐标方程，得 ,OM ON ，求出比值 2
1
| |
| |
ON
OM
，然后利用三角函数知识
求得最大值．
【详解】
（1）因为 cosx ， siny ， 2 2 2x y ，
所以 1C 的极坐标方程为
cos sin 2 0 ，
因为 2C 的普通方程为 22 ( 1) 1yx ，
即 2 2 2 0x y y ，对应极坐标方程为
2sin .
（2）因为射线 : 0,0 2l
，则 1 2, , ,M N ，
则 1 2
2 , 2sinsin cos
，
所以
22
1
| | 1 cos2 1 2 1sin (sin cos ) sin sin cos sin 2 sin 2| | 2 2 2 4 2
ON
OM
又 0 2
， 32 ,4 4 4
，所以当 2 4 2
，即 3
8
时， | |
| |
ON
OM
取得最大值 2 1
2
．
【点睛】
关键点点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，极坐标的应用，
在极坐标方程中只要 0 ，则 表示曲线上的点到极点的距离．利用这个定义可以由极坐标方程解决许
多距离问题．
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