专题20 利用参数方程解决范围和最值问题（解析版）-2021年高考数学二轮复习之解答题专题

高考冲刺 专题 20 利用参数方程解决范围和最值问题 1．在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 1 cos , sin x y       （ 为参数），直线 2: 2l x y  ．以坐标 原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线 C 的普通方程及直线l 的极坐标方程； （2）直线 0 0: 0, 4m           与曲线C 和直线l 分别交于 A ， B （ A ， B 均异于点O ）两点，求 OA  OB 的取值范围． 【答案】（1）曲线  2 2: 1 1C x y   ，直线 1: sin 4 2l       ；（2） 2 , 22       . 【分析】 （1）根据消参法，将曲线 C 的方程化为普通方程，由直角坐标与极坐标关系 cos , sinx y     ，将 直线普通方程化为极坐标方程即可. （2）由（1）知： 0| | 2cosOA  ， 0 0 1| | 2(sin cos ) OB     ，即可求 OA  OB 的范围． 【详解】 （1）由参数方程为 1 cos sin x y       （ 为参数），得 2 2 cos 1 sin cos sin 1 x y             ， ∴曲线C 的普通方程为 2 21 1x y   ． 由普通方程为 2 2x y  ，而 cos , sinx y     ， ∴直线l 的极坐标方程为 2 cos 2 sin 2 0      ，即 1sin 4 2       . （2）∵曲线C 的极坐标方程为 2cos  ， ∴直线l 的极坐标方程为   2sin cos 2     ，即 1 2(sin cos )      ， ∴   0 00 0 2cos 2· tan 12 sin cos OA OB       ， 0 0, 4      ，则 ·OA OB 的取值范围为 2 , 22       ． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线 C 的参数方程为 2cos sin x y      （ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为  2cos 3sin 8    . （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设 P 是曲线C 上的动点，求点 P 到直线l 的距离的最小值，并求出此时点 P 的坐标. 【答案】（1） 2 2 14 x y  ， 2 3 8 0x y   ；（2） 3 13 13 ， 8 3,5 5P     . 【分析】 （1）利用消参法得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式求出直线l 的直角坐标方程； （2）设点  2cos ,sinP   ，求出点 P 到直线l 的距离为  8 5sin 13 d    即得解. 【详解】 （1）由曲线C 的参数方程得 cos2 sin x y       ， 两式平方相加得曲线C 的普通方程为 2 2 14 x y  ； 由题得 2 cos 3 sin 8     ， 所以直线l 直角坐标方程为 2 3 8 0x y   . （2）由参数方程设点  2cos ,sinP   ， 则点 P 到直线l 的距离为  8 5sin4cos 3sin 8 13 13 d        其中 4tan 3   , 所以 3 13 13d  ，此时 3sin 5   ， 4cos 5   . 所以点 P 到直线l 的距离的最小值为 3 13 13 . 所以点 P 的坐标为 8 3,5 5P     . 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键是利用参数方程设点  2cos ,sinP   ，从而建立三角函数的模型，优化解题， 提高了解题效率. 3．在极坐标系中，点 1, 6A      ， 1, 2B      ，曲线 C: 2sin 3       .以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正 半轴建立平面直角坐标系. （1）在直角坐标系中，求点 A ， B 的直角坐标及曲线C 的参数方程； （2）设点 P 为曲线C 上的动点，求 2 2| | | |PA PB 的取值范围. 【答案】（1） 3 1,2 2A       ， (0,1)B ，曲线C 的参数方程为 3 cos2 1 sin2 x y         ，( 为参数)；（2）[1,5]. 【分析】 （1）由 cosx   ， siny   可得点 A ， B 的直角坐标，利用三角函数恒等变换化简曲线C ，可得曲 线C 的普通方程，进而写出参数方程； （2）不妨设 3 1cos , sin2 2P        ，代入 2 2| | | |PA PB 化简，利用余弦函数的性质可得 2 2| | | |PA PB 的取值范围． 【详解】 （1）由 cosx   ， siny   ，解得 3 1,2 2A       ， (0,1)B . 因为 2sin 3       ，所以 2 1 32 sin cos2 2          ， 即 2 23 1 12 2x y               ， 所以曲线 C 的参数方程为 3 cos2 1 sin2 x y         ，( 为参数). （2）不妨设 3 1cos , sin2 2P        ， 则 2 2| | | |PA PB 2 2 2 2 3 1cos sin cos sin2 2                    3 3 cos sin    3 2cos 6       ， 因为 cos [ 1,1]6       ，所以3 2cos [1,5]6       ， 所以 2 2| | | |PA PB 的取值范围是[1,5]. 4．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C 的参数方程为 4 4 2 4 1 1 2 1 tx t ty t       (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 cos 43       ． （1）写出曲线 1C 的普通方程， 2C 的直角坐标方程； （2）过曲线 1C 上任意一点 P 作与 2C 夹角为 60°的直线，交 2C 于点 A，求| |PA 的最大值与最小值． 【答案】（1） 2 2 1( 0)x y y   ， 3 8 0x y   ；（2）最小值为 7 3 3 ，最大值10 3 3 . 【分析】 （1）用消元法得 1C 的普通方程，由公式 cos sin x y        化极坐标方程为直角坐标方程； （2）求出 P 到直线 2C 的距离的最大值和最小值后可得结论． 【详解】 （1）曲线 1C 的普通方程为 2 2 1( 0)x y y   直线 2C 的普通方程为 3 8 0x y   ． （2）曲线 1C 上任意一点 (cos ,sin ) [0, ]P     到 2C 的距离为 1 | cos 3sin 8| cos 42 3d            ． 则 2 3 cos 4sin 60 3 3 dPA         ∣ ， 当 0  ，| |PA 取得最小值，最小值为 7 3 3 ． 当 2 3   ，| |PA 取得最大值，最达值为10 3 3 ． 【点睛】 关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的 距离公式．化参数方程为直角坐标方程时，注意变量的取值范围，本题中 0y ≥ ，对圆来讲可以用参数方 程 cos sin x r y r      表示圆上的点，从而求得点到直线的距离，利用三角函数知识求得最值．这里仍然要注意 的范围是[0, ] ． 5．直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos sin x y      （ 为参数），直线l 的参数方程为 1 3 x t y t      （t 为参数）． （1）求直线l 的普通方程，说明 C 是哪一种曲线； （2）设 ,M N 分别为l 和 C 上的动点，求| |MN 的最小值． 【答案】（1） : 4l x y  ，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆；（2） 2 2 5 . 【分析】 （1）消参得到直线l 的普通方程和曲线 C 的方程，即得解； （2）设 (3cos ,sin )N   ，求出 | 10 sin( ) 4 || | 2 MN    即得解. 【详解】 （1）由题得直线 : 4l x y  ，曲线 2 2: 13 xC y      ，即 2 2 19 x y  ， 所以曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆． （2）设 (3cos ,sin )N   ，则| |MN 就是点 N 到直线l 的距离， | 3cos sin 4 | | 10 sin( ) 4 || | 2 2 MN         （ 的终边在第一象限且 tan 3  ） 当sin( ) 1   时， min 4 10| | 2 2 5 2 MN    ． 【点睛】 方法点睛：参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参数方程设点，再利用点到 直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解. 6．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 1 sin 2 sin cos x y         （ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 πsin 24       ． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设点 P 是曲线C 上的动点，求点 P 到直线l 距离的最值． 【答案】(1) 2y x ，  0,2x , 2 0x y   ;(2)最大值为1 2 2 ，最小值为 7 2 8 . 【分析】 (1)直接利用二倍角公式和 2 2cos sin 1   即可把C 的参数方程化为普通方程；用 cos sin x y        可把直线 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)可以直接用直角坐标方程，利用解析几何知识求解；也可以利用参数方程求最值. 【详解】 解：（1）由曲线C ： 21 sin 2 sin cos x y xy          ， 由  1 sin 2 0,2x    ，则曲线C 的普通方程为 2y x ，  0,2x ， 由l ：  π 2sin 2 sin cos 24 2              ，则 2y x  ， 则直线l 的直角坐标方程为 2 0x y   （2）方法 1：设l： 0x y c   ，由 2 2 0 0x y c y y cy x         ， 由 11 4 0 4c c      ， 则l： 1 04x y   ，则l 与l的距离 1 12 7 24 82 d    ， 由  2, 2A  ，则点 A到直线l 的距离 2 2 2 2 1 2 2 2 d      ， 综上： P 点到直线l 距离的最大值为1 2 2 ，最小值为 7 2 8 方法 2：设点  2,P t t ， 2, 2t     ，则 2 2 2 t t d    ， 由 2 2y t t   ， 2, 2t     ，则 7 ,4 24y      ， 则 7 2 ,1 2 28d       综上： P 点到直线l 距离的最大值为1 2 2 ，最小值为 7 2 8 ． 【点睛】 (1)参数方程与普通方程的互化通常用 2 2cos sin 1   ；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用 cos sin x y        ； (2)极坐标问题可以直接利用直角坐标方程,利用解析几何知识求解； (3)有时根据题意， 利用极径和极角的几何意义或利用参数方程可以简化一些原来解析几何中运算量较大的 题目的运算量． 7．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 3 cos sin x a y a    ( a 为参数).以坐标原点为极点， x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin 3 24       . （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程; （2）点Q 为曲线C 上的动点，求点 Q 到直线l 的距离的最大值. 【答案】（1） 2 2 13 x y  ， 6 0x y   ；（2） 4 2 . 【分析】 （1）将 3 除到等式的另一边，两式平方，消去参数 a 即可得到曲线C 的普通方程；利用两角差的正弦公 式展开，由 cos sin x y        即可求解. （2）设曲线C 上的点  3 cos ,sinQ   ，利用点到直线的距离公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】  1 曲线 C 的普通方程为 2 2 13 x y  sin 3 24       sin cos 6      将 cos , sinx y     代入上式， 得直线l 的直角坐标方程为 6 0x y    2 设曲线C 上的点  3 cos ,sinQ   ， 到直线 6 0x y   的距离 2sin 63cos sin 6 3 2 2 d            当sin 13       时， d 取得最大值为 4 2 8．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1l 的参数方程为 3 ,2 1 2 x t y t     （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，直线 2l 的极坐标方程为 2 sin 3 03        ， 2l 交极轴于点 A ，交直线 1l 于 B 点． （1）求 A ， B 点的极坐标方程； （2）若点 P 为椭圆 2 2 13 y x  上的一个动点，求 PAB△ 面积的最大值及取最大值时点 P 的直角坐标． 【答案】（1）  3,0A ， 3, 6B      ；（2） max 3 3 3 2 4S  ， P 点坐标为 2 6,2 2      . 【分析】 （1）首先将直线 1l 化为普通方程，再化为极坐标方程，与直线 2l 方程联立，求点 B ，直线 2l 的极坐标方程 中，令 0  ，求点 A 的坐标；（2）因为 AB 位定值，所以求 PAB△ 面积的最大值转化为求点 P 到直线 2l 的距离的最大值，设  cos , 3sinP   ，利用点到直线 2l 的距离公式，求距离的最大值. 【详解】 （1） 1l 的方程为 3 3y x ，化为极坐标方程为 ( )6   R ． 代入 2l 的方程得： 3  ，即 3, 6B      ． 方程 2 sin 3 03        ，令 0  ，即 3  ，即  3,0A ． （2）由（1）知， 3OA  ， 3OB  ，且 6BOA   ， 故 3AB  ，设点 P 到直线 AB 的距离为 d ， 故 3 2S d ，设点  cos , 3sinP   ， 2l 的一般方程为 3 3y x  ， 故 3 3 | 3 cos 3sin 3| 3 3 2 sin2 2 2 4 4S d              ， 当 3 2 ( )4 k k   Z 时， max 3 3 3 2 4S  此时， P 点坐标为 2 6,2 2      ． 【点睛】 思路点睛：一般求与椭圆上的点有关的最值，一般都可转化为利用参数方程，设点的坐标，再利用三角函 数的有界性求最值. 9．在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标 方程为  2cos 4sin , 0,2       . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）由直线 2 5 6,5: 5 ,5 x t l y t      (t 为参数， Rt  )上的点向曲线引切线，求切线长的最小值. 【答案】（1）   2 21 2 5x y    ；（2）最小值为 2 70 5 . 【分析】 (1)用 cos sin x y        可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)把直线 l 上的任意点 P 2 5 5( 6, )5 5t t ，计算过 P 作切线的切线长，利用二次函数求最值容易求出. 【详解】 解：（1）由  2cos 4sin , 0,2       ， 可得  2 2 cos 4 sin , 0,2         ∵ 2 2 2x y   ， cos x   ， sin y   ∴曲线C 的直角坐标方程为   2 21 2 5x y    . （2）∵直线l 的参数方程为： 2 5 65 5 5 x t y t      (t 为参数，t R )， ∴直线l 上的点 2 5 56,5 5P t t      向圆C 引切线长是 2 2 2 2 2 5 5 8 5 56 2 705 6 1 2 55 5 5 5 5PC t t t                                . ∴当 8 5 5t   时，切线长的最小值为 2 70 5 . 【点睛】 (1)参数方程与普通方程的互化通常用 2 2cos sin 1   ；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用 cos sin x y        ； (2)利用直线的参数方程的几何意义可以简化一些原来解析几何中运算量较大的题目的运算量，用来求最值， 这体现参数方程的优点． 10．已知曲线C 的极坐标方程是 1  ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为 1 ,2 32 2 tx y t       (t 为参数). （1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换 2x x y y      得到曲线C ，设曲线C 上任一点为 ( , )M x y ，求 2 3x y 的最小 值. 【答案】（1）l ： 3 2 3 0x y    ，C ： 2 2 1x y  ；（2） 4 . 【分析】 （1）由 1 ,2 32 2 tx y t       消去参数t 化简即可，由 1  及 cos , sinx y     代入化简即可； （2）根据变换得 2 2: 14 xC y   ，设 (2cos ,sin )M   ，代入结合三角恒等变换可得 4 3   时取得最小 值. 【详解】 解：（1）由 1 ,2 32 2 tx y t       消去参数t 得 3 2 3 0x y    所以直线l 的直角坐标方程为 3 2 3 0x y    ， 由 1  及 cos , sinx y     得 2 2 1x y  ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 1x y  （2）由 2x x y y      得 2 xx y y       代入 2 2 1x y  得 2 2 14 x y   所以曲线 2 2: 14 xC y   ， 因为 M 为曲线C 上任一点，故可设 (2cos ,sin )M   ， 所以 2 3 2cos 2 3sin 4sin 6x y           ， 当且仅当 3 6 2     即 4 3   时取得最小值 4 . 【点睛】 将参数方程化为普通方程的方法： （1）将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法 （2）常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用 同角三角函数关系式消参.