2021届高考数学二轮复习常考专题大通关 平面解析几何 含答案

1 / 19 2021 届高考数学二轮复习常考专题大通关 选择题：平面解析几何 1.已知直线  1 : 2 4 0 0l mx y m m     在 x 轴、y 轴上的截距相等，则直线 1l 与直线 2 :3 3 1 0l x y   之间的距离为( ) A. 4 2 3 B. 2 C. 2 2 或 2 D.0 或 2 2.已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线平行于直线 : 2 10l y x  ，双曲线的一个 焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ） A. 2 2 15 20 x y  B. 2 2 120 5 x y  C. 2 23 3 125 100 x y  D. 2 23 3 1100 25 x y  3.若点  2, 1P  为圆  2 21 25x y   的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是( ) A. 3 0x y   B. 2 3 0x y   C. 1 0x y   D. 2 5 0x y   4.若直线 1 : ( 4)l y k x  与直线 2l 关于点 2,1 对称，则直线 2l 恒过定点( ) A.(0，4) B.(0，2) C.(-2，4) D.(4，-2) 5.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b     的右焦点为  3,0F ，过点 F 的直线交椭圆于 ,A B 两点. 若 AB 的中点坐标为  1, 1 ，则 E 的方程为( ) A. 2 2 145 36 x y  B. 2 2 136 27 x y  C. 2 2 127 18 x y  D. 2 2 118 9 x y  6.已知圆  2 2: 2 0 0M x y ay a    截直线 0x y  所得线段的长度是 2 2 ，则圆 M 与圆    2 2: 1 1 1N x y    的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 7.设 O 为坐标原点，直线 x a 与双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两条渐近线分别交于 ,D E 两点.若 ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 8.设抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F，直线 l 过点 F 且与 C 交于 ,A B 两点.若 3AF BF ，则 l 的方程为( ) 2 / 19 A. 1y x  或 1y x   B.  3 13y x  或  3 13y x   C.  3 1y x  或  3 1y x   D.  2 12y x  或  2 12y x   9.已知直线 1y kx k   与曲线 2 2: 2 ( 0)C x y m m   恒有公共点，则 m 的取值范围是( ) A. 3, B. ,3 C. (3, ) D. ( ,3) 10.已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F，其准线与双曲线 2 2 13 y x  相交于 ,M N 两点. 若 MNFV 为直角三角形，其中 F 为直角顶点，则 p  ( ) A. 2 3 B. 3 C. 3 3 D.6 11.抛物线  2 2 0y px p  的焦点为 F，已知点 ,A B 为抛物线上的两个动点，且满足 120AFB  ，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N，则 MN AB 的最大值 为( ) A． 3 3 B．1 C． 2 3 3 D．2 12.已知双曲线 2 2: 1,3 xC y O  为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近 线的交点分别为 ,M N .若 OMNV 为直角三角形，则 MN  ( ) A. 3 2 B.3 C. 2 3 D.4 13.已知过双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的中心的直线交双曲线于点 ,A B ，在双曲线 C 上 任取与点 ,A B 不重合的点 P，记直线 , ,PA PB AB 的斜率分别为 1 2, ,k k k .若 1 2k k k 恒成立，则 双曲线 C 的离心率的取值范围为( ) A.  1, 2 B. (1, 2] C. ( 2, ) D.[ 2, ) 14.如图，过抛物线  2 2 0 y px p 的焦点 F 的直线交抛物线于点 ,A B ，交其准线 l 于点 C，若点 F 是 AC 的中点，且 4AF ，则线段 AB 的长为（ ） 3 / 19 A.5 B.6 C. 16 3 D. 20 3 15.已知 P 是椭圆 2 2 : 116 4 x yM   上的动点，过点 P 作圆 2 2: 1N x y  的两条切线分别与圆 N 相切于点 ,A B ，直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别相交于 ,C D 两点，则 CODV ( O 为坐标原点)面积 的最小值为( ) A.1 B. 1 2 C. 1 4 D. 1 8 答案以及解析 1.答案：A 解析： Q 直线 1 : 2 4 0( 0)l mx y m m     在 x 轴、y 轴上的截距相等， 令 0x  ，得 4 2 my  ，令 0y  ，得 4 mx m  ， 4 4 2 m m m    ，解得 2m  或 4m   （舍）， 直线 1l 的方程为 2 2 4 2 0x y    ，即 1 : 3 0l x y   . 又 3 3 1 0x y   可转化为 1 03x y   ， 直线 1l 与直线 2l 之间的距离为 13 3 4 2 32        .故选 A. 2.答案：A 解析：双曲线的渐近线方程为 by xa   ， 因为一条渐近线与直线 2 10y x  平行， 所以 2b a  . 又因为双曲线的一个焦点在直线 2 10y x  上， 所以 2 10 0c   ，所以 5c  . 故由 2 2 2c a b  ，得 2 225 4a a  ，则 2 5a  ， 2 20b  ， 4 / 19 从而双曲线方程为 2 2 15 20 x y  . 3.答案：A 解析：设圆心为  1,0C ，则 , 1, 1,CP ABAB CP k k     Q 直线 AB 的方程是 1 2y x   ， 即 3 0x y   . 4.答案：B 解析：由于直线  1 : 4l y k x  恒过定点  4,0 ，其关于点  2,1 对称的点为  0,2 ， 又由于直线  1 : 4l y k x  与直线 2l 关于点  2,1 对称，∴直线 2l 恒过定点  0,2 . 故选 B. 5.答案：D 解析：因为直线 AB 的斜率为 1 2 ，则直线 AB 的方程为 2 3x y  ，将其代入椭圆方程 2 2 2 2 2 2 0b x a y a b   ，化简得 2 2 2 2 2 2 2(4 ) 12 9 0b a y b y b a b     . 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，根据韦达定理，得 2 1 2 2 2 12 4 by y b a     ， 又因为 AB 的中点坐标为  1, 1 ，即 1 2 2y y   ， 所以 2 2 2 12 24 b b a    ，即 2 22a b . 因为 2 2 9a b  ，所以 2 218, 9a b  .所以椭圆 E 的方程为 2 2 118 9 x y  . 6.答案：B 解析：圆 2 2: 2 0M x y ay   的圆心为 (0, )M a ，半径为 a， 所以圆心 M 到直线 0x y  的距离为 | | 2 a . 由直线 0x y  被圆 M 截得的弦长为 2 2 ，知 2 2 22 aa   ，故 2a  ，即 (0,2)M 且圆 M 的 半径为 2. 又圆 N 的圆心 (1,1)N ，且半径为 1， 根据1 2 3MN   ，知两圆相交.故选 B. 7.答案：B 解析：由题意知双曲线的渐近线方程为 by xa   ，因为 D E， 分别为直线 x a 与双曲线 C 的 5 / 19 两条渐近线的交点，所以不妨设 ( )D a b， ， ( )E a b， ，所以 1 1| | 2 82 2ODES a DE a b ab       V ，所以 2 2 2 2 16c a b ab   ，所以 4c  ，所以 2 8c  ， 所以 C 的焦距的最小值为 8，故选 B. 8.答案：C 解析：由抛物线方程 2 4y x 知焦点  1,0F ，准线 1x   ， 设直线 : 1l x my  ，代入 2 4y x 中消去 x，得 2 4 4 0y my   . 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y . 由一元二次方程根与系数的关系得， 1 2 1 24 , 4y y m y y    . 设 1 2 1 20 , | | 3| |, 3y y AF BF y y     Q ， 由 1 2 1 23 , 4,y y y y      解得 2 1 2 , 2 3 3 y y    . 1 2 3 4 3 y ym    ， 直线 l 的方程为 3 13x y  . 由对称性知，这样的直线有两条，即 3( 1)y x   . 9.答案：A 解析：∵直线方程为 1y kx k   ，∴直线恒过定点 (1, 1) .∵曲线 C 的方程为 2 22 ( 0)x y m m   ，∴曲线C表示椭圆.∵直线 1y kx k   与曲线 2 2: 2 ( 0)C x y m m   恒 有公共点，∴点 (1, 1) 在椭圆内或椭圆上，即 2 21 2 ( 1) m    ，∴ 3m  . 10.答案：A 解析：由题意知抛物线 2 2y px 的准线方程为 2 px   ，将其代入双曲线方程 2 2 13 y x  ， 解得 233 4 py    .由双曲线的对称性知 MNFV 为等腰直角三角形， π 4FMN  ， 2 tan 1 33 4 pFMN p      ，解得 2 3p  . 11.答案：A 解析：设 AF a BF b ， ，连接 AF BF、 6 / 19 由抛物线定义，得 AF AQ BF BP ， 在梯形 ABPQ 中， 2 MN AQ BP a b ＝ ＝ ． 由余弦定理得， 2 2 2 2 22 cos120AB a b ab a b ab       配方得，  2 2AB a b ab   ， 又∵ 22 a bab      ， ∴ 2 2 2 21 3( ) ( ) ( ) ( )4 4a b ab a b a b a b      … 得到  3 2AB a b  ． 所以     1 32 33 |2 a bMN AB a b     ，即 MN AB 的最大值为 3 3 ． 故选 A. 12.答案：B 解析：因为双曲线 2 2 13 x y  的渐近线方程为 3 3y x  ，所以 60MON   .不妨设过点 F 的直线与渐近线 3 3y x 交于点 M，且 90OMN   ，则 60MFO   ，又直线 MN 过点 (2,0)F ，所以直线 MN 的方程为 3( 2)y x   ，由 3( 2), 3 3 y x y x      得 3 ,2 3 ,2 x y     所以点 M 的坐标为 3 3,2 2       ，所以 223 3| | 32 2OM             ，所以| | 3 | | 3MN OM  .故选 B. 13.答案：D 解析：设    0 0 0 0 0( , ), , , , ,P x y A x y B x y x x    ，则 2 22 2 0 0 2 2 2 21, 1x yx y a b a b     .两式相减得 2 2 2 2 0 0 2 2 0x x y y a b    ，即 2 2 2 0 2 2 2 0 y y b x x a   .由 1 2k k k 恒成立，得 0 0 0 0 0 0 y y y y y x x x x x     ，即 2 2 0 0 2 2 0 0 y y y x x x   恒成立，所以 2 0 2 0 yb a x  恒成立.又因为 0 0 y b x a  ，所以 2 2 b b a a  ，解得 1b a  ，所以 离心率 2 1 2c be a a        ，故选 D. 7 / 19 14.答案：C 解析：如图：过点 A 作 AD l 交 l 于点 D . 由抛物线定义知： 4 AF AD 由点 F 是 AC 的中点，有： 2 2 AF MF p . 所以 2 4p .解得 2p .抛物线 2 4y x 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 1 1 42     pAF x x . 所以 1 3x .    3,2 3 , 1,0A F . 2 3 33 1  AFk .  : 3 1 AF y x .与抛物线 2 4y x 联立得： 23 10 3 0  x x . 1 2 10 3  x x . 1 2 10 1623 3      AB x x p . 故选 C. 15.答案：D 解析：设      1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y P x y .因为 PA 是圆 2 2 1x y  的切线，且切点为 A ，所以 PA 的方程为 1 1 1x x y y  .同理，PB 的方程为 2 2 1x x y y  .又因为 ,PA PB 交于点 P ，所以点 P 的坐标满足切线方程，即 1 0 1 0 2 0 2 01, 1x x y y x x y y    ，所以直线 AB 的方程为 0 0 1x x y y  . 令 0y  ，得点 C 的坐标为 0 1 ,0x       ；令 0x  ，得点 D 的坐标为 0 10, y       .所以 0 0 1 1 1| | | |2 2CODS OC OD x y    V .又因为  0 0,P x y 是椭圆 2 2 : 116 4 x yM   上的点，所以 2 2 0 0 116 4 x y  ，所以 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 11 216 4 16 4 4 x y x y x y     (当且仅当 0 02x y 时等号成立)，所以 8 / 19 0 0 4x y  (当且仅当 0 02x y 时等号成立).所以 0 0 1 1 1 1 1 2 2 4 8CODS x y     V ，所以 CODV 面 积的最小值为 1 8 .故选 D. 填空题：平面解析几何 1.若直线 3 4 5 0x y   与圆 2 2 2 ( 0)x y r r   相交于 ,A B 两点，且 120AOB   (O 为坐标 原点)，则 r  __________. 2.设抛物线 2 4y x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 _____________. 3.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆，圆 A 与 双曲线 C 的一条渐近线交于 ,M N 两点.若 60MAN   ，则 C 的离心率为 __________________. 4.已知直线 : 3 3 0l mx y m    与圆 2 2 12x y  交于 ,A B 两点，过 ,A B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 ,C D 两点.若 2 3AB  ，则 CD  _______________. 5.已知 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 23 3 ( 0)x y a a   的左、右焦点，P 是抛物线 2 8y ax 与双曲线 的一个交点.若 1 2 12PF PF  ，则抛物线的准线方程为_____________. 6.P 为椭圆 2 2 116 15 x y  上任意一点，EF 为圆 2 2:( 1) 4N x y   的任意一条直径，则 PE PF uuur uuur 的取值范围是__________. 7.过抛物线  2 2 0x py p  的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线，与抛物线分别交于 ,A B 两点 (点 A 在 y 轴的左侧)，则 | | | | AF FB  __________________. 8.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c .若椭圆上存在一点 P 使 2 2 11sin sin a c F FP PF F   ，则该椭圆的离心率的取值范围为_______________. 9.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右支与焦点为 F 的抛物线 2 2 ( 0)x py p  交于 ,A B 两点.若| | | | 4 | |AF BF OF  ，则该双曲线的渐近线方程为 ________________. 10.已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F.过点  2,0 的直线 l 与抛物线分别交于 A B, 两点，则 9 / 19 4AF BF 的最小值为 _____ . 答案以及解析 1.答案：2 解析：因为 120AOB   ，所以圆心 (0,0) 到直线 3 4 5 0x y   的距离 | 3 0 4 0 5| 1 5 2d r     ，解得 2r  . 2.答案： 2 2( 1) 4x y   解析：因为抛物线的方程为 2 4y x ，所以焦点 F 为 1,0 ，准线 l 的方程为 1x   ，点 F 到 直线 l 的距离为 2.即圆的半径为 2，圆心为 (1,0) ，故所求圆的方程为 2 2( 1) 4x y   . 3.答案： 2 3 3 解析： | | | |, 60 ,AN AM MAN MAN   Q V 为等边三角形，  ,0A a 到直线 : bl y xa  的距离 为 3 2 b ，即 2 2 | | 3 2 ba b a b   ，化简得 2 23a b .又 2 2 2 2 2 2 3, 4 3 , 3 cb c a a c e a       Q . 4.答案：4 解析：设圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则 22 12 2 3, 3d d    ，即 2 | 3 3 | 33, 31 m m m       . 此时直线 l 的方程为 3 2 3 03 x y    . l 的倾斜角为 30°，如图所示.过 C 作 BD 的垂线， 垂足为 E，则| | | | 2 3CE AB  . | |, 30 , | | 4cos30 CECE l ECD CD     Q P . 5.答案： 2x   10 / 19 解析：将双曲线方程化为标准方程得 2 2 2 1( 0)3 x y aa a     ，则 2F 为抛物线的焦点，抛物线的 准线方程为 2x a  ，联立 2 2 2 2 2 1,3 8 , x y a a y ax      解得 3x a ( 3 a 舍去)，即点 P 的横坐标为 3a .由 1 2 1 2 12 2 PF PF PF PF a      ，解得 2 6PF a  ， 2 3 2 6PF a a a     ，解得 1a  ，抛物线的准线 方程为 2x   . 6.答案： 5,21 解析：由题意知， ( ) ( ) ( ) ( )PE PF PN NE PN NF PN NE PN NE          uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2 2| | 4PN NE PN   uuur uuur uuur .因为 | |a c PN a c    uuur ，即 3 | | 5PN  uuur ，所以 PE PF uuur uuur 的取值范围是[5,21] . 7.答案： 1 3 解析：抛物线 2 2 ( 0)x py p  的焦点为 0, 2 pF      ，则直线 AB 的方程为 3 3 2 py x  .由 2 2 , 3 ,3 2 x py py x      消去 x 得 2 212 20 3 0y py p   ，解得 1 2 3,6 2 p py y  . 由题意可设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 由抛物线的定义可知 1 2 | | 16 22 3| | 3 2 2 2 p ppyAF p p pFB y       . 8.答案： ( 2 1,1) 解析：在 1 2PF FV 中，由正弦定理知 21 2 2 1 1 sin sin PFPF F PF F PF   .因为 1 2 2 1sin sin a c PF F PF F   ，椭圆离 心率 ce a  ，所以 2 1 1PF a PF c e   ，即 1 2PF e PF .① 又因为点 P 在椭圆上，所以 1 2 2PF PF a  . 11 / 19 将①代入得 2 2 1 aPF e   .又 2a c PF a c    ，所以同除以 a 得 21 11e ee     .又 0 1e  ，所以 2 1 1e   . 9.答案： 2 2y x  解析：设    11 2 2, , ,A x y B x y .由 2 2x py 得 0, 2 pF      ，抛物线的准线方程为 2 py   .由抛物线 定义得 1 2| | | |AF BF y y p    . | | 2 pOF Q ，结合| | | | 4 | | 2AF BF OF p   ，得 1 2y y p  . 将 2 2x py 代入 2 2 2 2 1x y a b   得 2 2 2 2 1py y a b   ，即 2 2 2 2 1 0y py b a    ，则 22 1 2 2 2 2 2 1 p b pay y pa b     . 2 2 2 1b a   ， 2 22 ,a b  双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的渐近线方程为 2 2y x  . 10.答案：13 解析：设 1 1 2 2, ,( ) ( )A x y B x y， 由抛物线的定义，知 1 1AF x  ， 2 1BF x  . 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 2x  ，则 4 3 4 3 15AF BF     . 当直线 l 的斜率存在时，直线 l 的方程可设为  2 ( 0)y k x k   . 联立得方程组   2 2 4y x y k x      ，整理，得  2 2 2 24 4 4 0k x k k   . 由根与系数的关系可得 1 2 4x x  . 所以  1 24 1 4 1AF BF x x     1 24 5x x   1 22 4 5 13x x   (当且仅当 1 24 4x x  时 等号成立). 所以 4AF BF 的最小值为 13. 解答题：平面解析几何 1.已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a b a b     的右焦点 F 与抛物线 2C 的焦点重合， 1C 的中心与 2C 的 顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 1C 于 ,A B 两点，交 2C 于 ,C D 两点，且 4 3CD AB . （1）求 1C 的离心率； 12 / 19 （2）设 M 是 1C 与 2C 的公共点.若 5MF  ，求 1C 与 2C 的标准方程. 2.已知抛物线 2: 3C y x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 ,A B ，与 x 轴的交点 为 P. （1）若 4AF BF  ，求 l 的方程； （2）若 3AP PB uuur uur ，求 AB . 3.如图，曲线 C 由上半椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)y xC a b ya b      和部分抛物线 2 2 : 1( 0)C y x y   连接而成， 1C 与 2C 的公共点为 ,A B ，其中 1C 的离心率为 3 2 . （1）求 ,a b 的值. （2）过点 B 的直线 l 与 1 2,C C 分别交于点 ,P Q (均异于点 ,A B )，是否存在直线 l，使得以 PQ 为直径的圆恰好过点 A.若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 4.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两个焦点分别为 1 2( 2,0), (2,0)F F ，点 (3, 7)P 在双 曲线 C 上. （1）求双曲线 C 的方程； （2）记 O 为坐标原点，过点  0,2Q 的直线l 与双曲线 C 交于不同的两点 ,E F ，若 OEFV 的 面积为 2 2 ，求直线 l 的方程. 5.已知抛物线  2: 2 0G x py p  上一点  ,4R m 到其焦点的距离为 17 4 . （1）求 p 与 m 的值. 13 / 19 （2）若斜率为 2 的直线 l 与抛物线 G 交于 ,P Q 两点，点 M 为抛物线 G 上一点，其横坐标 为 1，记直线 PM 的斜率为 1k ，直线QM 的斜率为 2k ，试问： 1 2k k 是否为定值?并证明你 的结论. 6.设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右顶点为 A ，上顶点为 B .已知椭圆的离心率为 5 3 ， 13AB  . （1）求椭圆的方程； （2）设直线 : ( 0)l y kx k  与椭圆交于 ,P Q 两点，l 与直线交 AB 于点 M ，且点 ,P M 均在 第四象限.若 BPM△ 的面积是 BPQ△ 面积的 2 倍，求 k 的值. 7.已知椭圆 2 2 1 2 2 1( 0)x yC a ba b    ： 的右焦点 F 与抛物线 2C 的焦点重合， 1C 的中心与 2C 的 顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 1C 于 A B， 两点，交 2C 于 C D， 两点，且 4| | | |3CD AB . （1）求 1C 的离心率； （2）若 1C 的四个顶点到 2C 的准线距离之和为 12，求 1C 与 2C 的标准方程. 8.已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，直线   : 2 0l y k x k   与抛物线交于 ,A B 两点， ,AF BF 的延长线与抛物线交于 ,C D 两点. （1）若 AFBV 的面积等于 3，求 k 的值； （2）记直线 CD 的斜率为 CDk ，证明： CDk k 为定值，并求出该定值. 14 / 19 答案以及解析 1.答案：（1）由已知可设 2C 的方程为 2 4y cx ，其中 2 2c a b  . 不妨设 ,A C 在第一象限，由题设得 ,A B 的纵坐标分别为 2 2 ,b b a a  ， ,C D 的纵坐标分别为 2 , 2c c ，故 2 | |2| , | 4bB CD caA   . 由 4| | | |3CD AB 得 284 3 bc a  ，即 2 3 2 2c c a a        .解得 2c a   （舍去）， 1 2 c a  . 所以 1C 的离心率为 1 2 . （2）由（1）知 2 , 3a c b c  ，故 2 2 1 2 2: 1 4 3 x yC c c   . 设  0 0,M x y ，则 2 2 0 0 2 2 1 4 3 x y c c   ， 2 0 04y cx ， 故 2 0 0 2 4 134 x x cc   .① 由于 2C 的准线为 x c  ，所以 0| |MF x c  ，而 | 5MF | ，故 0 5x c  ，代入①得 2 2 (5 ) 4(5 ) 134 c c cc    ，即 2 2 3 0c c   ，解得 1c   （舍去）， 3c  . 所以 1C 的标准方程为 2 2 136 27 x y  ， 2C 的标准方程为 2 12y x . 2.答案：（1）设直线 3: 2l y x t  ， 1 1 2 2, ,( ) ( )A x y B x y， . 由题设得 3 ,04F      ，故 1 2 3 2AF BF x x    ， 由题设可得 1 2 5 2x x  .由 2 3 ,2 3 y x t y x      可得  2 29 12 1 4 0x t x t    ，则   1 2 12 1 9 tx x    . 从而  12 1 5 9 2 t   ，得 7 8t   . 所以 l 的方程为 3 7 2 8y x  . （2）由 3AP PB uuur uur 可得 1 23y y  . 由 2 3 ,2 3 y x t y x      可得 2 2 2 0y y t   .所以 1 2 2y y  . 15 / 19 从而 2 23 2y y   ，故 2 11 3y y  ， . 代入 C 的方程得 1 2 13, 3x x  .故 4 13 3AB  . 3.答案：（1）在 1 2,C C 的方程中，令 0y  ，可得 1b  ， 且 ( 1,0), (1,0)A B 是上半椭圆 1C 的左、右顶点. 设 1C 的半焦距为 c， 由 3 2 c a  及 2 2 2 1a c b   ，得 2a  ， 2, 1a b   . （2）存在.由（1）知，上半椭圆 1C 的方程为 2 2 1( 0)4 y x y   . 由题意知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为   1 0y k x k   ，代入 1C 的方程， 整理得  2 2 2 24 2 4 0k x k x k     .(*) 设点 P 的坐标为  ,P Px y ， Q 直线 l 过点 , 1B x  是方程(*)的一个根. 由根与系数的关系得 2 2 4 4p kx k   ，从而 2 8 4P ky k   ， 点 P 的坐标为 2 2 2 4 8,4 4 k k k k        . 同理，由 2 ( 1), 0, 1, 0 y k x k y x y         得点 Q 的坐标为  21, 2k k k    . 2 2 ( , 4), (1, 2)4 kAP k AQ k kk       uuur uuur . Q 以 PQ 为直径的圆恰好过点 A， , 0AP AQ AP AQ     uuur uuur ，即 2 2 2 [ 4( 2)] 04 k k kk     . 0, 4( 2) 0k k k    Q ，解得 8 3k   . 经检验， 8 3k   符合题意. 故直线 l 的方程为8 3 8 0x y   . 4.答案：（1）依题意， 2 2 4a b  ， 16 / 19 则双曲线 C 的方程为  2 2 2 2 2 1 0 44 x y aa a     ， 将点  3, 7 代入上式，得 2 2 9 7 14a a   ， 解得 2 18a  (舍去)或 2 2a  ， 故所求双曲线的方程为 2 2 12 2 x y  . （2）依题意，可设直线 l 的方程为 2y kx  ，代入双曲线 C 的方程并整理，得  2 21 4 6 0k x kx    . Q 直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 ,E F ，   2 2 2 1 0 ( 4 ) 24 1 0 k k k        ， 1 3 3 k k     .(*) 设    1 1 2 2, , ,E x y F x y ，则 1 2 1 22 2 4 6,1 1 kx x x xk k      ，   2 22 2 1 2 1 2 2 2 2 3| | 1 4 1 1 kEF k x x x x k k            . 又原点 O 到直线 l 的距离 2 2 1 d k   ， 2 2 22 1 1 2 2 2 3| | 12 2 111OEF kS d EF k kk          V ∣ 2 2 2 2 3 1 k k    . 又 2 2OEFS V ，即 2 4 2 2 3 1, 2 011 k k kk       ∣ ，解得 2k   ，满足(*). 故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 2 2y x  和 2 2y x   . 5.答案：（1）根据抛物线定义，点  ,4R m 到焦点的距离等于它到准线的距离， 即 174 2 4 p  ，解得 1 2p  ， 所以抛物线方程为 2x y . 因为点  ,4R m 在抛物线上，所以 2 4m  ，所以 2m   . （2）设直线 l 的方程为 2y x b   ，设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ， 联立 2 2 , , y x b x y      得 2 2 0x x b   ， 17 / 19 当 0  ，即 4 4 0b  ，即 1b   时，直线 l 与抛物线有两个交点，此时 1 2 2x x   . 因为点 M 的坐标为  1,1 ，且 2 2 1 1 2 2,x y x y  ， 所以 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 11, 11 1 1 1 y x y xk x k xx x x x               ， 所以      1 2 1 2 1 21 1 2 2 2 0k k x x x x            ， 所以 1 2k k 为定值 0. 6.答案：（1）设椭圆的焦距为 2c 由已知得 2 2 5 9 c a  又由 2 2 2a b c  ，可得 2 3a b 由 2 2 13AB a b   ，从而 3, 2a b  所以，椭圆的方程为 2 2 19 4 x y  （2）设    1 1 2 2, , ,P x y M x y 由题意 2 1 0x x  点 Q 的坐标为  1 1,x y 由 BPM△ 的面积是 BPQ△ 面积的 2 倍， 可得 2PM PQ ，从而  2 1 1 12x x x x      ，即 2 15x x . 易知直线 AB 的方程为 2 3 6x y  ， 由方程组 2 3 6x y y kx       消去 y，可得 2 6 3 2x k   . 由方程组 2 2 19 4 x y y kx       消去 y，可得 1 2 6 9 4 x k   . 由 2 15x x ，可得 两边平方， 整理得 218 25 8 0k k   ，解得 8 9k   或 1 2k   . 当 8 9k   时 2 9 0x    ，不合题意，舍去； 当 1 2k   时 2 1 1212, 5x x  ，，符合题意. 所以，k 的值为 1 2  . 7.答案：（1）由已知可设 2C 的方程为 2 4y cx ，其中 2 2c a b  . 18 / 19 不妨设 A C， 在第一象限，由题设得 A B， 的纵坐标分别为 2 2 ,b b a a  ； C D， 的纵坐标分别为 2 2c c， ，故 22| | ,| | 4bAB CD ca   . 由 4| | | |3CD AB 得 284 3 bc a  ，即 23 2 2( )c c a a    ，解得 2c a   （舍去）， 1 2 c a  . 所以 1C 的离心率为 1 2 . （2）由（1）知 2 , 3a c b c  ，故 2 2 1 2 2 14 3 x yC c c  ： ，所以 1C 的四个顶点坐标分别为 2(2 0),( 2 0),(0 3 ),(0 3 ),c c c c C ， ， ， ， 的准线为 x c  . 已知得 3 12c c c c    ，即 2c  . 所以 1C 的标准方程为 2 2 2116 12 x y C  ， 的标准方程为 2 8y x . 8.答案：（1）设 2 2 1 2 1 2, , ,4 4 y yA y B y            . 由 2 4 ( 2) y x y k x      ，得 2 4 8 0ky y k   ， 216 32 0k    ， 所以 1 2 1 2 4 , 8y y y yk     ，  2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 11 4 2 2 32 2AFBS y y y y y y k          V ， 解得 2k  ( 2k   舍去). （2）设 2 3 3,4 yC y      ，则 22 31 1 31, , 1,4 4 yyFA y FC y            uur uuur . 因为 , ,A F C 共线， 所以 22 31 3 11 1 04 4 yy y y             ，即   1 3 1 3 1 04 y yy y       ， 解得 3 1y y (舍去)或 3 1 4y y   ，所以 2 1 1 4 4,C y y      ， 同理 2 2 2 4 4,D y y      ， 19 / 19 所以 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 4 4 24 4CD y y y yk ky y y y       ，故 2CDk k  ， 所以 CDk k 为定值，且定值为 2.