2021届湖南省三湘名校教育联盟高考第三次大联考数学试卷（解析版）

2021 年湖南省三湘名校教育联盟高考数学第三次大联考试卷 一、选择题（共 8 小题）. 1．已知 U 为全集，非空集合 A，B 满足 A∩（ ∁ UB）≠ ∅ ，则下列正确的是（ ） A．A∩B＝ ∅ B．A ⊆ B C．B ⊆ A D．（ ∁ UA）∩B≠ ∅2．已知复数 z 满足 z（1﹣i）＝1+2i，则 1+ 在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列选项中的两个条件是互为充要条件的是（ ） A．P：a＝1；Q：函数 f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3 是偶函数 B．在△ABC 中，P：△ABC 是等边三角形；Q：sinA＝sinB＝sinC C．P：数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2﹣3n+1；Q：数列{an}是公差为 2 的等差数列 D．P：实数 x＞1；Q：x+ ≥2 4．九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的 象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第 五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位， 即第 1，3，7，9 位，沉降之龙位居 2，4，6，8 位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为 了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之 龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置．则不同的雕刻模型有多少种（ ） A．A B．2A C．A D．A •A 5．函数 f（x）＝﹣ sin（ ω x+ φ ）（ ω ＞0，| φ |＜ π ）的部分图象如图所示，则 f（x）的单 调递增区间为（ ） A．[k π ﹣ ，k ]，k ∈ Z B．[k π + ，k π + ]，k ∈ Z C．[k π ﹣ ，k π + ]，k ∈ Z D．[k π + ，k π + ]，k ∈ Z 6．已知直线 l 被双曲线 C： ﹣y2＝1 所截得的弦的中点坐标为（1，2），则直线 l 的方 程（ ） A．x+4y﹣9＝0 B．x﹣4y+7＝0 C．x﹣8y+15＝0 D．x+8y﹣17＝0 7．目前我国对于轻型汽车将“国六标准”分为“国六 A“和“国六 B”两个阶段，并计划 于 2023 年在全国统一实施．国六标准即“国家第六阶段机动车污染物排放标准”，是为 了贯彻环境保护相关法律．减少并防止汽车排气对环境的污染，保护生态环境，保证人 体健康而制定的．某国有汽车品牌努力研发轻型燃油汽车性能，对旗下生产的三款汽车 在不同速度下燃油效率性能检测如图（“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里 程）．下列叙述中正确的是（ ） 排放物 国六 A 国六 B 一氧化碳 700（mg/km） 500（mg/km） 非甲烷烃 68（mg/km） 35（mg/km） 氮氧化物 60（mg/km） 35（mg/km） PM 细颗粒物 4.5（mg/km） 3（mg/km） PN 颗粒物 6×1011 颗/km 6×1011 颗/km A．国六 B 阶段比国六 A 阶段对 PN 颗粒物排放量要求减少 B．以相同速度行驶时，甲车每小时消耗汽油最少 C．乙车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗汽油不到 10 升 D．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1km 需要消耗汽油约 10 升 8．已知连续型随机变量 Xi～N（ui，σi2）（i＝1，2，3），其正态曲线如图所示，则下列 结论正确的是（ ） A．P（X1≤ μ 2）＜P（X2≤ μ 1） B．P（X2≥ μ 2）＞P（X3≥ μ 3） C．P（X1≤ μ 2）＜P（X2≤ μ 3） D．P（ μ i﹣2σi≤Xi≤ μ i+2σi）＝P（ μ i+1﹣2σi+1≤Xi+1≤ μ i+1+2σi+1）（i＝1，2） 二、选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分． 9．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝ b＝3，B＝2C，则下列结论 正确的是（ ） A．sinC＝ B．a＝ C．a＝c D．S△ABC＝2 10．数列{an}为等比数列，公比为 q＞1，其前 n 项和为 Sn，若 a5﹣a1＝15，a2•a4＝16，则 下列说法正确的是（ ） A．Sn+1＝2Sn+1 B．an＝2n C．数列{log3（Sn+1）}是等比数列 D．对任意的正整数 k（k 为常数），数列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差为 1 的等差数列 11．已知向量 ＝（1，sin θ ）， ＝（cos θ ， ）（0≤ θ ≤ π ），则下列命题正确的是（ ） A． 与 可能平行 B．存在 θ ，使得| |＝| | C．当 • ＝ 时，sin θ ＝ D．当 tan θ ＝﹣ 时， 与 垂直 12．已知奇函数 f（x）的定义域为 R，且满足对任意的 x ∈ R，都有 f（﹣x）＝f（x+1）．当 0≤x≤ 时，f（x）＝log2（1+x），则下列说法正确的是（ ） A．f（x）的周期为 2 B．若 i ∈ N*，则 f（i）＝0 C．点（﹣1，0）为 f（x）的一个对称中心 D． f（ ）＝log2（ ）1011 三、填空题（共 4 小题）. 13．从古至今，奇门遁甲，五行八卦等，称之为玄学，它充满了神秘色彩，人们常说“无极 生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．八卦是由 ， 组合而成，八 卦中的阳爻和阴爻与计算机数制“二进制”中的 1 和 0 分别对应，例如在二进制下“101011” 表示的“十进制”数为 1×25+0×24+1×23+0×22+1×2+1×20＝43，在八卦中 乾卦 代表的二进制数“111111”表示十进制数 63， 坤卦代表的二进制数“00000”表示 的十进制数为 0，据此，离卦 表示的十进制数字为 ． 14．已知过点（0，﹣4）且倾斜角的余弦值为 的直线方程为 ，若该直线与抛物 线 x2＝2py（p＞0）只有一个公共点，则抛物线的准线方程为 ． 15．“开车不喝酒，喝酒不开车”，为了营造良好的交通秩序，全国各地交警都大力宣传和 查处“酒驾行为”．某地交警在设卡查处“酒驾行为”时碰到甲、乙、丙三位司机， 司机甲说：我喝酒了． 司机乙说：我没有喝酒． 司机丙说：甲没有喝酒． 若这三位司机身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，请 你在不使用酒精测试仪的情况下，帮助交警判定出真正喝酒的人是 ． 16．已知点 P 是等边△ABC 外一点，且点 P 在△ABC 所在平面内的射影恰好在边 BC 上， 若△ABC 的边长为 2，三棱锥 P﹣ABC 的外接球体积为 4 ，则三棱锥 P﹣ABC 体积 的最大值为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝1，从以下三个条件中任选其中一个 ① S15 ＝120； ② a5+a7＝12； ③ ﹣ ＝ ． （1）求公差 d 及{an}的通项公式； （2）求 Tn＝ ． 18．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tanA＝ ． （1）若 a＝ ，c＝ ，求 b 的值； （2）若角 A 的平分线交 BC 于点 D， ＝ ，a＝2，求△ACD 的面积． 19．2020 年 5 月 27 日，中央文明办明确规定，在 2020 年全国文明城市测评指标中不将马 路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．6 月 1 日上午，国务院总理李克强在山东 烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高 大上”一样，是中国的生机．其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎．现 有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点 A，B 两点处进行套圈，已知甲在 A，B 两点的命中率均为 ，乙在 A 点的命中率为 1﹣p（0＜p≤ ），在 B 点的命中率为 1﹣ 2p，且他们每次套圈互不影响． （1）若甲在 A 处套圈 3 次，求甲至多命中 1 次的概率； （2）若甲和乙每人在 A，B 两点各套圈一次，且在 A 点命中计 2 分，在 B 点命中计 3 分， 未命中则计 0 分，设甲的得分为 X，乙的得分为 Y，写出 X 和 Y 的分布列和期望； （3）在（2）的条件下，若 EX＞EY，求 p 的范围． 20．如图所示，△ABC 是等边三角形，DE∥AC，DF∥BC，二面角 D﹣AC﹣B 为直二面角， AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2． （1）求证：EF⊥BC； （2）求平面 ACDE 与平面 BEF 所成锐二面角的正切值． 21．已知函数 f（x）满足 xf（x）﹣xlnx﹣2a＝0（a ∈ R）恒成立． （1）分析函数 f（x）的单调性； （2）若 g（x）＝ + ，证明：当 a≥ 时，f（x）＞g（x）． 22．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的离心率 e＝ ，F1，F2 分别为左、右焦点，点 T 在椭圆上，△TF1F2 的面积最大为 2 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B．过定点（1，0）且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，直线 AP 和直线 BQ 相交于椭圆 C 外一点 M，求证：点 M 的轨迹为定直 线． 参考答案 一、选择题（共 8 小题）. 1．已知 U 为全集，非空集合 A，B 满足 A∩（ ∁ UB）≠ ∅ ，则下列正确的是（ ） A．A∩B＝ ∅ B．A ⊆ B C．B ⊆ A D．（ ∁ UA）∩B≠ ∅解：因为 U 为全集，非空集合 A，B 满足 A∩（ ∁ UB）≠ ∅ ， 所以 A∩B≠ ∅ ，选项 A 正确； A ⊆ B，选项 B 正确； B ⊆ A 时，A∩（ ∁ UB）＝ ∅ ，所以选项 C 错误； （ ∁ UA）∩B≠ ∅ 时，B ⊆ A，由选项 C 知 D 错误． 故选：B． 2．已知复数 z 满足 z（1﹣i）＝1+2i，则 1+ 在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：因为 z（1﹣i）＝1+2i， 所以 z＝ ＝ ＝ ， 所以 1+ ＝1﹣ ＝ 在复平面内对应的点在第四象限． 故选：D． 3．下列选项中的两个条件是互为充要条件的是（ ） A．P：a＝1；Q：函数 f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3 是偶函数 B．在△ABC 中，P：△ABC 是等边三角形；Q：sinA＝sinB＝sinC C．P：数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2﹣3n+1；Q：数列{an}是公差为 2 的等差数列 D．P：实数 x＞1；Q：x+ ≥2 解：选项 A，当 a＝1 时，函数 f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3 是偶函数， 但函数 f（x）＝x2﹣（1﹣a2）x+3 是偶函数，可得 a＝±1，故 P 是 Q 的充分不必要条件； 选项 B，在△ABC 中，△ABC 是等边三角形可得 sinA＝sinB＝sinC， 当 sinA＝sinB＝sinC 时，△ABC 是等边三角形，所以 P 和 Q 互为充要条件； 选项 C，数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2﹣3n+1，可得数列不是等差数列， 当数列{an}是公差为 2 的等差数列时，因为不知道首项，所以数列{an}的前 n 项和 Sn 不 确定， 所以 P 是 Q 的既不充分也不必要条件； 选项 D，因为 x＞1，所以 x+ ＞2，可以推出 x+ ≥2， 但是当 x+ ≥2 时，可得 x＞0，不能推出 x＞1，所以 P 是 Q 的充分不必要条件． 故选：B． 4．九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的 象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第 五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位， 即第 1，3，7，9 位，沉降之龙位居 2，4，6，8 位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为 了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之 龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置．则不同的雕刻模型有多少种（ ） A．A B．2A C．A D．A •A 解：由题设可知：四条升腾之龙的相对位置有 调换方法，四条沉降之龙的相对位置有 调换方法， ∴不同的雕刻模型共有 • 种， 故选：D． 5．函数 f（x）＝﹣ sin（ ω x+ φ ）（ ω ＞0，| φ |＜ π ）的部分图象如图所示，则 f（x）的单 调递增区间为（ ） A．[k π ﹣ ，k ]，k ∈ Z B．[k π + ，k π + ]，k ∈ Z C．[k π ﹣ ，k π + ]，k ∈ Z D．[k π + ，k π + ]，k ∈ Z 解：由图象知， ，∴T＝ π ， ∴ ， ω ＝2， ∴ 过点 ， ∴ ， ，且| φ |＜ π ， ∴ ， ∴ ， 当 ，即 （k ∈ Z）时，函 数单调递增， ∴f（x）的单调递增区间为 ， ∴f（x）的单调递增区间为 ． 故选：A． 6．已知直线 l 被双曲线 C： ﹣y2＝1 所截得的弦的中点坐标为（1，2），则直线 l 的方 程（ ） A．x+4y﹣9＝0 B．x﹣4y+7＝0 C．x﹣8y+15＝0 D．x+8y﹣17＝0 解：设 P，Q 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， ∵线段 PQ 的中点为（1，2），∴x1+x2＝2，y1+y2＝4， ∵ ﹣ ＝1， ﹣ ＝1， ∴ ﹣（y1﹣y2）（y1+y2）＝0， 整理得 ＝ ，即直线 l 的斜率为 ， 故直线 l 的方程为 y﹣2＝ （x﹣1）， 即 x﹣8y+15＝0， 故选：C． 7．目前我国对于轻型汽车将“国六标准”分为“国六 A“和“国六 B”两个阶段，并计划 于 2023 年在全国统一实施．国六标准即“国家第六阶段机动车污染物排放标准”，是为 了贯彻环境保护相关法律．减少并防止汽车排气对环境的污染，保护生态环境，保证人 体健康而制定的．某国有汽车品牌努力研发轻型燃油汽车性能，对旗下生产的三款汽车 在不同速度下燃油效率性能检测如图（“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里 程）．下列叙述中正确的是（ ） 排放物 国六 A 国六 B 一氧化碳 700（mg/km） 500（mg/km） 非甲烷烃 68（mg/km） 35（mg/km） 氮氧化物 60（mg/km） 35（mg/km） PM 细颗粒物 4.5（mg/km） 3（mg/km） PN 颗粒物 6×1011 颗/km 6×1011 颗/km A．国六 B 阶段比国六 A 阶段对 PN 颗粒物排放量要求减少 B．以相同速度行驶时，甲车每小时消耗汽油最少 C．乙车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗汽油不到 10 升 D．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1km 需要消耗汽油约 10 升 解：对于 A，国六 B 阶段比国六 A 阶段对 PN 颗粒物排放量要求相同，故 A 错误； 对于 B，三款车无论以什么样的相同速度行驶，甲车消耗汽油最少，故 B 正确； 对于 C，由图象可知，乙车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗汽油超过 10 升，故 C 错误； 对于 D，甲车以 80 千米/小时的速度行驶 10km 需要消耗汽油约 1 升，故 D 错误． 故选：B． 8．已知连续型随机变量 Xi～N（ui，σi2）（i＝1，2，3），其正态曲线如图所示，则下列 结论正确的是（ ） A．P（X1≤ μ 2）＜P（X2≤ μ 1） B．P（X2≥ μ 2）＞P（X3≥ μ 3） C．P（X1≤ μ 2）＜P（X2≤ μ 3） D．P（ μ i﹣2σi≤Xi≤ μ i+2σi）＝P（ μ i+1﹣2σi+1≤Xi+1≤ μ i+1+2σi+1）（i＝1，2） 解：对于 A：P（X1≤ μ 2）是正态分布密度函数在第二条虚线左侧与 x 轴围成的部分， P（X2≤ μ 1）是正态分布密度函数在第一条虚线左侧与 x 轴围成的部分， 故由图象可知 P（X1≤ μ 2）＞P（X2≤ μ 1），故 A 错误； 对于 B：P（X2≥ μ 2）＝ ，P（X3≥ μ 3）＝ ，则 P（X2≥ μ 2）＝P（X3≥ μ 3），故 B 错误； 对于 C：P（X1≤ μ 2）＞P（X2≤ μ 3），故 C 错误； 对于 D：由于概率表示曲线和 x 轴围成的部分，与是 i 还是 i+1 无关， 故 P（ μ i﹣2σi≤Xi≤ μ i+2σi）＝P（ μ i+1﹣2σi+1≤Xi+1≤ μ i+1+2σi+1）（i＝1，2）成立，故 D 正确． 故选：D． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分． 9．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝ b＝3，B＝2C，则下列结论 正确的是（ ） A．sinC＝ B．a＝ C．a＝c D．S△ABC＝2 解：∵B＝2C，∴sinB＝sin2C＝2sinCcosC， 由正弦定理知， ＝ ， ∵c＝ b，∴cosC＝ ，sinC＝ ＝ ，即选项 A 正确； 由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•cosC， ∴9＝a2+ ﹣2a•（2 ）• ，即 a2﹣4a+3＝0， 解得 a＝3 或 a＝1， 若 a＝3，则 A＝C＝ ，此时 cosC＝ ，与题意不符， ∴a＝1＝ ，即选项 B 正确，选项 C 错误； △ABC 的面积 S△ABC＝ ab•sinC＝ ×1× × ＝ ，即选项 D 错误． 故选：AB． 10．数列{an}为等比数列，公比为 q＞1，其前 n 项和为 Sn，若 a5﹣a1＝15，a2•a4＝16，则 下列说法正确的是（ ） A．Sn+1＝2Sn+1 B．an＝2n C．数列{log3（Sn+1）}是等比数列 D．对任意的正整数 k（k 为常数），数列{log2（Sn+k﹣Sn ）}是公差为 1 的等差数列 解：因为公比为 q＞1，由 可得 ，即 ＝ ， 所以 4q4﹣15q2﹣4＝0， 解得 q2＝4， 所以 ，所以 an＝2n﹣1，Sn＝2n﹣1， 所以 Sn+1＝2n+1﹣1＝2Sn+1，Sn+1＝2n， 所以 log3（Sn+1）＝nlog32， 所以数列{log3（Sn+1）}是等差数列，对任意的正整数 n，k，Sn+k﹣Sn＝2n+k﹣2n＝（2k﹣1） 2n， 所以数列 log2（Sn+k﹣Sn）＝n+log2（2k﹣1）， 所以数列{log2（Sn+k﹣Sn）}是公差为 1 的等差数列， 故正确的为 AD． 故选：AD． 11．已知向量 ＝（1，sin θ ）， ＝（cos θ ， ）（0≤ θ ≤ π ），则下列命题正确的是（ ） A． 与 可能平行 B．存在 θ ，使得| |＝| | C．当 • ＝ 时，sin θ ＝ D．当 tan θ ＝﹣ 时， 与 垂直 解：若 与 平行，则 sin θ cos θ ＝ ，即 sin2 θ ＝2 不成立，即 与 不可能平行，故 A 错误， 若| |＝| |，则 ＝ 得 1+sin2 θ ＝cos2 θ +2，即 cos2 θ ﹣sin2 θ ＝cos2 θ＝1，此时 θ 存在，故 B 正确， 若 • ＝ ，则 cos θ + sin θ ＝ （ cos θ + sin θ ）， 设 sin φ ＝ ，cos φ ＝ ，则 cos θ + sin θ ＝ sin（ θ + φ ）＝ ， 则 sin（ θ + φ ）＝1，即 θ + φ ＝2k π + ， ∵0≤ θ ≤ π ，∴k＝0 时， θ ＝ ﹣ φ ， 则 sin θ ＝cos φ ＝ ＝ ，故 C 正确， 当 tan θ ＝﹣ 时，则 sin θ ＝﹣ cos θ ，则 • ＝cos θ + sin θ ＝cos θ + ×（﹣ cos θ ） ＝cos θ ﹣cos θ ＝0，则 与 垂直成立，故 D 正确， 故选：BCD． 12．已知奇函数 f（x）的定义域为 R，且满足对任意的 x ∈ R，都有 f（﹣x）＝f（x+1）．当 0≤x≤ 时，f（x）＝log2（1+x），则下列说法正确的是（ ） A．f（x）的周期为 2 B．若 i ∈ N*，则 f（i）＝0 C．点（﹣1，0）为 f（x）的一个对称中心 D． f（ ）＝log2（ ）1011 解：对于 A，因为对任意的 x ∈ R，都有 f（﹣x）＝f（x+1），所以 f（x）关于 x＝ 对称， 又因为 f（x）为奇函数，所以 f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以，f（x）＝﹣f（x+1）＝﹣（﹣f（x+1+1））＝f（x+2），于是 f（x）的周期为 2， 所以 A 对； 对于 B，因为 f（1）＝f（0）＝0，f（2）＝f（0）＝0，所以当 i ∈ N*时，f（i）＝0，所以 f（i）＝0，所以 B 对； 对于 C，因为 f（﹣2﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以点（﹣1，0）为 f（x）的一个对 称中心，所以 C 对； 对于 D，当 i＝2k 时，f（ ）＝f（k）＝0，当 i＝4k+1 时，f（ ）＝f（2k+ ）＝f（ ）， 当 i＝4k+3 时，f（ ）＝f（2k+ ）＝f（1+ ）＝f（﹣ ）＝﹣f（ ）， 所以 f（ ）＝f（ ）＝log2（ ）≠log2（ ）1011，所以 D 错． 故选：ABC． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．从古至今，奇门遁甲，五行八卦等，称之为玄学，它充满了神秘色彩，人们常说“无极 生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．八卦是由 ， 组合而成，八 卦中的阳爻和阴爻与计算机数制“二进制”中的 1 和 0 分别对应，例如在二进制下“101011” 表示的“十进制”数为 1×25+0×24+1×23+0×22+1×2+1×20＝43，在八卦中 乾卦 代表的二进制数“111111”表示十进制数 63， 坤卦代表的二进制数“00000”表示 的十进制数为 0，据此，离卦 表示的十进制数字为 45 ． 解：由题意，离卦 表示的二进制数是 101101，对应的十进制数的计算为 1×25+0× 24+1×23+1×22+0×2+1×20＝45． 故答案为：45． 14．已知过点（0，﹣4）且倾斜角的余弦值为 的直线方程为 y＝2x﹣4 ，若该直线与 抛物线 x2＝2py（p＞0）只有一个公共点，则抛物线的准线方程为 y＝﹣1 ． 解：由直线的倾斜角的余弦值为 可得直线的正切值为 2，即直线的斜率为 2， 又过（0，﹣4），所以直线的方程为：y＝2x﹣4， 联立 ，整理可得：x2﹣4px+8p＝0， 由直线与抛物线相切， 所以△＝0，即△＝16p2﹣4×8p＝0，解得 p＝2， 所以准线方程为：y＝﹣ ＝﹣1， 故答案为：y＝2x﹣4，﹣1． 15．“开车不喝酒，喝酒不开车”，为了营造良好的交通秩序，全国各地交警都大力宣传和 查处“酒驾行为”．某地交警在设卡查处“酒驾行为”时碰到甲、乙、丙三位司机， 司机甲说：我喝酒了． 司机乙说：我没有喝酒． 司机丙说：甲没有喝酒． 若这三位司机身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话，请 你在不使用酒精测试仪的情况下，帮助交警判定出真正喝酒的人是 乙 ． 解：因为只有一人真正喝酒了，三人中只有一人说的是真话， 若果甲说的是真话，那么乙说也是真话，与只有一人说的是真话相矛盾， 故甲说的是假话，即甲没有喝酒是真的， 则丙说的是真话，那么乙说的就是假话，则乙喝酒了， 故答案为：乙． 16．已知点 P 是等边△ABC 外一点，且点 P 在△ABC 所在平面内的射影恰好在边 BC 上， 若△ABC 的边长为 2，三棱锥 P﹣ABC 的外接球体积为 4 ，则三棱锥 P﹣ABC 体积 的最大值为 ． 解：如图，点 P 在过直线 PC 与平面 ABC 垂直的球的小圆面的圆周上， 当点 P 在平面 ABC 的射影为 BC 中点时，三棱锥 P﹣ABC 体积最大， 设等边三角形 ABC 的中心为 O1，三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 上，球 O 的体积 为 4 ， ∴外接球的半径 r＝ ，∵△ABC 的边长为 2，点 P 在△ABC 所在平面内的射影恰好在 边 BC 上， 设为 D，过 O 作 OE⊥PD，垂足为 E，垂足为 E，依题意可得， ， ∴PE＝ ， ， 又 ，PD＝ ， ∴三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝1，从以下三个条件中任选其中一个 ① S15 ＝120； ② a5+a7＝12； ③ ﹣ ＝ ． （1）求公差 d 及{an}的通项公式； （2）求 Tn＝ ． 【解答】（1）若选条件 ① ： ∵S15＝120＝ ＝15a8，∴a8＝8， 又 a1＝1， ∴d＝ ＝1，an＝n； 若选条件 ② ： 由 a5+a7＝12 可得：a6＝6， 又 a1＝1， ∴d＝ ＝1，an＝n； 若选条件 ③ ： 由 ﹣ ＝ 可得： ﹣ ＝ ＝ ，解得：d＝1， ∴an＝n； （2）由（1）可得：Sn＝ ， ∴ ＝ ＝2（ ﹣ ）， ∴Tn＝2（1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）＝2（1﹣ ）＝ ． 18．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tanA＝ ． （1）若 a＝ ，c＝ ，求 b 的值； （2）若角 A 的平分线交 BC 于点 D， ＝ ，a＝2，求△ACD 的面积． 解：（1）因为 tanA＝ ， 所以 cosA＝ ， 由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA＝7， 即 b2﹣3b﹣4＝0， 解得 b＝4 或 b＝﹣1（舍）， （2）因为 ＝ ， 所以 ＝ ， 因为∠CAD＝∠BAD， 所以 ＝ ， 因为 a＝2， 由余弦定理得 ， 故 c2＝ ， 所以 S△ABC＝ ＝ ＝ ， △ACD 的面积 S△ACD＝ ＝ ＝ ． 19．2020 年 5 月 27 日，中央文明办明确规定，在 2020 年全国文明城市测评指标中不将马 路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．6 月 1 日上午，国务院总理李克强在山东 烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高 大上”一样，是中国的生机．其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎．现 有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点 A，B 两点处进行套圈，已知甲在 A，B 两点的命中率均为 ，乙在 A 点的命中率为 1﹣p（0＜p≤ ），在 B 点的命中率为 1﹣ 2p，且他们每次套圈互不影响． （1）若甲在 A 处套圈 3 次，求甲至多命中 1 次的概率； （2）若甲和乙每人在 A，B 两点各套圈一次，且在 A 点命中计 2 分，在 B 点命中计 3 分， 未命中则计 0 分，设甲的得分为 X，乙的得分为 Y，写出 X 和 Y 的分布列和期望； （3）在（2）的条件下，若 EX＞EY，求 p 的范围． 解：（1）设“甲至多命中 1 次”为事件 C，则 P（C）＝ • + ＝ ， 故甲至多命中 1 次的概率为 ． （2）由题意知，X＝0，2，3，5，Y＝0，2，3，5， P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝2）＝P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝5）＝ ＝ ， P（Y＝0）＝[1﹣（1﹣p）][1﹣（1﹣2p）]＝2p2， P（Y＝2）＝（1﹣p）[1﹣（1﹣2p）]＝2p﹣2p2， P（Y＝3）＝[1﹣（1﹣p）]（1﹣2p）＝p﹣2p2， P（Y＝5）＝（1﹣p）（1﹣2p）＝2p2﹣3p+1， ∴X 的分布列为 X 0 2 3 5 P Y 的分布列为 X 0 2 3 5 P 2p2 2p﹣2p2 p﹣2p2 2p2﹣3p+1 ∴E（X）＝0× +2× +3× +5× ＝ ， E（Y）＝0×2p2+2×（2p﹣2p2）+3×（p﹣2p2）+5×（2p2﹣3p+1）＝5﹣8p． （3）∵EX＞EY， ∴ ＞5﹣8p，即 p＞ ， ∴p 的取值范围是（ ， ]． 20．如图所示，△ABC 是等边三角形，DE∥AC，DF∥BC，二面角 D﹣AC﹣B 为直二面角， AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2． （1）求证：EF⊥BC； （2）求平面 ACDE 与平面 BEF 所成锐二面角的正切值． 【解答】（1）证明：因为 DE∥AC，DF∥BC，所以△ABC 是等边三角形， 所以∠EDF＝∠ACB＝60°，又 AC＝DE＝BC＝2DF＝2， 在△EDF 中，由余弦定理可得， ， 所以 EF2+DF2＝DE2， 故 EF⊥DF，所以 EF⊥BC； （2）解：设线段 AC 的中点为 O，连结 BO，DO， 因为△ABC 和△ACD 都是等边三角形，所以 BO⊥AC，DO⊥AC， 故∠BOD 即为二面角 D﹣AC﹣B 的平面角， 由于二面角 D﹣AC﹣B 是直二面角，所以∠BOD＝90°， 建立空间直角坐标系如图所示， 则 ， 所以 ， 设平面 BEF 的法向量为 ， 则有 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 又 ，且 是平面 ACDE 的一个法向量， 所以 ， 则 ， 所以 ， 故平面 ACDE 与平面 BEF 所成锐二面角的正切值为 ． 21．已知函数 f（x）满足 xf（x）﹣xlnx﹣2a＝0（a ∈ R）恒成立． （1）分析函数 f（x）的单调性； （2）若 g（x）＝ + ，证明：当 a≥ 时，f（x）＞g（x）． 解：（1）由题意得 x＞0， ， 当 a≤0 时，f′（x）＞0 恒成立，f（x）在 R 上单调递增， 当 a＞0 时，若 0＜x＜2a，f′（x）＜0，函数单调递减， 若 x＞2a，f′（x）＞0，函数单调递增， 综上，a≤0 时，f（x）在 R 上单调递增， 当 a＞0 时，函数在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增， （2）若 f（x）＞g（x），则 xlnx﹣ +2a＞ ， 设 F（x）＝xlnx﹣ +2a＞ ，G（x）＝ ， F′（x）＝lnx ， ， 同（1）F（x）min＝F（ ）＝2a﹣ ，G（x）max＝G（1）＝ ， 由于 a ，所以 2a﹣ ，即 F（x）min＞G（x）max， 故当 a 时，F（x）＞G（x）， 即 f（x）＞g（x）． 22．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的离心率 e＝ ，F1，F2 分别为左、右焦点，点 T 在椭圆上，△TF1F2 的面积最大为 2 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B．过定点（1，0）且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，直线 AP 和直线 BQ 相交于椭圆 C 外一点 M，求证：点 M 的轨迹为定直 线． 解：（1）由题意，椭圆的离心率为 ，△TF1F2 的面积的最大值为 2 ， 所以 ，解得 a2＝9，b2＝5，c2＝4， 所以椭圆的方程为 ； （2）证明：由题意，直线 PQ 的斜率不为 0， 设直线 PQ 的方程为：x＝ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），M（x，y）， 联立方程 ，消去 x 整理可得：（5t2+9）y2+10ty﹣40＝0， 则 y ，所以 y ， 由 A．P，M 三点共线可得： ， 由 B，Q，M 三点共线可得： ， 两 式 相 除 可 得 ： ＝ ＝ ＝ ， 解得 x＝9， 综上，点 M 在定直线 x＝9 上．