第三章 导数-【高效复习】2021年高考数学复习之易错点拨

------------------------------- 易错题·典例正误辨析------------------------------- 易错点 1：误解导函数与单调区间的关系 【例 1】 ( )f x 是 ( )f x 在区间[ , ]a b 的导函数，则“在区间 ( , )a b 内 ( ) 0f x  ”是“ ( )f x 在该区间 内单调递增”的________条件． 【错解】充要 【错因】一般地，由 ( ) 0f x  能推出 ( )f x 为增函数，反之，则不一定．如函数 3( )f x x 在区间 ( , )  上单调递增，但是 ( ) 0f x  ，因此 ( ) 0f x  是函数 ( )f x 为增函数的充分不必要条件． 知识点：利用导 数研究函数的 单调性，确定单 调区间时，切 记： ( ) 0f x  是 函 数 ( )f x 为增函数的充 分不必要条件， 而不是等价关 系. 【正解】充分不必要 易错点 2：误解“导数为 0”与“有极值”的逻辑关系 函数 3 2 2( )f x x ax bx a    在 1x  处有极值 10，求 ,a b 的值． 【错解】由 (1) 10, (1) 0f f   解得 4, 11 3, 3a b a b     或 ． 【错因】对“导数为 0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把 0( )f x 为极值的必要条件当作充要条 件． 知识点：利用导 数研究函数的 极 值 ， f′(x0) ＝0 是 x0 为 f(x) 的极值点的必 要 不 充 分 条 件．例如，f(x) ＝x3，f′(0)＝ 0，但 x＝0 不是 极值点，需要进 行验证。 【正解】 2( ) 3 2f x x ax b    ，依题意得 (1) 10 (1) 0 f f     ，解得 4 11 a b     或 3 3 a b     ，当 4 11 a b     时， 2( ) 3 8 11 (3 11)( 1)f x x x x x       ， 所 以 ( )f x 在 1x  处 取 得 极 值 ； 当 3 3 a b     时 ， 2 2( ) 3 6 3 3( 1)f x x x x      ，此时 ( )f x 在 1x  无极值．所以 3, 3a b   ． 易错点 3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 已知函数 f（x）的导函数  xf  的图像如左图所示，那么函数  xf 的图像最有可能的是 知识点：导数 的符号反映了 函数在某个区 间上的单调性， 导数绝对值的 大小反映了函 【错解】选 ,C,B D 【错因】概念不清，凭空乱猜 数在某个区间 或某点附近变 化的快慢程度. 要区分“导函数 值正负”与“原 函数图象升降” 关系。 由导函数的图像，可得：当     ,02, x 时， 0)(' xf ，当  0,2x 时， 0)(' xf ， 且开口向下；则 )(xf 在  2, 上递减，在  0,2 上递增，在  ,0 递减；故选 A． 易错点 4：遗忘复合函数求导公式 【例 4】函数 1 cosxy x e   的导数为 ． 【错解】 1 cosxy e   【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中 间变量对自变量的导数，即 x u xy y u    ． 知识点：复合函 数 y＝f(g(x))的 导 数 和 函 数 y ＝f(u)，u＝g(x) 的导数间的关 系 为 yx′ ＝ yu′·ux′。即 y 对 x 的导数等 于y对u的导数 与 u 对 x 的导 数的乘积． 【正解】    1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos1 cosx x x x xy e x e e xe x e             1 cos sinxxe x   1 cos1 sin xx x e   易错点 5：切线问题中忽视切点的位置致错 【例 5】已知曲线 xxxf 32)( 3  ，过点 (0,32)M 作曲线 ( )f x 的切线，求切线方程． 【错解】由导数的几何意义知 (0) 3k f    ，所以曲线的切线方程为 3 32y x   ． 【错因】点 (0,32)M 根本不在曲线上，忽视切点位置致错． 知识点：求曲线 的 切 线 时 (1)“过点 A 的 曲线的切线方 程”与“在点 A 处的切线方 程”是不相同 的，后者 A 必 为切点，前者未 必是切点； (2)曲线在某点 处的切线若有 则只有一条，曲 线过某点的切 线往往不止一 条；切线与曲线 【正解】设切点坐标为 3 0 0 0( ,2 3 )N x x x ，则切线的斜率 2 0 0( ) 6 3k f x x   ， 故切线方程为 2 0(6 3) 32y x x   ，又因为点 N 在切线上， 所以 3 0 02 3x x  2 0 0(6 3) 32x x  ， 解得 0 2x   ，所以切线方程为 y=21x+32． 的公共点不一 定只有一个 易错点 6．混淆极值与最值是两个不同的概念致错 【例 6】求函数 xxxxf  23 2)( 在[－3，3]上的最值． 【错解】 ( )f x =3x2－4x+1=（3x－1）（x－1）， 所以极值点为 1x  或 1 3x  ， 又∵ (1)f =0， 1 4( )3 27f  ． 所以函数最大值为 4 27 ，最小值为 0． 【错因】需注意在闭区间上的最值应是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能 简单地把极值等同于最值． 知识点：求函数 在闭区间上的 最值，只需比较 极值和端点处 的函数值即可； 函数在一个开 区间内只有一 个极值，这个极 值就是最值.【正解】 ( )f x =3x2－4x+1=（3x－1）（x－1）， 所以极值点为 1x  或 1 3x  ， 又∵ (1)f =0， 1 4( )3 27f  ， ( 3) 48, (3) 12.f f    所以函数最大值为 12，最小值为－48． 易错点 7．用错恒成立的条件 已知函数 2( ) 3f x x ax a    若 [ 2,2]x  时， ( )f x ≥0 恒成立，求的取值范围． 【错解一】 ( ) 0f x  恒成立，∴△＝ 2 4(3 )a a  ≤0 恒成立解得的取值范围为 6 2a   ； 【错解二】∵ 2( ) 3f x x ax a    若 [ 2,2]x  时， ( )f x ≥0 恒成立， ∴ ( 2) 0 (2) 0 f f     ，即 2 2 ( 2) 2 3 0 2 2 3 0 a a a a           ，解得的取值范围为 77 3a   ． 【错因】对二次函数 ( )f x ＝ 2ax bx c  “当 x R 上 ( )f x ≥0 恒成立时，△≤0”片面理解为 “ 2ax bx c  ≥0， [ 2,2]x  恒成立时，△≤0” ；或者理解为 ( 2) 0 (2) 0 f f     ．这都是由于函数性 质掌握得不透彻而导致的错误．二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴 定区间变”要对区间进行讨论． 知识点：求函数 f(x) 在 闭 区 间 [a，b]内的最 值的思路 (1)若所给的闭 区间[a，b]不 含有参数，则只 需 对 函 数 f(x) 求 导 ， 并 求 f′(x)＝0 在区 间[a，b]内的 根，再计算使导 数等于零的根 的函数值，把该 函数值与 f(a)， f(b)比较，其中 最大的一个是 最大值，最小的 一个是最小值． 【正解】设 ( )f x 的最小值为 ( )g a ， （1）当 22 a   ，即＞4 时， ( )g a ＝ ( 2)f  ＝7－3≥0，得 7 3a  故此时 a 不存在； （2）当 [ 2,2]2 a   ，即－4≤ a ≤4 时， 08 23 4 12)g( 2       aa 恒成立,故－4≤ a ≤4； (2)若所给的闭 区间[a，b]含 有参数，则需对 函数 f(x)求导， 通过对参数分 类讨论，判断函 数的单调性，从 而 得 到 函 数 f(x)的最值． （3） 22 a  ，即 a ＜－4 时， ( )g a ＝ (2)f ＝7＋ a ≥0，得 a ≥－7，又 a ＜－4， 故－7≤ a ＜－4； 综上，得－7≤ a ≤2． 考场必记内容 1．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝ 1 xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1 x 2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3) '])( )([ xg xf ＝f′xgx－fxg′x [gx]2 (g(x)≠0)． 3．函数的单调性与导数的关系 在(a，b)内可导函数 f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x) 在(a，b)上为减函数． 4．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)=0；而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x) ＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点 统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． （3）极值点不是点，若函数 f(x)在 x1 处取得极大值，则 x1 为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2 处取得极小值，则 x2 为 极小值点，极小值为 f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系． （4）极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数. 5．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)开区间上的单调连续函数无最值．, 考场技法 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1) )1( x ′＝－ 1 x2 ；(2)(ln|x|)′＝1 x ；(3) '])( 1[ xf ＝－f′x [fx]2(f(x)≠0)； (4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)． 3.常见形式及具体求导 6 种方法 连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 4.若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开． 5.若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 6.极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值； 极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． 7.利用导数求函数单调区间的 3 种方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 求出单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间 f′(x)的符号， 从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据 f′(x)的结构特征，利用其图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调 区间． 8.利用导数研究函数极值的一般流程 9.解决函数极值、最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小． (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．