第十二章 概率与统计-【高效复习】2021年高考数学复习之易错点拨

------------------------------- 易错题·典例正误辨析------------------------------- 易错点 1：“互斥”与“对立”混同 【例 1】把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每个人 分得 1 张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上均不对 【错解】A 【错因】本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问 题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体 现在以下三个方面： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立； (2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件； (3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个， 但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且仅有一个发生. 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事 件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选 C. 知识点：判断互斥事件、对立事件 一般用定义判断，不可能同时发生 的两个事件为互斥事件；两个事件， 若有且仅有一个发生，则这两事件 为对立事件，对立事件一定是互斥 事件 【正解】C 易错点 2：超几何分布与二项分布混淆 【例 2】为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据 整理后，画出了频率分布直方图如图所示， 已知图中从左到右的前组的频率之比为 1: 2:3 ， 其中第二组的频数为12 ． （1）求该校报考飞行员的总人数； （2） 以这所学校的样本数据来估计全省的 总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人 数很多）任选三人，设 X 表示体重超过 60 公 斤的学生人数，求 X 的分布列和数学期望． 【错解】由题知，体重在 60 公斤以下的有 6 人，60 公斤以上的有 10 人，随机变量  服从超几何分布， 所有可能的取值 为 0,1,2,3， 则   56 20 3 16 3 6  C C ,   56 151 3 16 1 10 2 6  C CC   56 272 3 16 2 10 1 6  C CC ,   56 123 3 16 3 10 0 6  C CC 知识点：超几何分布描述的是不放 回抽样问题，随机变量为抽到的某 类个体的个数．而判断一个随机变 量 是 否 服 从 二 项 分 布 ， 要 看 两 点：,1是否为 n 次独立重复试 验；,2随机变量是否为某事件在这 n 次独立重复试验中发生的次数. 则 18 5 56 12356 27256 15156 20  【错因】（1）对随机变量的含义不清楚，不能区分超几何分布与二项分布；（2） 对于何时可以样本的频率代替总体的概率不清楚； 【正解】（1）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为 321 ,, ppp ， 则由条件可得： 2 1 3 1 1 2 3 2 3 (0.037 0.013) 5 1 p p p p p p p           ， 解得， 1 2 30.125, 0.25, 0.375.p p p   又因为 2 120.25p n   ，故 48n ． （2）由 （ 1 ） 可 得 ， 一 个 报 考 学 生 体 重 超 过 60 公 斤 的 概 率 为 3 5(0.037 0.013) 5 8p p     ， 故 X 服从二项分布，   3 3 5 3 8 8 k k kP X k C             ∴ 随机变量 X 的分布列为： 则 27 135 225 125 150 1 2 3512 512 512 512 8EX          ， 或 5 153 8 8EX np    ． X 0 1 2 3 P 27 512 135 512 225 512 125 512 易错点 3：“互斥”与“独立”混同 【例 3】甲投篮命中率为 0.8，乙投篮命中率为 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命 中 2 次的概率是多少？ 【错解】设“甲恰好投中两次”为事件 A，“乙恰好投中两次”为事件 B，则两 人都恰好投中两次为事件 A＋B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝C 23 ×0.82×0.2＋ C23×0.72×0.3＝0.825. 【错因】本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑， 将“两人都恰好投中 2 次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次” 的和. 知识点：互斥事件与相互独立事件 的相同点与不同点 (1)相同点：二者都是描述两个事件 间的关系； (2)不同点：互斥事件强调两事件不 可能同时发生，即 P(AB)＝0，相互 独立事件则强调一个事件的发生与 否对另一个事件发生的概率没有影 响.【正解】设“甲恰好投中两次”为事件 A，“乙恰好投中两次”为事件 B，且 A， B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件 A·B，于是 P(A·B)＝P(A)×P(B) ＝C23×0.82×0.2×C23×0.72×0.3≈0.169. 易错点 4：对正态分布的性质及意义不熟悉致错 【例 4】设随机变量  服从正态分布  1,4 ， 若    1 2 5a a         ，则 a  ． 【错解】由    1 2 5a a         ，所以 521  aa ，得 6a 【错因】（1）对正态分布 2( , )N   中的 2,  的意义不清； （2）对正态分布的性质及意义不熟悉． 知识点：正态分布下 2 类常见的概 率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性 研究相关概率问题，涉及的知识主 要是正态曲线关于直线 x＝μ对称， 曲线与 x 轴之间的面积为 1. (2)利用 3σ原则求概率问题时，要注 意把给出的区间或范围与正态变量 的μ，σ进行对比联系，确定它们属 于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)， (μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个。 【正解】由    1 2 5a a         ，由正态分布的性质知， 1x a  与 2 5x a  关于 1x  对称， 1 2 5 1a a    ，解得 2a  易错点 5： “条件概率 P(B|A)”与“积事件的概率 P(A·B)”混同 例 5 袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率. 【错解】记“第一次取到白球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B，“第 二次才取到黄球”为事件 C， 所以 P(C)＝P(B|A)＝6 9 ＝2 3. 【错因】本题错误在于 P(AB)与 P(B|A)的含义没有弄清，P(AB)表示在样本空间 S 中，A 与 B 同时发生的概率；而 P(B|A)表示在缩减的样本空间 SA 中，作为条 件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 知识点：条件概率先借助古典概型 概率公式，先求事件 A 包含的基本 事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含 的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝ nAB nA ；而相互独立事件求概率是转 化为几个已知概率的相互独立事件 的积事件，代入概率的积公式求解. 【正解】P(C)＝P(A·B)＝P(A)·P(B|A)＝ 4 10 ×6 9 ＝ 4 15. 易错点 6：混淆有放回与不放回致错 例 6 某产品有 3 只次品，7 只正品，每次取 1 只测试，取后不放回，求： (1)恰好到第 5 次 3 只次品全部被测出的概率； (2)恰好到第 k 次 3 只次品全部被测出的概率 f(k)的最大值和最小值. 【错解】(1)P＝ 3 10·2 9·7 8·5 7·1 6 ＝ 1 144. (2)P5(3)＝C35 )10 3( 3· 2)10 31(  ＝0.132 3. 【错因】错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是 不独立的；而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次 摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个). 知识点：处理概率问题，切记要先 考虑元素是否放回。 【正解】 (1)P＝C23·C27·A44 A510 ＝ 1 20. (2)P＝C23·Ck－37 ·Ak－1k－1 Ak10 ＝ 1 240(k－1)(k－2)(3≤k≤10，k∈Z)， 当 k＝3 时，[f(k)]min＝f(3)＝ 1 120 ； 当 k＝10 时，[f(k)]max＝f(10)＝ 3 10. 考场必记内容 1.概率的加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 2.对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B). 3.古典概型的概率公式 P(A)＝事件 A 包含的可能结果数 试验的所有可能结果数 4.几何概型的概率公式 P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. 5.离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 6.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为， X 0 1 P 1－p p 其中 p＝P(X＝1)称为成功概率. (2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝CkMCn－kN－M CnN ，k＝0，1，2，…， m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量 X 服从超几何分布. X 0 1 … m P C0MCn－0N－M CnN C1MCn－1N－M CnN … CmMCn－mN－M CnN 7.条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0，称 P(B|A)＝ P（AB） P（A） 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的 条件概率 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 8.事件相互独立性的性质：若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与B － ，A － 与 B，A － 与B － 也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B) ＝P(A). 9.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，其中 Ai(i＝1，2，…，n)是第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An). (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X＝k)＝Cknpk(1－ p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率. 10.正态曲线的性质 ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交，与 x 轴之间的面积为 1； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称； ③曲线在 x＝μ处达到峰值 1 σ 2π ； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”， 表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ