江苏省百校联考2021届高三下学期4月第三次考试数学试题（解析版）

1 2020~2021 学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试 数 学 2021 年 4 月 注意事项： 1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡 上． 一、选择题：本题共 8 小是，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的． 1．“虚数”这个词是 17 世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存 在的数．人们发现，最简单的二次方程x2＋1＝0在实数范围内没有解．已知复数 z 满足 z2＋4i＝0则|z|＝ A．4 B．2 C． 2 D．1 【考点】复数的运算 【答案】B 2．已知集合A＝{x∈R|x2－x＋t＜0，t∈R}，B＝{x∈R|x2＋x－6＜0}，若 A∪B＝{x|x2＜9}， 则 A∩B＝ A．(－3，3) B．(－2，2) C．(－2，3) D．(－3，2) 【考点】集合的运算 【答案】B 3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记 录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、 兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之， 2 若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆， 万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于 大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在 用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104＝1万，108＝1亿，1012＝1 兆，1016＝1京，……，地球的质量大约是 5.965 秭千克，5.965 秭的位数是 A．21 B．20 C．25 D．24 【考点】新情境下的文化题：计数的位数 【答案】C 4．已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是 13、25、41，下列各数一定是该数列的项 的是 A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【考点】等差数列的性质 【答案】C 5．已知 a，b 是不共面向量，设→OA＝2a＋b，→OB＝a＋2b，→OC＝3a＋b，→OD＝a＋3b， 若△OAB 的面积为 3，则△OCD 的面积为 A．4 B．5 C．6 D．8 【考点】平面向量的几何应用 【答案】D 6．正实数 a，b，c 满足 a＋sina＝2，b＋3b＝3，c＋log4c＝4，则实数 a，b，c 之间的大小 关系为 A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 【考点】大小比较 3 【答案】A 7．已知四面体 ABCD 的四个顶点都在以 AB 为直径的球 R 面上，且 BC＝CD＝DB＝2，若 面面体 ABCD 的体积是4 2 3 ，则这个球面的面积是 A．16π B．32 3 π C．4π D．76 3 π 【答案】A 【考点】立体几何的外接球问题 【解析】由题意可知 S△BCD＝ 3，所以点 A 到平面 BCD 的距离为4 6 3 ，可设 AB 的中点为 O， △BCD 的外心为点 E，则可得到 OE＝2 6 3 ，又 BE＝2 3 3 ，所以 OB＝2，则 S 球＝4πR2＝16π， 故答案选 A. 8．已知函数 f(x)＝ log2x，x＞1 1 4x＋1，x≤1，g(x)＝f(x)－kx，若函数 g(x)有两个零点，则 k 的取值范围 是 A． 0，1 4 B．(0， 1 eln2) C． 0，1 e D．[1 4 ， 1 eln2) 【答案】B 【考点】函数的零点问题 【解析】当 y＝kx 与 y＝log2x相切时，可得k＝ 1 eln2 ，将函数 y＝kx 的图象顺时针旋转，当 k ＞0 时，f(x)与 y＝kx 都有 2 个交点，故答案选 B． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9．在平面直角坐标xOy中，已知圆 O 过点，A(3，4) 、B、C、且→BC＝→OA，则 A．直线 BC 的斜率为3 4 B．∠AOC＝60° 4 C．△ABC 的面积25 3 2 D．点 B、C 在同一象限内 【考点】直线与圆的应用 【答案】BD 10．在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线 C 的方程是 xy＝1，下列结论正确的是 A．曲线 C 上的点与定点F( 2， 2)距离的最小值是2－ 2 B．曲线 C 上的点和定点F( 2， 2)的距离与到定直线 l ：x＋y－ 2＝0的距离的比是 2 C．曲线 C 绕原点顺时针旋转 45°，所得曲线方程是x2－y2＝2 D．曲线 C 的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是 4 【考点】曲线的切线方程、导数的几何意义综合应用 【答案】ABC 11．设(1－2x)29＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a29x29，则下列结论正确的是 A．a15＋a16＞0 B．a1＋a2＋a3＋…＋a29＝－1 C．a1＋a3＋a5＋…＋a29＝－1＋329 2 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋29a29＝－58 【答案】ACD 【考点】二项式定理展开式定理的应用 【解析】对于选项 A，a15＋a16＝C15 29(－2)15＋C16 29(－2)16＞0，故选项 A 正确；对于选项 B， 可令 x＝0，可得a0＝1，令 x＝1，得a0＋a1＋…＋a29＝－1，所以a1＋…＋a29＝－2，故选项 B 错 误 ； 对 于 选 项 C ， 令 x ＝ － 1 ， 得 a0－a1＋a2－a3＋…－a29＝329 ， 则 5 2(a1＋a3＋…＋a29)＝－1－329，故选项 C 正确；对于选项 D，由[(1－2x)29]′＝－58(1－2x)28， 可令 x＝1，可得a1＋2a2＋…＋29a29＝－58，故选项 D 正确；综上，答案选 ACD. 12．下列结论正确的是 A．存在这样的四面体 ABCD，四个面都是直角三角形 B．存在这样的四面体 ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90° C．存在不共面的四点 A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90° D．存在不共面的四点 A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90° 【答案】AC 【考点】立体几何中四面体的应用 【解析】对于选项 B，三个直角以 A 为顶点，那么△BCD 为锐角三角形，故错误；对于选 项 D，此时 A，B，C，D 四点共面，故错误；综上，答案选 AC. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知f(x)＝sin(2x＋φ)＋ 3cos(2x＋φ)(|φ|＜π 2)是奇函数，若x∈[0，π 2]，m≤sin(2x＋φ)≤n， 则 n－m 的最小值是______． 【答案】1＋ 3 2 【考点】三角函数的图象与性质应用 14．集合 A 中有 4 个等差数列，集合 B 中有 5 个等比数列，A∩B 的元素个数是 1，在 A∪B 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______． 【答案】19 28 【考点】数列与概率综合应用 5．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且ai∈{1，2，3，4}(i＝1，2，3，4)．若下列四个 6 关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4 中恰有一个正确，则(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最 大值是______． 【答案】18 【考点】逻辑推断题：数列的项与最值问题 【解析】若①正确，②也正确，则不符合题意；若②正确，此时 a4＝4，a3＝1，a1＝3，a2 ＝2，(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值为 18；若③正确，此时 a4＝4，a2＝1，a1 ＝3， (10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值为 7；若④正确，此时 a4＝2，a3＝3，a1＝4，a2＝1， (10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值为 9；综上，(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值为 18. 16．设抛物线 C1：y＝x2－2x＋2 和C2：y＝－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直， 则C2过定点_____． 【答案】(1，3 2) 【考点】抛物线与二次函数的交点问题 【解析】设交点为(x0，y0)，则(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，且 x02－2x0＋2＝－x02＋ax0＋b，联 立化简可得 a＋b＝5 2 ，所以C2过定点(1，3 2)． 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分) (1)写出一个等差数列{an}的通项公式，使{an}满足①a1≠0，②{ Sn}是等差数列，其中Sn是 {an}的前 n 项和．(写出一个就可以，不必证明) (2)对于(1)中的{an}，设bn＝2nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【考点】等差数列的通项公式、错位相减法求和 【解】(1)可写 an＝2n－1，则有 Sn＝n(a1＋an) 2 ＝n2，所以 Sn＝n，即{ Sn}是等差数列 (2)由(1)得bn＝2nan＝(2n－1)2n＝(2n－3)2n＋1－(2n－5)2n，所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2n－ 7 3)2n＋1＋6． 18．(12 分) 如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AB＝ 3，AD＝DC＝CB＝1． (1)当 A、B、C、D 共圆时，求 cosA 的值； (2)若cos∠ADB＝ 3 6 ，求 sin∠ABC 的值． 【考点】三角恒等变换与解三角形 【解】(1)在△ABD 中，由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝4－2 3cosA， 在△BCD 中，由余弦定理可得 BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcosC＝2＋2cosA， 所以解得 cos A＝ 3－1 2 ． (2) 在△ABD 中，由余弦定理可得AB2＝AD2＋DB2－2AD·DBcos∠ADB， 化简可得3＝1＋BD2－ 3 3 BD，解得BD＝ 3，则∠ACB＝2π 3 ，所以∠CBD＝π 6 ， 且cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD2 2AB·BD ＝5 6 ， 所以 sin∠ABC＝sin(∠ABD+∠CBD)=1 2 ×5 6+ 3 2 × 11 6 =5+ 33 12 19．(12 分) 某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本 4 元，售价 6 元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能 D C BA 8 倒掉．奶茶店记录了 60 天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表： 日需求量杯数 20 25 30 35 40 45 50 天数 5 5 10 15 10 10 5 以 60 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． (1)从这 60 天中任取 2 天，求这 2 天的日需求量至少有一天为 35 的概率； (2)①若奶茶店一天准备了 35 杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润(单 位：元)，求ξ的分布列和数学期望； ②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是 5 的倍数，有顾客建议店主每天准备 40 杯 这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由． 【考点】随机变量的概率、期望与分布列 【解】(1)由题意得从 60 天中任取 2 天的日需求量至少有一天为 35 的概率 P＝1－C2 45 C2 60 ＝29 59 ； (2)①由题意ξ＝－20，10，40，70，其分布列为： ξ －20 10 40 70 P 1 12 1 12 1 6 2 3 则 E(ξ)＝－20× 1 12 ＋10× 1 12 ＋40×1 6 ＋70×2 3 ＝105 2 ②由题意每天准备 40 杯这款新品奶茶的数学期望为 E(ξ)＝－40× 1 12 ＋(－10)× 1 12 ＋20×1 6 ＋50×1 4 ＋80× 5 12 ＝45， 因为 45＜105 2 ，所以每天准备 40 杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议 9 20．(12 分) 如图，矩形 BCDE 所在平面与△ABC 所在平面垂直，∠ACB＝90°，BE＝2． (1)证明：DE⊥平面 ACD； (2)若平面 ADE 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值是 5 5 ，且直线 AE 与平面 BCDE 所 成角的正弦值是1 3 ，求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值． 【考点】立体几何中位置关系的证明、空间角(二面角、异面直线所成的角)的求解 【解】(1)由题意可知 DE⊥DC，又∠ACB＝90°，则 BC⊥AC， 又 DE//BC，所以 DE⊥AC，且 AC∩DC＝C，所以 DE⊥平面 ACD． (2)由题意可知 AC⊥平面 BCDE，连结 CE，则有 sin∠AEC＝AC AE ＝1 3 ， 又平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的平面角为∠DAC， 所以cos∠DAC＝AC AD ＝ 5 5 ,且 DC＝BE＝2，可得 AC＝1， 所以 AE＝3，则可知CF＝7 2，所以 BC＝2，则AB＝ 5， 而异面直线 DE 与 AB 所成的角为∠ABC， 所以其余弦值为cos∠ABC=BC AB=2 5 5 . 21． (12 分) E D C BA 10 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率是1 2 ，焦点到相应准线的 距离是 3． (1)求 a，b 的值； (2)已知 A、B 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，A 在 x 轴的上方，F(1，0)，连接 AF、BF 并分别延长交椭圆 C 于 D、E 两点，证明：直线 DE 过定点． 【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系中求直线的过定点问题 【解】(1)由题意有c a ＝1 2 ，a2 c －c＝3，解得 a＝2，c＝1，所以b＝ a2－c2＝ 3. (2)由题意可设 A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)， 由 A，F，D 三点共线，得 y1 x1－1 ＝ y2 x2－1 ，所以y1x2－y2x1＝y1－y2， 又因为y1 2x2 2－y2 2x1 2 4 ＝y1 2－y2 2，所以y1x2＋y2x1＝4(y1＋y2)， 解得 x2＝5x1－8 2x1－5 y2＝ 3x1 2x－5 ，同理可得 x1＝5x1＋5 2x＋5 y2＝3x1＋5 2x＋5 ， 又直线 DE 的方程为y＝y3－y2 x3－x2 x＋y2x3－y3x2 x3－x2 ，且y3－y2 x3－x2 ＝5y1 3x1 ,y2x3－y3x2 x3－x2 ＝－8y1 3x1 ， 即有直线 DE 的方程为y＝ y1 3x1 (5x－8)，所以过定点(8 5 ，0). 11 22．(12 分) 设 0＜x＜1． (1)证明： 1－x2 6 ＜sinx x ＜1； (2)若ax－x3 6 ＜sinx，求 a 的取值范围． 【考点】函数与导数：利用函数的单调性证明不等式、利用函数的零点求参数范围 【解】(1)由题意可设 f(x)＝sinx－x(0＜x＜1)，有f′(x)＝cosx－1＜0，则 f(x)＜0，得sinx x ＜1， 设g(x)＝sinx＋x3 6 －x(0＜x＜1)g'(x)＝cosx＋x2 2 －1, g''(x)＝x－sinx＞0，则有g'(x)＞0，g(x)单调递增，得 g(x)＞0，所以sinx x ＞1－x2 6 得证； (2)由(1)可知 a≤1 时，ax－x3 6 ≤x－x3 6 ＜sinx成立， 则当 a＞1 时，设h(x)＝sinx＋x3 6 －ax，则h'(x)＝cosx＋x2 2 －a，h''(x)＝x－sinx＞0,h'(x)单调递增， 则h'(x)max＝cos1＋1 2 －a， 2 若 a≥cos1＋1 2 ，h'(x)＜0，h(x)单调递减，则有 h(x)＜0，此时不符合题意； ②若 1 ＜a＜cos1＋1 2 ，h'(0)＝1－a＜0，h'(1)＝cos1＋1 2 －a＞0，所以h'(x)有唯一零点，可记为 x0，则0＜x＜x0，h'(x)＜0，此时 h(x)单调递减，有 h(x)＜0，则不符合题意； 综上可知 a≤1，即 a 的取值范围为(－，1]．