1
江苏省苏北四市 2021 届高三 4 月新高考适应性模拟考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合 M＝ 1 2x x ，N＝ 2 1x x
，则 M N＝
A． 2x x B． 1 2x x C． 1 5x x D． 0 2x x
2．若复数 z 满足 (3+4i) 5iz （i 是虚数单位），则 z ＝
A．1 B． 1
2
C．5 D． 1
5
3．已知 sin2a ， 2log sin 2b ， sin 22c ，则 a，b，c 的大小关系是
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
4．甲、乙、丙、丁、戊 5 名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并
列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测 5 人的名次排列情况共有
A．5 种 B．8 种 C．14 种 D．21 种
5 ． 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ( )f x 在 ( ， 0] 上 单 调 递 减 ， 且 ( 1) 1f ， 则 不 等 式
1(lg ) (lg )f x f x
2 的解集为
A．( ，10) B．(0，10) C．( 1
10
，10) D．(0， 1
10
)
6．今天是星期三，经过 7 天后还是星期三，那么经过 82021 天后是
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
7．将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 1×12，2×6，3×4 三种，其中 3×4 是这三种
分解中两数差的绝对值最小的，我们称 3×4 为 12 的最佳分解，当 p×q(p，q N )是正
整数 n 的最佳分解时，我们定义函数 ( )f n p q ，例如 (12) 4 3 1f ，则
2021
1
(2 )i
i
f
＝
A．21011﹣1 B．21011 C．21010﹣1 D．21010
8．如图，直角三角形 PQR 的三个顶点分别在等边三角形 ABC
的边 AB、BC、CA 上，且 PQ＝ 2 3 ，QR＝2，∠PQR＝
2
，
则 AB 长度的最大值为
A．10 3
3 B．6
C． 4 21
3 D． 8 6
3
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，
至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．某高中 2020 年的高考考生人数是 2010 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地比较该校
2
考生的升学情况，统计了该校 2010 年和 2020 年的高考升学率，得到如下柱状图：
则下列说法中正确的有
A．与 2010 年相比，2020 年一本达线人数有所减少
B．2020 年二本达线率是 2010 年二本达线率的 1.25 倍
C．2010 年与 2020 年艺体达线人数相同
D．与 2010 年相比，2020 年不上线的人数有所增加
10．已知 1x ， 2x 是函数 ( ) 2sin( )6f x x ( ＞0)的两个不同零点，且 1 2x x 的最小值是
2
，
则下列说法中正确的有
A．函数 ( )f x 在[0，
3
]上是增函数
B．函数 ( )f x 的图像关于直线
6x 对称
C．函数 ( )f x 的图像关于点( ，0)中心对称
D．当 x[
2
， ]时， 函数 ( )f x 的值域是[﹣2，1]
11．如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E、F 分别为棱 AB、A1D1
的中点，则下列说法中正确的有
A．DB1⊥CE
B．三棱锥 D—CEF 的体积为 8
3
C．若 P 是棱 C1D1 上一点，且 D1P＝1，则 E、C、P、F
四点共面
D．平面 CEF 截该长方体所得的截面为五边形
12．17 世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大
事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称
为 17 世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数 N 可以表示成 N＝ 10na (1≤a
＜10，nZ)的形式，两边取常用对数，则有 lgN＝n＋lga，现给出部分常用对数值（如
下表），则下列说法中正确的有
真数 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10
lgx(近似值) 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000
真数 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19
lgx(近似值) 1.041 1.079 1.114 1.146 1.176 1.204 1.230 1.255 1.279
A．310 在区间(104，105)内
B．250 是 15 位数
3
C．若 502 10ma (1≤a＜10，mZ)，则 m＝﹣16
D．若 m32(m N )是一个 35 位正整数，则 m＝12
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上）
13．已知两个单位向量 a
、 b
满足 1
2a b ，则 a
与 b
的夹角为 ．
14．已知 F 为双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)的右焦点，过 F 作与 x 轴垂直的直线交双曲线
于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 ．
15．写出一个值域为[1，2]的周期函数 ( )f x ＝ ．
16．已知正四棱锥 S—ABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 10 ，其内切球与两侧面 SAB，SAD
分别切于点 P，Q，则 PQ 的长度为 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知数列 na 中， 1 1a ， 2 3a ，其前 n 项和 nS 满足 1 1 2 2n n nS S S (n≥2，n N )．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若 2 na
n nb a ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ．
18．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＜b＜c，现有三个条件：①a，
b，c 为连续自然数；②c＝3a；③C＝2A．
（1）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即
可）；
（2）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 存在，并求 a 的值．
19．（本小题满分 12 分）
某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差
4
评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取 216 人进行调查，部分数据如下表所示（单位：
人）：
（1）请将 2×2 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“对该部影片的评价
与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取 3 人，用
随机变量 X 表示被抽到的男性观众的人数，求 X 的分布列；
（3）在抽出的 216 人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取 10 人，从
给出“差评”的观众中抽取 m(m N )人，现从这(10＋m)人中，随机抽出 2 人，用随机变量
Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量 Y 的数学期望不小于 1，求 m
的最大值．
20．（本小题满分 12 分）
图 1 是由正方形 ABCD，Rt△ABE，Rt△CDF 组成的一个等腰梯形，其中 AB＝2，将
△ABE、△CDF 分别沿 AB，CD 折起使得 E 与 F 重合，如图 2．
（1）设平面 ABE 平面 CDE＝l，证明：l∥CD；
（2）若二面角 A—BE—D 的余弦值为 5
5
，求 AE 长．
21．（本小题满分 12 分）
5
已知函数 ln( ) xf x x
．
（1）若直线 1y kx 是曲线 ( )y f x 的切线，求实数 k 的值；
（2）若对任意 x(0， )，不等式 ln( ) 1 af x ax x
成立，求实数 a 的取值集合．
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞b＞0)的左焦点为 F，过 F 的直线 4 3 3 0x y 与椭圆在第
一象限交于 M 点，O 为坐标原点，三角形 MFO 的面积为 3
4
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若△ABC 的三个顶点 A，B，C 都在椭圆上，且 O 为△ABC 的重心，判断△ABC
的面积是否为定值，并说明理由．
江苏省苏北四市 2021 届高三 4 月新高考适应性模拟考试
6
数学试卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合 M＝ 1 2x x ，N＝ 2 1x x
，则 M N＝
A． 2x x B． 1 2x x C． 1 5x x D． 0 2x x
答案：B
解析：M＝ 1 2x x ＝[1，5)，N＝ 2 1x x
＝(0，2)，所以 M N＝ 1 2x x ，故 B
符合题意．
2．若复数 z 满足 (3+4i) 5iz （i 是虚数单位），则 z ＝
A．1 B． 1
2
C．5 D． 1
5
答案：1
解析： 5i 4 3 i3 4i 5 5z
，故 z ＝1，选 A．
3．已知 sin2a ， 2log sin 2b ， sin 22c ，则 a，b，c 的大小关系是
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
答案：B
解析： sin2a (0，1)，则 2log sin2 0b ， sin 22 1c ，故 c＞a＞b，选 B．
4．甲、乙、丙、丁、戊 5 名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并
列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测 5 人的名次排列情况共有
A．5 种 B．8 种 C．14 种 D．21 种
答案：C
解析：当丙是第一时，有 3
3A ＝6 种情况；当丙不是第一时，有 1 1 2
2 2 2C C A ＝8 种情况．故共有 6
＋8＝14 种，选 C．
5 ． 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ( )f x 在 ( ， 0] 上 单 调 递 减 ， 且 ( 1) 1f ， 则 不 等 式
1(lg ) (lg )f x f x
2 的解集为
A．( ，10) B．(0，10) C．( 1
10
，10) D．(0， 1
10
)
答案：D
解析： 1(lg ) (lg ) 2lg 2 lg 1f x f x xx
，据题意知， ( )f x 在 R 上单调递减，且 ( 1) 1f ，
故 lg 1x ，解得 10 10x ，故 D 符合题意．
7
6．今天是星期三，经过 7 天后还是星期三，那么经过 82021 天后是
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
答案：C
解析： 2021 2021 0 1 1 2 2 2021 2021
2021 2021 2021 20218 (1 7) 7 7 7C C C C ，故 82021 除以 7 的余数是 1，
故选 C．
7．将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 1×12，2×6，3×4 三种，其中 3×4 是这三种
分解中两数差的绝对值最小的，我们称 3×4 为 12 的最佳分解，当 p×q(p，q N )是正
整数 n 的最佳分解时，我们定义函数 ( )f n p q ，例如 (12) 4 3 1f ，则
2021
1
(2 )i
i
f
＝
A．21011﹣1 B．21011 C．21010﹣1 D．21010
答案：A
解析：当 i 为偶数时， (2 )if ＝0；当 i 为奇数时， (2 )if ＝
1
22
i
，
所以
2021
0 1 2 1010 1011
1
(2 ) 2 2 2 2 2 1i
i
f
．
8．如图，直角三角形 PQR 的三个顶点分别在等边三角形 ABC 的边 AB、BC、CA 上，且
PQ＝ 2 3 ，QR＝2，∠PQR＝
2
，则 AB 长度的最大值为
A．10 3
3 B．6 C． 4 21
3 D． 8 6
3
答案：C
解析：设∠PQB＝ ，则∠RQC＝
2
，所以∠BPQ＝ 2
3
，∠CRQ＝
6
，
在△PBQ 中，由正弦定理， ，即 ，
在△CRQ 中，由正弦定理， ，即 ，
所以 ．
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中，
至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．某高中 2020 年的高考考生人数是 2010 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地比较该校
考生的升学情况，统计了该校 2010 年和 2020 年的高考升学率，得到如下柱状图：
8
则下列说法中正确的有
A．与 2010 年相比，2020 年一本达线人数有所减少
B．2020 年二本达线率是 2010 年二本达线率的 1.25 倍
C．2010 年与 2020 年艺体达线人数相同
D．与 2010 年相比，2020 年不上线的人数有所增加
答案：BD
解析：设 2010 年考生数为 x，则 2020 年考生数为 3
2 x ，因为 x·28%＜ 3
2 x ·24%＝x·36%，
即 A 错误 ；
因为 40 5
32 4
1.25，即 B 正确；
因为 x·8%＜ 3
2 x ·8%＝x·12%，即 C 错误；
因为 x·32%＜ 3
2 x ·28%＝x·42%，即 D 正确．
10．已知 1x ， 2x 是函数 ( ) 2sin( )6f x x ( ＞0)的两个不同零点，且 1 2x x 的最小值是
2
，
则下列说法中正确的有
A．函数 ( )f x 在[0，
3
]上是增函数
B．函数 ( )f x 的图像关于直线
6x 对称
C．函数 ( )f x 的图像关于点( ，0)中心对称
D．当 x[
2
， ]时， 函数 ( )f x 的值域是[﹣2，1]
答案：ABD
解析：易知 ( )f x 的周期 T＝2×
2
＝π，所以 ＝2，即 ( ) 2sin(2 )6f x x ，当 x[0，
3
]
时， 2 6x [
6
，
2
]， ( )f x 单调递增，即 A 正确；
当
6x 时， 2 6 2
，即 B 正确；
9
( ) 2sin(2 ) 06f ，即 C 错误；
当 x[
2
， ]时， 2 6x [ 5
6
， 11
6
]，所以 ( )f x 的值域是[﹣2，1]，即 D 正确．
11．如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E、F 分别为棱 AB、A1D1
的中点，则下列说法中正确的有
A．DB1⊥CE
B．三棱锥 D—CEF 的体积为 8
3
C．若 P 是棱 C1D1 上一点，且 D1P＝1，则 E、C、P、F 四点共面
D．平面 CEF 截该长方体所得的截面为五边形
答案：BCD
解析：因为 DB 与 CE 不垂直，所以 DB1 不可能垂直于 CE，故 A 错误；
VD—CEF＝VF—CDE＝ 1 1 84 2 23 2 3
，即 B 正确；
当 P 是棱 C1D1 上一点，且 D1P＝1 时，CE∥FP，故 E、C、P、F 四点共面，即 C 正
确；
由 C 可知，FP，PC，CE 为截面的边，而截面又与平面 ABB1A1 以及平面 ADD1A1
相交，得两条截面的边，即共有五条边，即 D 正确．
12．17 世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大
事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称
为 17 世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数 N 可以表示成 N＝ 10na (1≤a
＜10，nZ)的形式，两边取常用对数，则有 lgN＝n＋lga，现给出部分常用对数值（如
下表），则下列说法中正确的有
A．310 在区间(104，105)内
B．250 是 15 位数
C．若 502 10ma (1≤a＜10，mZ)，则 m＝﹣16
D．若 m32(m N )是一个 35 位正整数，则 m＝12
答案：ACD
解析： ，A 正确；
，B 错误；
10
，即 m＝﹣16，故 C 正确；
，则 ，则 ，又 ，即 m＝
12，D 正确．
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上）
13．已知两个单位向量 a
、 b
满足 1
2a b ，则 a
与 b
的夹角为 ．
答案： 2
3
解析：cos< a ， b >＝ 1
2
a b
a b
，所以 a
与 b
的夹角为 2
3
．
14．已知 F 为双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)的右焦点，过 F 作与 x 轴垂直的直线交双曲线
于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 ．
答案： 1 5
2
解析：
2
2 2 2 1 51 0 2
bc ac c a e e ea
．
15．写出一个值域为[1，2]的周期函数 ( )f x ＝ ．
答案： ( ) sin 1f x x
解析：答案不唯一
16．已知正四棱锥 S—ABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 10 ，其内切球与两侧面 SAB，SAD
分别切于点 P，Q，则 PQ 的长度为 ．
答案： 2 2
3
解析：该正四棱锥的侧面的高 ，则该正四棱锥的高 ，
其体积 ，表面积 ，
所以内切球半径 ，设球心为 O，则 上，
所以 ，即 P，Q 位于侧面高的 处，
所以 ．
11
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知数列 na 中， 1 1a ， 2 3a ，其前 n 项和 nS 满足 1 1 2 2n n nS S S (n≥2，n N )．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若 2 na
n nb a ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ．
解：（1）由题意得
即 ，
又 ，所以
所以数列 na 是以 1 为首项，公差为 2 的等差数列，
所以 ；
（2）
所以 ．
18．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＜b＜c，现有三个条件：①a，
b，c 为连续自然数；②c＝3a；③C＝2A．
（1）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即
可）；
（2）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 存在，并求 a 的值．
解：（1）选①②时三角形不存在，理由如下：
因为 a，b，c 为连续自然数，a＜b＜c，所以 b＝a＋1，c＝a＋2，又因为 c＝3a，
所以 a＋2＝3a，
解得 不满足 所以△ABC 不存在；
选②③时三角形不存在，理由如下：
在△ABC 中，由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 c＝3a，所以 cosA ，此时 A 不存在，所以△ABC 不存在，
（2）选①③时三角形存在：
因为 a，b，c 为连续自然数，a＜b＜c，所以 b＝a＋1，c＝a＋2，
12
在△ABC 中，由余弦定理得 ，
在△ABC 中，由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ．
19．（本小题满分 12 分）
某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差
评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取 216 人进行调查，部分数据如下表所示（单位：
人）：
（1）请将 2×2 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“对该部影片的评价
与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取 3 人，用
随机变量 X 表示被抽到的男性观众的人数，求 X 的分布列；
（3）在抽出的 216 人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取 10 人，从
给出“差评”的观众中抽取 m(m N )人，现从这(10＋m)人中，随机抽出 2 人，用随机变量
Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量 Y 的数学期望不小于 1，求 m
的最大值．
解：（1）填写 2×2 列联表如下：
13
所以
所以有 99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”；
（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取 1 人为男性的概率为 ，
且各次抽取之间相互独立，
所以 ，所以
故 X 的分布列为
（3）Y 的可能取值为 0，1，2，
所以
所以 ，
即 ，即 ，
解得 ，又 所以 m 的最大值为 2．
20．（本小题满分 12 分）
图 1 是由正方形 ABCD，Rt△ABE，Rt△CDF 组成的一个等腰梯形，其中 AB＝2，将
△ABE、△CDF 分别沿 AB，CD 折起使得 E 与 F 重合，如图 2．
（1）设平面 ABE 平面 CDE＝l，证明：l∥CD；
（2）若二面角 A—BE—D 的余弦值为 5
5
，求 AE 长．
14
解：（1）因为 CD∥AB，AB 平面 ABE，CD 平面 ABE，
所以 CD∥平面 ABE，
又 CD 平面 ECD，平面 ABE 平面 ECD＝ 所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
又 平面 ADE， 平面 ADE，
所以 AB⊥平面 ADE，
因为 平面 ABCD，所以平面 ABCD⊥平面 AED，
过 E 作 EO⊥AD 于点 O，则 O 是 AD 的中点，
因为平面 平面 AED＝AD， 平面 ADE，
所以 EO⊥平面 ABCD，
以 O 为原点，与 AB 平行的直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OE 所在直线为 z
轴，建立空间直角坐标系 O—xyz，
设 ，则
设平面 ABE 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
所以平面 ABE 的一个法向量为 ，
同理可求得平面 BDE 的一个法向量为 ，
所以 ，解得 或 ，
检验发现 时二面角 A—BE—D 的平面角为钝角，
所以 ，此时，
15
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 ln( ) xf x x
．
（1）若直线 1y kx 是曲线 ( )y f x 的切线，求实数 k 的值；
（2）若对任意 x(0， )，不等式 ln( ) 1 af x ax x
成立，求实数 a 的取值集合．
解：（1）因为 ，所以 ，
设切点为 ，此时切线方程为 ，
又直线 过(0，﹣1)，所以 ，即 ，
令 ，则 ，且 在 上单调递增，
所以方程 有唯一解 ，所以 ，
（2）不等式 恒成立，即不等式 恒成立，
令 ，则
所以 是函数 的极值点，所以 ，即
此时，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，符合题意，
所以，实数 a 的取值集合为 ．
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞b＞0)的左焦点为 F，过 F 的直线 4 3 3 0x y 与椭圆在第
一象限交于 M 点，O 为坐标原点，三角形 MFO 的面积为 3
4
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若△ABC 的三个顶点 A，B，C 都在椭圆上，且 O 为△ABC 的重心，判断△ABC
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的面积是否为定值，并说明理由．
解：（1）直线 过左焦点 F，所以 ，所以 ，
又由 得 ，即 ，所以 ，
由椭圆定义知 ，即 ，
所以椭圆的方程为 ，
（2）当直线 BC 的斜率不存在时，设直线 BC 的方程为 ，
设 ，则 ，因为 O 为△ABC 的重心，所以 ，
所以 ，
所以 ，
当直线 BC 的斜率存在时，设直线 BC 的方程为 ，设 ，
由 得 ，显然 ，
所以 ，所以 ，
所以 BC 的中点 ，
因为 O 为△ABC 的重心，所以 ，
由 A 在椭圆上得 ，化简得 ，
所以 ，
因为点 A 到直线 BC 的距离 d 等于 O 到直线 BC 距离的 3 倍，所以 ，
所以 ，
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综上得，△ABC 的面积为定值 ．
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