江苏省苏州市八校联盟2021届高三第三次适应性检测数学试题（word版含答案）

1 2021 届高三年级苏州八校联盟第三次适应性检测 数 学 试 卷 （满分 150 分 考试时间 120 分钟） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 { | 4 2}M x x    ， 2{ | 6 0}N x x x    ，则 M N = A．{ | 4 3}x x   B．{ | 4 2}x x    C．{ | 2 2}x x   D．{ | 2 3}x x  2．复数 z∈C，在复平面内 z 对应的点 Z，满足 11 | | 21 iz   ≤ ≤ ，则点 Z 所在区域的面积 A． π B． 2π C．3π D． 4π 3．《九章算术》是世界上最古老的数学著作之一，书中有如下问题：“今有金箠，长五尺， 斩本一尺，重十斤，斩末一尺，重四斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金 杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 10 斤；在细的一端截下 1 尺， 重 4 斤，问依次每一尺各重多少斤？”假设金杖由粗到细是均匀变化的，则截去粗端 2 尺后，金杖剩余部分的重量为 A．15.5 斤 B．16.5 斤 C．17.5 斤 D．18.5 斤 4．设三点 A，B，C 不共线，则“向量 AB  与 AC  夹角是钝角”是“| | | |AB AC BC    ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设 0.4log 0.5x  ， 1.5log 0.5y  ，则 A． 0xy x y   B． 0x y xy   C． 0x y xy   D． 0xy x y   6．已知函数 ( )y f x 的图像如右图所示，则此函数可能是 A． 2 e e( ) | | 2 x x f x x x     B． 2 e e( ) | | 2 x x f x x x    C． 3 | | 1 1 | |( ) e ex x x xf x     D． 3 | | 1 1 | |( ) e ex x x xf x     (第 6 题图) 2 7．若数列{Fn}满足 F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+ Fn-2 (n≥3)，则{Fn}称为斐波那契数列，它是由 中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当 n≥2 时，前 n 项 之和等于第 n+2 项减去第 2 项；随着 n 的增大，相邻两项之比越来越接近 0.618 等等．若 第 30 项是 832040，请估计这个数列的前 30 项之和最接近 （备注： 20.618 0.38 ， 21.618 2.61 ） A．31 万 B．51 万 C．217 万 D．317 万 8．平面直角坐标系 xoy 中，若点的横、纵坐标均为整数，则称该点为整点．已知点 ( 6,0), ( 6,0)A B ，若整点 P 满足 | | | | 4PA PB PA PB      ≤ ，则点 P 的个数为 A．10 B．11 C．14 D．15 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，只 有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分． 9． 已知函数 2( ) (sin 3 cos )f x x x  ，则 A．f(x)在区间[0, ]6  上递增 B．f(x)的图象关于点 ( ,0)3  对称 C．f(x)最小正周期为 π D．f(x)的值域为[0,4] 10．某学校组织知识竞赛，每班组成四人小组参加比赛，比赛采用抢答形式，答对则得 5 分，否则得 0 分．高三（10）班由甲、乙、丙、丁四人组队参赛．最后统计结果为： 甲、乙、丙、丁四人得分恰好由高到低排列，且均不相同；甲答对题个数的 2 倍小于 丁答对题个数的 3 倍，则 A．甲至少答对了 11 道题 B．乙至少答对了 9 道题 C．丁至少答对了 8 道题 D．高三（10）班至少获得了 170 分 11．在平面直角坐标系 xoy 中，凸四边形 ABCD 的 4 个顶点均在抛物线 E：y2=2x 上，则 A．四边形 ABCD 不可能为平行四边形 B．存在四边形 ABCD，满足∠A=∠C C．若 AB 过抛物线 E 的焦点 F，则直线 OA,OB 斜率之积恒为─2 D．若 △ OAC 为正三角形，则该三角形的面积为12 3 3 12．平行六面体 ABCD-A1B1C1D1（底面为平行四边形的四棱柱）中，AB=AD=AA1=2， ∠A1AB=∠DAB=∠A1AD=600，则 A．线段 AC1 的长度为 2 6 B．异面直线 BD1、B1C 夹角的余弦值为 1 3 C．对角面 BB1D1D 的面积为 4 3 D．四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 4 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．以坐标轴为对称轴的等轴双曲线 C 经过点 A(─3，1)，则 C 的标准方程为 ▲ ． 14． 2 5 5( ) ( )yx x yx   展开式中， 8 2x y 的系数为 ▲ ． 15．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是 利用了莱洛三角形．转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气 过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另 外，由于转子引擎的轴向运转特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运 转转速．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧， 由这三段圆弧组成的曲边三角形(如下图所示)．设“莱洛三角形”曲边上两点之间的 最大距离为 2，则该“莱洛三角形”的面积为 ▲ ． 16．已知函数 2 1 1( ) (2 4 3)(e e ) 2 1x xf x x x x       在[0，2]上的最大值为 M，最小值为 m， 则 M + m= ▲ ． (第 15 题图) 4 (第 19 题图) P B A C D Q 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出说明、证明过程或演算步骤 ． 17．（本小题满分 10 分） 如图，在平面四边形 ABCD 中， 0 0=1, 90 , 60BC ABC BCD    ， 075BAD  ． （1）若 030CBD  ，求三角形 ABD 的面积； （2）若 6 2= 2AD  ，求 CBD 的大小． 18．（本小题满分 12 分） 已知数列{an}为等比数列，且各项均为正数， 1 2a  ， 2 3a a 是 3a 与 4a 的等差中项．记 正项数列{bn}前 n 项之积为 Tn，b1=1， 2 ( 1) ( 2)n n nT a n ≥ ． （1）求数列{ }na 与{ }nb 的通项公式； （2）证明： 1 1 1 1 ( )(2 )(2 1) 2 n i i ii a n Nb i b i        ≥ ． 19．（本小题满分 12 分） 如图，多面体 PQABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，PA⊥平面 ABCD， = =2AB PA ， 0=60ABC ， 2 2QC QD  ， ( 0)PQ a a  ． （1）设点 F 为棱 CD 的中点，求证：对任意的正数 a， 四边形 PQFA 为平面四边形； （2）当 14a  时，求直线 PQ 与平面 PBC 所成角的 正弦值． B A C D (第 17 题图) 5 20．（本小题满分 12 分） 某贫困地区截至 2016 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区 仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户 2016 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图． （1）将家庭人均年纯收入不足 5000 元的家庭称为“特困户”，若从这 50 户中再取出 10 户调查致贫原因，求这 10 户中含有“特困户”的户数 X 的数学期望； （2）假设 2017 年底该地区有 1000 户居民，其中 900 户为小康户，100 户为“特困户”， 若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有 90% 变为小康户，但小康户仍有 %t (00, b1=1， 2 2 1 2 22 2T b b b  ， ． 当 3n  时， 1 2 ( 2)( 1)n n nT a   ，得 1 2 ( 1)2 2( 1) 2 ( 1)( 2) 2n n n n n n n n T a ab T         ，故 12 ( 3)n nb n  ， b1=1，b2=2 均符合上式，所以 12n nb  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 （2） 1 1 1 1 2 1 1 1 (2 )(2 1) (2 )(2 1) 2 2 ( 1) i i i i i i i i a b i b i i i i i               ，．．．．．．．6 分 因此有： 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( )( 1) 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 ( 1) n i i i n n i a b i b i n n                     1 11 2 ( 1)n n    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 要证不等式成立，即证 12 ( 1) 2 ( )n n n N     由 2 12 ( 2) [2 ( 1)] 4 2 1 0n n nn n          可得数列 1{2 ( 1)}n n   递增，．．．10 分 所以 1 1 12 ( 1) 2 (1 1) 2n n       ． 由此 1 1 1 1 ( )(2 )(2 1) 2 n i i ii a n Nb i b i         ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 （亦可运用二项式定理证明） 19．（本小题满分 12 分） 如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD， = =2AB PA ， 0=60ABC ， 2 2QC QD  ， ( 0)PQ a a  ． （1）设点 F 为棱 CD 的中点，求证：对任意的正数 a， 10 P B A C D Q x y z F 四边形 PQFA 为平面四边形； （2）当 14a  时，求直线 PQ 与平面 PBC 所成角的正弦值． 【解析】（1）方法 1：设 Q 在平面内的射影为 E，由 QC=QD 可得 EC=ED， 所以点 E 在 CD 的垂直平分线上 ．．．．．．．．．．．．2 分 由 ABCD 是菱形，且 0=60ABC ，故直线 AE 与 CD 的交点即为 CD 的中点 F．．．．．4 分 因为 PA⊥平面 ABCD，QE⊥平面 ABCD，所以 PA//QE ， 从而 PA，QE 共面，因此 PQ，FA 共面，所以 PQFA 为平面四边形．．．．．．．．．．．．．6 分 方法 2：证明 CD⊥平面 AFQ， ．．．．．．．．．．．．2 分 再证明 CD⊥平面 PAF ．．．．．．．．．．．．．4 分 由 AFQ 与平面 PAF 均过点 A 可得平面 AFQ 与平面 PAF 重合． 即 P、Q、F、A 共面，所以 PQFA 为平面四边形． ．．．．．．．．．．．．6 分 （ 2 ） 分 别 以 AB、 AF、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)， (1, 3,0), (0, 3,0), (0,0,2)C F P 当 14a  时，由 7, 7PF QF  可得 2 2 2PF QF PQ  , 所以 Q 的坐标为 (0 2+ 3 3)， ， ，． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 可求平面 PBC 的一个法向量为 ( 3,1, 3)n  ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 设直线 PQ 与平面 PBC 所成角为 ， F P B A C D Q 11 则 5 2 6sin cos , 14n PQ      ， 从而直线 PQ 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 2 6 14  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 20.（本小题满分 12 分） 某贫困地区截至 2016 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区 仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户 2016 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图． （1）将家庭人均年纯收入不足 5000 元的家庭称为“特困户”，若从这 50 户中再取出 10 户调查致贫原因，求这 10 户中含有“特困户”的户数 X 的数学期望； （2）假设 2017 年底该地区有 1000 户居民，其中 900 户为小康户，100 户为“特困户”， 若每经过一年的脱贫工作后，“特困户”中有 90% 变为小康户，但小康户仍有 %t (0