2021届云南省昆明市高考“三诊一模”第二次教学质量检测数学（文科）试卷（2021.03）（解析版）

2021 年云南省昆明市“三诊一模”高考数学第二次教学质量检 测试卷（文科）（3 月份） 一、选择题（每小题 5 分）. 1．已知复数 z 满足 ＝2+i，则 z＝（ ） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i 2．集合 A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{x|x＞0}，则 A∪B＝（ ） A．（0，1） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（1，+∞） 3．已知 sin α ﹣cos α ＝ ，则 sin2 α ＝（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 4．设直线 y＝1 与 y 轴交于点 A，与曲线 y＝x3 交于点 B，O 为原点，记线段 OA，AB 及曲 线 y＝x3 围成的区域为 Ω ．在 Ω 内随机取一个点 P，已知点 P 取在△OAB 内的概率等于 ， 则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知 P，Q 分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BB1，CC1 上的动点（不与顶点重合）， 则下列结论错误的是（ ） A．AB⊥PQ B．平面 BPQ∥平面 ADD1A1 C．四面体 ABPQ 的体积为定值 D．AP∥平面 CDD1C1 6．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为 剩余问题.1852 年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史 上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”．“物不知其数”问题后经秦 九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问 题：在（1，2021]的整数中，把被 4 除余数为 1，被 5 除余数也为 1 的数，按照由小到大 的顺序排列，得到数列{an}，则数列{an}的项数为（ ） A．98 B．99 C．100 D．101 7．已知曲线 y＝ex﹣1 在 x＝x0 处的切线方程为 ex﹣y+t＝0，则（ ） A．x0＝1，t＝﹣1 B．x0＝1，t＝﹣e C．x0＝﹣1，t＝﹣1 D．x0＝﹣1，t＝﹣e 8．若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为 ，则斜边所在直线的斜率为（ ） A．﹣ 或 2 B． 或 3 C． 或 4 D． 或 5 9．已知点 P 是△ABC 所在平面内一点，且 + + ＝ ，则（ ） A． ＝﹣ + B． ＝ + C． ＝﹣ ﹣ D． ＝ ﹣ 10．已知 F1，F2 分别是椭圆 E： ＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是椭圆短轴的 端点，点 N 在椭圆上，若 ＝3 ，则椭圆 E 的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚．检 测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 20mg/100mL，小于 80mg/100mL 的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 80mg/100mL 的驾驶行为．”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小 时降低 20%．某人饮酒后测得血液中的酒精含量为 100mg/100mL，若经过 n（n ∈ N*）小 时，该人血液中的酒精含量小于 20mg/100mL，则 n 的最小值为（ ）（参考数据：lg2 ≈0.3010） A．7 B．8 C．9 D．10 12．已知函数 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）（ ω ＞0，0＜ φ ＜ ），f（x）的一个零点是 ，f（x） 图象的一条对称轴是直线 x＝ ，下列四个结论： ①φ ＝ ； ②ω ＝ +3k（k ∈ N）； ③ f（﹣ ）＝0； ④ 直线 x＝﹣ 是 f（x）图象的一条对称轴． 其中所有正确结论的编号是（ ） A． ①② B． ①③ C． ②④ D． ③④二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知平面向量 ＝（ ， ），则与 夹角为 45°的一个非零向量 的坐标可以 为 ．（写出满足条件的一个向量即可） 14．已知双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，右顶点为 A，O 为原点．若 A 为线段 OF 的中点，则 C 的渐近线方程为 ． 15．已知△ABC 中，A＝ ，满足 BC＝ ，AC＝2AB，则△ABC 的面积为 ． 16．由正三棱锥 P﹣ABC 截得的三棱台 ABC﹣A1B1C1 的高为 ，AB＝6，A1B1＝3．若三棱 台 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。 17．如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧棱 AA1⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，E，F 分别为 AA1，CC1 的中点． （1）证明：B，F，D1，E 四点共面； （2）若 AB＝2，∠BAD＝ ，求点 F 到平面 BDD1 的距离． 18．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3a1﹣2，且 S5﹣S3＝4a2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{ }的前 n 项和 Tn． 19．3 月 12 日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全 校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取 200 人的 成绩（满分为 100 分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数 据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分（同一组 中的数据用该组区间中点值为代表）； （2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于 70 分的学生中随机抽取 6 人， 查看他们的答题情况，再从这 6 人中随机抽取 3 人进行调查分析，求这 3 人中至少有 1 人成绩在[50，60）内的概率． 20．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，2），B 是一动点，直线 OA，OB，AB 的斜 率分别为 k1，k2，k3，且 + ＝ ，记 B 点的轨迹为 E． （1）求 E 的方程； （2）过 C（1，0）的直线与 E 交于 M，N 两点，过线段 MN 的中点 D 且垂直于 MN 的直 线与 x 轴交于 H 点，若|MN|＝4|DH|，求直线 MN 的方程． 21．已知函数 f（x）＝ax﹣sinx，x ∈ （0，+∞）（a ∈ R）． （1）若 f（x）＞0，求 a 的取值范围； （2）当 a＝1 时，证明：2f（x）+cosx＞e﹣x． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参 数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ＝4cos θ ． （1）求 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程； （2）若 C1，C2 交于 A，B 两点，求|OA|•|OB|． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x﹣3|+|2x﹣3|． （1）求不等式 f（x）≤6 的解集； （2）若 ∃ x ∈ [ ，3]，x3﹣af（x）+16＜0，求实数 a 的取值范围． 参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1．已知复数 z 满足 ＝2+i，则 z＝（ ） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i 解：∵ ＝2+i，∴z＝（2+i）（1﹣i）＝2﹣2i+i﹣i2＝3﹣i， 故选：D． 2．集合 A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{x|x＞0}，则 A∪B＝（ ） A．（0，1） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（1，+∞） 解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞0}， ∴A∪B＝（0，+∞）． 故选：B． 3．已知 sin α ﹣cos α ＝ ，则 sin2 α ＝（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 解：∵sin α ﹣cos α ＝ ，∴平方可得 1﹣2sin α cos α ＝ ， 则 sin2 α ＝2sin α cos α ＝﹣ ， 故选：A． 4．设直线 y＝1 与 y 轴交于点 A，与曲线 y＝x3 交于点 B，O 为原点，记线段 OA，AB 及曲 线 y＝x3 围成的区域为 Ω ．在 Ω 内随机取一个点 P，已知点 P 取在△OAB 内的概率等于 ， 则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 解：联立 ，解得 ． 则曲边梯形 OAB 的面积为 ， ∵在 Ω 内随机取一个点 P，点 P 取在△OAB 内的概率等于 ， ∴点 P 取在阴影部分的概率等于 ， ∴图中阴影部分的面积为 ． 故选：B． 5．已知 P，Q 分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BB1，CC1 上的动点（不与顶点重合）， 则下列结论错误的是（ ） A．AB⊥PQ B．平面 BPQ∥平面 ADD1A1 C．四面体 ABPQ 的体积为定值 D．AP∥平面 CDD1C1 解：P，Q 分别是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 BB1，CC1 上的动点（不与顶点重合）， 对于 A，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC、BB1 ⊂ 平面 BCC1B1， ∴AB⊥平面 BCC1B1， ∵PQ ⊂ 平面 BCC1B1，∴AB⊥PQ，故 A 正确； 对于 B，∵平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1，平面 BPQ 与平面 BCC1B1 重合， ∴平面 BPQ∥平面 ADD1A1，故 B 正确； 对于 C，∵A 到平面 BPQ 的距离 AB 为定值，Q 到 BP 的距离为定值， BP 的长不是定值，∴四面体 ABPQ 的体积不为定值，故 C 错误； 对于 D，∵平面 ABB1A1∥平面 CDD1C1，AB ⊂ 平面 ABB1A1， ∴AP∥平面 CDD1C1，故 D 正确． 故选：C． 6．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为 剩余问题.1852 年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史 上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”．“物不知其数”问题后经秦 九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问 题：在（1，2021]的整数中，把被 4 除余数为 1，被 5 除余数也为 1 的数，按照由小到大 的顺序排列，得到数列{an}，则数列{an}的项数为（ ） A．98 B．99 C．100 D．101 解：将题目转化为 an﹣1 既是 4 的倍数，也是 5 的倍数，也即是 20 的倍数， 即 an﹣1＝20（n﹣1），an＝20n﹣19， 令 1＜20n﹣19≤2021，∴1＜n≤102，又∵n ∈ N+， 故 n＝2，3，⋅ ⋅ ⋅ ，102，∴数列共有 101 项， 故选：D． 7．已知曲线 y＝ex﹣1 在 x＝x0 处的切线方程为 ex﹣y+t＝0，则（ ） A．x0＝1，t＝﹣1 B．x0＝1，t＝﹣e C．x0＝﹣1，t＝﹣1 D．x0＝﹣1，t＝﹣e 解：y＝ex﹣1 的导数为 y′＝ex， 可得曲线 y＝ex﹣1 在 x＝x0 处的切线的斜率为 ex0， 由切线方程 ex﹣y+t＝0，可得 ex0＝e， 解得 x0＝1， 切点为（1，e﹣1），则 t＝e﹣1﹣e＝﹣1． 故选：A． 8．若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为 ，则斜边所在直线的斜率为（ ） A．﹣ 或 2 B． 或 3 C． 或 4 D． 或 5 解：因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为 ，即 ， 设其倾斜角为 α ，则 tan α ＝ ， 因为斜边与直角边的倾斜角相差 45°， 则斜边的倾斜角为 α +45°或 α ﹣45°， 所以 ， ， 所以斜边所在直线的斜率为 或 4． 故选：C． 9．已知点 P 是△ABC 所在平面内一点，且 + + ＝ ，则（ ） A． ＝﹣ + B． ＝ + C． ＝﹣ ﹣ D． ＝ ﹣ 解：因为 + + ＝ ，所以点 P 为△ABC 的重心， 延长 PA 交 BC 于点 M， 所以 ， 又 ， 所以 ． 故选：D． 10．已知 F1，F2 分别是椭圆 E： ＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是椭圆短轴的 端点，点 N 在椭圆上，若 ＝3 ，则椭圆 E 的离心率为（ ） A． B． C． D． 解：不妨设点 M 为椭圆短轴的上端点（0，b）， 且 F1（﹣c，0），F2（c，0），设点 N 的坐标为（m，n）， 则 ， 由 可得： ，即 m＝ ， 所以点 N 的坐标为（ ）， 代入椭圆方程可得： ，解得 ， 所以椭圆的离心率为 e＝ ， 故选：C． 11．饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚．检 测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 20mg/100mL，小于 80mg/100mL 的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 80mg/100mL 的驾驶行为．”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小 时降低 20%．某人饮酒后测得血液中的酒精含量为 100mg/100mL，若经过 n（n ∈ N*）小 时，该人血液中的酒精含量小于 20mg/100mL，则 n 的最小值为（ ）（参考数据：lg2 ≈0.3010） A．7 B．8 C．9 D．10 解：经过 n（n ∈ N*）小时，该人血液中的酒精含量为 100×0.8nmg/100ml， 由题意可得，100×0.8n＜20，即 0.8n＜0.2， 所以 ， 所以 n 的最小值为 8． 故选：B． 12．已知函数 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）（ ω ＞0，0＜ φ ＜ ），f（x）的一个零点是 ，f（x） 图象的一条对称轴是直线 x＝ ，下列四个结论： ①φ ＝ ； ②ω ＝ +3k（k ∈ N）； ③ f（﹣ ）＝0； ④ 直线 x＝﹣ 是 f（x）图象的一条对称轴． 其中所有正确结论的编号是（ ） A． ①② B． ①③ C． ②④ D． ③④解：函数 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）（ ω ＞0，0＜ φ ＜ ），f（x）图象的一条对称轴是直线 x＝ ， 所以 f（ ）＝f（ ）， 由 f（x）的一个零点是 ， 所以 ， 整理得 ， 所以 T＝ ， 故 ω ＝ （k ∈ Z）故 ② 错误； 当 k＝1 时，f（x）＝sin（ φ ），把（ ）代入关系式，得到 sin（ + φ ）＝ 0，由于 0＜ φ ＜ ， 所以 φ ＝ ，故 ① 正确； 对于 f（﹣ ）＝sin（ ）≠±1，故 ④ 错误， f（﹣ ）＝sin ＝sin（﹣2 π ）＝0，故 ③ 正确； 故选：B． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知平面向量 ＝（ ， ），则与 夹角为 45°的一个非零向量 的坐标可以为 （1， 0） ．（写出满足条件的一个向量即可） 解：设 ， ∴ ， ∴ ， ∴xy＝0，且 为非零向量， ∴x＝1，y＝0 满足题意， ∴ ． 故答案为：（1，0）． 14．已知双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，右顶点为 A，O 为原点．若 A 为线段 OF 的中点，则 C 的渐近线方程为 y＝ x ． 解：由题意知，F（c，0），A（a，0）， ∵A 为线段 OF 的中点，∴c＝2a， 而 ＝ ＝ a， ∴ ＝ ， ∴C 的渐近线方程为 y＝± ＝ x． 故答案为：y＝ x． 15．已知△ABC 中，A＝ ，满足 BC＝ ，AC＝2AB，则△ABC 的面积为 ． 解：设 AB＝m，则 AC＝2m， 由余弦定理可知：14＝m2+4m2﹣2×m×2mcos ， 解得 m＝ ， 所以△ABC 的面积为： ＝ ＝ ． 故答案为： ． 16．由正三棱锥 P﹣ABC 截得的三棱台 ABC﹣A1B1C1 的高为 ，AB＝6，A1B1＝3．若三棱 台 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 60 π ． 解：设三棱台 ABC﹣A1B1C1 的上底面 A1B1C1 的外接圆的圆心为 G1，下底面 ABC 的外接 圆的圆心为 G， 则 G1，G 为所在正三角形的中心，故三棱台 ABC﹣A1B1C1 的外接球的球心 O 在 GG1 上， 因为△ABC 是边长为 6 的等边三角形，故 2AG＝4 ，所以 AG＝ ， 同理可得 AG1＝ ， 设三棱台 ABC﹣A1B1C1 的外接球的半径为 R， 在 Rt△A1G1O 中， ， 在 Rt△AGO 中， ， 又三棱台 ABC﹣A1B1C1 的高为 ， 因为 R2≥12，所以 ， 故球心 O 在 G1G 的延长线上， 则 ， 解得 R2＝15， 所以球 O 的表面积为 S＝4 π R2＝60 π ． 故答案为：60 π ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。 17．如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧棱 AA1⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，E，F 分别为 AA1，CC1 的中点． （1）证明：B，F，D1，E 四点共面； （2）若 AB＝2，∠BAD＝ ，求点 F 到平面 BDD1 的距离． 【解答】（1）证明：连结 AC 交 BD 于点 O，因为 ABCD 为菱形，故 AC⊥BD， 以 O 为原点建立空间直角坐标系如图所示， 设 OB＝a，OA＝b，DD1＝c， 则 B（0，a，0），D1（0，﹣a，c），E（b，0， ），F（﹣b，0， ）， 所以 ， 所以 ， 故 BE∥FD1， 所以 B，F，D1，E 四点共面； （2）解：以 O 为原点建立空间直角坐标系如图所示， 因为 AB＝2，∠BAD＝ ， 所以 B（0，1，0），D（0，﹣1，0），D1（0，﹣1，c）， ， 设平面 BDD1 的法向量为 ， 又 ， ， 则有 ，即 ， 令 x＝1，故 ， 又 ， 所以点 F 到平面 BDD1 的距离为 ＝ ． 18．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3a1﹣2，且 S5﹣S3＝4a2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{ }的前 n 项和 Tn． 解：（1）设等差数列{an}的公差为 d， 因为 a3＝3a1﹣2，且 S5﹣S3＝4a2． 所以 ，解得 ， 所以数列{an}的通项公式 an＝3+2（n﹣1）＝2n+1． （2）Sn＝3n+ ×2＝n（n+2）， 所以 ＝ ＝ （ ﹣ ）， 所以 Tn＝ （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ） ＝ （1+ ﹣ ﹣ ） ＝ ﹣ ． 19．3 月 12 日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全 校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取 200 人的 成绩（满分为 100 分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数 据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分（同一组 中的数据用该组区间中点值为代表）； （2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于 70 分的学生中随机抽取 6 人， 查看他们的答题情况，再从这 6 人中随机抽取 3 人进行调查分析，求这 3 人中至少有 1 人成绩在[50，60）内的概率． 解：（1）由频率分布直方图可得，（0.006+0.012+0.018×2+0.021+a）×10＝1，解得 a ＝0.025， 这组样本数据的平均数为 45×0.06+55×0.12+65×0.18+75×0.25+85×0.21+95×0.18＝ 74.7， 所以估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分为 74.7 分； （2）由频率分布直方图可知，成绩在[40，50），[50，60），[60，70）内的频率分别为 0.06，0.12，0.18， 所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的 6 人， 成绩在[40，50）内的有 1 人，成绩在[50，60）内的有 2 人，成绩在[60，70）内的有 3 人， 故从成绩在[40，70）内的 6 人随机抽取 3 人，共有 种， 这 3 人成绩均不在[50，60）内，共有 种， 所以这 3 人中至少有 1 人成绩在[50，60）内的概率为 ＝ ． 20．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，2），B 是一动点，直线 OA，OB，AB 的斜 率分别为 k1，k2，k3，且 + ＝ ，记 B 点的轨迹为 E． （1）求 E 的方程； （2）过 C（1，0）的直线与 E 交于 M，N 两点，过线段 MN 的中点 D 且垂直于 MN 的直 线与 x 轴交于 H 点，若|MN|＝4|DH|，求直线 MN 的方程． 解：（1）设 B（x，y）， 所以 k1＝ ，k2＝ ，k3＝ ， 因为 + ＝ ， 所以 + ＝ ， 化简得 y2＝4x． 所以曲线 E 的方程为 y2＝4x（x≠0，x≠1）． （2）设直线 MN 的方程为 x＝ty+1， 联立 ，得 y2﹣4ty﹣4＝0， 所以△＝16t2﹣4×1×（﹣4）＝16（t2+1）＞0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以 y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4， 所以|MN|＝ ＝4（t2+1）， 由 D 为 MN 的中点， 所以 D（2t2+1，2t）， 所以直线 DH 的方程为 y﹣2t＝﹣t（x﹣2t2﹣1）， 所以 H 点的坐标为（2t2+3，0）， 所以|DH|＝2 ， 因为|MN|＝2|DH|， 所以 4（t2+1）＝8 ， 解得 t＝± ， 所以直线 MN 的方程为 x﹣ y﹣1＝0 或 x+ y﹣1＝0． 21．已知函数 f（x）＝ax﹣sinx，x ∈ （0，+∞）（a ∈ R）． （1）若 f（x）＞0，求 a 的取值范围； （2）当 a＝1 时，证明：2f（x）+cosx＞e﹣x． 解：（1）f′（x）＝a﹣cosx， 当 a≥1 时，f′（x）≥0，故函数 f（x）在（0，+∞）单调递增， 故 f（x）＞f（0）＝0，满足题意； a≤﹣1 时，f′（x）≤0，故函数 f（x）在（0，+∞）单调递减， 故 f（x）＜f（0）＝0，不满足题意； ﹣1＜a＜1 时，令 f′（x）＝0，在（0， π ）上存在 x0，使得 cosx0＝a 成立， 故 0＜x＜x0 时，f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）单调递减， 则 f（x）＜f（0）＝0，不满足题意； 综上：a 的取值范围是[1，+∞）； （2）证明：a＝1 时，f（x）＝x﹣sinx， 要证 2f（x）+cosx＞e﹣x，即证 2x﹣2sinx+cosx＞e﹣x， 即证（2x﹣2sinx+cosx）ex＞1， 设 g（x）＝（2x﹣2sinx+cosx）ex， 则 g′（x）＝[2（x﹣sinx）+2﹣ sin（x+ ）]ex， 由（1）得 x＞sinx，而 2﹣ sin（x+ ）＞2﹣ ＞0， 故 g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增， 故 g（x）＞g（0）＝1， 故 ∀ x ∈ （0，+∞），a＝1 时，2f（x）+cosx＞e﹣x． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考 题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参 数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ＝4cos θ ． （1）求 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程； （2）若 C1，C2 交于 A，B 两点，求|OA|•|OB|． 解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 x﹣y﹣ 1＝0，根据 ，转换为极坐标方程为 ρ cos θ ﹣ ρ sin θ ﹣1＝0． 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ＝4cos θ ，根据 ，转换为直角坐标方程为 x2+y2 ＝4x，整理得（x﹣2）2+y2＝4． （2）由于 C1，C2 交于 A，B 两点， 所以 ， 解得 或 即 A（ ），B（ ）， 所以|OA||OB|＝ × ＝ ． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x﹣3|+|2x﹣3|． （1）求不等式 f（x）≤6 的解集； （2）若 ∃ x ∈ [ ，3]，x3﹣af（x）+16＜0，求实数 a 的取值范围． 解：（1）函数 f（x）＝|x﹣3|+|2x﹣3|＝ ， 所以不等式 f（x）≤6 可化为 ，或 ，或 ， 解得 3≤x≤4，或 ＜x＜3，或 0≤x≤ ； 所以不等式 f（x）≤6 的解集是{x|0≤x≤4}； （2）当 x ∈ [ ，3]时，函数 f（x）＝x， 所以不等式 x3﹣af（x）+16＜0，可化为 x3﹣ax+16＜0， 即 a＞x2+ ． 设 g（x）＝x2+ ，x ∈ [ ，3]， 则 g′（x）＝2x﹣ ＝ ＝ ， 当 x ∈ [ ，2）时，g′（x）＜0，函数 g（x）单调递减， x ∈ （2，3]时，g′（x）＞0，函数 g（x）单调递增， 所以 x＝2 时，函数 g（x）取得最小值为 g（x）min＝g（2）＝4+8＝12， 所以若 ∃ x ∈ [ ，3]，x3﹣af（x）+16＜0，实数 a 的取值范围是 a＞12．