专题 07 圆锥曲线的第二定义与焦点弦
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点 A、B，弦 AB 叫做曲线的焦点弦。
秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：
①焦点弦长公式：
22
2
cos1
2
e
a
b
( 为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：
22b
a
(最短焦点弦)；
②焦点弦被焦点分成两部分 ,m n ，则 2
1 1 2a
m n b
(定值)(取通径即可)。
③ BFAF ，则有
1
1cos
e ( 为直线与焦点所在轴的夹角)。
秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：
①过抛物线 )0(22 ppxy 焦点的直线交抛物线于 A 、 B 两点，则: 2pyy BA ,
4
2pxx BA 。(焦
点在 y 轴上的性质对比给出。)
引伸: M ( ,0)a ( 0)a 在抛物线 2 2 ( 0)y px p 的对称轴上，过 M 的直线交抛物线于两点。
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y , 1 2.y y = 2pa (定值)。
②
2sin
2|| pAB ( 是直线 AB 与焦点所在轴的夹角)= 1 2x x p (焦点在 x 轴正半轴上)(其它三种同
理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为 2p )最短。
③ BFAF ，则有
1
1cos
，
cos1 pAF ，
cos1 pBF ( 为直线与焦点所在轴的夹角)。
④面积:
sin2
2pS AOB ，
3
2
sin
2pS AMNB ( 是直线 AB 与焦点所在轴的夹角)。
⑤以 AB 为直径的圆与准线 MN 相切，切点为 MN 中点Q ， BQAQ, 分别是抛物线的切线，并且分别是
NBAMAB , 的角平分线。
⑥以 MN 为直径的圆与 AB 相切，切点为焦点 F 。
⑦以焦半径为直径的圆与 y 轴相切。
⑧ NOA ,, 三点共线, MOB ,, 三点共线。
⑨
pBFAF
2
||
1
||
1 (定值)。
⑩设抛物线的顶点为O ，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点 ,B C ，经过抛物线上一点 P 垂直于
轴的直线和轴交于点Q ，线段 PQ 是 BC 和 OQ 的比例中项。
【考点精选例题精析】：
例 1．已知点 2(0 )A ， ，椭圆 E ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的离心率为 3
2
，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF
的斜率为 2 3
3
，O 为坐标原点.设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P .Q 两点，当 OPQ△ 的面积最大时，直
线l 的斜率为（ ）
A． 1
2
B． 2
2
C． 3
2
D． 7
2
【答案】D
【分析】
先由已知求出椭圆方程，再设直线方程 l：y＝kx﹣2，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理，将 OPQ△ 的
面积表示为关于 k 的表达式，利用不等式求得最值及取得最值时的 k 即可．
【详解】
设椭圆 E：
2 2
2 2
x y
a b
1（a＞b＞0）的右焦点 F（c，0），
因为直线 AF 的斜率为 2 3
3
，所以 2 2 3
3c
，解得 c 3 ．
又椭圆 E：
2 2
2 2
x y
a b
1（a＞b＞0）的离心率为 3
2
，∴ 3
2
c
a
，可得 a＝2．
则 E 的方程为
2
2 14
x y ，
当 l⊥x 轴时，不存在 OPQ△ ；所以直线l 存在斜率，
则设 2y kx ，设 1 1( )P x y， . 2 2( )Q x y， ，将 2y kx 代入
2
2 14
x y 得：
2 2(1 4 ) 16 12 0k x kx ，由 216(4 3) 0k 得 2 3
4k ，
2 2
2 2
1 2 1 2 2
4 1 4 31 ( ) 4 4 1
k kPQ k x x x x k
，
又点 O 到直线 PQ 的距离 2
2
1
d
k
，
令 24 3k t ，则 2
1 4 4
42 4OPQ
tS d PQ t t t
，
则 4 4t t
，当且仅当 2t 时 7
2k 时等号成立，且满足 0 ，∴ 1OPQS ≤ ，
当 OPQ△ 的面积最大时直线 l 的斜率为 7
2
，
故选：D.
【点睛】
方法点睛：设而不求点法：应用韦达定理求弦长是常用方法．
例 2． 1F 、 2F 是椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）的左、右焦点， P 是椭圆上的动点.若椭圆长轴长为 16，则
1 2PF F△ 面积的最大值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【分析】
依题意可得 2 2 64b c ，当 p 在椭圆的上下顶点处，此时三角形面积取得最大值，再利用基本不等式计算
可得；
【详解】
解：依题意 2 16a ，所以 8a ，又 2 2 2a b c ，所以 2 2 64b c
P 是椭圆上的动点，要使 1 2PF F△ 的面积取得最大值，则 p 在椭圆的上下顶点处，此时三角形面积取得最
大值， 1 2
2 2
max
1 2 322 2PF F
b cS b c bc △ ，当且仅当b c 时取等号；
故选：C
例 3．已知椭圆
2
2: 14
xC y 的焦点是 1F ， 2F ，点 P 为椭圆C 上一点，且 1 2 90F PF ，则 1 2PF F△ 的
内切圆半径 r 为（ ）
A． 3 B． 2 3 C． 2 3 D．2
【答案】B
【分析】
由余弦定理得 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 22c
2
os
PF PF F P PF F F
F PF F P PF
，
得到 1 2F P PF ，可求得面积，再由 1 2 1 2 1 2
1
2PF FS PF PF F F r 可得答案.
【详解】
2
2 14
x y ， 2 2 24, 1, 3a b c ，
由题意得 1 2+ 2 4F P PF a ， 1 2 2 2 3F F c ，由余弦定理得
2 22 2 2
1 2 1 2 1 21 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2
02
+
2cos
PF PF F P PF F FPF PF F FF PF PF PF F P PF
，
得 1 2 2F P PF ，
1 2 1 2 1 2
1 1sin 2 1 12 2PF FS PF PF F PF ，
设内切圆的半径为 r ，则 1 2 1 2 1 2
1 1 4 2 3 12 2PF FS PF PF F F r r ，
所以 2 3r .
故选：B.
【点睛】
椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，
因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.
例 4．已知焦点在 x 轴上的椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，直线 l 过 2F ，且
和椭圆 C 交于 A，B 两点， 1
1
| | 3
| | 5
AF
BF
， 1 2AF F△ 与 1 2BF F△ 的面积之比为 3：1，则椭圆 C 的离心率为
______________.
【答案】 2
2
【分析】
设 1 3AF x ， 1 5BF x ， 2 3AF y ， 2BF y ，根据椭圆的定义可得 x y ，进而得出 1 2AF F△ 为等腰
直角三角形，从而求得离心率.
【详解】
1
1
| | 3
| | 5
AF
BF
，不妨设 1 3AF x ， 1 5BF x ，
由点 B 作 BP x 轴，同时也过点 A 向 x 轴引垂线，
1 2 1 2
: 3:1AF F BF FS S ，且 2 2AOF BPF
2 2: 3:1AF BF ，
设 2 3AF y ， 2BF y ，
由 1 2 1 2 2AF AF BF BF a ，
3 3 5x y x y ， x y ，
所以 1 2 5 5 6AF AF x y x x x ，
所以 2 3AF x ， 1 2AF F 为等腰三角形，
3 4AB x x x ， 1 5BF x ，
2 2 2
1 1AF AB BF ， 1AF B 为直角三角形，
1 2AF AF ， 1 2AF F△ 为等腰直角三角形，
1 1
2
2OF OA AF ，
1 1,OF c AF a ,
即 2
2
ce a
.
故答案为： 2
2
【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出 1 2AF F△ 为等腰直角三角形，考查
了计算求解能力，属于中档题.
例 5．已知椭圆 E：
2
2 12
x y ，点 P(2，t)，F 为椭圆的左焦点，过点 P 作椭圆的切线 PA、PB，切点分别
为 A、B，则 ABF 面积的范围是__________．（经过椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
上一点(x0，y0)的椭圆的切线方程是：
0 0
2 2 1x x y y
a b
）
【答案】 0, 2
【分析】
先设点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 并表示出切线 PA 的方程和切线 PB 的方程，接着表示出直线 AB 的方程并确
定直线 AB 过定点 (1,0) ，且定点是椭圆 E 的右焦点 2F ，再联立方程求得 1 2 2
2
2
ty y t
， 1 2 2
1
2y y t
，
最后表示出
2
2
2 2 1
2ABF
tS t
求其范围即可.
【详解】
解：设点 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，
所以切线 PA 的方程为 1
1 12
x x y y ，切线 PB 的方程为 2
2 12
x x y y ，
因为点 P 在切线 PA 和切线 PB 上，
所以 1 1
2 2
1
1
x ty
x ty
，所以直线 AB 的方程为 1x ty
所以直线 AB 过定点 (1,0) ，且定点是椭圆 E 的右焦点 2F ，
联立方程 2
2
1
12
x ty
x y
，消去 x 得： 2 2( 2) 2 1 0t y ty ，
所以 1 2 2
2
2
ty y t
， 1 2 2
1
2y y t
，
2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1| | | | 2 ( ) 4 ( ) 42 2 2 2 2ABF
t tS FF y y y y y y t t t
令 2 1 1t m ，则 2 2 1t m ， 1 2m m
，则
1 10 1 2m m
则 2
2 2
2 2 1 2 2 2 2 0, 212 1ABF
t mS t m m m
故答案为：0, 2
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，求椭圆内的焦点三角形的面积范围，是偏难题.
例 6．已知椭圆 C：
2 2
149 24
x y ，左、右焦点分别为 1F 、 2F ， P 是椭圆 C 上位于第一象限内的点且满足
1 2PF PF ，延长 2PF 交椭圆 C 于点 Q， 则△ 1F PQ 的内切圆半径是_______．
【答案】12
5
【详解】
由椭圆的性质知，
1 2 14QF QF , 1 2 14PF PF ．
而直角△ 1F PQ 的内切圆半径是
1 1 1 2 2 1 2
1 1( ) ( )2 2r F P PQ FQ PF PF QF QF QF ,
在△ 1 2F PF 中, 1 2 2 49 24 10F F ， 1 2 14PF PF ．
因为 1 2 2F PF ，即 2 2 2
1 2 1 2PF PF F F ，
所以 1 28, 6PF PF ,可得 2 1
3cos 5PF F ，
所以在△ 1 2F QF 中, 2 2 2
1 1 2 2 2 1 2 2 12QF F F QF QF F F COS QF F ，
可得 2 2
2 2 2
3(14 ) 100 2 10 ( )5QF QF QF ，
解得： 2
12
5QF ，
则 1F PQ 的内切圆半径是12
5
．
【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆基本量的计算问题，焦点三角形问题是椭圆中的常见题型，本题的切
入口是利用面积和求内切圆的半径。此题属于中档题.
例 7．已知椭圆
2 2
14 3
x y 的右焦点为 ,F A为椭圆在第一象限内的点，连接 AF 并延长交椭圆于点 B ，连
接 AO （O 为坐原点）并延长交椭圆于点C ，若 3ABCS △ ，则点C 的坐标为______.
【答案】 31, 2
【分析】
求得 (1,0)F ，设 AB 的方程为 1x my ，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及完全平方公式，结合题意
可得 1 2
1 3
2 2ABO AOF BOFS S S OF y y △ △ △ ，即有 1 2 3y y ，平方后由韦达定理，即可求得C
的坐标
【详解】
根据题意画出图象：
由题意可得 1,0F ，
设 AB 的方程为 1x my ，
联立椭圆方程可得 2 24 3 6 9 0m y my ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
可得 1 2 2
6
4 3
my y m
， 1 2 2
9
4 3y y m
，
由O 为 AC 的中点，且 ABC 的面积为 3 ，
可得 ABO 的面积为 3
2
，
1 2
1 3
2 2ABO AOF BOFS S S OF y y △ △ △ ，
即有 1 2 3y y ，
可得
2
2 2 2
36 36 9(4 3 ) 4 3
m
m m
，
化为 4 29 8 0m m ，即 0m ，
则 AB x 轴，可得 31, 2A
，
根据点 A 与C 关于原点对称
点C 的坐标为 31, 2
.
【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆交点问题，解题关键是掌握圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲
线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问
题得以解决．
例 8.(2010 年辽宁卷)设椭圆 )0(1: 2
2
2
2
bab
y
a
xC 的左焦点为 F ,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 BA,
两点,直线l 的倾斜角为 60 , FBAF 2 .
（1）求椭圆C 的离心率;
（2）如果
4
15AB ,求椭圆C 的方程.
解析:（1）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由题意知 1y ＜0， 2y ＞0，直线 l 的方程为 3( )y x c ，
联立 2 2
2 2
3( ),
1
y x c
x y
a b
得 2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b ，得
2 2
1 22 2 2 2
3 ( 2 ) 3 ( 2 ),3 3
b c a b c ay ya b a b
，
因为 2AF FB
，所以 1 22y y ，得 2
3
ce a
。
秒杀方法：由秒杀公式得：
3
2
12
12
2
1
ee 。
（2）因为 2 1
11 3AB y y ，由 2
3
c
a
得 5
3b a ，所以 5 15
4 4a ，得 a=3， 5b ，椭圆 C 的方
程为
2 2
19 5
x y 。
秒杀方法：
4
15AB =
2
2
4
11
2
e
a
b
=
a
ba
b
4
9
9
8
2
2
2
，即 235 ba ，
3
2
a
c ，得 22 95 ba ，即 3a ， 5b ，
椭圆 C 的方程为
2 2
19 5
x y 。
例 9.(2018 年新课标全国卷 II19)设抛物线 xyC 4: 2 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 0k k 的直线 l 与 C 交于
A , B 两点, 8AB ．
（1）求 l 的方程;
（2）求过点 A , B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
【解析】：（1）由题意得 1,0F ， l 的方程为 1 0y k x k ，设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，由
2
1
4
y k x
y x
,
得 2 2 2 22 4 0k x k x k , 216 16 0k ，故 1 2
2
2
2 4
kx kx ，
所以 1 2
2
2
4 4| | | | | | 1 1 kAB A xF BF kx ，由题设知
2
2
4 4 8k
k
，解得 1k (舍去)， 1k ，因此l
的方程为 1y x 。
（2）由(1)得 AB 的中点坐标为 3,2 ，所以 AB 的垂直平分线方程为 2 3y x ，即 5y x ，
设所求圆的圆心坐标为 0 0,x y ，则
0 0
2
2 0 0
0
5,
( 1)( 1) 162
y x
y xx
，解得 0
0
3
2
x
y
或 0
0
11
6
x
y
，
因此所求圆的方程为 2 23 2 16x y 或 2 211 6 144x y 。
【达标检测】：
1.(2017 年新课标全国卷 I)已知 F 是双曲线 13:
2
2 yxC 的右焦点, P 是C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A
的坐标是 3,1 .则 APF 的面积为 ( )
A.
3
1 B.
2
1 C.
3
2 D.
2
3
【解析】： 3
2
a
bPF ，而 P（2，0），
2
33122
1 S ，选 D。
2.(2008年新课标全国卷)过椭圆
2 2
15 4
x y 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于 ,A B 两点,O 为坐标
原点,则 AOB 的面积为 .
【解析】：法一：利用弦长公式（一般弦长公式）求出 AB ，再利用O 到直线距离求出高，可求出三角形的
面积；由焦点弦长公式得：
3
55
25
24
5
8
AB ，
5
2d ，
3
5
2
1 ABdS AOB 。
法二：直线方程为： 2 2y x ，与椭圆联立可得两个交点的坐标 0, 2 , 5 4,3 3
，从图中可直观得到
3
5
2
1
21 yycS AOB 。
3.(2013 年新课标全国卷 II)设抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ,直线 l 过 F 且与 C 交于 A , B 两点.若
BFAF 3 ,则l 的方程为 ( )
A. 1y x 或 1 xy B. 3 ( 1)3y x 或 3 ( 1)3y x
C. 3( 1)y x 或 3( 1)y x D. 2 ( 1)2y x 或 2 ( 1)2y x
【解析】：法一：由
pBFAF
2
||
1
||
1 得 2sin
2
3
16 pAB ，得
2
3sin ， 3k 或 3 ，选 C。
秒杀方法：
2
1
1
1cos
，
3
或
3
2 ，选 C。
4.(2014 年新课标全国卷 II10)设 F 为抛物线 C : 2 3y x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 BA, 两
点,O 为坐标原点,则 OAB 的面积为 ( )
A. 3 3
4 B. 9 3
8 C. 63
32 D. 9
4
【解析】：代入公式 sin2
2pS AOB 中，得 9
4 ，选 D。
5.(2013 年新课标全国卷 II11)设抛物线 C : )0(22 ppxy 的焦点为 F ,点 M 在C 上, 5MF |,若以 M 为
直径的圆过点 2,0 ,则C 的方程为 ( )
A. xy 42 或 xy 82 B. xy 22 或 xy 82
C. xy 42 或 xy 162 D. xy 22 或 xy 162
【解析】：可知 M 的横坐标为
25 p ，纵坐标为： )25(2 pp ，(0,2)是切点，即 )25(2 pp =4，得 2p
或 8p ，选 C。
6.(2018 年新课标全国卷 III16)已知点 1,1M 和抛物线 xyC 4: 2 ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交
于 A , B 两点.若 90AMB ∠ ,则 k ________．
【解析】：依题意得，抛物线C 的焦点为 (1,0)F ，故可设直线 : ( 1)AB y k x ，联立 2
( 1),
4 ,
y k x
y x
消去 y
得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k ，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则
2
1 2 2
2 4kx x k
， 1 2 1x x ，
1 2 1 2
4( ) 2y y k x x k k
， 2
1 2 1 2 1 2[ ( ) 1] 4y y k x x x x ；又 1 1( 1, 1)MA x y
，
2 2( 1, 1)MB x y
，∴ 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1)( 1)MA MB x x y y
1 2 1 2 1 2 1 2( ) 1 ( ) 1x x x x y y y y
2
2
2 4 41 1 4 1 0k
k k
，∴ 2k 。
秒杀方法：以 AB 为直径的圆与准线相切，而 M 在准线上， M 是切点，则有 AB 中点的纵坐标为 1，
则有 21 pk ， 2k 。
7．过椭圆 :T
2
2 12
x y 上的焦点 F 作两条相互垂直的直线 1 2l l、 ，1l 交椭圆于 ,A B 两点，2l 交椭圆于 ,C D
两点，则 AB CD 的取值范围是（ ）
A． 8 3 ,3 33
B． 8 2 ,3 33
C． 8 2 ,3 23
D． 8 3 ,3 23
【答案】C
【分析】
当直线 1 2l l、 有一条斜率不存在时，可直接求得 3 2AB CD ，当直线 1 2l l、 的斜率都存在且不为 0 时，
不妨设直线 1l 的斜率为 k，则直线 2l 的斜率为 1
k
，则可得直线 1l 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦
长公式，可求得 AB 的表达式，同理可求得 CD 的表达式，令 21 k t ，则可得
2
6 2
1 12 t t
AB CD
，
令 2
1 12y t t
，根据二次函数的性质，结合 t 的范围，即可求得 AB CD 的范围，综合即可得答案.
【详解】
当直线 1 2l l、 有一条斜率不存在时，不妨设直线 1l 斜率不存在，则直线 2l 斜率为 0，
此时 2 2AB ，
22 2 2
2
bCD a
，
所以 3 2AB CD ，
当直线 1 2l l、 的斜率都存在且不为 0 时，不妨设直线 1l 的斜率为 k，则直线 2l 的斜率为 1
k
，
不妨设直线 1 2l l、 都过椭圆的右焦点 (1,0)F ，
所以直线 1 : ( 1)l y k x ，直线 2
1: ( 1)l y xk
，
联立 1l 与椭圆 T 2
2
( 1)
12
y k x
x y
，可得 2 2 2 2)2 021 4 2( x k x kk ，
2 2 2 2 2( 4 ) 4(1 2 )(2 2) 8 8 0k k k k ，
2 2
1 2 1 22 2
4 2 2,1 2 1 2
k kx x x xk k
，
所以 2 2 2
1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB k x x k x x x x
22 2 2
2
2 2 2
4 2 2 2 2(1 )1 41 2 1 2 1 2
k k kk k k k
，
同理
2
2
2 2
12 2(1 ) 2 2(1 )
211 2
kkCD k
k
，
所以
2 2
2 2
2 2(1 ) 2 2(1 )
1 2 2
k
kB kC kA D
，
令 21 k t ，因为 0k ，所以 1t ，
所以
2 2 2
2 2
2 2(1 ) 2 2(1 ) 2 2 2 2 6 2
1 2 2 2 1 1 (2 1)( 1)
k k t t tAB tD k k t t tC =
2
2
2
6 2 6 2
1 12 1 2
t
t t
t t
，
令
2
2
1 1 1 1 92 2 4y t t t
，
因为 1t ，所以1 (0,1)t
，
所以 92, 4y
，所以 1 4 1,9 2y
，
所以 1 8 26 2 ,3 23AB CD y
，
综上 AB CD 的取值范围是 8 2 ,3 23
.
故选：C
8．已知 1F ， 2F 是椭圆
2 2
2 2: 15 4
x yG 的两个焦点，过 1F 作直线l 交G 于 A ， B 两点，若 32
5AB ，则
2F AB 的面积为（ ）
A． 24
5 B． 48
5 C． 96
5 D． 16 41
5
【答案】C
【分析】
判断出 AB x 轴，直接由三角形面积公式计算即可.
【详解】
由
2 2
2 2: 15 4
x yG 知 2 2 2 25 4 3c ，
所以 1( 3,0)F ，
把 3x 代入椭圆方程可得
4
2 4
25y ，
故 16
5y ，又 32
5AB ，
所以 AB x 轴，
则
2
1 1 32 96| | 22 2 5 5F AB AB d c △S ，
故选：C
9．设椭圆C ：
2 2
1100 48
x y 的左，右焦点分别为 1F . 2F ，点Q 在椭圆C 上，目满足 1 2
2
3QF QF ，则 1 2QF F
的面积为_________.
【答案】48
【分析】
依题意可得 1 2 20QF QF ，即可求出 1QF ， 2QF ，即可得到 1 2QF F 是直角三角形，从而求出三角形
的面积.
【详解】
椭圆C ：
2 2
1100 48
x y ，所以 10a
∵ 1 2
2
3QF QF ， 1 2 20QF QF ，∴ 1 8QF ， 2 12QF ，
又 2
1 2| | 4 (100 48) 208F F ，
∴ 2 2 2
1 2 1 2| | | | | |QF QF F F ，
∴ 1 2QF F 是直角三角形，
∴
1 2 1 2
1 1 8 12 482 2QF FS QF QF .
故答案为： 48
10．已知椭圆
2
2
4
x y ＝1 的两个焦点为 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，则三角形 F2AB 的内切
圆半径的取值范围为_________.
【答案】 10, 2
【分析】
设 : 3AB x my ，内切圆的半径为 r ，利用等积法可得 1 24 3r y y ，联立直线方程和椭圆方程，
从而可得
2
2
13 4
mr m
，利用基本不等式可求 r 的范围.
【详解】
解：如图，由椭圆
2
2 14
x y ，得 2 4a ， 2 1b ，
∴ 2a ， 3c ，
当直线 AB 无限接近 x 轴时， 2AF B 无限趋近于 0 ，
则 ABC 的内切圆的半径无限趋近于 0；
设 : 3AB x my ，
联立 2
2
3
14
x my
x y
，得 2 24 2 3 1 0m y my .
1 2 1 22 2
2 3 1,4 4
my y y ym m
.
设内切圆半径为 r ，则 1 2
1 14 1 2 32 2r y y 即 1 24 3r y y ，
∴
2
2
1 2 1 2 2 2
3 3 2 3 444 4 4 4
mr y y y y m m
2
2
13 4
m
m
，
令 2 1 1t m t ，得
1 13 9 26
r
t t
，当且仅当 3t 时等号成立，
∴三角形 2F AB 的内切圆半径的取值范围为 10, 2
.
故答案为： 10, 2
.
11．椭圆
2 2
14 3
x y 的左焦点为 F，直线 1y kx 与椭圆相交于 A、B 两点，当 FAB 的周长最大时， FAB
的面积为________.
【答案】12 2
7
.
【分析】
首先利用椭圆的定义得 FAB 的周长为 2 2AF BF AB a AF a BF AB
8 8 8AB AF BF AB AB ，得出直线 AB 经过椭圆的右焦点时周长最大，进而得出
直线 AB 的方程为： 1y x ，与椭圆方程联立，求出 1 2y y 的值，利用 1 2
1
2FABS FF y y 即可
求解.
【详解】
由椭圆的标准方程得： 2a ， 1c
如图所示，设椭圆的右焦点为 F ，
则 FAB 的周长为 2 2AF BF AB a AF a BF AB
8 8 8AB AF BF AB AB ，
当且仅当直线 AB 经过椭圆的右焦点 F时取等号，
将 1,0 代入 1y kx 得 1k ，
∴直线 AB 的方程为： 1y x ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
联立 2 2
1
14 3
y x
x y
，消 x 得： 27 6 9 0y y ，
∴ 1 2
6
7y y ， 1 2
9
7y y ，
∴
2
2
1 2 1 2 1 2
6 9 12 24 47 7 7y y y y y y
，
∴ FAB 的面积＝ 1 2
1 1 12 2 12 222 2 7 7FF y y
故答案为：12 2
7
.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是 FAB 的周长为 AF BF AB 利用椭圆的定义转化为
2 2a AF a BF AB 8 8 8AB AF BF AB AB ，进而求出直线 AB 过右焦
点 F 时 FAB 的周长最大，直线 AB 的方程为： 1y x ，与椭圆方程联立很容易想到，下一步求面积迎
刃而解.
12.(2014 年新课标全国卷 II20)设 1F , 2F 分别是椭圆 C : 22
2 2 1 0yx a ba b 的左,右焦点，M 是C 上一点,
且 2MF 与 x 轴垂直,直线 1MF 与C 的另一个交点为 N .
（1）若直线 MN 的斜率为 3
4 ,求C 的离心率；
（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 15MN F N ,求 ba, .
【解析】：（1）
4
3
2
2
c
a
b
，得 acb 32 2 ，即 0232 22 aacc ， 0232 2 ee ，
2
1e 或 2e （舍
去）；
（2）由三角形中位线可知： 4
2
2
a
bMF ，
1,2
3 cN ，代入椭圆中得： 72,7 ba 。
13．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的离心率为 6
3
，且过点 ( 3,1) .
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）过椭圆 E 右焦点的直线 1 2l l、 相互垂直，且分别交椭圆 E 于 A B、 和C D、 四点，求 AB CD 的最小
值.
【答案】（1）
2 2
16 2
x y ；（2） 2 6 .
【分析】
（1）设椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，将点 3,1 代入方程，由 6
3
c
a
，结合 2 2 2a b c 即可求解.
（2）当直线 1l 的斜率为 0 时，分别求出 AB ， CD ，可得 AB CD ；当直线 1l 的斜率不存在时，求出
AB CD ；当直线 1l 的斜率存在且不为 0 时，直线 1l 的方程可设为 2 0x my m ，可得直线 2l 的方
程为 1 2x ym
，分别将直线与椭圆联立，利用弦长公式求出 AB ， CD ，可得
22
4 2
8 6 1
3 10 3
m
AB CD m m
，令 2 1m t ，构造函数
2
23 4 4
tg t t t
即可求解.
【详解】
解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1x y
a b
由 6
3e ，即 6
3
c
a
再由 2 2 2a b c
可得 3a b= ①
将点 3,1 代入椭圆方程，可得 2 2
3 1 1a b
②
由①②可解得 6, 2a b
故椭圆的方程为
2 2
16 2
x y
（2）由（2）知，椭圆右焦点为 2,0 ，
设 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,A x y B x y C x y D x y
当直线 1l 的斜率为 0 时， 2 2 6AB a ，直线 2 : 2l x ，可得 2 6
3CD
所以 2 6 8 62 6 3 3AB CD
当直线 1l 的斜率不存在时，直线 2l 的斜率为 8 60, 3AB CD
当直线 1l 的斜率存在且不为 0 时，直线 1l 的方程可设为 2 0x my m ，
则直线 2l 的方程为 1 2x ym
2 2
16 2
2
x y
x my
整理得 2 23 4 2 0m y my
2 216 8 3 0m m 恒成立，
则
1 2 2
1 2 2
4
3
2
3
my y m
y y m
而 22 2
1 2 1 2 1 21 1 4AB m y y m y y y y
22
2
2 2 2
2 6 14 21 43 3 3
mmm m m m
联立直线 2l 与椭圆方程可得
2
2
2 2
12 6 1 2 6 1
3 11 3
m m
CD m
m
则 222 2
2 2 4 2
8 6 11 12 6 3 3 1 3 10 3
mm mAB CD m m m m
令 2 1m t
令
2
22
2
1 1 14 43 4 4 23 1 4
tg t tt t
t t t
当 1,t 时，
22 1 4 3,4t
则 2
1 1 1,4 32 1 4
g t
t
所以 8 62 6, 3AB CD
，
综上， 8 62 6, 3AB CD
，
当 2 1m 时， AB CD 的最小值为 2 6 .
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式，解题的关键是利用弦长公式以及韦达定理得
出 22
4 2
8 6 1
3 10 3
m
AB CD m m
，考查了数学运算以及分类讨论的思想.
14．在 ABP△ 中，点 ( 2,0), (2,0)B A ，顶点 P 满足： 1
2PA PBk k ．
（1）求顶点 P 的轨迹方程 E ；
（2）过点 ( 2,0)F 的直线l 与 E 交于不同的两点 M ， N ，求 MAN△ 面积的最大值．
【答案】（1）
2 2
14 2
x y ( 0y )；（2）最大值为 2 2 ．
【分析】
（1）设出 P 点坐标，利用 1
2PA PBk k 求得轨迹方程.
（2）设出直线l 的方程并与 P 的轨迹方程联立，化简写出韦达定理，结合弦长公式求得三角形 MAN 面积的
表达式，利用基本不等式求得面积的最大值.
【详解】
（1）设 ,P x y ，则 1
2PA PBk k ，
即 1
2 2 2
y y
x x
，
2 2 2 2 2
2 2
2
1 , 2, 2, 14 2 2 2 4 2
y x x x yy yx
，
所以顶点 P 的轨迹方程 E 为
2 2
14 2
x y ( 0y ).
（2）点 (2,0)A ， 2,0F ，由题意知直线 l 的斜率不为 0，
故设 l 的方程为 2x my ， 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
联立方程得
2 2
14 2
2
x y
x my
，
，
消去 x ，整理得 2 2( 2) 2 2 2 0m y my ，
∴ 216( 1) 0m ， 1 2 2
2 2
2
my y m
， 1 2 2
2
2y y m
，
2
1 2 1 2 1
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 )
2 24
2
8 1m my y y y y y m m m
16（
，
2
1 2 2
4 1
2
my y m
，
1 2
1 2 22AMNS y y 2
2
12 2 2 2
m
m
2
2
12 2 2 2 211
1
m
m
，
当且仅当 0m 时等号成立，此时 l ： 2x ，
所以 AMN 面积的最大值为 2 2 .
【点睛】
求直线与圆锥曲线形成三角形面积的最值问题，首先要利用三角形面积公式求得三角形面积的表达式，再
结合基本不等式来求得最值.
15．如图，已知椭圆
2 2
2 2: 1 ( 0)x yC a ba b
上一点 (0, 2)A ，右焦点为 (c,0)F ，直线 AF 交椭圆于 B
点，且满足| | 2 | |AF FB ， 3 3| | 2AB ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线 ( 0)y kx k 与椭圆相交于 ,C D 两点，求四边形 ACBD 面积的最大值．
【答案】（1）
2 2
13 2
x y ；（2）3 2 .
【分析】
（1）由已知得 2b ，由| | 2 | |AF FB 且 3 3| | 2AB ，知| | 3AF a ，即可求出椭圆C 的标准方
程；
（2）直线 AF 的方程为 2 2 0x y ，与椭圆联立求出 3 2( , )2 2B ，求出点 ,A B 到直线
( 0)y kx k 的距离为 1 2
2
1
d
k
， 2 2
3 2
2 1
kd
k
，联立直线 y kx 与椭圆方程结合弦长公式求出
CD ，求出四边形 ACBD 的面积 1 2
1 ( )2S CD d d ，整理化简利用二次函数求出最值.
【详解】
（1） (0, 2)AQ 为椭圆C 上一点， 2b
又 | | 2 | |AF FB ， 3 3| | 2AB 可得，| | 3AF ，即 3a
所以椭圆C 的标准方程是
2 2
13 2
x y .
（2）由（1）知 (1,0)F ， (0, 2)A ，直线 AF 的方程为 2 2 0x y ，
联立
2 2
13 2
2 2 0
x y
x y
，整理得： 2 24 6 2( 3 ) 0x x x x ，
解得： 1 2
30, 2x x ， 3 2( , )2 2B
设点 (0, 2)A ， 3 2( , )2 2B 到直线 ( 0)y kx k 的距离为 1d 和 2d ，
则 1 2
2
1
d
k
， 2 2
3 2
2 1
kd
k
，
直线 ( 0)y kx k 与椭圆相交于 ,C D 两点，
联立
2 2
13 2
x y
y kx
，整理得： 2 2(3 2) 6k x ，解得： 3 42 2
6 6,
3 2 3 2
x x
k k
.
2
2
3 4 2
2 6 11
3 2
kCD k x x
k
.
设四边形 ACBD 面积为S ，则
2
1 2 2 2
1 6 1 3( 2)( )2 3 2 2 1
k kS CD d d
k k
2
3 6 2 ( 0)2 3 2
k k
k
.
设 2 ( 2, )t k ，则 2k t ，
2 2
2
3 6 3 6 3 6 1
2 2 2 1 13( 2) 2 3 6 2 8 3 6 2 8
t tS
t t t
t t
2
3 6 1 3 22 1 3 2 38 8 4t
当1 3 2
8t
，即 8 4 2 233 2
t k ，即 2
3k 时，四边形 ACBD 面积有最大值 3 2 .
【点睛】
思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
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