湖南省2021届高三下学期4月六校联考数学试题（word版，含答案）

1 湖南省 2021 届高三下学期六校联考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 }5,4,3,2,1{A ， }03|{ 2  xxxB ，则 BCA R 中的元素个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数 21, zz 在复平面内对应的点分别为 ),3(1 aZ ， )1,2(2Z ，且 21 zz  为纯虚数，则实 数 a A．6 B． 2 3 C． 5 6 D．-6 3．函数 xx ee xxxf   2cos)( 的图象大致是 4．某地安排 4 名工作人员随机分到 3 个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个 村，则每个村至少有一名工作人员的概率为 A． 16 9 B． 9 5 C． 9 8 D． 9 4 5．已知 6|| a ， )3,(mb  ，且 )2()( baab  ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影的 最大值为 A．4 B．2 C．1 D． 2 6 6．数学里有一种证明方法叫做 Proofs without words，也称之为无字 证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数 学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的 数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形 ABC 中，点O 为斜边 AB 的中点，点 D 为斜边 AB 上异于顶 点的一个动点，设 aAD  ， bBD  ，则该图形可以完成的无字证明为 2 A． )0,0( 2  baabba B． )0,0(22 22  bababa C． )0,0(2  baabba ab D． )0,0(222  baabba 7．已知 21,FF 分别是双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的左、右焦点，点 P 是该双曲线上一 点且在第一象限内， 1221 sinsin2 FPFFPF  ，则双曲线的离心率的取值范围为 A． )2,1( B． )3,1( C． ),3(  D． )3,2( 8．定义函数      为无理数， 为有理数， x xxD ,1 ,1)( 则下列命题中正确的是 A． )(xD 不是周期函数 B． )(xD 是奇函数 C． )(xDy  的图象存在对称轴 D． )(xD 是周期函数，且有最小正周期 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9．下列“若 p，则 q”形式的命题中，p 是 q 的必要条件的是 A．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B．若 5x ，则 10x C．已知 a 是直线 a 的方向向量， n 是平面 的法向量，若 a ，则 na  D．已知可导函数 )(xf ，若 0)( 0  xf ，则 )(xf 在 0xx  处取得极值 10．已知数列 }{ na 满足 11 a ， 32 a ， 22  nn aa ， *Nn ，则 A． ),(),(),( 654321 aaaaaa  为等差数列 B． ),(),(),( 563412 aaaaaa  为常数列 C． 3412  na n D．若数列 }{ nb 满足 n n n ab  )1( ，则数列 }{ nb 的前 100 项和为 100 11．已知函数       2||,0)cos(2)( xxf 的图象上，对称中心与对称轴 12 x 的 最小距离为 4  ，则下列结论正确的是 A．函数 )(xf 的一个对称点为      0,12 5 3 B．当 ]2,6[ x 时，函数 )(xf 的最小值为 3 C．若            2,05 4cossin 44  ，则       4 f 的值为 5 334  D．要得到函数 )(xf 的图象，只需要将 xxg 2cos2)(  的图象向右平移 6  个单位 12．已知球 O 的半径为 2，球心O 生大小为 60°的二面角   l 内，二面角   l 的 两个半平面分别截球面得两个圆 1O ， 2O ，若两圆 21 OO， 的公共弦 AB 的长为 2，E 为 AB 的中点，四面体 21OOAO 的体积为V ，则下列结论中正确的有 A． 21,,, OOEO 四点共面 B． 2 3 21 OO C． 2 3 21 OO D．V 的最大值为 16 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ． 已 知 某 省 2020 年 高 考 理 科 数 学 平 均 分 X 近 似 服 从 正 态 分 布 )100,89(N ， 则  XP 79( )109 . （附： ）9545.0)22(,6827.0)(   XPXP 14．请写出满足条件“ )1()( fxf  对任意的 ]1,0[x 恒成立，且 )(xf 在 ]1,0[ 上不是．．增函 数”的一个函数： . 15．已知 )0()1(1 6 2       axxa 的展开式中各项的系数和为 192，则其展开式中的常数项 为 . 16．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术 所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进 行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数 )( *Nnn  可以表示成二进制数 2210 )( kaaaa  ，   2 2 1 10 222 kkk aaan 01 1 22   kk aa ，其中 10 a ， }1,0{ia ， Nkki  ,,,2,1,0  ．用 )(nf 表 示十进制数 n 的二进制表示中 1 的个数，则 )7(f ；对任意 *Nr  ，     )( 12 2 2 1 nf n r r . 4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 已知数列 }{ na 的前 n 项和 nS 满足 nnSn 32 2  . (Ⅰ)求数列 }{ na 的通项公式； (Ⅱ)数列       1 1 nnaa 的前 n 项和是 nT ，若存在 *Nn ，使得 01  nn aT  成立， 求实数  的取值范围． 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 )(2 1coscossin3)( 2 Rxxxxxf  . (Ⅰ)当     12 5,12 x 时，分别求函数 )(xf 取得最大值和最小值时 x 的值； (Ⅱ)设 ABC 的内角 CBA ,, 的对应边分别是 ,,, cba 且 32a ， 126      Afb ， ， 求 c 的值， 19．（本小题满分 12 分） 甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4．甲、乙约定比 赛当天上午进行 3 局热身训练，下午进行正式比赛． (Ⅰ)上午的 3 局热身训练中，求甲恰好胜 2 局的概率； (Ⅱ)下午的正式比赛中： ①若采用“3 局 2 胜制”，求甲所胜局数 x 的分布列与数学期望； ②分别求采用“3 局 2 胜制”与“5 局 3 胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种 局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？ 5 20．（本小题满分 12 分） 某建筑工地上有一个旗杆CF （与地面垂直），其正南、正西方向各 有一标杆 BE ， DG （均与地面垂直， DB， 在地面上），长度分别 为 1m，4m，在地面上有一基点 A（点 A 在 B 点的正西方向，也在 D 点的正南方向上），且 BCBA  m2 ，且 GFEA ,,, 四点共面． (Ⅰ)求基点 A 观测旗杆顶端 F 的距离及仰角 的正切值； (Ⅱ)若旗杆上有一点 M ，使得直线 BM 与地面 ABCD 所成的角为 4  ，试求平面 ABM 与平面 AEFG 所成锐二面角的正弦值． 21．（本小题满分 12 分） 已知 A，B 分别为椭圆 )3(13: 2 2 2  ay a xE 的左、右顶点，Q 为椭圆 E 的上顶点， QBAQ  1 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)已知动点 P 在椭圆 E 上，两定点      2 3,1M ，       2 3,1N . ①求 PMN 的面积的最大值； ②若直线 MP 与 NP 分别与直线 3x 交于 DC, 两点，问：是否存在点 P ，使得 PMN 与 PCD 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 22．（本小题满分 12 分） 已知 2 1 )1(cos2)1ln()(   xxxxf ， 21cos)( axxxg  . (Ⅰ)若 0)( xg 恒成立，求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)确定 )(xf 在 ),1(  内的零点个数. 数学参考答案 6 一、二选择题 题号 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D D C B B C BD ABD BC ACD 三、填空题 13．0.8186 14． xxf 2 5sin)(  （答案不唯一） 15．17 16．3 )(32 *Nrr  四、解答题 17．【解析】(Ⅰ) nnS n 32 2  ， 2),1(3)1(2 2 1  nnnSn ，…………………………………………2 分 两式相减得： 222  nan ，则 )2(1  nnan ，………………………………4 分 由 422 11  as 知 21 a ，也满足上式， 故 )(1 *Nnnan  . …………………………………………5 分 (Ⅱ) 2 1 1 1 )2)(1( 11 1   nnnnaa nn . ………………………………6 分 )2(2  n nTn . …………………………………………7 分 21 )2(20)2()2(20   n nnn naT nn  ， 由存在性得 max 2)2(2      n n . ………………………………………8 分 而 16 1 442 1 )2(2 2         nnn n （当且仅当 2n 时取等号）， 故      16 1, . ………………………………………10 分 18．【解析】(Ⅰ) 7 1)62sin(12cos2 12sin2 3 2 1 2 2cos12sin2 3)(  xxxxxxf ， ………………………………………2 分     12 5,12 x ， 3 2 623   x ， 162sin2 3       x ， ∴当 162sin       x ，即 262  x ，得 3 x 时， )(xf 取得最大值 0； ……4 分 当 2 3 62sin       x ，即 362  x ，得 12 x 时， )(xf 取得最小值 12 3  . ………………………………………6 分 （Ⅱ） 116sin2           AAf 且 ),0( A ， 6  A .…………………8 分 由余弦定理 cos2222 bcbca  A 得 024362  cc ，……………10 分 解得 34c 或 32 . ………………………………………12 分 另解： 116sin2           AAf 且 ),0( A ， 6  A ，………………8 分 由正弦定理 B b A a sinsin  有 2 3sin B ，则 3 B 或 3 2B ，…………………9 分 当 3 B 时． 2 c ，由勾股定理有 34c .………………………………………10 分 当 3 2B 时， 6  AC ，则 32 ac . 综上， 34c 或 32 . ………………………………………12 分 19．【解析】(Ⅰ)甲恰好胜 2 局的概率为 432.04.06.0 22 3  CP .………………………4 分 (Ⅱ)①甲所胜局数 x 可取 0，1，2． 16.04.0)0( 22 2  CxP ， 192.04.04.06.0)1( 1 2  CxP ， 648.06.04.06.06.06.0)2( 1 2 2 2  CCxP ，………………………………6 分 8 ∴甲所胜局数 x 的分布列为 x 0 1 2 P 0.16 0.192 0. 648 488.1648.02192.0116.00)( xE .…………………………………8 分 ②采用“3 局 2 胜制”时，甲获胜的概率为 648.06.06.06.04.06.0 2 2 1 21  CCP ， 采用“5 局 3 胜制”时，甲获胜的概率为 68256.06.06.04.06.06.04.06.0 33 3 22 3 222 42  CCCP . ……………10 分 对甲而言，显然“5 局 3 胜制”更有利， 由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利， ………………………12 分 20．【解析】(Ⅰ)易知平面 //ABE 平面 CDGF，且 A、E、F、G 四点共面于平面 AEFG，故 GFAE // ，同理 EFAG // ，故 AEFG 为平行四边形，故 FGAF  ，过点 G 作 CF 的 垂线，垂足为 N，则 GNFABE  ， 1 BEFN ， 514 FC ， 22AC ， 3322  FCACAF . 4 25 22 5tan  AC FC . ……………………………………5 分 (Ⅱ)以 A 为原点， ADAB、 为 yx, 轴建立直角坐标系， )0,0,2(,2 BMC  ， )2,2,2(M ， )0,0,2(AB ， )2,2,2(AM . ……………………………………6 分 设平面 ABM 的法向量 ),,( zyxm  ， 则      ,0222 ,02 zyxAMm xABm 设 1,1  zy ，取 )1,1,0( m ， ………………8 分 又 )1,0,2(E ， )5,2,2(F ， )1,0,2(AE ， )5,2,2(AF ，设平面 AEFG 的法向量 ),,( zyxn  ， 则      ,0522 ,02 zyxAFn zxAEn 设 1x ，则 4,2  yz ，取 )4,2,1( n ， ……………………………10 分 则 7 42 212 )4(2,cos    nm ， 9 设平面 ABM 与平面 AEFG 所成锐二面角为α， 则 7 7)7 42(1sin 2  为所求. ……………………………12 分 21．【解析】(Ⅰ)由题意得 )3,0(),0,(),0,( QaBaA  ，则 )3,(aAQ  ， )3,(  aQB . 由 1QBAQ ，得 132 a ，即 2a ， 所以椭圆 E 的方程为 134 22  yx . ……………………………3 分 (Ⅱ)①设 )sin3,cos2( P ，直线 xyMN 2 3:  即： 023  yx ， 点 P 到直线 MN 的距离 13 394 13 |)3sin(|34 13 |sin32cos6|    d ， 13|| MN ， 则 32||2 1  dMNS PMN ，即 32)( max PMNS ，……………………………7 分 ②设 ),( 00 yxP ， 13|| MN ，点 P 到直线 MN 的距离 13 |23| 00 1 yxd  ， |23|2 1||2 1 001 yxdMNS PMN  . …………………………………………8 分 直线 2 3)1(1 2 3 : 0 0    xx y yMP ，令 3x ，可得 )2 3 1 64,3( 0 0   x yC ， 直线 2 3)1(1 2 3 : 0 0    xx y yPN ，令 3x ，可得 )2 3 1 32,3( 0 0   x yD ， 1 )3)(23(|| 2 0 000   x xyxCD ， P 到直线 CD 的距离为 |3| 02 xd  ， 2 02 0 00 2 )3(1 23 2 1||2 1 xx yxdCDS PCD   ， ……………………………10 分 MPN 与 PCD 面积相等， 2 02 0 00 00 )3(1 23 2 1|23|2 1 xx yxyx   ， 故 023 00  yx （舍）或 2 0 2 0 )3(|1| xx  ， 10 解得 3 5 0 x ，带入椭圆方程得 6 33 0 y ， 故点       6 33,3 5P 或        6 33,3 5 . ………………………………………………12 分 22．【解析】(Ⅰ)显然 )(xg 为偶函数，故只需 0)( xg 在 ),0[  上恒成立即可，由 0)( g 知 0a ， axxgaxxxg 2.cos)(,2sin)(  .………………………………………1 分 (1)若 12 a ，则 0)(  xg ， )(xg 在 ),0(  上单调递增， 0)0()(  gxg ， )(xg 单调递增， 0)0()(  gxg ，故 2 1a 满足条件． ………………………………………3 分 (2)若 2 10  a ，则存在      2,00 x ， 0)( 0  xg ，当 ),0( 0xx 时， 0)( 0  xg ， )(xg 单调递减， 0)0()(  gxg ， )(xg 单调递减， 0)0()(  gxg ，不成立，故 2 10  a 不满足 条件， 所以所求 a 的范围为 2 1a . ………………………………………5 分 （Ⅱ） 2 5 2 )1(4 3cos2)1( 1)(,2 3)1(2 1sin21 1)(  xxxxfxxxxf ． ……………………………………… 6 分 (1)当 ]0,1(x 时， 0)(  xf ， )(xf  单调递减， 0)0()(  fxf ， )(xf 单调递增， 又 01)0( f ， 024 3cos22ln24 3     f ， )(xf 在 )0,1( 内恰有一个零 点； ………………………………………7 分 (2)当     3,0 x 时，可以证明 2)1ln( 2xxx  ，由（Ⅰ）知 21cos 2xx  ， 02 31 1 1 2 32)( 22    xx x xxxf ，故 )(xf 在     3,0  内无零点； 11 …………………………………8 分 (3)当     2,3 x 时， 0)(  xf ， )(xf  单调递减， 03)(      fxf ， )(xf 单调 递减， 02)(      fxf ，故 )(xf 在     2,3  无零点；……………………………………9 分 (4)当      6 5,2x 时， 02 3)1(2 111 1)(  xxxf ， )(xf 单调递减， 又 02     f ， 032ln26 5136 51ln6 5 2 1                f ， )(xf 在      6 5,2 内恰有一零点； ………………………………………10 分 (5)当      ,6 5x 时， 0)(  xf ， )(xf  单调递增，又 0)(  f ， 06 5      f ， ∴存在唯一       ,6 5 0x ， 0)( 0  xf ，当      0,6 5 xx  时， 0)(  xf ， )(xf 递减， 当 ),( 0 xx 时， 0)(  xf ， )(xf 递增， 0)(6 5max)(              ffxf ， ， )(xf 在      ,6 5 内无零点； 综上， )(xf 恰有两个零点， ………………………………………12 分