考点 04 平面向量
一、单选题
1．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三一模（理））已知向量 a
，b
，满足 1a
， 5b ，且 2a b
r r
，
则 a b （ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】：因为 2a b
r r
，所以
2 22a b
r r ，即 2 2
2 4a a b b ，
所以 2 2
2 4a a b b ，
因为 1a
， 5b ，
所以1 2 5 4a b ，解得 a b 1，
故选：C
2．（2021·河南平顶山市·高三二模（理））在平行四边形 ABCD 中， 2 3AB
uuur
， 4BC
，若点 M ， N
满足 3BM MC ， 2DN NC ，则 AM MN （ ）
A．1 B． 1 C．2 D． 2
【答案】B
【分析】在平行四边形 ABCD 中， 3
4AM AB BM AB BC ，
1 1 1 1
4 3 3 4MN MC CN BC CD AB BC ，
所以 3 1 1
4 3 4AM MN AB BC AB BC
2 21 1 1 3 1 312 16 13 4 4 16 3 16AB AB BC AB BC BC
.
故选：B
3．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）已知直角三角形 ABC 中， 90A ，AB=2，AC=4，点 P 在以
A 为圆心且与边 BC 相切的圆上，则 PB PC 的最大值为（ ）
A．16 16 5
5
B． 16 8 5
5
C． 16
5 D． 56
5
【答案】D
【分析】以 A 为原点建系， 0,2 , 4,0B C ，
: 14 2
x yBC ，即 2 4 0x y ，故圆的半径为 4
5
r ，
∴圆 2 2 16: 5A x y ，设 BC 中点为 2,1D ，
2 22 21 1 20 54 4PB PC PD BC PD PD
，
max
4 95
5 5
PD AD r ，∴ max
81 5655 5PB PC
，
故选：D.
4．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知向量 (1,2)a ， ( 2,1)b ， (5,4)c ，则以向量 a 与 b
为基
底表示向量c 的结果是（ ）
A．13 6
5 5a b B．13 14
3 3a b C． 7 9
2 2a b D．14 13
3 3a b
【答案】A
【分析】设 c xa yb ，则 2 5
2 4
x y
x y
，解得
13
5
6
5
x
y
，所以 13 6
5 5c a b ．
故选：A．
5．（2021·四川成都市·高三二模（理））在 ABC 中，已知 AB AC ， D 为 BC 边中点，点O 在直线 AD
上，且 3BC BO
uuur uuur ，则 BC 边的长度为（ ）
A． 6 B． 2 3 C． 2 6 D．6
【答案】A
【分析】
在 ABC 中， AB AC ， D 为 BC 边中点，
∴ AD BC ，即 Rt BDO△ 中有 cosBD BO OBD ，且
2
BCBD ，
∵ ,BC BO
的夹角为 OBD ，即 | | | | cos 3BC BO BC BO OBD
uuur uuur uuur uuur ，
∴
2
32
BC ，可得 6BC .
故选：A.
6．（2021·全国高三其他模拟（文））已知单位向量 ,a b
满足 2 3b a
，则向量 a
在向量 2b a 方向上的
投影为（ ）
A． 3
2
B． 1
2
C． 1
2 D． 3
2
【答案】A
【分析】 1, 1a b
，所以 2 2 2
2 2 4 4 5 4 3b a b a b a b a a b
解得 1= 2a b
向量 a
在向量 2b a 方向上的投影为 2 1 22 2 32= 23 32
a b a a b a
b a
故选：A.
7．（2021·江西高三其他模拟（文））在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且点 D 满足
2 , 2CD DA BD ，若 1cos 4ABC ，则 2c a 的最大值为（ ）
A．12 5
5
B． 6 5
5
C． 5 D．3 5
【答案】A
【分析】因为 2CD DA ，所以 2BD BC BA BD
，所以 2 1
3 3BD BA BC ，
所以
2
2 2 1
3 3BD BA BC
2 24 1 4 | || | cos9 9 9BA BC BA BC ABC ，
所以 2 2 24 1 4 12 9 9 9 4c a ca ，整理得 2 24 18a c ac ，
所以 2(2 ) 18 3c a ac ，
因为 2 2 2c a c a ，所以 22
8
c aac
，
所以 22 3(2 ) 18 28c a c a ，解得 12 50 2 5c a .
所以 2c a 的最大值为12 5
5
故选：A
8．（2021·福建漳州市·高三月考）已知 ,a b
是平面向量，满足| | 2,| | 1a b ，且 3 2 2b a
，记 a
与b
的夹角为 ，则 cos 的最小值是（ ）
A． 11
16 B． 7
8 C． 15
8
D． 3 15
16
【答案】B
【分析】由 3 2 2b a
得， 2 2 2
3 2 9 4 12 4b a b a a b ，所以
2
1 4
3a b b .
则
23| |1 1 3| |4cos 8| | | | 2 | | 2 | |
b
a b b
a b b b
令函数 1 3( ) 2 8
xf x x
，因为 ( )f x 在 0,1 上单调递减.
又因为 1b ，故当 1b
ur
时， cos 取得最小值，最小值为 7
8 .
故选：B
9．（2021·内蒙古高三月考（文））在直角梯形 ABCD 中， / /AB CD ， AB AD ， 2AB ， 3AD ，
3CAB ，点 F 是线 AB 上的一点，若 2BC CE ， AF AB ，且 17
4AE DF
uuur uuur
，则 （ ）
A． 1
4 B． 1
3
C． 1
2 D． 2
3
【答案】A
【分析】以 D 为原点，DC 为 x 轴，DA 为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示：
由图知， (0, 0)D ， (0, 3)A ， (2, 3)B ， (1, 0)C
设 ( , )E m n ，由 2 ( 1, 3) 2( 1, )BC CE m n
uuur uur ，解得： 1 3,2 2E
设 ( , )F x y ，由 ( , 3) (2, 0)AF AB x y
uuur uuur ，解得： 2 , 3F
1 3 3,2 2AE
uuur
， 2 , 3DF
uuur
1 3 3 9 17, 2 , 32 2 2 4AE DF
uuur uuur
，解得 1
4
故选：A
10．（2021·浙江温州市·高三二模）如图，以O 为圆心，半径为 1 的圆始终内切于四边形 ABCD ，且
/ / ,AD BC AB BC ，则当| |AD 增大时，下列说法错误．．的是（ ）
A．OA OD
uur uuur 单调递减 B．OD OC 恒为定值
C．OC OB 单调递增 D．OA OD OC OB 恒为非负数
【答案】D
【分析】解: 设 ,DE x EC y ，由切线长的性质得： ,EC GC DE DH ，
由于 OH OE OG ，所以 ,OHD OED OEC OGC△ ≌△ △ ≌△ ，
所以 ,HDO EDO ECO GCO ，
由于 180HDO EDO ECO GCO ，
所以 90EDO ECO ，所以 90DOC ，即OD OC ，
所以在直角三角形 DOC 中， 2OE DE EC ，即1 xy ，所以 1y x
，
故以 B 点为坐标原点， BC ， BA 所在直线为 ,x y 轴建立平面直角坐标系，
则 0,0B ， 0,2A ， 1 ,2D x ， 1 ,0C y ， 1,1O ，
所以 1,1OA
uur ， ,1OD x
uuur ， , 1OC y ， 1, 1OB ，
所以当| |AD 增大时， x 也在增大，
1OA OD x
uur uuur ，显然单调递减，满足题意，故 A 选项正确；
1 0OD OC xy ，故 B 选项正确；
11 1OC OB y x
，有反比例函数易知其单调递增，故 C 选项正确；
1 1 2OA OD OC OB x y x y ，由图可知 DE EC GH ，即 2x y ，所以
2 0OA OD OC OB x y ，故 D 选项错误.
故选：D
11．（2021·山东烟台市·高三一模）平行四边形 ABCD 中， 4AB ， 3AD ， 60BAD ，Q 为 CD 中
点，点 Р 在对角线 BD 上，且 BP BD ，若 AP BQ ，则 （ ）
A． 1
4 B． 1
2 C． 2
3 D． 3
4
【答案】A
【分析】以点 A 为坐标原点， AD 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 0,0A 、 2,2 3B 、 5,2 3C 、 3,0D 、 4, 3Q ，
2,2 3AB
， 1, 2 3BD
， , 2 3BP BD
，
所以， 2 ,2 3 2 3AP AB BP
，
2, 3BQ
， AP BQ ，则 2 2 3 2 3 2 3 8 2 0AP BQ
，
因此， 1
4
.
故选：A.
12．（2021·全国高三专题练习（文））如图，在 OMN 中， A 、 B 分别是 OM 、 ON 的中点，若
OP xOA yOB （ x ，y R ），且点 P 落在四边形 ABNM 内（含边界），则 1
2
y
x y
的取值范围是（ ）
A． 1 2,3 3
B． 1 3,3 4
C． 1 3,4 4
D． 1 2,4 3
【答案】C
【解析】：由题意，当 P 在线段 AB 上时， 1x y ，当 P 点在线段 MN 上时， 2x y ，∴当 P 在四边
形 ABNM 内（含边界）时，
1
2
0
0
x y
x y
x
y
（＊），又
1 1
12 11
y
xx y
y
，作出不等式组（＊）表示的可行
域，如图，
1
1
y
x
表示可行域内点 ( , )x y 与 ( 1, 1) P 连线的斜率，由图形知 0 ( 1) 1
2 ( 1) 3PBk ， 2 ( 1) 30 ( 1)PCk ，
即 1 1 33 1
y
x
，∴ 1 1 33 1
x
y
，
1 1 3
14 411
x
y
，
故选 C.
13．（2021·全国高三专题练习（理））设 a ，b
，c 为平面向量， 2a b a b r rr r ，若 2 0c a c b ，
则 c b 的最大值是（ ）
A． 7+ 3 B． 5 32
C．17
4
D． 9
4
【答案】B
【分析】∵ 2a b a b r rr r ，若 a
与 b
的夹角为 知 1cos 2
∴
3
， 令 (2,0), (1, 3)b OB a OA ，设 ( , )c OC x y
而 c b = 2x，故求它的最大值即是求 x 的最大值
故 2 (2 1,2 3)c a x y ， ( 2, )c b x y ，又 2 0c a c b 即 (2 ) ( )c a c b
∴ (2 1)( 2) (2 3) 0x x y y ，即 22 3 (2 1)( 2) 0y y x x
方程有解： 3 8(2 1)( 2) 0x x
解得： 5 2 3 5 2 3
4 4x
∴ c b 的最大值为 5 32
故选：B
14．（2021·全国高三其他模拟）已知向量 a
，b
满足 3a b ， 0a b ，若 (1 ) ( )c a b R
，且
c a c b ，则 c
r
的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． 1
2 D． 3
2
【答案】D
【分析】如图:令 a AM ， b MB AN ，则 a b AM MB AB ，故 3AB
.
因为 0a b ，所以 AM MB ，记 AB 的中点为O ，所以点 M 在以 AB 为直径的圆 O 上.
设 c AC ，连接 MN ，因为 (1 )c a b ，所以点C 在直线 MN 上.
因为 c a c b ，所以 ) 0(c a b ，即 0AC NM ，所以 AC MN .
结合图形可知，当 NM AB 时，| |AC
即 c
r
取得最大值，且
max
3| | 2c AO
.
故选：D
15．（2021·全国高三专题练习）已知 ABC 是边长为 4 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则
( )PA PB PC 的最小值是（ ）
A． 2 B． 3
2
C． 3 D． 6
【答案】D
【分析】建立直角坐标系如图：
则 A（0，2 3 ），B（﹣2，0），C（2，0），
设 P（x，y），则 PA
=（﹣x，2 3 ﹣y），
PB
=（﹣2﹣x，﹣y）， PC
=（2﹣x，﹣y），
所以 PA
•（ PB
+ PC
）=﹣x•（﹣2x）+（2 3 ﹣y）•（﹣2y）
=2x2﹣4 3 y+2y2=2[x2+（y﹣ 3 ）2﹣3]；
所以当 x=0，y= 3 时， PA
•（ PB
+ PC
）取得最小值为 2×（﹣3）=﹣6．
故选：D．
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