专题 2.1 解三角形-常规型
1．对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求
边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定
理，三角形面积公式在解题中的应用．
2．在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
（1）从题目给出的条件，边角关系来选择；
（2）从式子结构来选择．
3．选择“边化角”或“角化边”时，具体变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 a 、b 、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
1．在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 sin sin sin 3a b A B C c b ．
（1）求角 A；
（2）若 ABC 的面积 2 3ABCS △ ，求 a 的取值范围．
【试题来源】广西南宁市 2021 届高三下学期第一次适应性测试
【答案】（1）30 ；（2） 2a
【分析】（1）由正弦定理化角为边可得 2 2 2 3b c a bc ，再利用余弦定理即可求出；
（2）由面积公式可得 8 4 3bc ，再利用基本不等式即可求出．
【解析】（1）由已知结合正弦定理可得 3a b a b c c b ，即 2 2 2 3b c a bc ，
则由余弦定理可得
2 2 2 3 3cos 2 2 2
b c bcA bc bc
a ，
0 ,180A ， 30A ；
（2） 1 1sin 2 32 4ABCS bc A bc △ ，则 8 4 3bc ，
由 2 2 2 3 2 3 4a b c bc bc bc ，当且仅当b c 时等号成立， 2a ．
2．在 ABC 中，
2BAC ，点 D 在边 BC 上，满足 3AB BD ．
（1）若
6BAD ，求 C ；
（2）若 2 , 4CD BD AD ，求 ABC 的面积．
【试题来源】江苏省苏锡常镇四市 2021 届高三下学期 3 月教学情况调研（一）
【答案】（1）
3
；（2）12 2 ．
【分析】（1）在 ABD△ 中，由正弦定理求得 3sin 2BDA ，得到 BDA 的大小，进而
求得 C 的大小；（2）由 3 , 2AB BD CD BD ，得到 3 6,3 3AB BC AC BC ，根
据向量的线性运算，求得 2 1
3 3AD AB AC
uuur uuur uuur
，进而得到 2 2 24 1
9 9AD AB AC ，求得
, ,BC AB AC 的长，利用面积公式，即可求解．
【解析】（1）在 ABD△ 中，由正弦定理得
sin sin
BD AB
BAD BDA
，
所以 sin 36sin 2
AB
BDA BD
，
因为 (0, )BDA ，所以 2
3BDA 或
3BDA ，
当 2
3BDA 时，可得
6B ，可得
3C ；
当
3BDA 时，可得
2B ，因为
2BAC （舍去），
综上可得
3C ．
（2）因为 3 , 2AB BD CD BD ，所以 3 6,3 3AB BC AC BC ，
由 1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ，
所以 2 2 2 2 222 1 4 1 4 4 1( )3 3 9 9 9 9 9AD AB AC AB AC AB AC AB AC ，
即 2 2 24 1
9 9AD AB AC ，
又由 4AD ，可得 2 2 24 3 1 6( ) ( )9 3 9 3 4BC BC ，解得 6 2BC ，
则 2 6, 4 3AB AC ，
所以 1 12 22ABCS AB AC ．
3 ． 在 ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 对 边 的 边 长 分 别 是 a ， b ， c ． 已 知
2 2 2(2sin 3sin ) 4sin sinA B C B ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 1b ， 7c ，求 cos2( )B C 的值．
【试题来源】天津市南开区 2021 届高三下学期一模
【答案】（1）
6
；（2） 11
14
．
【分析】（1）将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C ；（2）利用正弦定
理求出sin B ，再根据b c ，可知 B C ，进而可根据同角三角函数关系，求出 cos B ，再
利用两角差的余弦公式及二倍角公式，即可求出 cos2( )B C ．
【解析】（1）由 2 2 2(2sin 3sin ) 4sin sinA B C B 化简，
得 2 2 2sin sin sin 3sin sinA B C A B ，由正弦定理，得 2 2 2 3a b c ab ，
由余弦定理得
2 2 2 3cos 2 2
a b cC ab
，又 (0, )C ，所以
6C ．
（2）因为 1b ， 7c ，所以由正弦定理
sin sin
b c
B C
，得 sin 7sin 14
b CB c
，
因为b c ，所以 B C ，所以 2 3 21cos 1 sin 14B B ，
所以 cos( ) cos cos sin sinB C B C B C 3 21 3 7 1 5 7
14 2 14 2 14
，
所以
2
2 5 7 11cos2( ) 2cos ( ) 1 2 114 14B C B C
．
【名师点睛】本题在利用同角三角函数求 cos B 时，需要注意利用大边对大角确定角 B 的范
围．
4． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A 为锐角，
2 2
sin cos 2
c aB C ab
．
（1）求 A；
（2）若 3
4b c ，且 BC 边上的高为 2 3 ，求 ABC 的面积．
【试题来源】广东省深圳市 2021 届高三一模
【答案】（1）
6
；（2） 7 3 ．
【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得 A ；（2）由余弦
定理用 c 表示 a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得 c ，从而可计算出面积．
【解析】（1）由
2 2
sin cos 2
c aB C ab
得 2 22 sin 2 cosab B ab C c a ，
由余弦定理得 2 2 2 2 22 sinab B c a b c a ，所以 2 sina B b ，
由正弦定理得 2sin sin sinA B B ， B 是三角形内角，sin 0B ，
所以 1sin 2A ，又 A 为锐角，所以
6A ．
（2）由（1） 2 2 2 2 23 32 cos 2 cos16 4 6a b c bc A c c c c 27
16 c ， 7
4a c ，
所以 1 1sin 2 32 2ABCS bc A a △ ，即 21 3 1 1 7 2 32 4 2 2 4c c ， 4 7c ，
3 214b c ， 1 1 1sin 21 4 7 7 32 2 2ABCS bc A △ ．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进
行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从
而求解．这是一种解题技巧．
5．如图，在 ABC 中， 6AB ， 3cos 4B ，点 D 在 BC 边上， 4AD ， ADB 为锐
角．
（1）若 6 2AC ，求线段 DC 的长度；
（2）若 2BAD DAC ，求sinC 的值．
【试题来源】2021 年浙江省新高考测评卷数学（第七模拟）
【答案】（1）7；（2） 7 14
32
．
【分析】（1）分别在
△
ABD 、
△
ABC 中，由余弦定理求 BD ， BC ，即可求 DC 的长度；
（2）记 DAC ，则 2BAD ，在
△
ABD 中由余弦定理求sin 2 、 sin 、 cos ，
法一：即可求sin3 、cos3 ，由已知求sin B ，又 sin sin 3C B 即可求值；法二：
由余弦定理求 cos BDA ，sin BDA ，又 sin sinC BDA 即可求值．
【解析】（1）在
△
ABD 中，由余弦定理得
2 2 22 36 16 3
12co 2 4s AB BD ADB AB B
BD
D BD
，
所以 5BD 或 4BD ．
当 4BD 时， 16 16 36cos 02 4 4ADB ，则
2ADB ，不合题意，舍去；
当 5BD 时， 16 25 36cos 02 4 5ADB ，则
2ADB ，符合题意．
所以 5BD ．
在
△
ABC 中，
2 2 22 36 72 3
12co 2 4s AB BC ACB AB B
BC
C BC
，
所以 12BC 或 3BC （舍）．
所以 7DC BC BD ．
（2）记 DAC ，则 2BAD ．
在
△
ABD 中，
2 2 2 9cos cos2 2 16
AB AD BDBAD AB AD
，
所以 2 为锐角，得 2 1 cos2 7sin 2 32
， 5 7sin 2 16
，即 14sin 8
， 5 2cos 8
，
法一： 17 14sin3 sin 2 cos cos2 sin 64
，同理 5 2cos3 64
．
由 3cos 4B 知 7sin 4B ，
所以 7 14sin sin 3 sin 3 sin cos3 cos sin3 32C B B B B ．
法二：
2 2 2 16 25 36 1cos 2 2 4 5 8
AD BD ABBDA AD BD
， 3 7sin 8BDA ．
所以 7 14sin sin sin cos cos sin 32C BDA BDA BDA ．
【名师点睛】（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求 DC ；
（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可．
6．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 5, 2, 45b c B ．
（1）求边 BC 的长和三角形 ABC 的面积；
（2）在边 BC 上取一点 D，使得 4cos 5ADBÐ = ，求 tan DAC 的值．
【试题来源】广东省汕头市 2021 届高三一模
【答案】（1） 3BC ； 3
2ABCS ；（2） 2
11
．
【分析】（1）法一： ABC 中，由余弦定理求 BC 的长，应用三角形面积公式求 ABC 的
面积；法二：过 A 作出高交 BC 于 F ，在所得直角三角形中应用勾股定理求 ,BF FC ，即
可求 BC ，由三角形面积公式求 ABC 的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角
函 数 的 关 系 ， 法 一 ： 求 sinC 、 cosC 、 sin ADB 、 cos ADB ， 由
sin sin( )DAC ADB C 结合两角差正弦公式求值即可；法二：求 tanC 、tan ADB ，
再由 tan tan( ( ))DAC ADC C 结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）
法二所作的高，直角
△
AFD 中求sin ADB ，进而求sin ADC ，再根据正弦定理及同角
三角函数关系求值即可．
【解析】（1）法一：在 ABC 中，由 5, 2, 45b c B ，
由余弦定理， 2 2 2 2 cosb a c ac B ，得 2 25 2 2 2 2a a ，
解得 3a 或 1a （舍），
所以 3BC a ， 1 1 2 3sin 3 22 2 2 2ABCS ac B
．
法二：（1）过点 A 作出高交 BC 于 F ，即 ABF 为等腰直角三角形，
2AB Q ， 1AF BF ，同理
△
AFC 为直角三角形，
1, 5AF AC ，
2FC ，故 3BC BF FC ， 1 3| | | |2 2ABCS BC AF ．
（2）在 ABC 中，由正弦定理
sin sin
b c
B C
，即 5 2
sin 45 sinC
，得 5sin 5C ，又
5 2b c ，所以 C 为锐角，
法一：由上， 2 2 5cos 1 sin 5C C ，
由 4cos 5ADBÐ = （ ADB 为锐角），得 2 16 3sin 1 cos 1 25 5ADB ADB ，
sin sin( )DAC ADB C
3 2 5 4 5 2 5sin cos cos sin 5 5 5 5 25ADB C ADB C ，
由图可知 DAC 为锐角，则 2 11 5cos 1 sin 25DAC DAC ，
所以 sin 2tan cos 11
DACDAC DAC
．
法二：由上， 1tan 2C ，由 4cos 5ADBÐ = （ ADB 为锐角），
得 3tan 4ADB ， ADB ADC ，
3tan 4ADC ，故 tan tan( ( ))DAC ADC C
tan( ) tan( )tan( ) 1 tan( ) tan( )
ADC CADC C ADC C
3 1
24 2
3 1 111 4 2
．
法三：
△
AFD 为直角三角形，且 4| | 1,cos 5AF ADB ，
所以 2 16 3sin 1 cos 1 25 5ADB ADB ，
5 4 2 3, cos , , sinsin 3 3 3 5
AFAD DF AD ADB CD ADCADB
，
在 ADC 中，由正弦定理得，
sin sin
CD AC
DAC ADC
，故 2 5sin 25DAC ，
由 图 可 知 DAC 为 锐 角 ， 则 2 11 5cos 1 sin 25DAC DAC ， 所 以
sin 2tan cos 11
DACDAC DAC
．
【名师点睛】（1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积；
（2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值．
7．在 ABC 中， a ，b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边，且 2 2 cosb c a C ．
（1）求 A ；
（2）若 ABC 的面积 4 3ABCS ，求 a 的取值范围．
【试题来源】四川省遂宁等八市联考 2021 届高三第二次诊断考试
【答案】（1） π
3
；（2） 4, ．
【分析】（1）由条件和正弦定理化简得到 2cos sin sin 0A C C ，求得 1cos 2A ，即可
求解；（2）由（1）和三角形的面积公式，求得 16bc ，结合余弦定理和基本不等式，即
可求解．
【解析】（1）因为 2 2 cosb c a C ，
由正弦定理得 2sin sin 2sin cosB C A C ，
又 sin sin π sinB A C A C ，
所以 2 sin cos cos sin sin 2sin cosA C A C C A C ，
所以 2cos sin sin 0A C C ，
因为 0 πC ，所以sin 0C ，所以 1cos 2A ，
因为 0,πA ，所以， π
3A ．
（2）由（1）知 π
3A ，
所以 1 1 π 3sin sin 4 32 2 3 4ABCS bc A bc bc △ ，所以 16bc ，
由余弦定理得 2 2 2 2 2 π2 cos 2 cos 3a b c bc A b c bc
2 2 2 16b c bc bc bc bc ，
当且仅当 4b c 时取等号，所以 2 16a ，
因为 0a ，所以 a 的取值范围是 4, ．
8．已知在
△
ABC 中， 3 sin（A+B）＝1+2sin2
2
C ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，
△
ABC 的外接圆半径为 2，求
△
ABI 周长的
最大值．
【试题来源】黑龙江省 2020-2021 学年高三上学期期末考试
【答案】（1）
3
；（2）4+2 3 ．
【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得 sin（C+ 6
）＝1，再根据角的范
围可得解；（2）利用正弦定理求出 AB ，求出 AIB ，设出 ABI ，将 ,AI BI 用 ABI 表示，
根据三角函数知识求出 AI BI 的最大值可得解．
【解析】（1）因为 3 sin（A+B）＝1+2sin2
2
C ，且 A+B+C＝π，
所以 3 sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即 3 sinC+cosC＝2，所以 sin（C+ 6
）＝1．
因为 C∈（0，π），所以 C+ 6
∈（
6
， 7
6
），所以 C+ 6
＝
2
，即 C＝
3
．
（2）因为△ABC 的外接圆半径为 2，
所以由正弦定理知，
sin
AB
ACB
＝ sin 3
AB
＝2×2＝4，所以 AB＝ 2 3 ，
因为∠ACB＝
3
，所以∠ABC+∠BAC＝ 2
3
，
因为∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，
所以∠ABI+∠BAI＝
3
，所以∠AIB＝ 2
3
，
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝
3
﹣θ，且 0＜θ＜
3
，
在
△
ABI 中，由正弦定理得， sin( )3
BI
＝
sin
AI
＝
sin
AB
AIB
＝
2 3
2sin 3
＝4，
所以 BI＝4sin（
3
﹣θ），AI＝4sinθ，
所以△ABI 的周长为 2 3 +4sin（
3
﹣θ）+4sinθ＝2 3 +4（ 3
2
cosθ﹣ 1
2 sinθ）+4sinθ
＝2 3 +2 3 cosθ+2sinθ＝4sin（θ+
3
）+2 3 ，
因为 0＜θ＜
3
，所以
3
＜θ+
3
＜ 2
3
，
所以当θ+
3
＝
2
，即
6
时，
△
ABI 的周长取得最大值，最大值为 4+2 3 ，
故
△
ABI 的周长的最大值为 4+2 3 ．
【名师点睛】将 ,AI BI 用 ABI 表示，根据三角函数知识求出 AI BI 的最大值是解题关
键．
9 ． ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ． 已 知
sin cos cos sinc A A a C C ．
（1）记 AC 边上的高为 h ，求 b
h ；
（2）若 5c ， 1a ，求b ．
【试题来源】山西省临汾市 2021 届高三一模
【答案】（1）2；（2） 2b ，或 2．
【分析】（1）由正弦定理化边为角后，应用两角和的正弦公式和诱导公式变形后再由正弦定
理化角为边，从而可得结论；（2）由（1）所得角的关系中用正弦定理化角为边求得sinC（用
b 表示），再用余弦定理求出 cosC ，然后由 2 2sin cos 1C C 可求得b 值．
【解析】（1） sin cos cos sinc A A a C C ，
由正弦定理可得 sin sin cos sin cos sinC A A A C C ，
化为 2sin sin sin cos cos sin sin sinC A A C A C A C B ，
所以 2 sinc A b ，
因为 sinh c A ，所以 2sin
b b
h c A
．
（2）由（1）有 2sin sin sinC A B ，
所以 2 sina C b ，即sin 2 2
b bC a
．
由余弦定理可得 2 2 2 2 cosc a b ab C ，
所以 25 1 2 cosb b C ，可得
2 4cos 2
bC b
，
所以
22
22
2 4sin cos 12 2
b bC C b
，
化为 4 26 8 0b b ，解得 2 2b 或 4，解得 2b 或 2．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式与诱导公式．解
三角形问题已知边角关系时常用利用正弦定理进行边角转换，然后由三角恒等变换公式变形
求解或由代数式运算求解．
10． ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 2sin sin 2sin cosA C B C ．
（1）求 B 的大小；
（2）若 3a ，且 AC 边上的中线长为 19
2
，求 ABC 的面积．
【试题来源】湖南省岳阳市 2021 届高三下学期高考一模
【答案】（1） 2
3B ；（2）15 3
4
．
【 分 析 】（ 1 ） 由 已 知 等 式 结 合 三 角 形 内 角 和 定 理 、 两 角 和 的 正 弦 公 式 可 得
2cos sin sin 0B C C ，进而求得 cos B 的值，最后结合 B 的范围，可求出 B；（2）由（1）
知 2 2 2 2 3 9b a c ac c c ，取 AC 的中点 D，连接 BD，在 CBD 和 ABC 中，利
用余弦定理可得
2
2 2 199 2 9 4 4
bb c
，从而联立方程求出 c，最后由三角形面积公
式计算可得结果．
【解析】（1）因为 2sin sin 2sin cosA C B C ，
所以 2sin sin 2sin cosB C C B C ，
可得 2sin cos 2cos sin sin 2sin cosB C B C C B C ，
所以 2cos sin sin 0B C C ，
因为sin 0C ，所以 2cos 1 0B ，可得 1cos 2B ，
因为 0,B ，所以 2
3B ；
（2）由 2
3B ，可得 2 2 2 2 3 9b a c ac c c ，①
在 ABC 中，取 AC 的中点 D，连接 BD，
因为 3a ， 19
2BD ，所以在 CBD 中，
2
2 2 2
199 4 4cos 2
b
BC CD BDC BC CD ab
，
在 ABC 中，
2 2 2 2 29cos 2 2
BC AC AB b cC BC AC ab
，
所以
2
2 2 199 2 9 4 4
bb c
，②
把①代入②，化简可得 2 3 10 0c c ，解得 5c ，或 2c （舍去），
所以 5c ，所以 ABC 的面积 1 1 2 15 3sin 3 5 sin2 2 3 4S ac B ．
【名师点睛】对于第二问，先由余弦定理得出 2 2 2 2 3 9b a c ac c c ，再分别在
CBD 和 ABC 中利用余弦定理计算可得
2
2 2 199 2 9 4 4
bb c
，从而联立方程求
出 c，最后求出三角形的面积．
11 ． 已 知 ABC 的 内 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c ， 若 向 量 1, 2m a
，
,cosn a B ，且 m n
（1）求角 B
（2）若 2 2, 2 3b a ，求角 A
【试题来源】吉林省吉林市普通中学 2020-2021 学年高三第三次调研测试试试题
【答案】（1） = 4B ；（2） = 3A 或 2
3
．
【分析】（1）由 m n ，得到 2cos 2B ，根据 0,B ，求出 B 的值；
（2）在 ABC 中，利用正弦定理求出 sin A ，根据 30, 4A
，求出 A 的值．
【解析】（1）因为向量 1, 2m a
， ,cosn a B ，且 m n ，
所以 = 2 cos 0m n a a B
，
因为 0a ，所以 2cos 2B ，因为 0,B ，所以 = 4B ．
（2）在 ABC 中， = 4B ， 2 2, 2 3b a ，由正弦定理得
sin sin
a b
A B
，
所以 sin 2 3 2 3sin = =2 22 2
a BA b
因为 π
4B ，所以 30, 4A
，所以 = 3A 或 2
3
．
12．在 ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 2 sina b A ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若角 B 为钝角，且 2 7b ， 3a c ，求 c 和sin2C 的值．
【试题来源】天津市部分区 2021 届高三下学期质量调查（一）
【答案】（1）
6B 或 5
6B （2） 2c ， 3 3sin 2 14C
【分析】（1）根据正弦定理边化角可得 1sin 2B ，再根据 0 B 可求得结果；
（2）根据余弦定理求出 2c ， 2 3a ，cosC 3 21
14
，根据同角公式求出 7sin 14C ，
再根据二倍角的正弦公式可求得结果．
【解析】（1）由 2 sina b A 以及正弦定理得sin 2sin sinA B A ，
因为 0 A ，所以sin 0A ，所以 1sin 2B ，
因为 0 B ，所以
6B 或 5
6B ．
（2）因为角 B 为钝角，所以 5
6B ，
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
所以 2 2 2 328 3 2 3 ( )2c c c ，
所以 2 4c ，所以 2c ， 2 3a ，
所以
2 2 2 12 28 4cos 2 2 2 3 2 7
a b cC ab
3 21
14
，
所以
2
3 21sin 1 14C
7
14
，
所以 7 3 21 3 3sin 2 2sin cos 2 14 14 14C C C ．
综上所述： 2c ， 3 3sin 2 14C ．
13． ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 a ，b ， c 成等差数列．
（1）若
3A ，求 B ；
（2）求 B 的取值范围．
【试题来源】湖南省衡阳市 2021 届高三下学期一模
【答案】（1）
3B ；（2） 0 3B ．
【分析】（1）由等差数列得 2b a c ，由正弦定理化边为角，利用
3A 得 2
3C B ，
代入可求得 B 角；（2）由余弦定理表示出 cos B ，代入
2
a cb ，用基本不等式得 cos B 的
范围，从而得 B 角范围．
【解析】（1） a ，b ， c 成等差数列，所以 2b a c 所以 2sin sin sinB A C ，
当
3A 时， 2sin sin sin3B C ，即 22sin sin sin3 3B B
3 3 1cos sin2 2 2B B ， 3 1 1sin cos2 2 2B B ，
所以 1sin 6 2B
而 20 3B ，所以
6 6 2B ，
所以
6 6B ，所以
3B
（2）由余弦定理及 2b a c ，
2
2 2
3 1 12cos 2 8 4 2
a ca c c aB ac a c
≥ ，
当 a c 时取等号．结合余弦函数的单调性可知 0 3B ．
【名师点睛】本题考查用正弦定理进行边角转换，用余弦定理求得角的范围．解题时，由等
差数列得边的关系，在求角的问题中，利用正弦定理化边为角，然后利用三角函数恒等变换
公式变形求解．而在求范围时利用余弦定理求出 cos B ，代入已知条件化三元为二元，然后
由基本不等式得不等关系，从而可求范围．
14．已知 ABC 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 22 cos 2 cosa B b A c ．
（1）求 c 的值；
（2）若
3C ， 2 2a b ，求 ABC 的面积．
【试题来源】安徽省合肥市 2021 届高三下学期第二次教学质量检测
【答案】（1）2；（2） 3
3
．
【分析】（1）由正弦定理化边为角后利用两角和的正弦公式和诱导公式可得 c ；
（2）由余弦定理得出 ,a b 关系，结合已知可得 ab ，从而得三角形面积．
【解析】（1）因为 22 cos 2 cosa B b A c ，
所以由正弦定理得 2sin cos 2sin cos sinA B B A c C ，
即 2sin( ) 2sin sinA B C c C ，
又C 是三角形内角，sin 0C ，所以 2c ；
（2）由余弦定理得 2 2 22 cosa b ab C c ，
即 2 2 4a b ab ， 2( ) 3 4a b ab ，
而 2 2a b ，所以 4
3ab ，
1 1 4 3 3sin2 2 3 2 3ABCS ab C
．
【名师点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式．在出现边角混合式子中
常常利用正弦定理进行边角转化，化边为角后利用三角恒等变换公式进行变形求得三角形的
元素，化角为边后可利用代数式恒等变换得出边的关系或值．
15 ． 在 ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
sin sin sin sin b C a A b B c C ．
（1）求 A ；
（2）设 D 是线段 BC 的中点，若 2c ， 13AD ，求 a ．
【试题来源】天一大联考 2020-2021 学年高中毕业班阶段测试五
【答案】（1）
3
；（2） 2 7 ．
【分析】（1）正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得 A 角；
（2）用 ,AB AC
表示出中线向量 AD
，平方后利用数量积运算求得b ，再由余弦定理求得 a ．
【解析】（1）因为 sin sin sin sinb C a A b B c C ，
由正弦定理可得 2 2 2bc b c a ，
由余弦定理可得 2 2 2 2 cosbc b c a bc A ，则 1cos 2A ．
又 (0, )A ，
3A ．
（2）因为 D 是线段 BC 的中点，所以 1 ( )2AD AB AC ，
所以 2 22 21 1( ) 2 cos4 4AD AB AC AB AC AB AC BAC ，
将 AB c
， AC b
，
3BAC 代入整理得 2 2 48 0b b ，
解得 6b ( 8b 舍去)，由余弦定理得 2 2 2 2 cos 28a b c bc BAC ．
所以 2 7a ．
【名师点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查平面向量的线性运算与数量积．在出现边
角混合关系时常常利用正弦定理进行边角互化，化边为角后利用三角恒等变换公式求得角，
或者化角为边后利用代数式运算求得边或用余弦定理求得角．有出现与中线有关的线段长时，
用向量表示中线然后转化为数量积的运算不失为一种好方法，可以避免作辅助线进行计算．
16．如图，在四边形 ABCD 中， //AB CD ， 2 6AB ， 6CD ， 6cos 3A ，
1cos 3ADB ．
（1）求 cos BDC ；
（2）求 BC 的长．
【试题来源】北京市海淀区 2021 届高三期中
【答案】（1） 6
9
；（2） 11 ．
【 分 析 】（ 1 ） 计 算 出 sin A 、 sin ADB ， 利 用 两 角 和 的 余 弦 公 式 可 求 得
cos cosBDC ABD 的值；（2）在 ABD△ 中，利用正弦定理可求出 BD 的长，然后在
BCD△ 中利用余弦定理可求得 BC 的长．
【解析】（1）因为 6cos 3A ， 1cos 3ADB ，则 A 、 ADB 均为锐角，
所以， 2 3sin 1 cos 3A A ， 2 2 2sin 1 cos 3ADB ADB ，
cos cos cos sin sin cos cosABD A ADB A ADB A ADB A ADB
3 2 2 6 1 6
3 3 3 3 9
，
//AB CDQ ，则 BDC ABD ，因此， 6cos cos 9BDC ABD ；
（2）在 ABD△ 中，由正弦定理可得
sin sin
AB BD
ADB A
，
可得
32 6sin 3 3sin 2 2
3
AB ABD ADB
，
在 BCD△ 中，由余弦定理可得
2 2 2 62 cos 9 6 2 3 6 119BC BD CD BD CD BDC ，
因此， 11BC ．
17．如图，在平面四边形 ABCD 中， 1AD ， 7BD ， 2
3
πBAD ．
（1）求边 AB 的长；
（2）若
3CBD ， BC BD ，求 ABC 的面积．
【试题来源】安徽省示范高中皖北协作区 2021 届高三下学期第 23 届联考
【答案】（1） 2 ；（2） 3 3
2
．
【分析】（1）在 ABD△ 中，利用余弦定理可得关于 AB 的方程，进而可解得边 AB 的长；
（2）分析出 BCD△ 为等边三角形，可得出 BC ，在 ABD△ 中，利用正弦定理求出
sin ABD ，进一步求出 cos ABD ，利用两角和的正弦公式求出sin ABC ，进而利用三
角形的面积公式可求得 ABC 的面积．
【解析】（1）在 ABD△ 中， 1AD ， 7BD ， 2
3
πBAD ，
由余弦定理得 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD BAD ，
即 2 17 1 2 2AB AB
，即 2 6 0AB AB ，
0AB ，解得 2AB ；
（2）在 ABD△ 中，由正弦定理得
1 7
2sin sin 3
ABD ，解得 21sin 14ABD ．
因为 2
3
πBAD ，所以 ABD 为锐角，所以 2 5 7cos 1 sin 14ABD ABD ，
因为
3CBD ， BC BD ，则 BCD△ 为等边三角形，则 7BC BD ，
所以sin sin sin cos cos sin3 3 3ABC ABD ABD ABD
3 5 7 1 21 3 21
2 14 2 14 14
，
所以 ABC 的面积为 1 1 3 21 3 3sin 2 72 2 14 2ABCS AB BC ABC △ ．
【名师点睛】已知三角形的两边及一角解三角形的方法：
先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解思路有两种：
（1）利用余弦定理求出其它角；
（2）利用正弦定理（已知两边和其中一边的对角）求解．
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题（在 0, 上，
余弦值所对的角是唯一的），故用余弦定理较好．
18． ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 ( 3 cos ) cos A c a C ．
（1）求 c
b
；
（2）若 cos 2
cA b
，且 ABC 的面积为 9 11
4
，求 a 及sin 2 3A
．
【试题来源】 2021 届高三下学期第四次月考
【答案】（1） 3
3
；（2）3 3 ， 11 5 3
12
．
【分析】（1）先根据正弦定理将原式化简，由此得到sin ,sinB C 的倍数关系，再结合正弦
定理即可得到 c
b
的值；（2）先根据（1）的结果求解出 cos A的值，然后结合两角和的正弦
公式和二倍角公式求解出sin 2 3A
的值，再根据三角形的面积公式 1 sin2S bc A 求解
出 ,b c 的值，结合余弦定理可求解出 a 的值．
【解析】（1）因为 ( 3 cos ) cos A c a C ，
所以由正弦定理可得 3sin cos sin sin cosC A C A C ，
即 3sin sin cos sin cos sin( )C C A A C A C ，
而 sin sin sinA C B B ，所以 3c b ，故 3
3
c
b
．
（2）由（1）知 3cos 6A ，则 33sin 6A ，
所以
2 2
3 33 11 33 3 5sin 2 2 ,cos26 6 6 6 6 6A A
，
所以 1 3 1 11 3 5 11 5 3sin 2 sin 2 cos23 2 2 2 6 2 6 12A A A
；
又 ABC 的面积为 21 11 9 11sin2 4 4S bc A c ，则 3c ， 3 3b ，
由余弦定理得 2 2 2 32 cos 27 9 2 3 3 3 276a b c bc A ，解得 3 3a ．
【名师点睛】利用正、余弦定理解三角形的注意事项：
（1）注意隐含条件“ A B C ”的使用；
（2）利用正弦定理进行边角互化时，要注意结合条件判断将边转化为角的形式还是将角转
化为边的形式．
19．已知 a ，b ， c 分别为 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边， 4 sin 8 sinb A b B ．
（1）若 1a ， 30B ，求 cos A；
（2）已知 60C ，求 ABC 的面积最大时的周长，
【试题来源】三省三校“3 3 3”2021 届高考备考诊断性联考卷（二）
【答案】（1） 3 7
8
；（2）5 13 ．
【分析】（1）根据 4 sin 8 sinb A b B ，利用正弦定理得到 4 8ba b b ，再结合 1a
求得 b，再利用正弦定理求得 sin A 即可；
（2）由（1）知8 4a b ，利用基本不等式求得 a，b，再利用余弦定理求得 c 即可．
【解析】（1）因为 4 sin 8 sinb A b B ，
由正弦定理得 4 8ba b b ，即 4 8a b ，
因为 1a ，所以 4b ．
由正弦定理 1 4
sin sin30A
，解得 1sin 8A ，
又 a b ，所以 A B ，所以 0 30A ，
所以 2 3 7cos 1 sin 8A A ．
（2）因为8 4 2 4 4a b ab ab ，所以 4ab ，
所以 1 1 πsin 4 sin 32 2 3ABCS ab C △ ．
当且仅当 4a b ，即 1a ， 4b 时，等号成立．
此时 2 2 24 1 2 4 1 cos60 13c ，即 13c ，
所以 ABC 的周长为5 13 ．
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理
都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，
要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．解题中注意三角形内角和定理的应
用及角的范围限制．
20．在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且满足 cos 2
a cC b b
（1）求角 B ；
（2）若 ABC 外接圆的半径为 3 ，且 AC 边上的中线长为 17
2
，求 ABC 的面积
【试题来源】四省名校 2021 届高三第三次大联考
【答案】（1）
3
；（2） 3 ．
【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式即可得解；
（2）由正弦定理得 3b ，利用 D 为中点，结合向量的加法法则得 2BD BA BC
uuur uur uuur ，从而
得到 2 217 c a ac ，再结合余弦定理得 4ac ，进而求得三角形面积．
【解析】（1）由 cos 2
a cC b b
，得 2 cos 2b C a c ．
利用正弦定理得 2sin cos 2sin sinB C A C ，
即 2sin cos 2sin sinB C B C C ，化简得 sin 2sin cosC C B ．
0,C ， 0sinC ， 1cos 2B ．
又 0,B ，
3B ．
（2）由正弦定理得 2 3 3sin
b bB
．
设 D 为 AC 边上的中点，则 3 17,2 2AD BD ，
利用向量加法法则得 2BD BA BC
uuur uur uuur
两边平方得 2 2 2
4 2BD BA BC BA BC ，即 2 217 c a ac
由余弦定理 2 2 2 2 cosb c a ac B ，即 2 29 c a ac ，
两式相减得8 2ac ，即 4ac ．
由三角形面积公式得 1 sin 32ABCS ac B ．
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