专题 2.2 解三角形-结构不良型
对于此类试题，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序，用正弦定理
进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是让边角分离，便于求解．
1．已知 a，b，c 分别是 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 3 sin cosa C c A c ．
（1）求 A；
（2）在① ABC 的周长为 6 2 3 ，② ABC 的面积为 3 ，③ 1 3
cos 2
c
B
，这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 B 的值；若问题中的三角
形不存在，说明理由．
问题：已知 2b ，______?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】 2021 届高三下学期英才大联考
【答案】（1）
3A ；（2）选①，
6B ；选②，
3B ；选③，三角形不存在，
【分析】（1）首先利用正弦定理可得 3sin cos 1A A ，再根据二倍角的正弦、余弦公
式即可求解．（2）根据题意选择条件，分别利用正弦定理、三角形的面积公式以及余弦定理
进行求解即可．
【解析】（1）在 ABC 中， 3 sin cosa C c A c ，
由正弦定理可得 3sin sin sin cos sinA C C A C ，
sin 0C ，则 3sin cos 1A A ，
即 22 3sin cos 2cos2 2 2
A A A ，由 0,2 2
A
，
则 3sin cos2 2
A A ，所以 3tan 2 3
A ，
所以
2 6
A ，解得
3A ．
（2）选① ABC 的周长为 6 2 3 ， 由 2b ，则 4 2 3a c ，
又
4 2 3
sin sin sin sin sin 3 sin2
a b c a c
A B C A C C
，
3sin sin 2
c cC Aa a
，所以
4 2 3
3 3 sin2 2
a
C
，
4 2 3
3 3 3
2 2 2
a
c
a
，解得 4 2 3a c ，（1）
又 2 2 2 22 cos 4 2a b c bc A c c ，（2）
由（1）（2）可得 2 3a ， 4c ，
2 3 2
sin sin sin3
2
a b
A B B
，解得 1sin 2B ，
由因为 a b ，所以
6B ．
选②， ABC 的面积为 3 ， 2b ，
3A ，
则 1 3sin 32 2ABCS bc A c
，解得 2c ，
所以 ABC 为等边三角形，所以
3B ．
选③， 1 3
cos 2
c
B
，
3A ， 2b ，
由余弦定理可得
2 2 2 2 23 41 32 2 4
a c b a cc ac ac
，（3）
又 2 2 2 22 cos 4 2a b c bc A c c ，（iv）
由（3）（iv）联立，无解，三角形不存在．
2．已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且
4B ．
（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求 sin A 的值；
① 5b ， 2c ；② 3a ， 2c ．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
（2）若 5b ， 3a c ，求 ABC 的面积．
【试题来源】黑龙江省大庆市 2021 届高三第一次教学质量检测（文）
【答案】（1） 3 10
10
；（2） 2 1
【分析】（1）选择条件①，由余弦定理求出 3a ，再由正弦定理即可求出；选择条件②，
由余弦定理求出 5b ，再由正弦定理即可求出；（2）由余弦定理结合已知条件可求出
4 2 2ac ，再由面积公式即可求出．
【解析】（1）选择条件①
由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B 得 2 2 3 0a a ，解得 3a ．
由正弦定理
sin sin
b a
B A
得 sin 3 10sin 10
a BA b
．
选择条件②
由余弦定理 2 2 2 2 cos 5b a c ac B 得 5b ．
由正弦定理
sin sin
b a
B A
得 sin 3 10sin 10
a BA b
．
（2）由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B 得 2 25 2a c ac ，
所以 25 ( ) (2 2) 9 (2 2)a c ac ac ，
得 4 2 2ac ． 所以 1 sin 2 12ABCS ac B ．
3．在① 2 2 2b c a bc ；② 4AB AC ；③ 2sin 2 2cos 12 2
AA
这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，求 ABC 的面积．问题：已知 ABC 中，角 A ， B ，C
所对的边分别为 a ， b ， c ，且 sin 2sinC B ， 2b ， ？注：如果选择多个
条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】华大新高考联盟 2021 届高三下学期 3 月教学质量测评
【答案】答案见解析
【分析】利用边角互化可得 2 4c b ，选①：利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求
解；选②：利用向量数量积的定义可得 1cos 2A ，从而可得
3A ，再利用三角形的面积
公式即可求解；选③：利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得 1cos 2A ，从而可得
3A ，
再利用三角形的面积公式即可求解．
【解析】因为sin 2sinC B ， 2b ，所以 2 4c b ，
选①：因为 2 2 2b c a bc ，所以
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，
因为 0,A ，所以
3A ．
所以 ABC 的面积 1 1 3sin 2 4 2 32 2 2S bc A ．
选②：若 4AB AC ，故 cos 4AB AC A
，
则 1cos 2A ，故
3A ，
所以 ABC 的面积 1 1 3sin 2 4 2 32 2 2S bc A ．
选③：若 2sin 2 2cos 12 2
AA
，则 cos2 cos 0A A ，
故 22cos cos 1 0A A ，解得 1cos 2A （ cos 1A 舍去），故
3A ．
所以 ABC 的面积 1 1 3sin 2 4 2 32 2 2S bc A ．
4．在 ① sin cos 6a A C b A
；② 1 2cos cos cos cosC B C B C B ；
③ 2tan
tan tan
B b
A B c
这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答．
问题：在 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2 3, 6b c a ， 求
ABC 的面积．
【试题来源】山东省临沂市沂水一中 2021 届高三 二轮复习联考（一）
【答案】条件性选择见解析， 3
2
【分析】选①，由正弦定理得 sin sin sin cos 6A B B A
，进而可得
3A ，再由余
弦定理可得 2bc ，即可得出面积．
选②，由两角和差的余弦公式，可得
3A ，再由余弦定理可得 2bc ，即可得出面积．
选③，切化弦可得
3A ，再由余弦定理可得 2bc ，即可得出面积．
【解析】选①，由正弦定理得sin sin sin cos 6A B B A
，
因为 0 B ，所以sin 0B ，
所以sin cos 6A A
，化简得 3 1sin cos sin2 2A A A ，
所以 cos 06A
，因为 0 A ，所以
3A ，
因为 2 2 2 22 cos =( ) 2 2 cos , 6, 2 33 3a b c bc b c bc bc a b c ，
所以 2bc ，
所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A
；
选②因为 1 2cos cos cos cosC B C B C B ，
所以 1 cos cos 2cos cos 1 2cos 1 2cos 0C B C B C B C B A ，
所以 1cos 2A ，因为C 为三角形的内角，所以
3A ，
因为 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos , 6, 2 33 3a b c bc b c bc bc a b c ，
所以 2bc ，所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A
；
选③因为 2tan
tan tan
B b
A B c
，
所以由正弦定理可得 2tan sin
tan tan sin
B B
A B C
，可得
sin2 sincos
sin sin sin
cos cos
B
BB
A B C
A B
，
可得
2sin 2sin
2sin cos sincos cos
sin cos sin cos sin sin sin
cos cos cos cos
B B
B A BB B
A B B A C C C
A B A B
，
因为sin 0,sin 0B C ，所以解得 1cos 2A ，
因为 0,A ，所以
3A ，
因为 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos , 6, 2 33 3a b c bc b c bc bc a b c ，
所以 2bc ，所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A
．
5．已知函数 2( ) sin( )cos cos 4f x x x x
．
（1）求 ( )f x 的单调递增区间；
（2）若对 , ,2 4 2 4 2 4
A B Cx
，恒有 1( ) 02f x 成立，且 ，求
△
ABC
面积的最大值．
在下列四个条件中，任选 2 个补充到上面问题中，并完成求解．其中 , ,a b c 为
△
ABC 的三个
内角 , ,A B C 所对的边．①△ABC 的外接圆直径为 4；② a 是直线 2 3 0x y 截圆 O：
2 2 4x y 所得的弦长；③ sin sin sina A b B c C ；④ 3sin cos 3A A ．
【试题来源】湖北省部分重点中学 2020-2021 学年高三上学期期末联考
【答案】（1） π πkπ, kπ4 4 k Z
；（2） 2 3
【分析】（1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数的解析表达式，然后根据三角函
数的性质，利用整体代换法求得其单调递增区间；（2）由已知不等式，判定该三角形为锐角
三角形，分析其余四个条件，发现只有 ①②③ 是可能的，做出一定选择后，利用正余弦定
理和三角形的面积公式，结合基本不等式求得三角形的面积的最大值．
【解析】（1） 1 cos 2 12( ) sin cos sin 22 2
x
f x x x x
，
令 π π2 π 2 2 π, Z2 2k x k k ，解得 π ππ x π, Z4 4k k k ，
所以 ( )f x 的单调递增区间为 π ππ, π4 4k k k Z
；
（ 2 ） 因 为 , ,2 4 2 4 2 4
A B Cx
， 所 以 3π2 ,2 2x
， 由 1( ) 02f x 得
sin 2 0x ，
π π2 π, ,2 2x A A ，同理 ,2 2B C ，即
△
ABC 为锐角三角形，
③中 sin sin sina A b B c C ，利用正弦定理角化边得到 2 2 2a b c ，故 C 为直角，与
条件矛盾；
②中圆心到直线的距离 3 3
2 1
d
，故弦长 2 4 3 2a ，
④中由 3sin cos 3A A 得 π 3sin A 6 2
，又 A 为锐角，所以
6A ，
选择①②， 2 4, 2,2 sinR a R A a ，得 14sin 2,sin 2A A ，
选择①④， 2 4R ，
6A ，得 2 sin 2a R A ，
选择②④，即 2, 6a A ，
由余弦定理得 2 2 22 cos 46b c bc a ，
所以 2 2 3 4 2 3b c bc bc ，
所以bc 最大值为 4 4 2 3
2 3
，当且仅当 b c 时取等号，
所以三角形 ABC 的面积为 1 1sin2 4S bc A bc ，最大值为 2 3 ．
【名师点睛】本题关键是要逆用正余弦的二倍角公式化简，综合使用正余弦定理进行分析，
利用三角形的面积公式，基本不等式，余弦定理综合使用求三角形面积最大值问题时常用的
方法，应当熟练掌握．
6．① 3 cos 2 2sin cos2 2
B BB ，② 3 cosbsinC c B ，③ 2 3b a b a c ac
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：已知 ABC 的三边 a ，b ，c 所对的角分别为 A，B ，C ，若 4a ， 3c b ______，
求 ABC 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】江苏省 G4（、常州中学、、）2020-2021 学年高三
上学期期末联考
【答案】答案见解析．
【分析】选①根据二倍角公式以及辅助角公式化简整理，可得
6B ；选②利用正弦定理
边角互化，整理可得
6B ；选③利用余弦定理可知
6B ；由根据正弦定理可求得
3C
或 2
3C ，分情况求得三角形面积．
【解析】选①：由 3 cos 2 2sin cos2 2
B BB 得sin 3 cos 2B B ，
即sin 13B
，因为 0,B ，所以
6B ．
选②：由正弦定理得得 3sin sin sin cosB C C B ，因为sin 0C ，
所以 3sin cosB B ．
因为 cos 0B ，所以 3tan 3B ．因为 0,B ，所以
6B ．
选③：由题意得 2 2 2 3c a b ac ，得
2 2 2 3 3cos 2 2 2
a c b acB ac ac
．
因为 0,B ，所以
6B ．
因为 sin 3sin
C c
B b
，所以 1 3sin 3sin 3 2 2C B ．
由 0,C ，所以
3C 或 2
3C ．
当
3C 时，
2A ，因为 4a ，所以 2b ， 2 3c ．
则面积 1 2 2 3 2 32S ．
当 2
3C 时，
6A ，所以 A B ．因为 4a ，所以 4b ．
则面积 1 34 4 4 32 2S ．
综上所述， ABC 的面积为 2 3 或 4 3 ．
【名师点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实
现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间
的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数
思想求最值．
7．在① πsin sin 3a C c A
，② 3cos sin3b a C c A ，③ cos cos 2 cosa B b A c A ．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ABC 外接圆面积为 4 π3
，
sin 2sinB C ，且______，求 ABC 的面积．
【试题来源】山东省德州市 2021 届高三一模
【答案】 2 3
3
【分析】先通过选的条件计算出角 A ，再根据 ABC 外接圆面积求出半径，然后利用正弦
定理算出 a ，再根据sin 2sinB C ，得到边的关系，结合余弦定理算出三角形的边，最后
利用面积公式即可获解．
【解析】若选①：因为 πsin sin 3a C c A
，
在 ABC 中，由正弦定理得 πsin sin sin sin 3A C C A
，
因为 0 πC ，所以sin 0C ，
所以 π 1 3sin sin sin cos3 2 2A A A A
，
即 1 3sin cos2 2A A ，所以 tan 3A ，
因为 0 πA ，所以 π
3A ，
因为 ABC 外接圆面积为 4 π3
，所以半径 2 3
3r ，
由 2sin
a rA
得 2 3 32 23 2a ，
又sin 2sinB C ，所以 2b c ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A 得 2 2 24 4 2cc c ，
解得 2 4
3c ，即 2 3
3c ， 4 3
3b ，
所以 1 1 4 3 2 3 3 2 3sin2 2 3 3 2 3ABCS bc A △ ．
若选②：由正弦定理得 3sin sin cos sin sin3B A C C A ，
3sin sin cos sin sin3A C A C C A ，
3sin cos cos sin sin cos sin sin3A C A C A C C A ，
化简得 3cos sin sin sin3A C C A ，
因为 0 πC ，所以sin 0C ，所以 tan 3A ，
因为 0 πA ，所以 π
3A ．
其余步骤同①．
若选③：由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A ，
所以 sin 2sin cosA B C A ，所以sin 2sin cosC C A ，
因为 0 πC ，所以sin 0C ，所以 1cos 2A ，
因为 0 πA ，所以 π
3A ．
其余步骤同①．
8．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．请在① cos 3 sinb b C c B ；
② 2 cos cosb a C c A ；③ 2 2 2 4 3
3 ABCa b c S
这三个条件中任选一个，完成下
列问题
（1）求角 C ；
（2）若 5a ， 7c ，延长CB 到点 D ，使 21cos 7ADC ，求线段 BD 的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】山东省聊城市第一中学 2021 届高三一模检测题（一）
【答案】（1）条件选择见解析，
3C ；（2） 5BD ．
【分析】（1）利用所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式，化简条件等式，
结合三角形内角的性质，求角C ；
（2）由正余弦定理，结合诱导公式及两角和正弦公式求 CD ，进而求 BD 的长度．
【解析】（1）若选①：因为 cos 3 sinb b C c B ，
所以sin sin cos 3sin sinB B C C B ，又sin 0B ，
所以1 cos 3sinC C ，即 1sin 6 2C
，又 0 C ，
所以 5
6 6 6C ，即
6 6C ，故
3C ．
若选②：因为 2 cos cosb a C c A ，
所以 2sin sin cos sin cosB A C C A ，
即 2sin cos sin cos sin cos sin sinB C A C C A A C B ，
又sin 0B ，所以 1cos 2C ，又 0 C ，
所以
3C ，
若选③：由 2 2 2 4 3
3 ABCa b c S
，则有 4 3 12 cos sin3 2ab C ab C ，
所以 tan 3C ，又 0 C ，所以
3C ．
（2） ABC 中，由余弦定理： 2 25 2 5 cos 493AC AC ，
得 8AC 或 3AC (舍)，
由 21cos 7ADC ，可得 2 7sin 7ADC ，
△
ACD 中，
3 21 1 2 7 5 7sin sin sin 2 7 2 7 14CAD C ADC C ADC ，
由正弦定理得
sin sin
CD AC
CAD ADC
，即
8
5 7 2 7
14 7
CD ，解得 10CD ，
所以 5BD CD BC ．
【名师点睛】（1）根据所选条件，应用正余弦定理的边角关系、三角形性质求角；
（2）利用正余弦定理及三角恒等变换求边长．
9．在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边．若 2 72,cos 7b c C ，再从条件①
与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题：
（1）求 ,b c 的值；
（2）求角 A 的值及 ABC 的面积．
条件①： 7cos cos 14a B b A ac ；条件②： 72 cos 2 7b C a c ．
【试题来源】山西省 2021 届高三一模（理）
【答案】（1） 6, 4b c ； （2）
3A ， 6 3S ．
【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得 2 7a ，利用余弦定理和 2b c ，即可求解；
选用条件②：由正弦定理求得 7cos 14B ，得出 3 21sin 14B ，再由 2 7cos 7C ，求得
得 21sin 7C ，结合正弦定理，即可求解；（2）由余弦定理求得 A 的值，结合面积公式，
即可求解．
【解析】（1）选用条件①：因为 7cos cos 14a B b A ac ，
由正弦定理得 7sin cos sin cos sin14A B B A a C ，可得 7sin sin14C a C ，
因为 (0, )C ，所以sin 0C ，可得 2 7a ，
又由 2 7cos 7C ，由余弦定理得
2 2 2 2 7
2 7
a b c
ab
，
将 2b c 代入上式，解得 6, 4b c ．
选用条件②：因为 72 cos 2 7b C a c ，
由正弦定理得 72sin cos 2sin sin7B C A C 72sin( ) sin7B C C
72(sin cos cos sin ) sin7B C B C C
即 72cos sin sin 07B C C ，
因为 (0, )C ，所以sin 0C ，可得 7cos 14B ，则 3 21sin 14B ，
又由 2 7cos 7C ，可得 2 21sin 1 cos 7C C= - =
由正弦定理
sin sin
b c
B C
，得 sin 3
sin 2
b B
c C
，
又由 2b c ，可得 6, 4b c ．
（2）由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，
因为 0 A ，所以
3A ．
所以 ABC 的面积为 1 1 3sin 6 4 6 32 2 2S bc A ．
【名师点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的
关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角
形面积公式在解题中的应用．
10．在锐角 ABC 中，角 A B C， ， 的对边分別为 a b c， ， ，且 3 2 sin 0c b C ．
（1）求角 B 的大小；
（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 ABC 的面积．
条件① 3 3 2b a ， ；条件②： 2 4a A ， ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京平谷区 2021 届高三数学一模试题
【答案】（1）
3B ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理边角互化得 3sin 2sin sin 0C B C ，进而得 3sin = 2B ，再
结合锐角三角形即可得答案；
（2）条件①，结合（1）和余弦定理得 2 2 23 0 c c ，解方程得 1 2 6 c ，进而根
据三角形面积公式计算即可；
条件②，结合（1）与正弦定理得 6b ，再结合内角和定理和正弦的和角公式得
6 2sin 4C ，进而根据三角形的面积公式求解．
【解析】解（1）因为 3 2 sin =0c b C ，由正弦定理 3sin 2sin sin 0C B C ．
因为 0, ,sin 02C C
，所以 3sin = 2B ．
因为 0, 2B
，所以
3B ．
（2）条件①： 3 3 2b a ， ；
因为 3 3, 2b a ，由（1）得
3B ，
所以根据余弦定理得 2 2 2 2 cos b c a c a B ，
化简整理为 2 2 23 0 c c ，解得 1 2 6 c ．
所以
△
ABC 的面积 1 3 6 2sin2 2S c a B ．
条件②： 2 4a A ，
由（1）知 π
3B ，
4A ，
根据正弦定理得
sin sin
b a
B A
，所以 sin 6sin
a Bb A
．
因为 5
12C A B ，
所以 5 6 2sin sin sin12 4 6 4C
，
所以
△
ABC 的面积 1 3 3sin2 2
S b a C ．
【名师点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归
转化能力，是中档题．本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得 3sin = 2B ，进而结合
锐角三角形即可得
3B ；此外，第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用．
11 ． 在 ① 22sin sin sin sin sinA B C B C ， ② sin sin2
B Cb a B ， ③
2sin sin 3a B b A
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 2 2a b c ，______求 A 和C ．
【试题来源】辽宁省铁岭市六校 2020-2021 学年高三下学期一模
【答案】选择见解析，
3A ， 5
12C ．
【分析】选择条件①，利用正弦定理结合余弦定理求出 cos A的值，结合角 A 的取值范围可
求得 A 的值，由正弦定理结合条件 2 2a b c 可得出 2 sin sin 2 sinA B C ，由三角
形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出 1sin 6 2C
，由角C 的取值范围可求得结
果；选择条件②，利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出sin 2
A 的值，结合角
A 的 取 值 范 围 可 求 得 角 A 的 值 ， 由 正 弦 定 理 结 合 条 件 2 2a b c 可 得 出
2 sin sin 2 sinA B C ， 由 三 角 形 的 内 角 和 定 理 以 及 三 角 恒 等 变 换 思 想 求 出
1sin 6 2C
，由角C 的取值范围可求得结果；
选择条件③，由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得 tan A 的值，结合角 A 的取值范围可
求得角 A 的值，由正弦定理结合条件 2 2a b c 可得出 2 sin sin 2 sinA B C ，由三
角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出 1sin 6 2C
，由角C 的取值范围可求得
结果．
【 解 析 】（ 1 ） 选 择 条 件 ① ， 由 22sin sin sin sin sinA B C B C 及 正 弦 定 理 知
22a b c bc ，
整理得， 2 2 2b c a bc ，由余弦定理可得
2 2 2 1cos 2 2 2
b c a bcA bc bc
，
因为 0,A ，所以
3A ，
又由 2 2a b c ，得 2 sin sin 2 sinA B C ，
由 2
3
B C ，得 22 sin sin 2sin3 3 C C
，
即 6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C ，即 3sin 3 cos 6C C ，
即 2 3 sin 66C
，整理得， 2sin 6 2C
，
因为 20, 3C
，所以 ,6 6 2C
，从而
6 4C ，解得 5
12C ；
选择条件②，因为 A B C ，所以
2 2 2
B C A ，
由 sin sin2
B Cb a B 得 cos sin2
Ab a B ，
由正弦定理知，sin cos sin sin 2sin cos sin2 2 2
A A AB A B B ，
0,B ， 0,A ，可得 0,2 2
A
，
所以，sin 0B ， cos 02
A ，可得 1sin 2 2
A ，所以，
2 6
A ，故
3A ．
以下过程同（1）解答；
选择条件③，由 2sin sin 3a B b A
，
及正弦定理知， 2sin sin sin sin 3A B B A
， 0,B ，则sin 0B ，
从而 2 3 1sin sin cos sin3 2 2A A A A
，则sin 3cosA A ，
解得 tan 3A ，因为 0,A ，所以
3A ，以下过程同（1）解答．
【名师点睛】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理
或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 a 、b 、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
12．已知函数 ( ) sin 0, 06f x m x m
只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数 ( )f x 的最大值为 2；②函数 ( )f x 的图象可由 2 sin 2 4y x
的图象平移得到；
③函数 ( )f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）请写出这两个条件的序号，并求出 ( )f x 的解析式；
（2）锐角 ABC 中，内角 A ､ B ､ C 所对的边分别为 a ､ b ､ c ．
3A ， a f A ，求
ABC 周长的取值范围．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】2021 届江西省八所重点中学高三 4 月联考（理）
【答案】选①③，（1） ( ) 2sin( )6f x x ；（2） (2 2 3,6] ．
【分析】确定只能选条件①③，
（1）由最大值得 m ，由周期得 ，得函数解析式．
（2）由（1）求得 a ，由锐角三角形求得 B 的范围，用正弦表示出 ,b c （ c 也用 B 表示）
求和b c ，利用三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数，然后结合正弦函数性质得
取值范围，从而得周长范围．
【解析】①②两个条件矛盾，最大值不相同，②③两个条件也矛盾，周期不相同．只有选①
③
（1）由① 2m ，由③，则最小正周期是 2T ， 2 12
，
所以 ( ) 2sin( )6f x x ；
（2）
3A ， 2sin 23 6a
，
2
πB ， 2
3 2C B ，
6B ，所以
6 2B ，
由
2 4 3
sin sin sin 3sin 3
a b c
A B C ， 得 4 3 sin3b B ，
4 3 4 3 2sin sin( )3 3 3c C B ，
4 3 2 4 3 2 2sin sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3b c B B B B B
4 3 3 3 3 1sin cos 4 sin cos 4sin( )3 2 2 2 2 6B B B B B
，
因为
6 2B ，所以 2
3 6 3B ， 3 sin( 12 6B ，
所以 2 3 4b c ，即 2 2 3 6a b c ．即周长范围是 (2 2 3,6] ．
【名师点睛】本题考查由三角函数性质求函数解析式，考查正弦定理解三角形，三角函数的
恒等变换及三角函数性质．求三角函数解析式，掌握“五点法”是解题关键，由周期确定 ，
则最值确定 A ，由点的坐标确定 ．三角函数的最值与范围问题通常都是利用三角形函数
恒等变换公式转化为 ( ) sin( )f x A x k 形式，然后结合正弦函数性质求解．
13．在① 3b a＝ ；② 3cosa B ；③ sin 1a C 这三个条件中任选一个，补充在下面问题
中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问 题 ： 是 否 存 在 ABC ， 它 的 内 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ， 且
sin sin 3sinB A C C ， 3c ？
【试题来源】江苏省南京市、盐城市 2021 届高三下学期 3 月第二次模拟考试
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【分析】根据三角形内角和为 及题干条件，结合两角和与差的正弦公式，可求得角 A，
选择①，利用正弦定理可得sin B ，根据角 B 的范围，可求得
3B ，或 2
3B ．当
3B
时，求得角 C，即可求得面积，当 2
3B 时，根据正弦定理，求得 b，即可求得面积；
选择②，根据余弦定理，可求得
2C ，即可求得 a，b，进而可求得面积；
选择③，根据正弦定理，可得 3sin sin 2a C c A ，与题干条件矛盾，故不存在．
【解析】在 ABC 中， ( )B A C = - ，
所以sin sin[ ( )] sin( )B A C A C ．
因为 sin sin 3sinB A C C ，
所以sin( ) sin( ) 3sinA C A C C ，
即sin cos cos sin (sin cos cos sin ) 3sinA C A C A C A C C ，
所以 2cos sin 3sinA C C ．
在 ABC 中， (0, )C ，所以sin 0C ，所以 3cos 2A ．
因为 (0, )A ，所以
6A ．
选择①：因为 3b a ，由正弦定理得 3sin 3sin 3sin 6 2B A ，
因为 (0, )B ，所以
3B ，或 2
3B ，此时 ABC 存在．
当
3B 时，
2C ，所以 3 3cos 2b c A ，
所以 ABC 的面积为 1 1 1 9 3sin 3 3 32 2 2 4ABCS bc A ．
当 2
3B 时，
6C ，所以 sin 3 3sin
c Bb C
，
所以 ABC 的面积为 1 1 3 3 1 9 3sin 32 2 2 2 8ABCS bc A ．
选择②：因为 3cosa B ，
所以
2 293 6
a ba a
，得 2 2 29a b c ，
所以
2C ，此时 ABC 存在．
因为
6A ，所以 3 3 33cos , 3 sin6 2 6 2b a
所以 ABC 的面积为 1 9 3
2 8ABCS ab ．
选择③：由
sin sin
a c
A C
，得 3sin sin 2a C c A ，
这与 sin 1a C 矛盾，所以 ABC 不存在．
【名师点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式，并灵活应用，考查计
算求值的能力，综合性较强，属中档题．
14．在 ABC 中， 2π 73B= ,b= ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作
为已知，求：
（1）sinC 的值；
（2） ABC 的面积．
条件①： AB 边上的高为 3
2
；条件②： 5 7cos 14A ；条件③： 1a ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】北京市房山区 2021 高三一模
【答案】（1） 21
7
；（2） 3
2
．
【分析】选①：（1）在直角 ACD△ 中， 21sin 14A ，再利用 sin sin( )C A B 即可求
得结果；
（2）在直角 BDC 中，由 3sin = 2
DCB BC
，得 1BC a ，再利用面积公式即可得解．
选②：（1）直接利用sin sin( )C A B 即可求得结果；
（2）由正弦定理
sin sin
a b
A B
，求得 1a ，再利用面积公式即可得解；
选③：（1）由
sin sin
a b
A B
，得 21sin 14A ，再利用sin sin( )C A B 即可得结果；
（2）直接利用三角形面积公式得解．
【解析】选①： AB 边上的高为 3
2
（1）设 AB 边上高为 CD ，在直角 ACD△ 中，
3
212sin 147
CDA AC
2
3B Q ， 0 3A ， 2 5 7cos 1 sin 14A A
A B C
sin sin( )C A B sin cos cos sinA B A B 21 1 5 7 3( )14 2 14 2
21
7
（2）在直角 BDC 中，因为
3
π 32sin = sin 3 2
DCB BC BC
， 1BC a
1 1 21 3sin 1 72 2 7 2ABCS ab C
选②： 5 7cos 14A
（1） 2
3B Q ， 0 3A ，
又 5 7cos 14A ， 2 21sin 1 cos 14A A ，
A B C
sin sin( )C A B sin cos cos sinA B A B 21 1 5 7 3( )14 2 14 2
21
7
（2）
sin sin
a b
A B
，
217sin 14 1sin 3
2
b Aa B
1 1 21 3sin 1 72 2 7 2ABCS ab C V
选③： 1a ．
sin sin
a b
A B
，
31sin 212sin 147
a BA b
又 0 3A ， 2 5 7cos 1 cos 14A A
A B C ，
sin sin( )C A B sin cos cos sinA B A B 21 1 5 7 3 21( )14 2 14 2 7
（2） 1 1 21 3sin 1 72 2 7 2ABCS ab C
15．已知在锐角 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ABC 的面积为S ，
若 2 2 24S b c a ， 6b ．
（1）求 A ；
（2）若___________，求 ABC 的面积S的大小．
(在① 22 cos cos 2 0B B ，② cos cos 3 1b A a B ，这两个条件中任选一个，补充
在横线上)
【试题来源】东北三省四城市联考暨沈阳市 2021 届高三质量监测（二）
【答案】（1） π
4A ；（2）条件选择见解析； 3 3
2S ．
【分析】（1）利用三角形面积公式由 2 2 24S b c a ，得到 2 2 214 sin2 bc A b c a ，
再利用余弦定理求解；
（2）若选①，由 22 cos cos 2 0B B ，易得 π
3B ，再结合（1）利用正弦定理求得 a，
再利用三角形面积公式求解；若选②，由 cos cos 3 1b A a B ，利用余弦定理得易得
3 1c ，再利用三角形面积公式求解．
【解析】（1）因为 2 2 24S b c a ，
所以 2 2 214 sin2 bc A b c a ，即 2 2 2
14 sin2
2 2
bc A b c a
bc bc
，
所以sin cosA A ，故 tan 1A ，
因为 π0 2A ，所以 π
4A ．
（2）若选①，因为 22 cos cos 2 0B B ，
所以 2 1cos 4B ，所以 cos 2
1B ．
因为 π0 2B ，所以 π
3B ．
由正弦定理
sin sin
a b
A B
，得
6
π πsin sin4 3
a ，所以 2a ．
所以 1 1 π π 3 3sin 2 6 sin π2 2 4 3 2S ab C
．
若选②，因为 cos cos 3 1b A a B ，
由余弦定理得
2 2 2 2 2 2
3 12 2
b c a a c bb abc ac
，解得 3 1c ．
1 1 π 3 3sin 6 3 1 sin2 2 4 2S bc A ．
【名师点睛】有关三角形面积问题的求解方法：（1）灵活运用正、余弦定理实现边角转化；
（2）合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、
二倍角公式等．
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