第一章 有理数
1.6 有理数的减法
1 课堂讲解 u有理数的减法法则
u有理数减法法则的应用
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
1.如图所示，哈尔滨昨天的最高温度是12℃，最低
温度是－10℃，则其温差是多少摄氏度？
2. 如图所示，某人从10米的高处爬下并潜入到海
拔大约为-20米的深水处，问他垂直移动过的距
离是多少米？
1 有理数的减法法则
知1－导
1.根据上表中的数据，解决下面的问题：
(1)分别填写表示各城市温差的算式以及从温度计上的
刻度观察到的温差。
(2)表示温差的算式与观察到的温差之间有什么关系?
城市 表示温差的算式 观察到的温差/°C
昆明 10－6 4
杭州
北京
知1－导
2.计算：
(1)10＋(－6)＝ ；
(2)2＋(＋1)＝ ；
(3)(－2)＋(＋9)＝ .
3.比较下列各组算式，请你说说怎样把减法运算转
化为加法运算.
(1)10－6＝4， 10＋(－6)＝4；
(2)2－(－1)＝3， 2＋(＋1)＝3；
(3)(－2)－(－9)＝7， (－2)＋(＋9)＝7.
知1－导
减去一个数，等于加上这个数的相反数，
即a－b＝a＋(－b).
例1 (1) 6－(－8)； (2)(－2)－3；
(3)(－2.8)－(－1.7)； (4)0－4；
(5)5＋(－3)－(－2)； (6)(－5)－(－2.4)＋(－1).
知1－讲
“－”变“＋”
变为相反数
解：(1)6－(－8)＝6＋(＋8)＝14.
“－”变“＋”
变为相反数
(2)(－2)－3＝(－2)＋(－3)＝－5.
知1－讲
(3)(－2.8)－(－l.7)＝(－2.8)＋l.7＝－l.1.
(4)0－4＝0＋(－4)＝－4.
(5)5＋(－3)－(－2)＝5＋(－3)＋2＝4.
(6)(－5)－(－2.4)＋(－1)＝(－5)＋2.4＋
(－1)＝－3.6.
知1－讲
从本例中，我们必须明确两点：一是进行有
理数减法运算的关键在于利用减法法则变减法为
加法；二是有理数减法运算，只有转化为加法运
算后才能运用加法运算法则进行计算.
计算：(1)11－(－8)；(2)(－4)－(－5)；
(3)(－6)－2. 3；(4) 4－11；
(5) (－35)－0；(6) 0－(－35).
知1－练
1
解：(1)11－(－8)＝11＋(＋8)＝19.
(2)(－4)－(－5)＝(－4)＋5＝1.
(3)(－6)－2.3＝(－6)＋(－2.3)＝－8.3.
(4)4－11＝4＋(－11)＝－7.
(5)(－35)－0＝－35＋0＝－35.
(6)0－(－35)＝0＋35＝35.
2 【中考·常州】计算3－(－1)的结果是( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
3 【中考·天津】计算(－2)－5的结果等于( )
A．－7 B．－3 C．3 D．7
知1－练
D
A
2 有理数减法法则的应用
知2－讲
①较大的数－较小的数＝正数，即若a＞ b，
则a－b＞ 0，反之亦然．
②较小的数－较大的数＝负数，即若a＜ b，
则a－b＜ 0，反之亦然．
③相等的两个数的差为0，即若a＝b，
则a－b＝0，反之亦然．
例2 小明家蔬菜大棚内的气温是24 °C，此时棚
外的气温是－13 °C.棚内气温比棚外气温高
多少摄氏度？
知2－讲
解：24－(－13)＝24＋13＝37(°C).
答：棚内气温比棚外气温高37 °C.
知2－讲
实际问题要考虑是否符合实际意义.
知2－练
1 月球表面的温度在白昼可升到127 °C，在黑夜
可降到－183°C.月球表面温度昼夜相差多少？·
解：127－(－183)＝127＋(＋183)＝310(℃)．
答：月球表面温度昼夜相差310℃.
知2－练
2 全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100
分，答对一题加5分，答错一题扣5分．游戏结束时，
各组的分数(单位：分)如下表：
(1)第一名超出第二名多少分？
(2)第一名超出第五名多少分？
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
100 150 －400 350 －100
解：由题表可以看出，第一名得了350分，第二名得了150分，
第五名得了－400分．
(1)350－150＝200(分)．(2)350－(－400)＝750(分)．
因此，第一名超出第二名200分，
第一名超出第五名750分．
重要知识点 知识点解析 特别注意的问题
减法法则
减去一个数等于
加上这个数的相
反数
运 算 符 号 和 减 数
符号要同时变化
解题方法小
结
进行有理数减法运算转化为加法运算
时，要注意两变：一是数字符号变化，
二是运算符号变化.
第一章 有理数
1.7 有理数的加
减混合运算
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
u将有理数的加减运算统一成加法
u加法运算律在有理数加减混合运算中
的应用
一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：
高度变化 记作
上升4.5千米 ＋4.5千米
下降3.2千米 －3.2千米
上升1.1千米 ＋1.1千米
下降1.4千米 －1.4千米
此时飞机比起飞点高出了多少米？
1知识点 有理数的加减运算统一成加法
知1－讲
2012年1月22日，哈尔滨市的最低气温是－25 ℃，
最高气温是 －16 ℃，北京市的最低气温是－11 ℃，并
且哈尔滨市的温差比北京市的温差大1 ℃.
(1)哈尔滨市的温差是多少?
(2)北京市的温差是多少?
(3)北京市的最高气温是多少?
知1－讲
北京市的最高气温可以用下面的方式直接求出：
(－16)－(－25)－(＋1)＋(－11)
＝(－16)＋(＋25)＋(－1)＋(－11)
＝－3 (℃).
根据有理数减法法则，可将有理数的加减混合运算
统一成加法运算. 统一成加法运算后，通常把各个加数
的括号及其前面的运算符号“＋”省略不写.
如：(－16)＋(＋25)＋(－1)＋(－11)
可写成－16＋25－1－11.
它表示－16，25，－1与－11的和，读作“负16，正25，
负1与负11的和”，或读作“负16加25减1减11”.
在进行有理数的加减混合运算时，常常利用加法
的交换律和结合律简化运算.
知1－讲
结 论
1.根据有理数减法法则，可将有理数加减混合运算统一成加
法运算．统一成加法运算后，通常把各个加数的括号及其前
面的运算符号“＋”省略不写．
2.省略加号和括号的形式的读法有两种，一是把符号当作性
质符号来读，二是把符号当作运算符号来读．例如：a－b＋
c，可读作“正a、负b、正c的和”，也可读作“a减b加c”．
知1－讲
把下列各式写成省略加号和括号的形式，并说出它们
的两种读法．
(1)－6－(－3)＋(－2)－(＋6)－(－7)；
(2)
本题要采用转化法，首先运用减法法则把加减混合运
算转化成加法运算，然后再写成省略加号和括号的形
式．
例1
导引：
1 1 1 1 1 .2 3 4 5 6
知1－讲
(1)－6－(－3)＋(－2)－(＋6)－(－7)
＝－6＋(＋3)＋(－2)＋(－6)＋(＋7)
＝－6＋3－2－6＋7.
读法一：负6，正3，负2，负6，正7的和；
读法二：负6加3减2减6加7.
解：
知1－讲
(2)
＝
＝
读法一：负 ，负 ，正 ，负 ，正 的和；
读法二：负 减 加 减 加 .
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1+ + + +2 3 4 5 6
1 1 1 1 1+ +2 3 4 5 6
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
知1－讲
总 结
有理数减法运算的一般步骤：
①把减号变为加号；
②用减数的相反数作为加数；
③运用有理数加法的法则求出结果．
知1－讲
1 把下列各式写成省略加号的形式：
(1)(－5)－(－4)＋(－7)－(＋2)；
(2) 2 7 3 1 .3 6 4 4
知1－练
(1)(－5)－(－4)＋(－7)－(＋2)＝－5＋4－7－2.
(2)
＝
解：
知1－练
2 7 3 1
3 6 4 4
2 7 3 1 .3 6 4 4
2 将式子3－10－7写成和的形式正确的是( )
A．3＋10＋7
B．－3＋(－10)＋(－7)
C．3－(＋10)－(＋7)
D．3＋(－10)＋(－7)
知1－练
D
3 把6－(＋3)－(－7)＋(－2)统一成加法，下列变形正
确的是( )
A．－6＋(－3)＋(－7)＋(－2)
B．6＋(－3)＋(－7)＋(－2)
C．6＋(－3)＋(＋7)＋(－2)
D．6＋(＋3)＋(－7)＋(－2)
知1－练
C
2知识点 加法运算律在有理数加减混合运算中的应用
1.加法运算律在有理数加减混合运算中的应用原则：正
数和负数分别相结合；分母相同的分数或比较容易通
分的分数相结合；互为相反数的两数相结合；其和为
非零整数的两数相结合；带分数一般化为假分数或整
数和分数两部分后，再分别相加．
2.运用加法交换律交换加数位置时，要连同数前面的符
号一起交换．
知2－讲
计算：
(⑴)2.7＋(－8.5)－(＋3.4)－(－1.2)；
(⑵)－0.6－0.08＋ － －0.92＋ .
例2
知2－讲
2
5
5211
5211
导引：(1)利用有理数的加法运算律把正数、负数分
别结合在一起进行运算；(2)先把互为相反数的两个
分数结合在一起，再计算．
知2－讲
(2)－0.6－0.08＋ － －0.92＋
＝－0.6＋0.4＋(－0.08－0.92)＋
＝－0.2－1＋0
=-1.2.
（1）2.7＋(－8.5)－(＋3.4)－(－1.2)
＝2.7－8.5－3.4＋1.2
＝(2.7＋1.2)＋(－8.5－3.4)
＝3.9－11.9
＝－8.
解：
5211
2
5
52115 52 211 11
总 结
计算有理数的加减混合运算时，要灵活运用同号结合
法和同形结合法进行简便计算．在运用加法交换律交换加
数的位置时，要连同加数前面的符号一起交换．
知2－讲
1 计算：
(1)
(2)
知2－练
1 1 31 1 3 0.25 3.75 4.52 4 4
；
1 1 312 1.75 5 7.25 2 2.5.4 2 4
＋
知2－练
(1)原式＝
＝
＝
解： 3 5 15 1 15 9
2 4 4 4 4 2
3 5 1 9
2 4 4 2
9;2
知2－练
(2)原式＝
＝
＝ 6＋3
＝ 9.
1 3 1 1 3 512 1 5 7 24 4 2 4 4 2
49 7 29 11 11 5
4 4 4 4 2 2
2 下列交换加数位置的变形中，正确的是( )
A．1－4＋5－4＝1－4＋4－5
B．
C．1－2＋3－4＝2－1＋4－3
D．4.5－1.7－2.5＋1.8＝4.5－2.5＋1.8－1.7
知2－练
1 3 1 1 1 3 1 1
3 4 6 4 4 4 3 6
D
3 下列各题运用结合律变形中，错误的是( )
A．1＋(－0.25)＋(－0.75)＝1＋[(－0.25)＋(－0.75)]
B．1－2＋3－4＋5－6＝(1－2)＋(3－4)＋(5－6)
C.
D．7－8－3＋6＋2＝(7－3)＋[(－8)＋(6＋2)]
知2－练
3 1 1 2 3 1 1 2
4 6 2 3 4 2 6 3
C
1.省略括号和加号的和的形式：
原理：在含有加减混合运算的式子中，利用有理数减法法则
将减法转化成加法.这样混合运算就被统一成加法运算. 原来
的算式就转化为求几个正数、负数的和.
写法：在和式里.通常把各个加数的括号和它前面的加号省略
不写.写成省略括号和加号的和的形式.
读法：如果把－2＋3－5中的“＋”号和“－”号看成性质
符号.可读做“负2、正3、负5的和”；如果把“＋”号和
“－”号看成运算符号.可读做“负2加3减5”.
2.有理数加减混合运算的方法：
用减法法则将减法转化为加法；
写成省略括号和加号的和的形式；
进行有理数的加法运算.
说明：运用运算律使运算更加简便.一般情况下.常采
用同号结合法、凑整法、凑零法等.
1.8 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法
第一章 有理数
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
u有理数的乘法
u倒数
通过测量某学校实验楼的楼梯得知，每一级台阶的
高都是150 cm.现在规定：一楼大厅地面的高度为 0 m，
从一楼大厅往楼上方向为正方向，从一楼大厅往地下室
方向为负方向.
小亮从一楼大厅向楼上走1，2， 3，4级台阶时，他
所在的高度分别为
15×1＝15(cm)； 15×2＝30(cm)；
15×3＝45(cm)； 15×4＝60(cm).
1知识点 有理数的乘法
知1－讲
1.请你在下面的横线上分别填写大华从一楼大厅向地下
室走1，2，3，4级台阶时，他所在的髙度：
(－15)×1＝＿＿＿＿(cm)；
(－15)×2＝＿＿＿＿(cm)；
(－15)×3 ＝＿＿＿＿(cm)；
(－15)×4 ＝＿＿＿＿(cm).
知1－讲
2.比较上面两组算式，当两数相乘时，如果把一个因数
换成它的相反数，那么它们的乘积有什么关系?
3.根据你的发现，猜想以下各式的结果.
(－15)×(－1)＝＿＿＿＿；
(－15)×(－2)＝＿＿＿＿；
(－15)×(－3)＝＿＿＿＿；
(－15)×(－4)＝＿＿＿＿.
通过以上探究，我们发现：
两数相乘，把一个因数换成它的相反数，所得的
积应为原来的积的相反数.
例如：
15×3＝45， (－15)×3＝－45.
知1－讲
变为相反数
变为相反数
(－15)×3＝－45， (－15)× (－3)＝45.
知1－讲
变为相反数
变为相反数
于是应该有
(－15)× (－3)＝45.
此外，当有一个因数是0时，积也是0.如
15×0＝0，0×(－15)＝0.
归 纳
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数同0相乘，仍得0.
知1－讲
计算：
(1) ( －6 )×（+ 5）； (2) ；
(3) (4)
例1
导引：(1)(3)异号两数相乘，积为负；
(2)同号两数相乘，积为正；
(4)任何数与0相乘都得0.
3 21 4 7
；
知1－讲
17 03
1 3
2 4
知1－讲
解：(1) ( －6 )×（+ 5）＝－6×5＝－30.
(2)
(3)
(4)
1 3 1 3 3= = .2 4 2 4 8
3 2 7 2 11 = = .4 7 4 7 2
- -
17 0= 0.3
总 结
( 1 )两个数相乘，先确定积的符号，同号得正，异号得
负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.
( 2 )当有小数或带分数的因数时，一般先化成分数或假
分数．
( 3 )乘法运算的结果一定是最简分数或整数．
知1－讲
1 不计算，说出下列两数积的符号：
(1) 3×5； (2)(－2)×4；
(3)9×(－1)； (4)(－4)×(－6).
知1－练
解：(1)正号；(2)负号；(3)负号；(4)正号．
2 计算：
(1) (－5)×(－12)； (2) 8×(－0.25)；
(3) (4)
(5) (6)
知1－练
3 16 ;8 3
11 0;7
4 1 ;3 2
4 3 .3 4
解：(1)(－5)×(－12)＝＋(5×12)＝60.
(2)8×(－0.25)＝－(8×0.25)＝－2.
知1－练
(3)
(4)
(5)
(6)
3 16 3 16 2.8 3 8 3
4 1 4 1 2.3 2 3 2 3
4 3 4 3 13 4 3 4
11 0 0.7
3 【中考·天津】计算(－6)×(－1)的结果等于( )
A．6 B．－6
C．1 D．－1
4 【中考·陕西】计算： ×2的值为( )
A．－1 B．1 C．4 D．－4
知1－练
1
2
A
A
通常情况下，海拔高度每增加1km，气温就降低大约
6 ℃(气温降低为负).某校七年级科技兴趣小组在海拔
高度为1 000 m的山腰上，测得气温为12 ℃.请你推算
此山海拔高度为3 500 m处的气温大约是多少.
1 000 m＝1 km，3 500 m＝3. 5 km.
12＋(－6)×(3. 5－1)＝12＋(－15)
＝12－15＝－3(℃).
答：气温大约是零下3 ℃.
知1－讲
例 2
解：
总 结
乘法在实际应用中要注意“－”的意义.
知1－讲
1 一辆出租车在一条东西向的大街上服务．一天上午，
这辆出租车一共连续送客10次，其中4次向东行驶，
每次行程为10 km；6次向西行驶，每次行程为7 km.
(1)该出租车连续10次送客后停在何处？
(2)该出租车连续10次送客一共行驶了多少千米？
知1－练
如果把向东行驶规定为“＋”，那么向西行驶为“－”，向
东行驶4次，每次10 km，即有4个10 km，共4×10＝40(km)；
向西行驶6次，每次7 km，共6×(－7)＝－42 (km)．进一步
可求解(1)(2)两问．
规定向东行驶为“＋”，则向西行驶为“－”．
(1)4×10＋6×(－7)＝40＋(－42)＝－2(km)，
所以该出租车连续10次送客后停在出发点西方2 km处．
(2)|4×10|＋|6×(－7)|＝40＋|－42|＝82(km)，
所以该出租车连续10次送客一共行驶了82 km.
知1－练
解：
导引：
2知识点 倒数
如果两个有理数的乘积是1，那么我们称这两个有
理数互为倒数(reciprocal)， 其中一个数称为另一个数
的倒数.例如， 互为倒数， 的倒数；
互为倒数， 的倒数. 0没有倒数.
显然，一个正数的倒数是正数，一个负数的倒数
是负数.
知2－讲
1 66
和 1 66
是
12 2
和 12 2
是
导引：
知2－讲
根据倒数的定义，分别计算各组中两数的积，若积
为1，则两数互为倒数，否则不互为倒数.
下列各组数中的两个数互为倒数的是( )
A． B．
C． D．
例 3
24 25
5 4
与 1 14 43 3
与
1 37 3 22
与 1 35 3 16
与
D
总 结
求一个数的倒数的方法：( 1 )求非零整数的倒数时，
直接写成 “这个数分之一”即可．( 2 )求真、假分
数的倒数时，直接把分子与分母颠倒位置．( 3 )求带
分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、
分母颠倒位置．( 4 )求小数的倒数时，先把小数化为
分数，再把分子、分母颠倒位置．
知2－讲
1 写出下列各数的倒数：
知2－练
31 2 3.5.2
， ， ，
解： 1 2 21 .2 3 7
， ， ，
2 若数a≠0，则a的倒数是________，________没有倒
数；倒数等于它本身的数是________．
3 【中考·上海】如果a与3互为倒数，那么a是( )
A．－3 B．3
C． D.
知2－练
1
3
1
3
1
a 0
1或－1
D
重要知识点 知识点解析 特别注意的问题
有理数的
乘法法则
两数相乘，同
号得正，异号
得负，并把绝
对值相乘．任
何数同0相乘都
得0
多个数相乘，根据负因
数的个数确定积的符号，
并且因数中只要有—个
为0，则积等于0，反之，
积为0，则至少有—个
因数为0
解题方法
小结
1.有理数的乘法，确定符号后就是小学
的乘法运算
2.多数相乘，首先确定符号，然后计算.
1.
2.倒数的性质：
(1)如果a，b互为倒数，那么ab＝1；
(2)0没有倒数(因为0与任何数相乘都不为1)；
(3)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；
(4)倒数等于它本身的数是±1；
(5)倒数是成对出现的．
3.倒数的求法技巧：
(1)求分数的倒数时，只要把这个分数的分子、分母
颠倒位置即可(整数看成分母为1的分数)；
(2)求带分数的倒数时，要先将其化成假分数；
(3)求小数的倒数时，要先将其化成分数．
1.8 有理数的乘法
第2课时 有理数的乘法
运算律
第一章 有理数
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
u多个有理数相乘
u有理数的乘法运算律
小猪卖桃，2元1斤，5元3斤．某日，三只小猫一起到小
猪处买桃3斤，每只小猫付钱2元后离开．事后，小猪觉得占
了便宜，便让小兔携1元钱去追还给小猫.小兔在途中不慎丢
失了4角钱，追上小猫后将剩下的6角钱退还给了每只小猫2角
钱.鸭子好管闲事，问道：“三只小猫买桃，每只实际付钱1
元8角，共付5元4角，再加上小兔丢失的4角钱，共计也只有5
元8角钱，三只小猫当初共付6元钱，那2角钱到哪里去了?”
你能说明其中的道理吗?
1知识点 多个有理数相乘
知1－讲
1.计算：
(1)1×2×3×4＝＿＿＿＿；
(2)(－1)×2×3×4＝＿＿＿＿；
(3)(－1)×(－2)×3×4＝＿＿＿＿；
(4)(－1)×(－2)×(－3)×4＝＿＿＿＿；
(5)(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝＿＿＿＿.
知1－讲
2.通过上面的计算，填写下表:
算式 (1) (2) (3) (4) (5)
负因数的个数
积的符号
3.根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积
的符号与负因数个数之间的关系.
归 纳
几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，
积为正.
几个数相乘，如果有一个因数为0，积就为0.
知1－讲
计算：
(1) (－5)×(－4)×(－2)× (－2)；
(2)
(3)
例1
导引：
2 1 11 1 5;3 5 2
知1－讲
(1)负因数的个数为偶数，结果为正数; (2)负因数的
个数为奇数，结果为负数; (3)几个数相乘，如果其
中有因数为0，那么积等于0.
2 12 1 0.732 0.3 2
知1－讲
解：(1)(－5)×(－4)×(－2)×(－2)＝5×4×2×2＝80.
(2)
(3)
2 1 1 2 6 31 1 5 5 6.3 5 2 3 5 2
2 12 1 0.732 0 0.3 2
总 结
多个有理数相乘的方法：先看因数中是否有0，因数
中如果有0，积等于0；因数中没有0，先确定积的符号，
再确定积的绝对值，在运算时，一般情况下先把式子中
所有的小数化为分数、带分数化为假分数之后再计算．
知1－讲
1 计算：
(1)
(2)
(3)
知1－练
1 215 5 1 24 3
；
3 1 41 1.24 2 9
；
1 23 13 6 03 3
；
知1－练
(1)原式＝
(2)原式＝
(3)原式＝0.
5 815 5 250.4 3
解：
3 3 4 6 3 .4 2 9 5 5
2 在计算 时，可以避免通分的运
算律是( )
A．加法交换律 B．分配律
C．乘法交换律 D．加法结合律
知1－练
5 7 2 3612 9 3
B
3 (－0.125)×15×(－8)× ＝[(－0.125)×(－8)]
× 运算中没有运用的运算律是( )
A．乘法交换律
B．乘法结合律
C．分配律
D．乘法交换律和乘法结合律
知1－练
4
5
C
415 5
，
2知识点 有理数的乘法运算律
计算：
(1)(－4)×8＝______， 8×(－4) ＝______；
(－5)×(－7)＝______， (－7)×(－5)＝______ .
(2)[(－3)×2]×(－5)＝______，(－3)×[2×(－5) ]＝______，
知2－讲
14 6 ______2
，
14 6 ______ .2
知2－讲
(3) 1 16 ______2 3
，
1 16 6 ______ .2 3
通过比较上面各组算式及运算结果，你认为以前学过的
乘法交换律、乘法结合律和乘法对加法的分配律，在有理数
范围内还成立吗? 请与同学交流你的看法.
总 结
乘法交换律：ab＝ba.
乘法结合律： (ab)c＝a(bc)．
乘法对加法的分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
知2－讲
知2－讲
(1)
(2)
例 2 1 110 6;3 10
5 43 2 .6 5
导引：根据题中数据特征，运用乘法交换律、乘法
结合律进行计算．
知2－讲
(1)解：
1 110 63 10
1 1= 10 610 3
=1 2
= 2.
（ ）
知2－讲
(2)
5 43 26 5
5 4= 3 2 6 5
2=6 3
= 4.
总 结
多个有理数相乘时，通常运用乘法交换律或乘法结
合律把能约分的项先结合，使计算简便．
知2－讲
1 计算：(1)(－2)×5×(－0.25)； (2)100×15×(－0.01)；
(3)
(1)原式＝[(－2)×5]×(－0.25)＝－10×(－0.25)＝2.5.
(2)原式＝[100×(－0.01)]×15＝－1×15＝－15.
(3)原式＝
知2－练
1 2 3 .2 3 4
解：
1 2 3 1.2 3 4 4
2 a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是(
)
A．a，b，c同号 B．a＞0，b与c同号
C．b＜0，a与c同号 D．a＞b＞0＞c
3 若五个有理数相乘的积为正数，则这五个数中负数
的个数是( )
A．0 B．2
C．4 D．0或2或4
知2－练
B
D
知2－讲
计算：(1)
(2)
例 3 1 1 3 5 242 6 8 12
；
导引：(1)题中的－24是左边括号内各分母的公倍数，所
以可以利用乘法对加法的分配律先去括号，再进行运算；
(2)题中每一项都含有相同的因数7 ，可以逆向使用乘
法对加法的分配律，提出公因数 ，再进行运算．
5 5 5 77 6 7 5 .6 12 6 12
5
6
57 6
知2－讲
解：(1)
(2)
1 1 3 5= 24 24 24 242 6 8 12
=12 4 9 10
=7
原式
；
5 5 7= 7 6 56 12 12
5=7 126
= 94.
原式
总 结
乘法对加法的分配律是一个恒等变形的过程，因此，
我们在运用的过程中，不但要会正用，还要会逆用．
知2－讲
1 计算：
原式＝
2 怎样计算 更简便?
原式＝
知2－练
1 130 .2 3
解： 1 130 30 15 10 5.2 3
1 1 1 4
7 5 7 5
1 1 4 1 11 .7 5 5 7 7
解：
3 计算：
原式＝
＝
知2－练
7 524 1 .12 6
解： 7 524 24 24 112 6
14 20 24 30.
1. 乘法运算律运用的“四点说明”：
(1)运用交换律时，在交换因数的位置时，要连同符号
一起交换；
(2)运用分配律时，要用括号外的数乘括号内每一个数，
不能有遗漏；
(3)逆用：有时可以把运算律“逆用”；
(4)推广：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数
的位置，或者先把其中的几个因数相乘．如abcd＝
d(ac)b.
2. 多个有理数相乘的方法：先观察因数中有没有0.若因
数中有0.则积等于0；若因数中没有0.先观察负因数的
个数.确定积的符号.再计算各因数的绝对值的积.在求
各因数的绝对值的积时要考虑运用乘法的交换律和结
合律进行简化计算.应用运算律时要尽可能地将能约分
的、凑整的、互为倒数的结合在一起.以达到简化计算
的目的.
1.9 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
第一章 有理数
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
u用倒数法相除
u用绝对值法相除
我们已经知道：(－4)×(－3)＝12.根据除法的意义，
求12÷(－3)的结果，就是求一个数，使它与－3相乘等
于12，所以
12÷(－3)＝－4.
1知识点 用倒数法相除
知1－导
请你试着填空：
(1)8×9＝72，72÷9＝______，72× ＝______；
(2)2×(－3)＝－6，(－6)÷2______，(－6)× ＝______；
(3)(－4)×2＝－8，(－8)÷(－4)＝______，
(－8)×(－ )＝______，
1
9 1
2
1
4
除法是乘法
的逆运算.
知1－导
1.观察上面的计算结果以及算式的特点，你能得到什么
结论?
2.请再举出具有上述特点的两组算式，检验你的结论.
归 纳
除以一个数(不等于0)等于乘这个数的倒数.
知1－导
计算 : ( 1 )
( 2 )
( 3 )
例1
导引：(1)直接运用法则1进行计算；(2)先将带分
数化为假分数，再运用法则1进行计算；(3)先将
小数化为分数，再运用法则1进行计算．
212 3
；
知1－讲
3 11 34 2
；
1 1.5 .
( 1 ) ( 2 )
( 3)
解：
212 3
3= 12 2
=18.
知1－讲
3 11 34 2
7 2= 4 7
1= 2
3 2 21 1.5 =1 1 =1 =2 3 3
总 结
除以一个数(不等于0)等于乘这个数的倒数，体现
了转化思想，将除法转化为乘法进行运算．注意：1除
以一个非0的数，等于这个数的倒数．
知1－讲
1 计算：
(1) (2)
知1－练
解：(1)原式
(2)原式＝(－1.25)×8＝－10.
1 2
2 3
；
1 3 3 .2 2 4
11.25 .8
2 【中考·扬州】与－2的乘积为1的数是( )
A．2 B．－2 C. D．－
3 下列计算中错误的是( )
A．(－5)÷ ＝(－5)×(－2)
B. ÷(－3)＝3×(－3)
C．(－2)÷(－3)＝(－2)×
D.
知1－练
1
2
1
2
1
2
1
3 1
3
2 4 2 9
3 9 3 4
＝
D
B
2知识点 用绝对值法相除
根据有理数的乘法法则和除法法则，谈谈：
(1)同号两数相除，商的符号怎样确定，结果等于什么?
(2)异号两数相除，商的符号怎样确定，结果等于什么?
(3)0除以任何一个不等于0的数，结果等于什么?
知2－导
归 纳
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何不等于0的数都得0.
知2－导
解：
知2－讲
计算：
(1)(－42)÷(－6)； (2) (－12)÷(＋2)
(3)0÷(－3.72)；(4)(－4.7)÷1.
例 2
(1) (－42)÷(－6)＝＋(42÷6)＝7.
(2) (－12)÷(＋2)＝－(12÷2)＝－6.
(3)0÷(－3.72)＝0.
(4)(－4.7)÷1＝－4.7.
总 结
除法法则确定商的符号与乘法法则确定积的符号
的方法一样．注意：( 1 )0除以任何不等于0的数直接得
0；( 2 )任何数除以1都等于原数．
知2－讲
1 计算：
(1)(－84)÷7； (2) (－15)÷(－3)；
(3)0÷ (4)
(1)(－84)÷7＝－(84÷7)＝－12.
(2)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5.
(3)0÷ (4)
知2－练
7 ;18
解：
8
5 4 .
7 0.18
8 8 1 24 .5 5 4 5
2 如图，数轴上a，b两数的商为( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
知2－练
B
3 【中考·天津】计算(－18)÷6的结果是( )
A．－3 B．3
C． D.
知2－练
A
1
3
1
3
重要知识点 知识点解析 特别注意的问题
有理数的
乘法法则
两数相乘，同
号得正，异号
得负，并把绝
对值相乘．任
何数同0相乘都
得0
多个数相乘，根据负因
数的个数确定积的符号，
并且因数中只要有—个
为0，则积等于0，反之，
积为0，则至少有—个
因数为0
解题方法
小结
1.有理数的乘法，确定符号后就是小学
的乘法运算
2.多数相乘，首先确定符号，然后计算.
1.9 有理数的除法
第2课时 有理数的加减
乘除混合运算
第一章 有理数
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
u 有理数的乘除混合运算
u有理数的加减乘除混合运算
如图所示是一座山，看着图片，思考下列问题：
(1)这座山山顶气温每隔1小时下降 3℃，如果开始温度是
10℃，4小时可以登上山顶，他们需要带御寒的衣服吗?
(2)如果还是这座山，到山顶时温
度一共下降12 ℃ ,他们登上山顶共
用多少时间? 你能得出答案吗?
你的根据是什么?
1知识点 有理数的乘除混合运算 知1－讲
1.方法一：有理数的乘法、除法是同级运算，在混合运算中，
应该从左向右依次计算，有括号的先算括号里的，再算括
号外的．
方法二：有理数的乘除混合运算，也可以先把除法转化为
乘法，然后根据有理数乘法法则计算．
2.步骤：第一步确定符号并将所有小数化为分数，带分数化
成假分数，第二步将除法运算转化为乘法运算，第三步运用
乘法法则进行计算．
计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5)
例1
导引：
3 112 2
；
知1－讲
(1)用方法一，从左向右依次计算比较简便；(2)方法
一和方法二均可使用；(3)用方法二，约分比较简便；
(4)有括号的先算括号里的；(5) 结果为0.
1 1 11 24 2 2
；
5 2 84 7 7 5
； 13 3 9216 4 8
；
1 1 1 11 2 0.2 4 2 8
知1－讲
解： 1(1) 4 2.2
原式
5 2(2) 2 1.4 5
原式
7 2 5(3) 4 1.5 7 8
原式
13 27 45 32 10(4) 2 .16 32 16 27 3
原式
(5) 0.原式
总 结
对于有理数的乘除混合运算，应掌握以下几点：( 1 )
乘除法是同级运算，应该从左向右依次计算，有括号就
先算括号里的；( 2 )转化为乘法运算后，可以运用乘法
交换律和乘法结合律简化计算；( 3 )小数化为分数，带
分数化为假分数；( 4 )注意约分；( 5 )结果的符号由算式
中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数个时结果为
正，负因数的个数是奇数个时结果为负.
知1－讲
1 计算：
(1)(－12)÷4×(－6)÷2； (2)
(3)
(4)
(5)
知1－练
1 1 33 3 3
；
1 9 410 8 4 9
；
2 30.25 0.63 5
；
1 3 70 3 .9 4 8
知1－练
(1)原式＝(－3)×(－6)÷2＝18÷2＝9.
(2)原式＝ ×(－3)×(－3)×3＝ ×3×3×3＝9.
(3)原式＝
(4)原式＝
(5)原式＝0.
1
3
解：
1 3 3 5 1 3 3 5 3 .4 2 5 3 4 2 5 3 8
1
3
1 110 1 10 .8 8
2 下列运算中，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
知1－练
1 2 1 23 32 3 2 3
C
1 2 1 2 132 3 2 3 3
1 2 1 33 32 3 2 2
1 2 1 3 132 3 2 2 3
3 计算 ×5÷ ×5的结果是( )
A. 1 B. 5
C. 25 D.
知1－练
1
5 C
1
5
1
25
2知识点 有理数的加减乘除混合运算
1.在有理数的加减乘除混合运算中，若没有括号，则
先算乘除，再算加减，若有括号，则按照先算括号里的,
再算括号外的顺序计算．
2. 易错警示：(1)同级运算要按从左至右的顺序进行计算.
(2)只有加法和乘法有运算律，减法和除法没有.当把减法
转化为加法，除法转化为乘法之后，才可以使用算律．
知2－讲
知2－讲
计算：(1)25×6＋(－127)；
(2)
(1)25×6＋(－127)＝150＋(－127)＝23.
(2)
例 2
11 1 1 3 5 .5 3 2 11 4
11 1 1 3 5 11 1 3 4
5 3 2 11 4 5 6 11 5
解：
11 1 3 4
5 6 11 5
2 .25
总 结
加减乘除运算的顺序为：先算乘除，后算加减，有
括号先算括号内的.
知2－讲
1 计算：
(1)6＋(－0.75)÷0.25；
(2)
(3)
知2－练
1 1 31 0.2 3 ;2 4 5
13 4 1 1 1;4
(1)原式＝6＋(－3)＝3.
(2)原式
知2－练
解：
1 1 34 1 32 5 5
32 1 325
222 325
662 25
164 .25
(3)原式＝
＝3×(1－4－1)－1
＝3×(－4)－1
＝－12－1
＝－13.
知2－练
13 4 4 1 1 14
2 若两个数的和为0，且商为－1，则这两个数( )
A.互为相反数
B.互为倒数
C.互为相反数且不为零
D.以上都不对
知2－练
C
3 根据有理数的运算律，下列等式中，正确的是( )
A. a－b＝b－a
B. m(a－b＋c)＝ma－mb＋mc
C. a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c
D. a÷(b＋c)＝a÷
知2－练
B
1
b c
1.有理数的加减乘除混合运算的运算顺序：
如无括号.则按照先乘除，后加减的顺序进行：如有
括号.先算括号里面的；同级运算中，要按从左到右的顺
序来计算；计算中要能合现运用运算律进行简便计算.
2.有理数的加减乘除混合运算的方法：
先把加减运算统一成加法运算，乘除运算统一成乘
法运算；然后严格按运算顺序计算；在算式中若有小数，
则先将它化成分数；若有带分数，则先把它化成假分数.
第一章 有理数
1.10 有理数的乘方
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
u有理数的乘方的意义
u有理数的乘方运算
我们知道，1 m＝10 dm，1 dm＝10 cm，1 cm＝
10 mm. 这样就有
1 m＝10 dm＝10×10 cm＝10×10×10 mm.
在这里， 10×10，10×10×10 都是相同因数相
乘，为方便起见，我们把10×10记作102，读作10的二
次方(或10的平方)；把10×10×10记作 103，读作10的
三次方(或10的立方).
1知识点 有理数的乘方的意义
知1－导
请你仿照上面的记数方法表示下列各式：
(1)5×5×5记作______，3×3×3×3记作 ______.
(2)(－4)×(－4)×(－4)×(－4)记作______，
1 1 1 ______ .2 2 2
记作
知1－导
一般地，n个相同的数a相乘， 记
作an，即
n a
a a a a
个
，
.
n a
na a a a a
个
归 纳
像这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方(power).
乘方的结果an叫 做幂(power).在 an中，a 叫做底数(base
number)，n 叫做指数(exponent)，an读作a的n次幂(或a
的n次方).
知1－导
an底数 指数
幂(乘方的结果)
把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示
的含义．
(1)(－2)×(－2)×(－2)； (2)
先确定底数，再写成乘方的形式．
例 1
导引：
2 2 2 2
3 3 3 3
；
知1－讲
知1－讲
(1)(－2)×(－2)×(－2)＝(－2)3；
底数－2表示相同的因数；指数3表示相同因数的
个数．
(2)
底数 表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数．
42 2 2 2 2 ;3 3 3 3 3
2
3
解：
总 结
乘方式与乘积式的互化是理解乘方意义的关键；乘
方是一种特殊的乘法运算(因数相同)．在将各个因数都
相同的乘积式改为乘方式时，当这个相同因数是负数或
分数时，要用括号括起来．
知1－讲
1 指出下列各式表示的意义:
10
43 10 4 14 ,3 ,5 , , 5 .3
知1－练
解： 43表示3个4的积；310表示10个3的积；
54表示4个5的积； 表示10个 的积；
(－5)4表示4个－5的积．
101
3
1
3
2 对于－32与(－3)2，下列说法正确的是( )
A. 读法相同，底数不同，结果不同
B. 读法不同，底数不同，结果相同
C. 读法相同，底数相同，结果不同
D. 读法不同，底数不同，结果不同
知1－练
D
3 关于式子(－5)4，下列说法错误的是( )
A. 表示(－5)×(－5)×(－5)×(－5)
B. －5是底数，4是指数
C. －5是底数，4是幂
D. 4是指数，(－5)4是幂
知1－练
C
2知识点 有理数的乘方运算
1.计算，填表．
2.上表中计算结果的符号有什么规律?
知2－导
(－2)1 (－2)2 (－2)3 (－2)4 (－2)5 (－2)6 ···
···
归 纳
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，
负数的偶次幂是正数； 0的任何正整数次幂都是0．
知2－讲
计算：
(1) (－2)3； (2) (3) －26.
例 2
解：
知2－讲
41
3
；
(1) (－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8.
(2)
(3)－26＝－2×2×2×2×2×2＝－64.
41 1 1 1 1 1 .3 3 3 3 3 81
总 结
1. 两个互为相反数的数的偶次幂相等，奇次幂仍然互为
相反数；
2.任何数的偶次幂都是非负数；
3. 1的任何次幂都是 1；－1的偶次幂是 1，－1的奇次幂
是－1.
知2－讲
1 计算：
(1)
(2)(－10)2，(－10)3，(－10)4 ，(－10)7.
知2－练
3 4 3
2 3 1 15 4 10 5
， ， ， ；
知2－练
解：
41 1 1 1 1 1 .10 10 10 10 10 10 000
31 1 1 1 1 .5 5 5 5 125
(1)(－5)2＝(－5)×(－5)＝25；
33 3 3 3 27 ;4 4 4 4 64
知2－练
(2)(－10)2＝(－10)×(－10)＝100；
(－10)3＝(－10)×(－10)×(－10)＝－1 000；
(－10)4＝(－10)×(－10) ×(－10)×(－10)＝10 000；
(－10)7＝(－10)×(－10) ×(－10)×(－10)×(－10)
×(－10)×(－10)＝－10 000 000.
2 下列等式中，成立的是( )
A. (－3)2＝－32 B. －23＝(－2)3
C. 23＝(－2)3 D. 32＝－32
知2－练
B
3 若a2＝(－3)2，则a等于( )
A. －3 B. 3
C. 9 D. ±3
知2－练
D
已知a，b是有理数，且满足(a－2)2＋|b－3|＝0，
求ab的值．
因为(a－2)2＋|b－3|＝0， (a－2)2 ≥0，|b－3|≥0，
所以a－2＝0，b－3＝0.
所以a＝2，b＝3.
所以ab＝23＝8.
例 3
解：
知2－讲
总 结
任何数的偶次幂都是非负数，与绝对值的性质一
样，是目前为止学到的两种非负数．根据“如果几个
非负数的和等于0，那么每个非负数都等于0”，可以求
出这类等式中多个字母的值．
知2－讲
1 已知x，y是有理数，且满足|x|＋y2＝0，则
x＝______，y＝______.
2 如果|a－1|＋(b＋2)2＝0，那么ab＝______.
3 已知 求a、b的值.
知2－练
0 0
－2
2
41 2 4 0,3a b
解：
1 , 2.3a b ∴
2
41 12 4 0, 0,2 4 0.3 3a b a b
∴
重要知识点 知识点解析 特别注意的问题
有理数乘
方运算的
符号法则
正数的任何次幂都是
正数；负数的偶次幂
是正数，负数的奇次
幂是负数；0的任何非
零次幂都是0；1的任
何次幂都是1
a2的非负性的运用；
(－a)2n＝a2n，
(－a)2n－1＝－a2n－1
解题方
法小结
1.注意符号问题，特别是负数的乘方.
2.注意底数的区分，例如：－32和(－3)2的
底数是不同的，前者底数是3，后者底
数是－3.
第一章 有理数
1.11 有理数的混合运算
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
u有理数的混合运算
u混合运算中的数字规律
相传宋朝文学家苏东坡有一次画了一幅《百鸟归巢图》，
并且给这幅画题了一首诗：天生一只又一只，三四五六七八
只，凤凰何少鸟何多，啄尽人间千石谷．这首诗既然是题
“百鸟图”，全诗却不见“百”字的踪影，你也许会问，画
中到底是100只鸟，还是8只鸟?不要急，请把诗中出现的数
字写成一行：
1 1 3 4 5 6 7 8
然后，你动动脑筋，在这些数字之间加上适当的运算符
号就会有100出来了，你能说出怎样添加这些运算符号吗?
1知识点 有理数的混合运算
知1－导
在算式18－32÷8＋(－2)2×5中，含有加、减、乘、
除及乘方运算， 这样的运算叫做有理数的混合运算.
归 纳
在有理数的加减乘除混合运算中，若没有括号，则先
算乘方，再算乘除，最后算加减；若有括号，则按照先
算括号里的，再算括号外的顺序计算．
知1－导
计算：
导引：在进行有理数混合运算时，应先算乘方，再算
乘除，最后算加减．在同级运算中，一般按从左向右
的顺序计算，有带分数时，一般先把带分数化成假分
数，再进行计算．
例 1
知1－讲
2
2 2 17 2 6 ;3
（-3）
总 结
解题思路大致是：先观察有几种运算，再将除法运
算转化为乘法运算，减法运算转化为加法运算，最后按
运算顺序计算．
知1－讲
1 下列计算中，正确的是( )
A. 23＋25＝28 B. 26－24＝22
C. 23×24＝27 D. 28÷24＝22
2 计算9－3×(－2)的结果为( )
A. 15 B. 3
C. －3 D. －15
知1－练
C
A
面粉厂生产的一种面粉，以25 kg为标准，抽检10袋面
粉的质量与标准质量的差值情况如下表所示：(比25
kg多和少的面粉质量分别记为正和负)
求这10袋面粉的平均质量.
例 2
知1－讲
袋数 2 2 3 3
差值/kg －0.15 －0.10 0 ＋0.10
根据题意，得
25＋[(－0.15)×2＋(－0.10)×2＋0×3＋(＋0.10)＋3]÷10
＝25＋(－0.30－0.20＋0. 30)÷10
＝24.98(kg)
答：这10袋面粉的平均质量为24. 98 kg.
知1－讲
解：
总 结
本题运用了转化思想，把实际问题转化成数学问题
来计算．考查了有理数的混合运算及正数和负数的意义．
知1－讲
1 出租车司机张师傅11月1日这一天上午的营运全在一条东
西向的街道上进行．如果规定：向东为正，那么他这天
上午拉了五位乘客所行车的里程如下：(单位：km)
＋8，－6，＋3，－7，＋2.
(1)将最后一位乘客送到目的地时，张师傅距出车地点的
位置如何?
知1－练
(1)(＋8)＋(－6)＋(＋3)＋(－7)＋(＋2)＝8－6＋3－7＋2
＝0(km)．
答：将最后一位乘客送到目的地时，张师傅正好回到
出车地点．
解：
(2)若出租车耗油为a L/km，那么这天上午出租车共
耗油多少升?
知1－练
(2)(8＋6＋3＋7＋2)×a＝26a (L)．
答：这天上午出租车共耗油26a L.
(3)如果出租车的收费标准是：起步价3元(2 km以内，
包括2 km)，超过2 km的部分每千米加1.2元，问：
张师傅这天上午的收入一共是多少元．
知1－练
(3)[3＋(8－2)×1.2]＋[3＋(6－2)×1.2]＋[3＋(3－2)
×1.2]＋[3＋(7－2)×1.2]＋3＝(3＋7.2)＋(3＋4.8)
＋(3＋1.2)＋(3＋6)＋3＝34.2(元)．
答：张师傅这天上午的收入一共是34.2元．
2 探空气球探测表明，某地的地面气温是20 ℃时，10
km高空的气温 是－28 ℃.如果气温是随高度的上升
而均匀下降的，那么每升高1 km，气 温下降多少摄
氏度?
知1－练
解：[20－(－28)]÷10＝48÷10＝4.8(℃)．
答：每升高1 km，气温下降4.8 ℃.
2知识点 混合运算中的数字规律
知2－讲
观察下列算式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
37＝2187，38＝6561，39＝19683， … ，
你发现了什么规律? 用你发现的规律写出32013的末位
数字．
要求数字32013的末位数字，首先要找出数字3的乘方的
末位数字的变化规律.
例 3
解：
3n(n是正整数)的末位数字的规律是：
如果n能被4整除，则末位数字是1；
如果n被4除余数为1，则末位数字是3；
如果n被4除余数为2，则末位数字是9；
如果n被4除余数为3，则末位数字是7．
因为2013被4除余数为1，所以32013的末位数字是3．
知2－讲
解：
总 结
3n的末位数字呈3，9，7，1，3，9，7，1，…循环．将
3n的末位数字与指数n的关系列成如下表格：
可以看出，如果n能被4整除，则末位数字是1；如果n被
4除余数为1．则末位数字是3；如果n被4除余数为2，则末位
数字是9；如果n被4除余数为3．则末位数字是7．
知2－讲
指数n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
3n的末尾数字 3 9 7 1 3 9 7 1 3 …
1 【新定义型题】已知x、y为有理数，现规定一种新运
算※，满足x※y＝xy＋1.
(1)求2※4的值；
(2)求(1※4)※(－2)的值；
(3)任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别等
于□和○，并比较□※○和○※□的运算结果；
(4)探索a※(b＋c)与a※b＋a※c的关系，并用等式表
示出来．
知2－练
知2－练
解：(1)2※4＝2×4＋1＝9.
(2)(1※4)※(－2)＝(1×4＋1)×(－2)＋1＝－9.
(3)取□＝－1，○＝5，(－1)※5＝－1×5＋1＝－4，
5※(－1)＝5×(－1)＋1＝－4；两者相等(所选有理
数不唯一)．
(4)因为a※(b＋c)＝a(b＋c)＋1＝ab＋ac＋1，
a※b＋a※c＝ab＋1＋ac＋1＝ab＋ac＋2，
所以a※(b＋c)＋1＝a※b＋a※c.
2 【中考·滨州】观察下列式子：
1×3＋1＝22；
7×9＋1＝82；
25×27＋1＝262；
79×81＋1＝802；
…
可猜想第2 016个式子为
___________________________________________.
知2－练
(32 016－2)×32 016＋1＝(32 016－1)2
3 【中考·泉州】找出下列各图形中数的规律，依此，a
的值为________.
知2－练
226
重要知识点 知识点解析 特别注意的问题
有理数加减
乘除的混合
运算
将除法转化为乘法；
运算顺序：先乘除，
后加减，有括号的先
算括号里的
一定要按照混合运
算的顺序进行，注
意每一步计算结果
的符号，并恰当使
用运算律
解题方
法小结
1.注意符号问题，特别是负数的乘方和加
减运算时.
2.除法变为乘法运算，注意运算符号.
第一章 有理数
1.12 计算器的使用
1 课堂讲解
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
u计算器的使用
u利用计算器进行计算
棋盘上的学问
古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国
际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的
大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：
“陛下，就在这个棋盘上放一些米粒吧! 第1格放1粒米，第2
格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒…，一
直到第64格。”“你真傻！就要这么一点米粒? !”国王哈哈
大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”
1知识点 计算器的使用
知1－导
电子计算器(electronic calculator)简称计算器，具有
体积小、操作简单、运算速度快等特点，现在已成为人
们广泛使用的计算工具.
计算器可分为简单计算器、科学计算器、函数计算
器等几种类型.不同型号的计算器的使用方法以及显示形
式有时是不同的.本节我们将结合下图 中A、B两种型号
知1－导
的科学计算器，介绍计算器的一般使用方法，其他型
号计算器的使用方法可参照这两种计算器，不同之处
可参照说明书.
A 型 B 型
知1－导
科学计算器的面板是由显示器和键盘两大部分组
成的.
显示器是用来显示输人数据和计算结果的.显示器
有单行显示的，也有双行显示的(图中的显示器就是双
行显示的).
计算器键盘的每一个键上，都标明了这个键的使
用功能. ON/C 是开启计算器与清零键，按一下这个
键，计算器就处于开机、清零状态. ＋ － × ÷等标有
运算符号的键是运算功能键，例如按 ＋ 这个键，计
知1－导
计算器将执行加法运算，按 ＝ 键完成运算.
键盘上有些键的上方还注明了这个键的其他功能
(第二功能).这个功能通常用其他颜色标明，以区别于
这个键的第一功 能.所有第二功能的使用，均应先按
一下 2ndF 键，再按一下第二功能对应的键.
例如，按一下 2ndF 键，再按 ON/C 键，这时
计算器执行的是 ON/C 键上方的 OFF 键的功能.
OFF 键是关闭计算器键.
归 纳
1.计算器可分为简单计算器、科学计算器、函数计算器
等几种类型．
2.科学计算器的面板是由显示器和键盘两大部分组成的．
知1－导
计算器上用于开启计算器，使之正常工作的键是( )
A. ON/C B. DEL
C. OFF D. AC
例 1
知1－讲
A
总 结
了解计算器键盘上各键的功能是解答本题的关键．
知1－讲
1 计算器上的 OFF 键的功能是( )
A．开启计算器
B．关闭计算器
C．清除刚刚输入的内容
D．计算乘方
知1－练
B
2知识点 利用计算器进行计算
知2－讲
用计算器计算：
(1)－125÷5－15×(－3); (2)－1. 32＋1. 24.
(1)－125÷5－15×(－3)，A，B两种型号计算器的按
键顺序为 (－) 1 2 5 ÷ 5 － 15 × (－) 3 ＝
显示器显示的结果为20，
所以－125÷5－15×(－3) ＝20.
例 2
解：
(2) －1. 32＋1. 24 ，A，B两种型号计算器的按键顺序为
(－) 1 . 3 x2 ＋ 1 . 2 yx 4 ＝
显示器显示的结果为0.383 6，
所以－1. 32＋1. 24 ＝0. 383 6.
知2－讲
总 结
一个数的平方，可以利用x2键，也可以利用yx键进行输入．
知2－讲
1 按键顺序为 (－) 5 yx 6 ＋ 2 ＝ ，能计算出下列式
子中( )的值．
A．(－5)6＋2
B．－56＋2
C．－(5×6＋2)
D．－(56＋2)
知2－练
B
2 输入1 的按键顺序是( )
A. 1 ab/c 7 ab/c 5
B. 1 7 ab/c 5
C. 1 ab/c 5 ab/c 7
D. 1 5 ab/c 7
知2－练
5
7 C
3 用计算器求－26的按键顺序正确的是( )
A. (－) 2 yx 6 ＝
B. 2 yx 6 (－) ＝
C. 2 (－) yx 6 ＝
D. 2 yx 6 ＝ (－)
知2－练
A
4 用计算器按顺序 “ (－) 3 x2 ＋ 5 ” 输入，表示的
计算是( )
A. (－3)2＋5 B. －32＋5
C. －(32＋5) D. －(3＋5)2
知2－练
B
用计算器计算：
(1) (2)
例 3
知2－讲
2 23.2 4.5 3 ;5
1 5 71 .4 8 8
(1) A，B两种型号计算器的按键顺序
为 ( 3 · 2 － 4 · 5 ) × 3 x2 － 2 ÷ 5 ＝
显示器显示的结果为－12.1，
所以
解： 2 23.2 4.5 3 5
，
2 23.2 4.5 3 12.15
，
(2) A，B两种型号计算器的按键顺序为
( 1 ab/c 4 － 5 ab/c 8 ) ÷ (－) 1 ab/c 7 ab/c
8 ＝
A型计算器显示的结果为1」5，B型计算器显示的结
果为 1「5，所以
算出 后 ，如果继续按 ab/c 键，
就将分数转化成了小数的表示形式.
知2－讲
1 5 714 8 8
，
1 5 7 11 = .4 8 8 5
1 5 7 11 =4 8 8 5
1 用计算器计算：
(1)(－6.25)＋(－3.41)－31.7；
(2) 1－26÷5；
(3)
知2－练
3 7 4 32 2 +10 5 4
－ －
知2－练
(2) ，课本上A，B两种型号计算器的按键顺
序为，1 － 2 yx 6 ÷ 5 = ，显示器显示的结果为
－11.8，所以 ＝－11.8
61 2 5－
61 2 5－
解：(1)(－6.25)＋(－3.41)－31.7，课本上A，B两种型号计
算器的按键顺序为
（ － ）6 · 2 5 ＋ ( － ) 3 · 4 1 － 3 1 · 7 ＝ ，
显示器显示的结果为－41.36，
所以(－6.25)＋(－3.41)－31.7＝－41.36.
知2－练
3 7 4 32 2 +10 5 4
－ －(3) ，课本上A，B两种型号计算
器的按键顺序为 2 yx 3 ×（（－） 2 ab/c 7 ab/c
10 ＋ 4 ab/c 5 ） － 3 ab/c 4 ＝ ，继续按 ab/c 键，
显示器显示的结果为－15.95，
所以 ＝－15.95.3 7 4 32 2 +10 5 4
－ －
2 用计算器计算：
知2－练
1 1 1
2 6 20
1 1 1 37= .2 6 20 60
解：
重要知识点 知识点解析 特别注意的问题
计算器的使
用方法
弄清各键的功能及按
键顺序
使用时，正确输入
解题方
法小结
1. 灵活选择运算顺序，使计算简便.
2.充分利用计算器，进行规律探索.
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