第1章 有理数
1.1 正数和负数
第1课时 认识正数和负数
1 u 正数和负数
u 0的意义
u 相反意义的量
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
我们有小学数学里学过哪些数？这些数能满
足我们生活的需要吗？还会有新的数吗？
1 正数与负数
观察
1.天气预报图（图1）.
2.地形局部图（图2）.
知1－导
图1
知1－导
图2
知1－导
3.在2011年上海国际泳联世界锦标赛上，中国女子水球
队取得历史最好成绩，获得银牌，下表为中国队所在
小组的小组赛净胜球统计表.
队名 进球 失球 净胜球
意大利 40 15 25
中国 50 21 29
古巴 19 40 -21
南非 16 49 -33
4.某镇办4家企业今年第一季度的产值与去年同期相比
的增长情况表.
知1－导
企业名称 面粉厂 砖瓦厂 油厂 针织厂
增长率（%） 9.2 7.3 -1.5 -2.8
1.正数、负数的定义：大于0的数叫做正数，在正数前
面加上符号“－”(负)的数叫做负数．
2.要点精析：(1)正数的实质就是大于0的任何数，它可
以含“＋”号，也可以不含“＋”号；
(2)负数就是在正数前面加上“－”号的数，每一个正
数都对应一个负数；
(3)判断一个数是正、负数的方法：①不为零；②含
“＋”、“－”号的情况(无“＋”、“－”号视同
含“＋”号)，两者必须同时看．
知1－讲
例1 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
＋0.005，－100， ，－ ，0.333…，
－4，5，0.
导引：直接根据定义判断即可．
解：正数：＋0.005，
负数：－100，－
警示：0既不是正数，也不是负数．
知1－讲
2
3
5
4
2 ,0.333 ,5;3
5 , 4.4
知1－讲
解题关键点 特征 结论
看符号
数(0除外)前面带“＋”号或无符
号 正数
数(0除外)前面带“－”号的数 负数
例2 把下列各数填入相应的大括号内：
－3，＋8 848，0，－ ，2 016，－8.9，
－155， .
非正数：{ }；
非负数：{ }.
导引：非正数指的是负数和零，非负数指的是正数和
零．
知1－讲
22
7
1
2
13,0, , 8.9, 1552
228 848,0,2 016, 7
知1－讲
非正数、非负数易漏掉0.
1 (中考·广州)四个数－3.14，0，1，2中为负数的是( )
A．－3.14 B．0 C．1 D．2
下列各组数中，都是正数或都是负数的是( )
A．8，4，－2 B．2.5，4，
C．－6，0.5，0 D．0，6，9
(中考·遵义)在0，－2，5， ，－0.3中，负数的个数
是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
知1－练
2
1
2
3 1
4
2 0的意义
知2－讲
1.0的意义：
(1)0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界；
(2)0既表示没有，也表示有，它常用来表示某种量的基准；
(3)0不是最小的数，它小于任何正数，大于所有负数．
2. 易错警示：(1)0是一个中性数，它没有性质符号，“＋0”、
“－0”都为0，不要误认为它含有“正、负”号．
(2)0有“双重意义”，它既表示“没有”，不要忽视它还表示
“有”．
知2－讲
例3 下列结论正确的是( )
A．不大于0的数一定是负数
B．海拔高度是0米表示没有高度
C．0是正数与负数的分界
D．不是正数的数一定是负数
导引：选项A中“不大于0”表示的是：“小于或等于0”；
选项B中“海拔高度是0米”表示的是：“与海平面
一样高”；选项D中“不是正数的数”可以是负数
或0.
C
知2－讲
(1)本例我们采用了排除法进行解答：排除选项A、
B、D后选择C.
(2)“不大于”表示“小于或等于”，“不小于”表示“大
于或等于”．
1 下列关于“0”的叙述，正确的有( )
①0是正数与负数的分界；②0比任何负数都大；
③0只表示没有；④0常用来表示某种量的基准．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列说法正确的有( )
①带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数；
②任意一个正数，前面加上“－”号，就是一个负数；
③大于零的数是正数；
④一个数不是正数，就是负数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知2－练
2
知3－导
3 相反意义的量
交流
上述观察中的第3、第4题表中的数，各表示
什么意思？
1.生活中到处都存在相反意义的量．
2.在相反意义的量中，我们把其中一个意义的量规定
为正，那么另一个量就是负．
要点精析：(1)相反意义的量是指意义相反的两个量，
相反意义的量是成对出现的．
(2)判断相反意义的量的标准：
①两个同类量；②意义相反．
(3)具有相反意义的量的正负性是相对的，且是可以
互换的．
知3－讲
例4 (1)与去年相比，某乡今年的水稻种植面积扩大
了10 hm2(公顷），小麦的种植面积减少了
5 hm2，油菜的种植面积不变，写出这三种
农作物今年种植面积的增加量；
(2)某市“12315”中心2011年国庆期间受理消费申
诉件数：日用百货类比上年同期增长了10%，
家用电子电器类比上年下降了 20% .写出这两
类消费商品申诉件数的增长率.
知3－讲
解：(1)与去年相比，该乡今年的水稻
种植面积增加了10 hm2,小麦种
植面积增加了-5 hm2,油菜的种
植面积增加了0 hm2.
(2)与上年同期相比，消费商品申
诉件数：日用百货类增长了
10%，家用电子电器类增长了
-20%.
知3－讲
使用负数
后，在表示具
有相反意义的
两个词语之中，
只用一个词语
就可以把事情
说清.如减少5
hm2就可说成增
加-5 hm2.
例5 (1)气球上升20米记作＋20米，那么下降8米记作
__________；
(2)上证指数上涨5点记作＋5点，那么－8点的实
际意义是__________．
导引：正确理解“相反意义”，找出已知量的相反意义的
量是解此类题的突破口．
知3－讲
－8米
下跌8点
知3－讲
(1)正、负数可以很直观地表示生活中的相反意义的
量；
(2)相反意义的量中的两个量，哪个量为正没有硬性规
定．
特别提示：(2)题中答案“下跌8点”不要误写作“下跌
－8点”，下跌－8点表示的意义是上涨8点．
1 下列不是具有相反意义的量的是( )
A．前进5 m和后退5 m
B．节约3 t和浪费10 t
C．身高增加2 cm和体重减少2 kg
D．超过5 g和不足2 g
(中考·南通)如果水位升高6 m时水位变化记作＋6 m，
那么水位下降6 m时水位变化记作( )
A．－3 m B．3 m C．6 m D．－6 m
知3－练
2
(中考·宜昌)陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，高
出海平面约8 844 m，记为＋8 844 m；陆地上最低
处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415 m，
记为( )
A．＋415 m B．－415 m
C．±415 m D．－8 844 m
知3－练
3
判断相反意义的量的方法：
(1)成对出现：具有相反意义的量是成对出现的，且
必须是同类量．
(2)单位一致：两个具有相反意义的量在数量上可以
不相等，但单位必须一致．
注意：用正、负数表示具有相反意义的量时，哪种意
义为正没有硬性规定，并不是一成不变的．
第1章 有理数
1.1 正数和负数
第2课时 有理数
1 u有理数及相关概念
u有理数的分类
u数的分类
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
引入负数后，数的范围扩大了，整数包括正整
数、0和负整数，分数包括正分数和负分数.
1 有理数及相关概念
引入负数后，数按照“两种相反意义的量”来分，
可以分成几类？分别是什么？
知1－导
问 题
知1－导
1.把下列各数填入相应的大括号内。
-4，0，-6，12，3.14
正数集合：{ …};
负数集合：{ …}.
2.若下降5 m记作-5 m，那么上升8 m记作________，
不升不降记作__________。
1 22 21 3.8 + 6.22 7 3
，- ， ， ， ，
1.有理数的定义：整数和分数统称有理数．
2.要点精析：
(1)一个有理数不是整数就是分数．
(2)如果一个数既不是整数也不是分数，那么它一定
不是有理数．
知1－讲
例1 〈易错题〉在－3.5， ，0， ，0.161 616…
中，有理数共有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
导引：判别有理数要紧扣其定义，也就是看这个数是
否是整数或分数．
知1－讲
B
23
7
π
2
知1－讲
(1)本例中小数－3.5、0.161 616…可以化成分数
所以它们都是分数；
形似分数，实质上它不是分数．分数的分子、
分母应为整数(分母不为0)；
(3)找各类数时，都要注意“0”的特殊性．
7
2
、
16
99
，
π(2) 2
例2 下列说法正确的是( )
A．0是最小的偶数
B．－5是质数
C．－5是奇数
D．1是最小的奇数
知1－讲
C
知1－讲
(1)引入负数后，奇数、偶数的范围扩充了负奇数、
负偶数；质数、合数的范围没有变化；
(2)本例中，因为偶数含负偶数，所以A是错误的；
质数没有负质数，所以B也是错误的；奇数含负
奇数，所以D是错误的．因此选C.
1 下列说法不正确的是( )
A．－0.5不是分数 B．0是整数
C. 不是整数 D．－2既是负数又是整数
下列关于“0”的说法正确的是( )
(1)是整数，也是有理数；
(2)不是正数，也不是负数；
(3)不是整数，是有理数；
(4)是整数，不是自然数．
A．(1)(4) B．(2)(3) C．(1)(2) D．(1)(3)
知1－练
2
1
2
在数：6，2.5，－3，－ ，－2. ，π，
－2.413 25…， 中，不是有理数的是________．
知1－练
3
1
4 41
0.105
2 有理数的分类
知2－讲
有理数有两种常用的分类方式.
（1）按定义分类 ： （2）按性质分类：
0
正整数
整数
负整数有理数
正分数分数 负分数
正整数正有理数 正分数
有理数 0
负整数负有理数 负分数
知2－讲
要点精析：
(1)在对有理数进行分类时，要严格按照同一分类标
准，做到不重复不遗漏；
(2)非负整数包括正整数和0，非正整数包括负整数和0.
(3)正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理
数．在现阶段，正有理数就是正数．
知2－讲
例3 把下列各数分别填入相应的框里：
-16，0.04， ， ，+32，0，-3.6，-4.5，+0.9.
解：
（来自教材）
1
2
2
3
10.04 +322
+0.9.
， ， ，
216 3.63
4.5.
， ，- ，
正数 负数
知2－讲
交流
例3中，数0能放入正数框或负数框里吗？
你认为有理数还可以怎样分类？
知2－讲
例4 〈易错题〉把下列各数分别填入相应的大括号里： －2，
0，－0.314，25%，11， ，－4 ，0. ，2 .
非负有理数：{ }；
整数： { }；
自然数： { }；
分数： { };
非正整数： { }.
导引：要严格按照各类数的概念进行填写，非负有理数包含正有理
数和0；非正整数包含负整数和0.
22
7
1
3 3 3
5
22 30 25% 11 0.3 27 5
， ， ， ， ，
22 1 30.314 25% 4 0.3 27 3 5
－ ， ， ，－ ， ，
－2，0
－2，0，11
0，11
知2－讲
(1)非负有理数一定是有理数，它包含正有理数和0；
不要误认为是除负有理数以外的任何数；
(2)非正整数一定是整数；
(3)找各类数时，要时刻考虑它是否包括“0”．
1 下列说法错误的是( )
A．负整数和负分数统称为负有理数
B．正整数、负整数和0统称为整数
C．正有理数和负有理数统称为有理数
D．0是整数，但不是分数
给出一个数－107.987及下列判断：
(1)这个数不是分数，但是有理数；
(2)这个数是负数，也是分数；
(3)这个数与π一样，不是有理数；
(4)这个数是一个负小数，也是负分数．
其中判断正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
知2－练
2
3 数的分类
知3－讲
1.整数和分数的定义：
(1)数的认知过程：
自然数
(2)整数和分数：
正整数、0、负整数统称整数．
正分数、负分数统称分数．
引入分数 引入负有理数非负有理数 有理数．
2.要点精析：几种常用的整数和分数名词的含义：
(1)正整数：既是正数，又是整数的数；(2)负整数：
既是负数，又是整数的数；(3)正分数：既是正
数，又是分数的数；(4)负分数：既是负数，又是
分数的数；(5)非负整数：正整数和0；(6)非正整
数：0和负整数．
知3－讲
3.易错警示：
(1)0是有理数，也是整数，也是最小的自然数．
(2)奇数、偶数也扩充到了负数，如－1，－3是负奇
数，－2，－4是负偶数．
(3)整数也可以看作分母为1的分数．
(4)有限小数与无限循环小数都可以化成分数，所以
是有理数．
(5)无限不循环小数，比如π，0.131 131 113…不能
化成分数，所以不是有理数．
知3－讲
知3－讲
例5 〈易错题〉下列说法正确的有( )
①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理
数不是正数就是负数；③一个整数不是正数就
是负数；④一个分数不是正数就是负数；⑤一
个偶数不是正偶数就是负偶数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
导引：一个有理数可能是正数、负数或0，整数包括
0，其中①④正确．
B
知3－讲
在有关有理数概念的考查中，0最容易被忽视，
要防止“一个有理数非正即负”和“一个整数非正即负”
的错误出现．
1 下列选项中，所填的数正确的是( )
A．正数：
B．非负数：
C．分数：
D．整数：
知3－练
12 1 5 2
， ， ，
0 1 2.5，- ，-
12 .5 5 3
，，
13 52
， -
2 已知下列各数：7，－9.25，－ ，－301， ，
－3.5，0，2，5 ，－7，1.25，－ ，－3，－ .
把它们填入相应的大括号内．
正整数{ …}；
正分数{ …} ；
负整数{ …} ；
负分数{ …} ；
正数{ …} ；
负数{ …}.
知3－练
9
10
4
271
2
7
3
3
4
1．有理数的分类：
对有理数分类时，要注意分类标准，做到不重复、
不遗漏．
2．常见的三种数的含义：
(1)非负整数：零和正整数(即自然数)；
(2)非负数：零和正数；
(3)非正数：零和负数．
第1章 有理数
1.2 数轴、相反数和绝对值
第1课时 数轴
1 u数轴
u数轴上的点与有理数的对应关系
u数轴上两点间的距离
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
让机器人在一条东西向的直路上做走步取物试
验.根据指令：它由点O处出发，向西走3 m到达点A
处，拿取物品，然后，返回点O处将物品放入篮中，
再向东走2 m到达点B处取物.
1.在如图所示的直线上画出点A，B两处的位置.
2.把向东走记作“+”，向西走记作“-”，在上面的直线
上标出与点A，B相对应的数.
1 数轴
下面，我们用直线上的点来表示数.
知1－导
1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线
叫做数轴．
2.要点精析：
(1)数轴是一条直线，可以向两端无限延伸．
(2)三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可．
(3)原点的选定、正方向的选取、单位长度的确定都是
根据实际需要“规定”的，通常规定向右为正．在解
决具体问题时，可灵活选定原点的位置和单位长度
的大小，一经选定就不能随意改动．
知1－讲
3.数轴的画法：一画：画一条直线(一般是水平直线)；
二取：选取原点，并用这点表示数字0；
三定：确定正方向，用箭头表示(一般规定向右为正)；
四统一：单位长度应统一；
五标数：在原点左右两边依次标上对应的刻度数．
4.易错警示：在画数轴时常出现以下几种错误：
(1)没有正方向；(2)没有原点；(3)单位长度不统一；
(4)标数时顺序不对．
知1－讲
例1 图中，是数轴的是( )
导引：A中没有正方向，B中原点左侧标数顺序错误，
C中单位长度不统一．
知1－讲
D
知1－讲
认识数轴，要紧扣数轴的定义，围绕数轴的
“三要素”进行判断，三者缺一不可，同时还要注意
标数顺序．
例2 画出数轴，并说明画法．
导引：画数轴，要紧扣数轴的三要素：原点、正方向、
单位长度．
解：如图.
画法：(1)画一条直线(水平)；(2)取原点并标注
“0”；(3)画箭头(通常向右)；(4)确定单位长度(适
当)；(5)标注刻度数(直线下方)．
知1－讲
知1－讲
(1)画数轴的步骤：一画(直线)，二取(原点)，三定
(正方向)，四统一(单位长度)，五标数(刻度数)；
(2)数轴被原点分成两个区域：①从原点向右表示正
数区域，序号顺序从左至右；②从原点向左表示
负数区域，序号顺序从右至左；
(3)数标注在直线刻度下方．
知1－讲
特别提醒：画数轴时，原点的选定、正方向的
选取和单位长度的确定，都要根据实际需要而定，
通常取向右的方向为正方向．
下列所画数轴正确的是( )
下列说法中，错误的是( )
A．在数轴上，原点位置的确定是任意的
B．在数轴上，正方向是从原点向左
C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要任意选取
D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线
知1－练
2
1
A
C D
B
2 数轴上的点与有理数的对应关系
知2－讲
1.数轴的两个最基本的应用：
一是知点读数，二是知数画点，
它是最直观的数形结合
体．
2.数轴上的点与有理数间的关系：数轴上的每一个点都
表示一个数，所有的有理数都可以用数轴上的点来表
示，但数轴上还有一部分点表示的不是有理数，它们
之间不是一一对应的关系，比如π这样的数也能在数
轴上表示．
知数画点
知点读数即：数 点（形），
知2－讲
例3 说出图中所示的数轴上A，B，C，D各点表示的
数.
解：点C在原点表示0，点A在原点左边与原点距离2个单
位长度，故表示-2.同理，点B表示-3. 5.点D在原点
右边与原点距离2个单位长度，故表示2.
知2－讲
例4 在数轴上，画出表示下列各数的点:
+ 4， -1.25，-4.
解：+4用数轴上位于原点右边与原点距离4个单位长度的
点表示，-4用数轴上位于原点左边与原点距离4个单
位长度的点表示.同理，可画出表示
点，如图.
1 1
2 2
，，
1 1 1.252 2
， ，- 的
知2－讲
例5 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点．
－2，－2 ，－ ，3， .
导引：画出数轴后，先要区分清楚各个点的区域位置；
再看它到原点有几个单位长度；最后画出点的位
置．
解：如图.
1
2
1
2
1
2
知2－讲
对于给定的任一有理数，我们总可以在数轴上
找到一个点和它对应，即知数画点；在画点时要注
意：(1)标实心圆点；(2)数要写在对应点的正上方．
1 如图，分别用数轴上的点A，B，C，D表示数，下列
判断正确的是( )
A．点D表示－2.5 B．点C表示－1.25
C．点B表示1.5 D．点A表示1.25
在数轴上表示－2，0，6.3， 的点中，在原点右边
的点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知2－练
2 1
5
数轴上两点间的距离的求法：
在数轴上求两点之间的距离，只需数一数两点
之间相隔多少个单位长度．切记，距离不可能是
负数！
知3－讲
3 数轴上两点间的距离
知3－讲
例6 数轴上到表示2的点的距离是5的点表示的数
是________．
错误答案：7
错解分析：只考虑了表示2的点右侧的点，忽视了左侧
还有一个点；画出数轴，利用数形结合思想
能克服片面理解的误区，很直观看出数轴上
与表示2的点相距5个单位长度的点在表示2的
点的两侧，有两个点．
7或－3
知3－讲
距离是一个长度，在数轴上表示到某个点
的距离为a的点时，用分类讨论思想时要考虑在
这个点左侧且距此点a个单位长度有一个点；在
这个点右侧且距此点a个单位长度也有一个点．
知3－讲
例7 如图1，数轴上有三点A、B、C.请回答：
(1)三点A、B、C中，任意两点之间的距离是多少个
单位长度？
(2)将点C沿数轴向左移动8个单位长度，此时点A、
B、C中任意两点之间的距离是多少个单位长度？
导引：(1)在数轴上数一数两点之间有多少个单位长度，要
注意，距离与方向(正负)无关，其结果都是正的．
(2)在数轴上画出点C移动后的位置点C′，然后求出
A、B、C′中任意两点之间的距离即可．
知3－讲
解：(1)A、B两点之间的距离是5个单位长度；B、C两点之
间的距离是2个单位长度；A、C两点之间的距离是7
个单位长度．
(2)如图2，将点C沿数轴向左移动8个单位长度，得点
C′.
此时，A、B两点之间的距离是5个单位长度；B、
C′两点之间的距离是6个单位长度；A、C′两点之
间的距离是1个单位长度．
1 (2015·永州)在数轴上表示数－1和2 014的两点分别
为A和B，则A，B两点之间的距离为( )
A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016
如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点
B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示
的数为1，则点A表示的数为( )
A．7 B．3
C．－3 D．－2
知3－练
2
1.数轴的“两点应用”：
(1)根据有理数在数轴上找到表示该有理数的点；
(2)根据数轴上表示有理数的点读出其表示的有理
数，简单地说，一是知数画点，二是知点读数．
2.数轴上的点与有理数间的关系：
所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但数轴上
的点表示的数不一定都是有理数．
第1章 有理数
1.2 数轴、相反数和绝对值
第2课时 相反数
1 u相反数的定义
u相反数的性质
u多重符号的化简
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
观察
各有什么相同点和不同
点？它们在数轴上的位置有什么关系？
1 12 2, 4 4 2 2
与 - 与 - ， 与 -
1 相反数的定义
1.相反数的定义
代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
特殊规定：0的相反数是0.
几何意义：在数轴上表示两个数的点，如果分别位于
原点两侧，并且到原点的距离相等，那么这两个数互
为相反数．
知1－讲
知1－讲
2.要点精析：含义：(1)相反数是两个数之间的特殊关
系，是成对出现的，不能单独存在．
(2)任何一个有理数，都只有一个相反数．
(3)“只有”指的是除符号不同外，其他完全相同．
(4)相反数与前面所学的“相反意义的量”是不同的概
念．
3.易错警示：“只有符号不同”不要错误地理解为“只要
符号不同”，“只有符号不同”包含两层意义：(1)符号
相反；(2)所含的数字相同．
例1 写出下列各数的相反数：
3，-7，-2.1， 0，20.
解：3的相反数是-3，-7的相反数是7，-2.1的相反
数是2. 1，
0 的相反数是0，20的相反数是-20.
知1－讲
2 5
3 11
，- ，
2 2 5 5, ,3 3 11 11
的相反数是- 的相反数是
例2 下列说法正确的是( )
A．－2是相反数
B．－ 与－2互为相反数
C．－3与＋2互为相反数
D．－ 与0.5互为相反数
导引：判断两个数是否互为相反数，按其定义从两个
方向去看：符号(＋、－)和所含数字(相同)．
知1－讲
D
1
2
1
2
知1－讲
本题根据只有符号不同的两个数叫做互为相
反数来进行判断；注意：当两个数中一个为小
数，一个为分数时，要统一书写形式，否则易产
生错误．
例3 如图，点A，B，C，D表示的数中，表示互为
相反数的两个点是( )
A．点A与点C B．点B与点C
C．点A与点D D．点B与点D
导引：判断两个点所表示的数是否互为相反数，要看
这两个点是否关于原点对称．
知1－讲
C
知1－讲
判断两个点所表示的数是否互为相反数，就是
要看它是否满足两个条件：一是点在原点两侧，二
是点到原点的距离相等．
1 (中考·广元)一个数的相反数是3，这个数是( )
A. B．－ C．3 D．－3
如图，所表示的数互为相反数的点是( )
A．点A与点C B．点B与点D
C．点B与点C D．点A与点D
知1－练
1
3
2
1
3
下列几组数中，互为相反数的是( )
A．－ 和0.7 B． 和－0.333
C．－(－6)和6 D．－ 和0.25
知1－练
3
1
7
1
3 1
4
2 相反数的性质
知2－讲
1.相反数的求法：求一个数的相反数就是在这个数的
前面加上“－”号，即a的相反数是－a，其实质是改
变这个数的符号．
要点精析：
(1)正数的相反数就是在原数前面加上“－”号；
(2)负数的相反数就是将原数前面的“－”号去掉；
(3)0的相反数是0.
知2－讲
2.相反数的性质：若a、b互为相反数，则a＋b＝0
(a＝－b，b＝－a)；反过来，若a＋b＝0，则a、b互
为相反数．即：a、b互为相反数
3.易错警示：(1)a的相反数是－a，但－a不一定是负
数．(2)求一个式子的相反数，一定要将整个式子加
上括号，再在括号前面添上“－”号．
0.a b
性质
判定 ＋ ＝
知2－讲
例4 填空：
(1)－5 的相反数为_________；
(2)2m是__________的相反数；
(3)π－3的相反数是______________．
导引：求一个数的相反数，只需在这个数的前面添上
“－”号．
－2m
－(π－3)
8
9
85 9
知2－讲
求一个数的相反数，其实质是改变这个数的符
号；当求一个式子的相反数时，先把这个式子加上
括号，再在括号前加上“－”号．
知2－讲
例5 已知：m＋n＝0，n＋p＝0，m－q＝0，则( )
A．p与q相等 B．m与p互为相反数
C．m与n相等 D．n与p相等
导引：先由m＋n＝0，n＋p＝0可知m、p都是n的相反
数，而一个数的相反数是唯一的，所以m＝p，
再由m－q＝0得m＝q，因此q＝p.
A
1 一个数的相反数等于它本身，这样的数一共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(中考·菏泽)如图，四个有理数在数轴上的对应点为
M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反
数，则图中表示到原点的距离最小的点是( )
A．点M B．点N C．点P D．点Q
知2－练
2
知3－讲
3 多重符号的化简
(1)一般地，在一个数的前面添上一个“－”号，表示这个数的
相反数，在一个数的前面添上“＋”号，表示这个数本
身．利用这一规律，可将带有多重符号的数中的符号及括
号，像剥茧抽丝一样，一层一层地剥去，进行化简．
(2)化简一个带有多重符号的数，与它前面的“＋”号个数无
关，与“－”号个数有关，当“－”号的个数为奇数时，这
个数为负，当“－”号的个数为偶数时，这个数为正；即我
们可以按照“奇负偶正”的原则直接写出结果．
知3－讲
例6 化简下列各数中的符号：
(1)－(－3)； (2)－(＋5); (3)＋ ；
(4)－[＋(－1)]; (5)－(－a);
(6)
导引：(1)－(－3)表示－3的相反数；(2)－(＋5)表示＋5的相
反数；(3)＋
表示＋(－1)的相反数，即－1的相反数；(5)－(－a)
表示－a的相反数；(6)2n－1为奇数，所以结果为负．
解：(1)3. (2)－5. (3)－2
12 3
2 1
.
n n
（ ）个负号， 为正整数
－[－（－ (-1) )]
1 12 2 4 13 3
表示- 本身；（ ）-[+(- )]
1 . 4 1. 5 . 6 1.3 a －
1 下面两个数互为相反数的是( )
A．－(＋7)与＋(－7)
B．－5和－(＋0.5)
C．－1.25和
D．＋(－0.01)与－
化简下列各数：
(1)－[－(＋2)]＝________；
(2)－[－(－2 017)]＝________；
(3)－[＋(－18)]＝________；
(4)－ ＝________．
知3－练
2
2+ + 3
-
4
5 1
100
相反数的意义：
代数意义：(1)成对出现；(2)只有符号不同，即a的
相反数是－a；特殊地：0的相反数是0.
几何意义：数轴上位于原点两旁且到原点距离相等
的两个点所表示的数互为相反数．
第1章 有理数
1.2 数轴、相反数和绝对值
第3课时 绝对值
1 u绝对值的定义
u绝对值的性质
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
观察
在数轴上，表示4与-4的点到原点的距离各是多
的点到原点的距离各是多少？
在数轴上，表示数a的点到原点的距离，叫做数a
的绝对值（absolute value )，记作| a |.
例如+4和-4它们位于原点两侧，但到
原点距离都等于4，即它们的绝对值都
是4，记作|+4|=4，|-4| =4，如图.
绝对值相等、
符号相反的两个
数互为相反数.
1 1
2 2
少？表示 与
表示数0的点即原点，故| 0 |=0.
由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本
身；一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
1 绝对值的定义
1.绝对值的定义：
几何定义：在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做
数a的绝对值，记作
代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的
绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；任一个数的绝
对值为唯一非负数．
知1－讲
.a
知1－讲
用式子表示为：
2.要点精析：(1)任何数都有绝对值，且只有一个；
(2)任何数的绝对值不可能是负数；
(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，而绝对值相
等的两个数相等或互为相反数．
(4)求一个数的绝对值时，要“先判后去”，即先判断
这个数是正数、0、还是负数，再由绝对值的意义
去掉这个数的绝对值符号．
( 0)
( 0)
( ).
0
0
a
a
a
aa
a
；
；＝
知1－讲
3.易错警示：因为当a＞0时，
＝0，也是a本身，所以绝对值等于它本身的数是
=-a，是a的相反数，当a＝0
＝0，也可以看成是a的相反数，所以绝对值
等于它的相反数的数是非正数.在实际应用中易漏
掉0.
0a a aa ＝ ，当 ＝ 时，
0a a非负数；当 ＜ 时，
a时，
例1 求下列各数的绝对值：
- ，+1，-0.1，4.5.
解：
知1－讲
（来自教材）
2
3
2 2 +1 =1 -0.1 =0.13 3
， ， ，
4.5 =4.5.
例2 写出下列各数的绝对值．
，0，－ ，－3 ，－4.5，－5.
是正数，它的绝对值是它本身；0的绝
对值是0，
它们的绝对值是它们的相反数．
解：
知1－讲
15
4
3
2
1
2
15
4
导引：
3 13 4.5 52 2
- ，- ，- ，- 都是负数，
15 15 3 3 1 1= |0|=0 = 3 =34 4 2 2 2 2
； ； ； ；
4.5 =4.5 5 =5. ；
知1－讲
求一个数的绝对值的方法：去掉绝对值符号
时，必须按照“先判后去”的原则，先判断这个
数是正数、0或负数，再根据绝对值的定义去掉绝
对值符号，总之要确保其结果为非负数且只有一个．
例3 计算：(1)|－19|－|10|； (2)|8－6|；
(3) .
导引：先确定运算顺序，再计算．
解：(1)|－19|－|10|＝19－10＝9.
(2)|8－6|＝|2|＝2.
(3)
知1－讲
| 2.4 |
| 3 |
| 2.4 | 2.4 0.8.| 3 | 3
知1－讲
计算绝对值时，只管绝对值符号里边数的运
算，绝对值外面的符号不参与绝对值的运算；运
算时，先去掉绝对值符号，再进行其他运算．
例4 如果|a|＝4，|b|＝8，且a在数轴上对应的点位
于原点的右边，b在数轴上对应的点位于原点
的左边，那么在数轴上这两个点之间的距离
是多少？
导引：题中涉及三个问题：(1)已知一个数的绝对值，
求这个数；(2)由表示数的点在数轴上的位置，
确定这个数；(3)在数轴上求出表示这两个数的
点之间的距离．
知1－讲
解：由|a|＝4，得a＝4或a＝－4.
因为a在数轴上对应的点位于原点的右边，
所以a＝4.
由|b|＝8，得b＝8或b＝－8.
因为b在数轴上对应的点位于原点的左边，
所以b＝－8.
由图知，数轴上表示4和－8这两个数的点之间的
距离是12.
知1－讲
知1－讲
(1)有关绝对值的问题，需利用数轴来分析，这样解
题更直观明了，能体现“数”与“形”的完美统一；
(2)对于已知一个数的绝对值，求这个数有两个解的
情况，解答时，常常利用数形结合思想、分类讨
论思想，从而避免漏解的错误．
2
1 如图，点A所表示的有理数的绝对值是( )
A．－1 B．1
C．±1 D．以上都不对
(中考·北京)数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置
如图所示，在这四个数中，绝对值最大的是( )
A．a B．b C．c D．d
知1－练
2 绝对值的性质
知2－讲
1.非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，
即|a|≥0.
拓展：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.
即
2.互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a与b互为
.反之，若两个数的绝对值相等，
则这两个数相等或互为相反数，即若
a=b或a=-b.
0 0.a b c m a b c m ＋ ＋ ＋ ＋ = ，则 = = = = =
a b相反数，则
a b ，则
知2－讲
与绝对值有关的两种常见题型：
1．求一个数的绝对值：其解法的实质是去掉绝对值符
号，去绝对值符号必须按照：“先判后去”的原则，
即先判断这个数的正、负性；再按照定义去绝对值
符号；要确保其结果为非负数且只有一个；
2．已知一个数的绝对值求这个数：有两解(0除外)，
且这两解互为相反数．
知2－讲
例5 下列各式中无论m为何值，一定是正数的是( )
A. |m| B. |m+1|
C. |m| ＋1 D．－(－m)
导引：选项A中当m＝0时，不符合题意；选项B中当m
＝－1时， |m+1|＝0，不符合题意；选项D中－(－
m)＝m显然不符合题意；选项C中，因为|m| ≥0，
所以|m| ＋1≥1，符合题意．
C
知2－讲
由绝对值的非负性得：|m|≥0，所以|m|＋1
一定是正数．
知2－讲
例6 已知|a－2|＋|b－1|＝0，求a、b的值．
导引：因为|a－2|和|b－1|都是非负数，所以a－2＝0，
b－1＝0.
解：根据绝对值的非负性中的二级结论，知：a－2
＝0，b－1＝0.
所以a＝2，b＝1.
知2－讲
若几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
如果 ＋|b－1|＝0，那么a＋b＝( )
A．－ B. C. D．1
知2－练
1 1
2a
1
2
3
2
1
2
2 填空．
(1)|15|＝______，|2.5|＝______， ＝______；
(2)|－15|＝______，|－2.5|＝______， ＝_______；
(3)由以上可以看出：
当a是正数时，|a|________0；
当a是负数时，|a|________0；
当a为任意有理数时，|a|________0.
知2－练
2
3
2
3
-
(中考·天水)若a与1互为相反数，则|a＋1|等
于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
知2－练
3
理解绝对值的意义要从代数与几何两个方面入
手，其实质是任何数的绝对值都是非负数，即：
(1)正数、负数的绝对值是正数；
(2)0的绝对值是0，0是绝对值最小的数；
(3)若一个数的绝对值是正数，则这样的数有两个，
它们互为相反数．
第1章 有理数
1.3 有理数的大小
1 u用数轴比较有理数的大小
u用法则比较有理数的大小
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
在小学里，我们已经学会了比较两个正数
的大小，那么，引进负数以后，怎样比较任意
两个有理数的大小呢？例如，1与-2哪个大？-3
与-4哪个大？
1 用数轴比较有理数的大小
用数轴比较有理数的大小：
1.法则：数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示
的数总比左边点表示的数大．
2.利用数轴比较大小关键有两步：一是在数轴上标
点；二是观察表示数的点在数轴上的位置．
知1－讲
例1 将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”
号连接起来：－2，0，1，－0.5，－ ，2 .
导引：先把这些数准确地表示在同一条数轴上，按右
边的点表示的数大于左边的点表示的数，将各
数按从小到大的顺序排列．
解：如图所示．
所以
知1－讲
3
2
1
2
3 12 0.5 0 1 2 .2 2
－ ＜－ ＜－ ＜ ＜ ＜
知1－讲
本题运用了数形结合思想，由点在数轴上的位
置来判断表示的数的大小．
例2 不小于－4的负整数有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
导引：通过观察数轴，在表示数－4这个点的右侧的负
整数有－3、－2、－1，包括－4本身共有4个．
知1－讲
B
知1－讲
(1)不小于－4说明包括－4；
(2)负整数不包括0.
2
1 (中考·丽水)在数－3，2，0，3中，大小在－1和2之
间的数是( )
A．－3 B．2 C．0 D．3
已知有理数a，b所对应的点在数轴上的位置如图，
则下列四个选项中正确的是( )
A．－a＜0＜b B．－b＜a＜0
C．a＜0＜－b D．0＜b＜－a
知1－练
3 表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，
则数－a，－b的大小关系为( )
A．－b＞－a B．－b＜－a
C．－b＝－a D．不能确定
知1－练
2 用法则比较有理数的大小
知2－讲
1. 有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正
数大于负数．
2.法则的优缺点：
（1）优点：两个数相比较时，可依据法则直接比
较，不需要借助数轴．
（2）缺点：当两个数是负数时，法则无法解决，只
有利用数轴比较．
知2－讲
利用绝对值比较两个负数的大小的方法：
两个负数，绝对值大的反而小．
要点精析：(1)只有比较两个负数的大小时，才能利用
“绝对值大的反而小”；
(2)比较两个负数大小的步骤简记为“一求、二比、三
判断”，即①分别求出两个负数的绝对值；②比较
两个绝对值的大小；③根据“绝对值大的反而小”进
行判断．
拓展：多个负数相比较时，可利用此法则进行比较，也
可利用画数轴的方法进行比较．
知2－讲
例3 比较下列每组数的大小:
(1)-2与-3；(2) 与-0.8.
解：(1)因为 |-2| =2, |-3| =3, 2 -3.
(2)因为
0.6
<
>
知2－讲
比较两个数的大小关系，紧扣“正数>0>负
数”的原则．
知2－讲
例5 下列各数是否存在，如果存在，把它们找出来：
(1)最大的正数； (2)最小的负数；
(3)最大的负整数； (4)最小的正整数；
(5)最小的自然数； (6)最大的非负数．
导引：找最大或最小的数，主要以0为参照物，符合条
件且唯一就存在，否则不存在．
解：(1)不存在 (2)不存在 (3)存在，－1
(4)存在，1 (5)存在， 0 (6)不存在.
知2－讲
正数与负数均无最大与最小，对于整数而
言，取最大或最小值都是以0为界点，在0的两侧
取＋1或－1，注意：非负数没有最大值但有最小
值．
知2－讲
例6 比较下列各组数的大小：
(1) ；(2) 和－3.13；
(3)－|-5|和0；(4)
解：(1)因为
(2)因为
5 5
6 7
和 22
7
1 1 .5 6
和
5 5 35 6 6 36 35 36, , ,6 6 42 7 7 42 42 42
且
5 6 .6 7
所以-
22 22 3.14 3.13 =3.13 3.14>3.137 7
， ，且 ，
22 < 3.13.7
所以- -
知2－讲
(3)因为－|-5| ＝－5，且－5＜0，所以－|-5| ＜0.
(4)
因为正数大于负数，所以
所以
1 1 1 1= .5 5 6 6
，
1 1 .5 6
1 1 .5 6
知2－讲
通过本题我们了解到利用绝对值可以比较两
个负有理数的大小．
比较两个负数大小的步骤：第一步：分别求出
两个负数的绝对值；第二步：比较求出的绝对值的
大小；第三步：利用绝对值比较有理数大小的法则
进行判断．
（来自《点拨》）
1 (中考·安徽)在－4，2，－1，3这四个数中，比－2
小的数是( )
A．－4 B．2 C．－1 D．3
知2－练
知2－练
2 下面各数的大小排列正确的是( )
1 3 2 1
2 4 3 2
3 2 1 1
4 3 2 2
1 3 2 1
2 4 3 2
1 2 3 1
2 3
A 0
B 0
C 0
D 04 2
． ＜－ ＜－ ＜＋ ＜－
．－ ＜＋ ＜－ ＜ ＜－
．－ ＜－ ＜ ＜＋ ＜－
．－ ＜＋ ＜－ ＜ ＜－
两个有理数比较大小的“三种情况”：
1．两数同号：
2．两数异号：正数大于负数.
3．一数与0：
同正：绝对值大的大，
同负：绝对值大的反而小.
正数与0；正数大于0，
负数与0；负数小于0.
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