第1章 有理数
1.5 有理数的乘除
第1课时 有理数的乘法——有
理数的乘法法则
1 u有理数的乘法
u倒数
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
(1)商店降价销售某种产品,若每件降5元,售出60件,问与降
价前比,销售额减少了多少?
(2)商店降价销售某种产品,若每件提价－5元,售出60件,与
提价前比,销售额增加了多少?
(3)商店降价销售某种产品,若每件提价a元,售出60件,问与
提价前比,销售额增加了多少?
问 题（一）
(1)登山队攀登一座高峰,每登高1km,气温下降6℃,登
高3km后,气温下降多少?
(2)登山队攀登一座高峰,每登高1km,气温上升－6℃,
登高3km后,气温上升多少?
(3)登山队攀登一座高峰,每登高1km,气温上升－6℃,
登高－3km后,气温有什么变化?
问 题（二）
(1)2×3=____ ; (2)－2×3=____; (3)2×(－3)=___;
(4)(－2)×(－3)=___; (5)3×0=____; (6)－3×0=___.
思考：比较－2×3＝－6，2×3=6，你对一个负数
乘一个 正数有什么发现？
问 题（三）
把一个因数换成它的相反数，所得积是原来的积的
相反数.
1 有理数的乘法
知1－导
在实验室中，用冷却的方法可将某种生物标本的温
度稳定地下降，每1 min下降2℃.假设现在生物标本的温
度是0℃ ,问3 min后它的温度是多少？
问 题（一）
知1－导
在问题1的情况下，问1 min前、2 min前该种生物
标本的温度各是多少？
问 题（二）
知1－讲
1.有理数乘法法则：
(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
(2)任何数与0相乘仍得0.
(3)任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都
等于它的相反数．
知1－讲
要点精析：(1)如果两个数的积为正数，那么这两个数
同正或同负，反之亦然；(2)如果两个数的积为负数，
那么这两个数一正一负，反之亦然；(3)如果两个数的
积为0，那么这两个数中至少有一个是0，反之亦然．
2.易错警示：不要与加法法则混为一谈，错误地理解为
“同号取原来的符号”，再把绝对值相乘．
知1－讲
3 5 3 53 = =1.5 3 5 3
－ － ＋
3 11 5 6 2 2 6
3 53 4 8 1.25 .5 3
－ － ； － ；
－ － ； －
1 5 6 = 5 6 =30. － ＋解： －
3 1 3 1 12 = = .2 6 2 6 4
－ － －
4 8 1.25 = 8 1.25 = 10. － － －
（来自教材）
例1 计算：
知1－讲
例2 下列说法正确的是( )
A．同号两数相乘，取原来的符号
B．两个数相乘，积大于任何一个乘数
C．一个数与0相乘仍得这个数
D．一个数与－1相乘，积为该数的相反数
导引：A.两数相乘，同号得正，错误； B.两个数相乘，
积不一定大于任何一个乘数，如3×0＝0，错误；
C.一个数与0相乘得0，错误；D正确．
D
知1－讲
解答选择题，不仅要找出正确的选项，更重要的
是能诊断出错误选项的错因．
知1－讲
例3 计算：
(1)(－6)×(＋5)；(2)
(3) (4)
1 3
2 4
－ － ；
导引：(1)(3)异号两数相乘，积为负；(2)同号两数相乘，
积为正；(4)任何数与0相乘，都得0.
3 21 4 7
－ ； 17 0.3
－
知1－讲
解：(1) (－6)×(＋5)＝－6×5＝－30.
1 3 1 3 32 = = .2 4 2 4 8
－ －
3 2 7 2 13 1 = = .4 7 4 7 2
－ － －
14 7 0=0.3
－
知1－讲
先定符号，同号得正，异号得负，再算绝对值；
任何数与0相乘都得0.
知1－讲
例4 如图，数轴上A、B两点所表示的两个数的( )
A．和为正数 B．和为负数
C．积为正数 D．积为负数
导引：由图可知A点表示的数是负数，B点表示的数为
正数，并且这两个数的绝对值相等．
D
知1－讲
本题是一道数形结合题，先确定A、B两点表示的有
理数的符号，再确定它们的绝对值大小，积的符号由两
数的符号确定；和的符号既要看两数的符号，又要看它
们的绝对值的大小．
1 填表（想法则、写结果）：
知1－练
2 回答：
(1) 一个数与＋1相乘，得什么数？
(2) —个数与－1相乘，得什么数？
因数 因数 积的符号 积的绝对值 积
＋8 －6
－10 ＋8
－9 －4
20 8
3 下列说法错误的是( )
A．一个数同1相乘，仍得这个数
B．一个数同－1相乘，得原数的相反数
C．互为相反数的两数的积为1
D．一个数同0相乘，得0
知1－练
4 如图，数轴上A，B两点所表示的两数的( )
A．和为正数 B．和为负数
C．积为正数 D．积为负数
倒数2
知2－讲
1.定义：乘积是1的两个有理数互为倒数．
要点精析：(1)0没有倒数．(2)一个数和它的倒数的符号相
同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．(3)倒数
是相互的，当ab＝1时，a叫做b的倒数，b也叫做a的倒数．
(4)1或－1的倒数是它本身．
2.易错警示：(1)负数的倒数也为负数，不要忘记写负号．
(2)不是任何数都有倒数，例如0没有倒数．
知2－讲
例5 下列各组数中的两个数互为倒数的是( )
导引：根据倒数的定义，分别计算各组中两数的积，
若积为1，则两数互为倒数，否则不互为倒数．
24 25 1 1A. B. 4 45 4 3 3
1 3 1 3C. 7 D. 53 22 3 16
－ 与－ － 与
－ 与 － 与－
D
知2－讲
例6 已知a的倒数是它本身，b是－10的相反数，负
数c的绝对值是8，求式子4a－b＋3c的值．
解：因为a的倒数是它本身，所以a＝±1.
因为b是－10的相反数，所以b＝10.
因为负数c的绝对值是8，所以c＝－8.
所以4a－b＋3c＝4×1－10＋3×(－8)
＝4－10＋(－24)＝－30
或4a－b＋3c＝4×(－1)－10＋3×(－8)
＝－4－10＋(－24)＝－38.
知2－讲
(1)0没有倒数；(2)倒数等于本身的数有两个：±1；
(3)互为倒数的两个数符号相同．
1 若数a≠0，则a的倒数是________，________没有倒
数；倒数等于它本身的数是________．
2 若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则5(a＋b)－6cd
＝________．
知2－练
3 (中考·毕节) 的倒数的相反数等于( )
A．－2 B. C． D．2
4 下列说法错误的是( )
A．任何有理数都有倒数
B．互为倒数的两个数的积为1
C．互为倒数的两数符号相同
D．1和1互为倒数
知2－练
1 2
－
1 2
－1 2
1.有理数乘法法则：
(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
(2)任何数与0相乘仍得0.
2.倒数的性质：
(1)如果a，b互为倒数，那么ab＝1；
(2)0没有倒数(因为0与任何数相乘都不为1)；
(3)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；
(4)倒数等于它本身的数是±1；
(5)倒数是成对出现的．
第1章 有理数
1.5 有理数的乘除
第2课时 有理数的乘法——有理数
乘法的符号法则
1 有理数相乘的符号法则
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
计算：
(1) (－4) ×5 × (－0.25) = ——；
×(－ 16) ×( ＋ 0.5) ×(－4)= ———；
(3) (＋2) ×(－8.5) ×(－100) × 0 ×(＋90)= ——.
多个有理数相乘,有一个因数为0时，积是多少？因
数都不为0时，积的符号怎样确定？
32 8
－
几个数相乘，有一个因数为0,积为0.
几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，
积为正.
有理数相乘的符号法则
知－讲
1.有理数相乘的符号法则：(1)几个数相乘，有一个因数
为零，积就为零．(2)几个不为0的数相乘，积的符号由
负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正．
知－讲
要点精析：(1)在有理数乘法中，每个乘数都叫做一个因
数．(2)几个不为0的有理数相乘，先确定积的符号，
然后将绝对值相乘．(3)几个有理数相乘，如果有一个
因数为0，那么积就等于0；反之，如果积为0，那么至
少有一个因数为0.
2. 易错警示：负因数的个数为奇数时，结果为负数，不
要忘记写“负号”．
知－讲
2 1 12 1 1 53 5 2
2 13 2 1 0.732 0.3 2
－ － － ；
－ －
例1 计算：
(1)(－5)×(－4)×(－2)×(－2)；
导引：(1)负因数的个数为偶数，结果为正数．(2)负
因数的个数为奇数，结果为负数．(3)几个数
相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
知－讲
2 13 2 1 0.732 0=0.3 2
－ －
1 5 4 2 2 =5 4 2 2=80. － － － －解：
2 1 1 2 6 32 1 1 5= 5 = 6.3 5 2 3 5 2
－ － － － －
知－讲
多个有理数相乘时，先定积的符号，再定积的
绝对值，在运算时，一般情况下先把式子中所有的
小数化为分数、带分数化为假分数之后再计算．
知－讲
例2 计算： 1 2 11 3 1 .8 3 3
－ － －
9 2 4= 3 = 3.8 3 3
－解 原式 －：
知－讲
多个有理数相乘，先确定积的符号，再进行计算．
积的符号的确定是常出错的地方，出错的原因是没有
按照有理数乘法的运算步骤去做．
知－讲
例3 已知x＜y＜0，那么(x＋y)(x－y)________0.(填
“＞”“＜”或“＝”)
导引：因为x＜0，y＜0，所以x＋y＜0，又因为x＜y，
所以x－y＜0，所以(x＋y)(x－y)＞0.
＞
知－讲
(1)加法法则中的符号法则：同号取原来的符号，
异号取绝对值较大的加数符号，这里所指的都是相对
于两数相加而言的；(2)乘法法则中的符号法则，分
两数相乘和几个有理数相乘两种情况：当两数相乘时，
就看它们是否同号；当几个有理数相乘时，就看它们
的负因数的个数．
知－讲
例4 一辆出租车在一条东西大街上服务．一天上午，这 辆
出租车一共连续送客10次，其中4次向东行驶，每次
行程为10 km；6次向西行驶，每次行程为7 km.问题：
(1)该出租车连续10次送客后停在何处？
(2)该出租车一共行驶了多少千米？
导引：如果把向东行驶规定为“＋”，那么向西行驶为“－”，
向东行驶4次，每次10 km，即有4个10 km，共4×10＝
40(km)；向西行驶6次，每次7 km，共6×(－7)＝－
42(km)．进而可求解(1)(2)两问．
知－讲
解：如果把向东行驶规定为“＋”，
那么向西行驶为“－”．
(1)4×10＋6×(－7)＝40＋(－42)＝－2(km)，
所以该出租车停在出发点西方2km处．
(2)|4×10|＋|6×(－7)|＝40＋|－42|＝82(km)，
所以该出租车一共行驶了82 km.
知－讲
将实际问题建立数学模型，列式计算．
1 (口答)确定下列积的符号：
(1)(－5) ×4 × (－1) × 3; (2) (－4) × 6 ×(－7) ×(－3);
(3)(－1) ×(－l) ×(－1); (4)(－2) ×(－2) ×(－2) ×(－2).
知－练
（来自教材）
2 n个不等于零的有理数相乘，它们的积的符号( )
A．由因数的个数决定
B．由正因数的个数决定
C．由负因数的个数决定
D．由负因数的大小决定
3 下列各式中积为负数的是( )
A．(－2)×(－2)×(－2)×2
B．(－2)×3×4×(－2)
C．(－4)×5×(－3)×8
D．(－5)×(－7)×(－9)×(－1)
知－练
4 若五个有理数相乘的积为正数，则五个数中负数的个
数是( )
A．0 B．2 C．4 D．0或2或4
5 (中考·台湾)算式 之值为何？( )
知－练
6 有2 016个有理数相乘，如果积为0，那么在2 016个有理数
中( )
A．全部为0 B．只有一个为0
C．至少有一个为0 D．有两个数互为相反数
7 如果－1＜a＜0，那么a(1－a)(1＋a)的值一定是( )
A．负数 B．正数
C．非负数 D．正、负数不能确定
1 1 21 32 4 3
－ －
1 11 11 13A. B. C. D.4 12 4 4
多个有理数相乘的方法：先观察因数中有没有0，若
有0，则积等于0；若因数中没有0，先观察负因数的个数，
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，
积为正，再计算各因数的绝对值的积，在求各因数的绝
对值的积时要考虑运用乘法的交换律和结合律进行简化
计算，应用运算律时要尽可能地将能约分的、凑整的、
互为倒数的结合在一起，以达到简化计算的目的．
第1章 有理数
1.5 有理数的乘除
第3课时 有理数的除法
1 u用倒数法相除
u用法则相除
2
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
探究解决问题一：已知3x＝15，则x＝___；－3x＝15，则x＝
_______．
探究解决问题二：4×_____＝－20；－8×______＝40．你是如何
计算的？
探究解决问题三：根据乘除互逆运算关系，你能求下列两数的商
吗？
乘法 除法
2×3＝6 6÷2＝ 6÷3＝
－2×3＝－6 －6÷2＝ －6÷3＝
－2×（－3）＝－6 －6÷（－2）＝ －6÷（－3）＝
你能发现有理数除法又是如何计算的？
1 用倒数法相除
交流
（1）小学里做分数运算时，怎样将除法转化为乘法？
（2）有理数的除法也可以转化为乘法吗？
把你的看法与同学交流.
知1－导
知1－讲
用倒数相除：有理数除法也可转化为乘法：除以
一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．
知1－讲
（来自教材）
例1 计算：
.10)7
30)(2(
);3
2()8)(1(
解：
知1－讲
例2 计算： (1)(－12)÷ ；
(2) ；(3)0÷(－3.72)；
(4)1÷(－1.5)；(5)(－4.7)÷1.
导引： (1)除以一个不为0的数，等于乘以这个数
的倒数．
(2)带分数化为假分数再相除．
(3)0除以任何一个不为0的数都等于0.
(4)小数化为分数再相除．
(5)任何数除以1都等于它本身．
2
1
2
134
31
知1－讲
解： (1)(－12)÷ ＝(－12)×(＋2)＝－24.
(3)0÷(－3.72)＝0.
(4)1÷(－1.5)＝1÷
(5)(－4.7)÷1＝－4.7.
易错警示：不论选用哪种方法，都要先确定符号.
知1－讲
利用倒数把除法转化为乘法，加以运算.
知1－讲
例3 计算：
导引：可先确定结果的符号，再求结果的绝对值．
解：
.5
113
123
10
知1－讲
多个有理数连除的计算步骤：(1)确定符
号并将带分数化成假分数；(2)转化为乘法运
算；(3)进行乘法运算．
1 写出下列各数的倒数：
(中考·徐州)－2的倒数是( )
A．2 B．－2 C. D．－
下列计算中错误的是( )
A．(－5)÷ ＝(－5)×(－2)
B. ÷(－3)＝3×(－3)
C．(－2)÷(－3)＝(－2)×
D.
知1－练
.1,1,6,25.0,3
2
2
1
2
1
)2
1(
3
1
)3
1(
2 4 2 9÷ - = × -3 9 3 4
2
3
（来自教材）
2 用法则相除
知2－导
对于有理数，除法也是乘法的逆运算.根据这个关系请计算（填空）：
乘法 除法
（+2）×（+3）=+6 (+6)÷（+2）=_____
(+6)÷（+3）=_____
（-2）×（-3）=+6 (+6)÷（-2）=____
(+6)÷（-3）=_____
（-2）×（+3）=-6 (-6)÷（-2）=_____
(-6)÷（+3）=____
通过上面计算，你能体会到有理数除法应如何计算吗？
知2－讲
1.法则①：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．法则
②：0除以一个不为0的数仍得0.0不能做除数．
2.要点精析：
(1)运用有理数除法法则时，当两个数可以整除时，一般选择法则①.
(2)当两个数不能整除时，一般采用倒数的定义将除法转化为乘法来计
算．
(3)一般情况下，参加除法运算的小数化为分数，带分数化为假分数．
(4)1除以一个非0数，等于这个数的倒数，一个数除以1，还等于这个
数；一个数除以－1，等于这个数的相反数．
3．易错警示：0可以做被除数，但不可以做除数．
知2－讲
例4 若两个有理数的商是正数，和为负数，
则这两个数( )
A．一正一负 B．都是正数
C．都是负数 D．不能确定
导引：若商为正数，则这两个数同号；若和为负数，则这两
个数同为负数或一正一负且其中绝对值较大的数是负数；综
合上述两个条件，易知这两个数都是负数．
C
知2－讲
有理数运算区别于算术数的运算，就是增加了符
号法则，计算中要把符号的确定放在首要位置．
知2－讲
例5 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式
子成立的是( )
A．ab＞0 B. ＞0 C．(b－1)(a＋1)＞0 D. ＞0b
a
1a
b
C
知2－讲
先由表示a、b两数的点在数轴上的位置判断a、b
的正、负性，再由表示a、b两数的点在数轴上与表示
－1、1的点的位置关系判断它们之间的大小关系，确
定a＋1、b－1、a－1的正、负性；即a0，a＋
1>0，a－10，因此：ab
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