浙教版九年级数学上册第4章测试题

浙教版九年级数学上册 第 4 章测试题 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．若m＋n n ＝5 2 ，则m n 等于( ) A．5 2 B．2 3 C．2 5 D．3 2 2．若两个相似多边形的面积之比为 1：4，则它们的周长之比为( ) A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1 3．如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1，l2，l3 分别相交于点 A，B，C 和点 D，E， F.若 AB＝3，DE＝2，BC＝6，则 EF＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知 △ ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则 BC B′C′ ＝( ) A．2 B．4 3 C．3 D．16 9 5．如图，以点 O 为位似中心，把 △ ABC 放大为原图形的 2 倍得到 △ A′B′C′，以下 说法中错误的是( ) A． △ ABC∽△A′B′C′ B．点 C、点 O、点 C′在同一直线上 C．AO：AA′＝1：2 D．AB∥A′B′ 6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点 A，在近岸 取点 B，C，D，使得 AB⊥BC，CD⊥BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上，若测得 BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度 AB 等于( ) A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 7．如图，小正方形的边长均为 1，则下列选项中的三角形与△ABC 相似的是( ) 8．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，点 E 是 AD 的中点，CF⊥BE 于点 F，则 CF 等于( ) A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25 9．如图，在 △ ABC 中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在 △ ABC 内，顶点 D，G 分别在 AB，AC 上，AD＝AG，DG＝6，则点 F 到 BC 的距离为( ) A．1 B．2 C．12 2－6 D．6 2－6 10．如图，在钝角三角形 ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边向 △ ABC 的外侧作等 腰直角三角形 ABE 和等腰直角三角形 ACF，EM 平分 ∠AEB 交 AB 于点 M， 取 BC 的中点 D，AC 的中点 N，连结 DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN； ②S △ CND＝1 3S 四边形 ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(每题 3 分，共 24 分) 11．已知b a ＝ 7 13 ，则 a a＋b ＝________. 12．如图，在 △ ABC 中，若 DE∥BC，AD＝2，BD＝4，DE＝1.5，则 BC 的长为 __________． 13．如图，已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 BC>AC.若 S1 表示以 BC 为边 的正方形的面积，S2 表示长为 AD(AD＝AB)、宽为 AC 的矩形的面积，则 S1 与 S2 的大小关系为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，有点 A(6，3)，B(6，0)，以原点 O 为位似中心， 位似比为1 3 ，在第一象限内把线段 AB 缩小后得到 CD，则点 C 的坐标为 ________． 15．如图，在 △ ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，在 △ ACD 中，∠ACD＝90°， ∠D＝30°，则BE EC 的值是________． 16．如图，身高为 1.7 m 的小明 AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸 一棵树 CD 的高度，CD 在水中的倒影为 C′D，A，E，C′在一条直线上．已 知河 BD 的宽度为 12 m，BE＝3 m，则树 CD 的高度为________． 17．如图，已知点 P 是边长为 4 的正方形 ABCD 内一点，且 PB＝3，BF⊥BP， 垂足是 B，若在射线 BF 上找一点 M，使以点 B，M，C 为顶点的三角形与 △ ABP 相似，则 BM 的长为________． 18．如图，正三角形 ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作正三角形 AB1C1， △ ABC 与 △ AB1C1 公共部分的面积记为 S1，再以正三角形 AB1C1 边 B1C1 上的 高 AB2 为边作正三角形 AB2C2， △ AB1C1 与 △ AB2C2 公共部分的面积记为 S2…… 以此类推，则 Sn＝____________.(用含 n 的式子表示) 三、解答题(19，21 题每题 8 分，24 题 14 分，其余每题 12 分，共 66 分) 19．如图，四边形 ABCD∽四边形 EFGH，试求出 x 及α的大小． 20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中， △ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(－2， 4)，B(－2，1)，C(－5，2)． (1)请画出 △ ABC 关于 x 轴对称的 △ A1B1C1； (2)将 △ A1B1C1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点 A2，B2， C2，请画出 △ A2B2C2； (3)求 △ A1B1C1 与 △ A2B2C2 的面积比．(不写解答过程，直接写出结果) 21．如图，AB∥FC，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE＝FE，分别延长 FD 和 CB 交于点 G. (1)求证： △ ADE≌△CFE； (2)若 GB＝2，BC＝4，BD＝1，求 AB 的长． 22．如图，一条河的两岸 BC 与 DE 互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代 表景观灯)，每排相邻两个景观灯的间隔都是 10 m，在与河岸 DE 的距离为 16 m 的 A 处(AD⊥DE)看对岸 BC，看到对岸 BC 上的两个景观灯的灯杆恰好 被河岸 DE 上两个景观灯的灯杆遮住．河岸 DE 上的这两个景观灯之间有 1 个景观灯，河岸 BC 上被遮住的两个景观灯之间有 4 个景观灯，求这条河的 宽度． 23．如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝24，BC＝12，点 E 沿 BC 边从点 B 开始 向点 C 以每秒 2 个单位长度的速度运动；点 F 沿 CD 边从点 C 开始向点 D 以每秒 4 个单位长度的速度运动．如果 E，F 同时出发，用 t(0≤t≤6)秒表示运 动的时间． 请解答下列问题： (1)当 t 为何值时， △ CEF 是等腰直角三角形？ (2)当 t 为何值时，以点 E，C，F 为顶点的三角形与 △ ACD 相似？ 24．如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 DC，CB 上的点，且 DE＝CF，以 AE 为边作正方形 AEHG，HE 与 BC 交于点 Q，连结 DF. (1)求证： △ ADE≌△DCF. (2)若 E 是 CD 的中点，求证：Q 为 CF 的中点． (3)连结 AQ，设 S △ CEQ＝S1，S △ AED＝S2，S △ EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断 S1＋S2 ＝S3 是否成立？并说明理由． 答案 一、1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 解析：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCE＝90°. 又∵∠AEB＝∠DEC， ∴△ABE∽△DCE. ∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20 ＝20 10.∴AB＝40 m. 7．A 8．B 9．D 解析：如图，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，交 DG 于点 N，延长 GF 交 BC 于点 H.∵AB＝AC，AD＝AG， ∴AD∶AB＝AG∶AC. 又∵∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC. ∴∠ADG＝∠B.∴DG∥BC. ∴AN⊥DG. ∵四边形 DEFG 是正方形， ∴FG⊥DG.∴FH⊥BC. ∵AB＝AC＝18，BC＝12， ∴BM＝1 2BC＝6. ∴AM＝ AB2－BM2＝12 2. ∵AN AM ＝DG BC ，即 AN 12 2 ＝ 6 12 ， ∴AN＝6 2.∴MN＝AM－AN＝6 2. 易得四边形 GHMN 为矩形， ∴GH＝MN＝6 2. ∴FH＝GH－GF＝6 2－6.故选 D. 10．D 解析：∵△ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB，∴EM 是 AB 边上 的中线．∴EM＝1 2AB. ∵点 D，点 N 分别是 BC，AC 的中点， ∴DN 是 △ ABC 的中位线．∴DN＝1 2AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确． ∵DN∥AB，∴△CDN∽△CBA. ∴S △ CND S △ CAB ＝ DN AB 2 ＝1 4. ∴S △ CND＝1 3S 四边形 ABDN.②正确． 如图，连结 DM，FN，则 DM 是 △ ABC 的中位线，∴DM＝1 2AC，DM∥AC. ∴四边形 AMDN 是平行四边形． ∴∠AMD＝∠AND. 易知∠ANF＝90°，∠AME＝90°， ∴∠EMD＝∠DNF. ∵FN 是 AC 边上的中线， ∴FN＝1 2AC.∴DM＝FN. 又∵EM＝DN， ∴△DEM≌△FDN. ∴DE＝DF，∠FDN＝∠DEM.③正确． ∵∠MDN＋∠AMD＝180°， ∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM) ＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180° －90°)＝90°. ∴DE⊥DF.④正确．故选 D. 二、11．13 20 解析：∵b a ＝ 7 13 ， ∴设 a＝13x，b＝7x， 则 a a＋b ＝ 13x 13x＋7x ＝13 20. 12．4.5 13．S1＝S2 14．(2，1) 15. 3 3 16．5.1 m 17．16 3 或 3 18. 3 2 × 3 4 n 解析：在正三角形 ABC 中，AB1⊥BC， ∴BB1＝1 2BC＝1. 在 Rt △ ABB1 中，AB1＝ AB2－BB21＝ 22－12＝ 3， 根据题意可得 △ AB2B1∽△AB1B， 记 △ AB1B 的面积为 S， ∴S1 S ＝ 3 2 2 . ∴S1＝3 4S.同理可得 S2＝3 4S1， S3＝3 4S2，S4＝3 4S3，…. 又∵S＝1 2×1× 3＝ 3 2 ， ∴S1＝3 4S＝ 3 2 ×3 4 ， S2＝3 4S1＝ 3 2 × 3 4 2 ， S3＝3 4S2＝ 3 2 × 3 4 3 ， S4＝3 4S3＝ 3 2 × 3 4 4 ，…， Sn＝ 3 2 × 3 4 n . 三、19．解：因为四边形 ABCD∽四边形 EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则α＝ 360°－95°－118°－67°＝80°.再由 x∶7＝12∶6，解得 x＝14. 20．解：(1)如图， △ A1B1C1 即为所求． (2)如图， △ A2B2C2 即为所求． (3)S △ A1B1C1∶S △ A2B2C2＝1∶4. 21．(1)证明：∵AB∥FC，∴∠A＝∠ECF. 又∵∠AED＝∠CEF，且 DE＝FE， ∴△ADE≌△CFE. (2)解：方法一：∵AB∥FC， ∴△GBD∽△GCF.∴GB GC ＝BD CF. ∴ 2 2＋4 ＝ 1 CF.∴CF＝3. 由(1)得 △ ADE≌△CFE， ∴AD＝CF＝3， ∴AB＝AD＋BD＝3＋1＝4. 方法二：如图，取 BC 的中点 H，连结 EH.∵△ADE≌△CFE， ∴AE＝CE.∴EH 是 △ ABC 的中位线． ∴EH∥AB，且 EH＝1 2AB. ∴△GBD∽△GHE. ∴DB EH ＝GB GH.∴ 1 EH ＝ 2 2＋2. ∴EH＝2.∴AB＝2EH＝4. 22．解：由题意可得 DE∥BC， 所以 △ ADE∽△ABC. 所以AD AB ＝DE BC ，即 AD AD＋DB ＝DE BC. 因为 AD＝16 m，BC＝50 m，DE＝20 m， 所以 16 16＋DB ＝20 50. 所以 DB＝24 m. 所以这条河的宽度为 24 m. 23．解：(1)由题意可知 BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t. 因为 △ CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以 CE＝CF. 所以 12－2t＝4t，解得 t＝2. 所以当 t＝2 时， △ CEF 是等腰直角三角形． (2)根据题意，可分为两种情况： ①若 △ EFC∽△ACD，则EC AD ＝FC CD ， 所以12－2t 12 ＝4t 24 ，解得 t＝3， 即当 t＝3 时， △ EFC∽△ACD. ②若 △ FEC∽△ACD，则FC AD ＝EC CD ， 所以4t 12 ＝12－2t 24 ，解得 t＝1.2， 即当 t＝1.2 时， △ FEC∽△ACD. 因此，当 t 为 3 或 1.2 时，以点 E，C，F 为顶点的三角形与 △ ACD 相似． 24．(1)证明：因为 AD＝DC， ∠ADE＝∠DCF＝90°，DE＝CF， 所以 △ ADE≌△DCF. (2)证明：因为四边形 AEHG 是正方形，所以∠AEH＝90°. 所以∠QEC＋∠AED＝90°. 又因为∠AED＋∠EAD＝90°， 所以∠QEC＝∠EAD. 因为∠C＝∠ADE＝90°， 所以 △ ECQ∽△ADE.所以CQ DE ＝EC AD. 因为 E 是 CD 的中点，所以 EC＝DE＝1 2CD＝1 2AD.所以EC AD ＝1 2. 因为 DE＝CF，所以CQ DE ＝CQ CF ＝1 2. 即 Q 是 CF 的中点． (3)解：S1＋S2＝S3 成立． 理由如下：因为 △ ECQ∽△ADE， 所以CQ DE ＝QE AE.所以CQ CE ＝QE AE. 因为∠C＝∠AEQ＝90°， 所以 △ ECQ∽△AEQ. 所以 △ AEQ∽△ECQ∽△ADE. 所以S1 S3 ＝ EQ AQ 2 ，S2 S3 ＝ AE AQ 2 . 所以S1 S3 ＋S2 S3 ＝ EQ AQ 2 ＋ AE AQ 2 ＝EQ2＋AE2 AQ2 . 在 Rt △ AEQ 中，由勾股定理，得 EQ2＋AE2＝AQ2， 所以S1 S3 ＋S2 S3 ＝1，即 S1＋S2＝S3.