湘教版九年级数学上册第3章测试题

湘教版九年级数学上册 第 3 章测试题 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．若 △ ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C′等于( ) A．20° B．40° C．60° D．80° 2．如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m 交直线 a，b，c 于点 A，B，C，直线 n 交 直线 a，b，c 于点 D，E，F，若AB BC ＝1 2 ，则DE EF 等于( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D．1 3．下列四组线段中，不是成比例线段的为( ) A．3，6，2，4 B．4，6，5，10 C．1，2，3， 6 D．2，5，2 3， 15 4．下列各组图形中有可能不相似的是( ) A．各有一个角是 45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是 60°的两个等腰三角形 C．各有一个角是 105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 5．如图，在平面直角坐标系中，有点 A(6，3)，B(6，0)，以原点 O 为位似中心， 位似比为1 3 ，在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD，则点 C 的坐标为 ( ) A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 6．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到； ③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为 1：2；④两个相似多边形的面积比 为 4：9，则周长的比为 16：81.其中正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．如图，为计算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取 点 B，C，D，使得 AB⊥BC，CD⊥BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在 同一直线上，若测得 BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度 AB 为 ( ) A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 8．如图，点 A，B，C，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以 C， D，E 为顶点的三角形与 △ ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是( ) A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2) 9．如图，四边形 AOEF 是平行四边形，点 B 为 OE 的中点，延长 FO 至点 C， 使 OC＝1 3FO，连接 AB，AC，BC，则在 △ ABC 中，S△ABO：S △ AOC：S △ BOC 等于 ( ) A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2 10．已知 △ ABC 的三边长分别为 20 cm，50 cm，60 cm，现要利用长度分别为 30 cm 和 60 cm 的细木条各一根，做一个与 △ ABC 相似的三角形木架，要求以其 中一根为一边，将另一根截下两段(允许有余料)作为另外两边，那么另两边 的长度分别为( ) A．10 cm，25 cm B．10 cm，36 cm 或 12 cm，36 cm C．12 cm，36 cm D．10 cm，25 cm 或 12 cm，36 cm 二、填空题(每题 3 分，共 24 分) 11．已知c 4 ＝b 5 ＝a 6≠0，则b＋c a ＝________. 12．如图，∠1＝∠2，添加一个条件____________使得 △ ADE∽△ACB. 13．如图，已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 BC>AC.若 S1 表示以 BC 为边 的正方形的面积，S2 表示长为 AD(AD＝AB)、宽为 AC 的矩形的面积，则 S1 与 S2 的大小关系为____________． 14．如图，在 △ ABC 中，D，E 分别是 AB 和 AC 的中点，F 是 BC 延长线上一点， DF 平分 CE 于点 G，CF＝1，则 BC＝______， △ ADE 与 △ ABC 的周长之比 为________， △ CFG 与 △ BFD 的面积之比为________． 15．如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且OE EA ＝4 3 ， 则FG BC ＝________． 16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二 步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边) 长为 5 步，股(长直角边)长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最 大是多少步？”该问题的答案是________步． 17．矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上，满足 △ PBE∽△DBC，若 △ APD是等腰三角形，则PE的长为____________． 18．如图，正三角形 ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作正三角形 AB1C1， △ ABC 与 △ AB1C1 公共部分的面积记为 S1，再以正三角形 AB1C1 的边 B1C1 上 的高 AB2 为边作正三角形 AB2C2， △ AB1C1 与 △ AB2C2 公共部分的面积记为 S2，……，以此类推，则 Sn＝______________(用含 n 的式子表示，n 为正整 数)． 三、解答题(19～22 题每题 10 分，23 题 12 分，24 题 14 分，共 66 分) 19．如图，四边形 ABCD∽四边形 EFGH，试求出 x 及∠α的大小． 20．如图， △ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点 O 为位似中心，将 △ ABC 放大为原来的 2 倍得 △ A′B′C′. (1)在图中第一象限内画出符合要求的 △ A′B′C′(不要求写画法)； (2)计算 △ A′B′C′的面积． 21．如图，在 △ ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E. (1)求证： △ BDE∽△CAD； (2)若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长． 22．如图，竖立在 B 处的标杆 AB＝2.4 米，在 F 处的观测者从 E 处看到标杆顶 端 A、树顶 C 在同一条直线上(点 F，B，D 也在同一条直线上)．已知 BD＝8 米，FB＝2.5 米，EF＝1.5 米，求树高 CD. 23．如图，在 Rt △ ABC 中，∠C＝90°，翻折∠C，使点 C 落在斜边 AB 上的某一 点 D 处，折痕为 EF(点 E，F 分别在边 AC，BC 上)． (1)若 △ CEF 与 △ ABC 相似． ①当 AC＝BC＝2 时，AD 的长为________． ②当 AC＝3，BC＝4 时，AD 的长为__________． (2)当点 D 是 AB 的中点时， △ CEF 与 △ ABC 相似吗？请说明理由． 24．如图①，在 Rt △ ABC 中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点 D，E 分别是边 BC， AC 的中点，连接 DE. 将 △ EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)当α＝0°和α＝180°时，求AE BD 的值． (2)试判断当 0°≤α＜360°时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明． (3)当 △ EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，求线段 BD 的长． 答案 一、1.D 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B 7．B 解析：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°. ∵∠AEB＝∠DEC， ∴△ABE∽△DCE. ∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20 ＝20 10. ∴AB＝40 m. 8．B 9．B 解析：设 AB 与 OF 相交于点 M， ∵AF∥OB， ∴△FAM∽△OBM， ∴OM FM ＝BM AM ＝BO AF ＝1 2. 设 S △ BOM＝S，则 S △ AOM＝2S， ∵OC＝1 3FO，OM＝1 2FM， ∴OM＝OC. ∴S △ AOC＝S △ AOM＝2S， S △ BOC＝S △ BOM＝S. ∴S △ ABO：S △ AOC：S △ BOC＝3：2：1. 10．D 解析：如果从 30 cm 长的一根中截，那么 60 cm 长的一根只能作为最长 边，而 △ ABC 的最长边也为 60 cm，且另两边长之和大于 30 cm，所以不符合 题意．如果从 60 cm 长的一根中截，设截得的短边和长边的长分别为 x cm，y cm，那么有三种情况，即 20：30＝50：x＝60：y 或 20：x＝50：30＝60：y 或 20：x＝50：y＝60：30，解得 x＝75，y＝90(x＋y＞60，不符合题意，舍去) 或 x＝12，y＝36 或 x＝10，y＝25.故选 D. 二、11.3 2 12．∠D＝∠C(答案不唯一) 13．S1＝S2 解析：∵点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 BC>AC， ∴BC2＝AC·AB. 又∵S1＝BC2, S2＝AC·AD＝AC·AB， ∴S1＝S2. 14．2；1：2；1：6 15.4 7 16.60 17 解析：∵四边形 CDEF 是正方形， ∴CD＝ED，DE∥CF， 设 ED＝x 步，则 CD＝x 步，AD＝(12－x)步， ∵DE∥CF， ∴△ADE∽△ACB， ∴ED BC ＝AD AC ， ∴x 5 ＝12－x 12 ，∴x＝60 17. ∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是60 17 步． 17.6 5 或 3 解析：如图． ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴BD＝ AB2＋AD2＝10， 当 PD＝AD＝8 时，BP＝BD－PD＝2， ∵△PBE∽△DBC， ∴BP BD ＝PE CD ，即 2 10 ＝PE 6 ， 解得 PE＝6 5 ， 当 P′D＝P′A 时，点 P′为 BD 的中点，∴P′E′＝1 2CD＝3， 当 PA＝AD 时，显然不成立． 故答案为6 5 或 3. 18. 3 2 × 3 4 n 解析：在正三角形 ABC 中，AB1⊥BC，∴BB1＝1 2BC＝1. 在 Rt △ ABB1 中，AB1＝ AB2－BB21＝ 22－12＝ 3， 根据题意可得 △ AB2B1∽△AB1B，记 △ AB1B 的面积为 S， ∴S1 S ＝ 3 2 2 .∴S1＝3 4S. 同理可得 S2＝3 4S1，S3＝3 4S2，S4＝3 4S3，…. ∵S＝1 2×1× 3＝ 3 2 ， ∴S1＝3 4S＝ 3 2 ×3 4 ， S2＝3 4S1＝ 3 2 × 3 4 2 ，S3＝3 4S2＝ 3 2 × 3 4 3 ，S4＝3 4S3＝ 3 2 × 3 4 4 ，…，Sn＝ 3 2 × 3 4 n . 三、19.解：∵四边形 ABCD∽四边形 EFGH，∴∠H＝∠D＝95°. ∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°. ∵四边形 ABCD∽四边形 EFGH， ∴BC FG ＝AB EF ， ∴x∶7＝12∶6，解得 x＝14. 20．解：(1)如图． (2)S △ A′B′C′＝4×4－1 2×2×2－1 2×2×4－1 2×2×4＝6. 21．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 又∵AD 为 BC 边上的中线， ∴AD⊥BC. ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝∠ADC＝90°. ∴△BDE∽△CAD. (2)解：∵BC＝10，AD 为 BC 边上的中线， ∴BD＝CD＝5. ∵AC＝AB＝13， ∴由勾股定理可知 AD＝ AC2－CD2＝12. 由(1)中 △ BDE∽△CAD 可知DE AD ＝BD AC ，得DE 12 ＝ 5 13 ，故 DE＝60 13. 22．解：过点 E 作 EH⊥CD 交 CD 于点 H，交 AB 于点 G，如图所示． 由题意得，EF⊥FD，AB⊥FD， CD⊥FD. ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形 EFDH 为矩形， ∴EF＝GB＝DH＝1.5 米，EG＝FB＝2.5 米，GH＝BD＝8 米， ∴AG＝AB－GB＝2.4－1.5＝0.9(米)． ∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH，∴AG CH ＝EG EH ， ∴0.9 CH ＝ 2.5 2.5＋8 ， 解得 CH＝3.78 米， ∴CD＝CH＋DH＝3.78＋1.5＝5.28(米)． 答：树高 CD 为 5.28 米． 23．解：(1)① 2 ②9 5 或5 2 (2)相似．理由：连接 CD 交 EF 于点 O. ∵CD 是 Rt △ ABC 的中线， ∴CD＝DB＝1 2AB， ∴∠DCB＝∠B， 由折叠知∠COF＝∠DOF＝90°， ∴∠DCB＋∠CFE＝90°， ∴∠B＋∠CFE＝90°. ∵∠CEF＋∠CFE＝90°， ∴∠B＝∠CEF. 在 △ CEF 和 △ CBA 中，∠ECF＝∠BCA，∠CEF＝∠B， ∴△CEF∽△CBA. 24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4. ∵点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点， ∴BD＝4，AE＝EC＝1 2AC. ∵∠B＝90°， ∴AC＝ 82＋42＝4 5， ∴AE＝CE＝2 5， ∴AE BD ＝2 5 4 ＝ 5 2 . 当α＝180°时，如图①， 易得 AC＝4 5，CE＝2 5，CD＝4， ∴AE BD ＝AC＋CE BC＋CD ＝4 5＋2 5 8＋4 ＝ 5 2 . (2)无变化． 证明：在题图①中，∵DE 是 △ ABC 的中位线， ∴DE∥AB， ∴CE CA ＝CD CB ，∠EDC＝∠B＝90°. 在题图②中，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变， ∴CE CA ＝CD CB 仍然成立． ∵∠ACE＝∠BCD＝α， ∴△ACE∽△BCD.∴AE BD ＝AC BC. 由(1)可知 AC＝4 5. ∴AC BC ＝4 5 8 ＝ 5 2 .∴AE BD ＝ 5 2 . ∴AE BD 的大小不变． (3)当 △ EDC 在 BC 上方，且 A，D，E 三点共线时，四边形 ABCD 为矩形，如图 ②，∴BD＝AC＝4 5；当 △ EDC 在 BC 下方，且 A，E，D 三点共线时， △ ADC 为直角三角形，如图③，由勾股定理可得 AD＝ AC2－CD2＝8.又知 DE＝2， ∴AE＝6. ∵AE BD ＝ 5 2 ，∴BD＝12 5 5 . 综上，BD 的长为 4 5或12 5 5 .