湘教版九年级数学上册第4章测试题

湘教版九年级数学上册 第 4 章测试题 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．2cos 60°的值是( ) A．1 B. 3 C. 2 D.1 2 2．在 Rt △ ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则 sin A 的值是( ) A.4 5 B.3 5 C.3 4 D.1 3 3．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， △ ABC 的三个顶点 A，B，C 均 在网格的格点上，则 tan∠ABC 的值为( ) A.3 5 B.3 4 C. 10 5 D．1 4．已知α为锐角，且 sin(90°－α)＝ 3 2 ，则α的度数为( ) A．30° B．60° C．45° D．75° 5．如图，长 4 m 的楼梯 AB 的倾斜角∠ABD 为 60°，为了改善楼梯的安全性能， 准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为 45°，则调整后的楼梯 AC 的长为 ( ) A．2 3 m B．2 6 m C．(2 3－2)m D．(2 6－2)m 6．如图，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处．已知 AB ＝8，BC＝10，则 cos∠EFC 的值是( ) A.3 4 B.4 3 C.3 5 D.4 5 7．如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一条隧道(B，C 在同一水平面 上)．为了测量 B，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发，垂 直上升 100 m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30°，则 B，C 两地之间 的距离为( ) A．100 3 m B．50 2 m C．50 3 m D.100 3 3 m 8．如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，AD 的中点，若 EF＝2，BC ＝5，CD＝3，则 tan C 的值为( ) A.3 4 B.4 3 C.3 5 D.4 5 9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是 1：2，则等腰三角形顶角的度数为( ) A．30° B．50° C．60°或 120° D．30°或 150° 10．如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端 B 出发，先沿 水平方向向右行走 20 米到达点 C，再经过一段坡度(或坡比)为 i＝1 0.75， 坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走 40 米到达点 E(A，B，C，D，E 均在同一平面内)．在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24°， 则建筑物 AB 的高度约为( )(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45) A．21.7 米 B．22.4 米 C．27.4 米 D．28.8 米 二、填空题(每题 3 分，共 24 分) 11．在 △ ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则 cos B＝________． 12．如图，点 A(3，t)在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为α，tan α＝3 2 ，则 t 的 值是________． 13．如图，在 Rt △ ABC 中，∠C＝90°，AM 是直角边 BC 上的中线，若 sin∠CAM ＝3 5 ，则 tanB 的值为________． 14．已知锐角 A 的正弦 sin A 是一元二次方程 2x2－7x＋3＝0 的根，则 sin A＝ ________． 15．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的 D′处，那么 tan∠BAD′＝________. 16．如图，将以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 ABC 沿直线 BC 平移得到 △ A′B′C′， 使点 B′与 C 重合，连接 A′B，则 tan∠A′BC′＝________. 17．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一 次函数的表达式为________________． 18．如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2 km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站 的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60°的方向上，从 B 站测得船 C 在 北偏东 30°的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是________km. 三、解答题(19～22 题每题 10 分，23 题 12 分，24 题 14 分，共 66 分) 19．计算： (1) 2(2cos 45°－sin 60°)＋ 24 4 ； (2)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°. 20．在 △ ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c. (1)已知 c＝8 3，∠A＝60°，求∠B，a，b； (2)已知 a＝3 6，∠A＝45°，求∠B，b，c. 21．如图，已知▱ABCD，点 E 是 BC 边上的一点，将边 AD 延长至点 F，使∠AFC ＝∠DEC. (1)求证：四边形 DECF 是平行四边形； (2)若 AB＝13，DF＝14，tan A＝12 5 ，求 CF 的长． 22．如图，甲建筑物 AD 和乙建筑物 BC 的水平距离 AB 为 90 m，且乙建筑物的 高度是甲建筑物高度的 6 倍，从 E(A，E，B 在同一水平线上)点测得 D 点的 仰角为 30°，测得 C 点的仰角为 60°.求这两座建筑物顶端 C，D 间的距离．(计 算结果用根号表示，不取近似值) 23．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔 的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部 B 到小山坡脚 D 的距离为 2 米，铁塔在小山斜坡上的影长 DC 为 3.4 米，斜 坡的坡度 i＝1∶1.875，同时他测得自己的影长 NH＝336 厘米，而他的身高 MN 为 168 厘米，求铁塔的高度． 24．如图，在南北方向的海岸线 MN 上，有 A，B 两艘巡逻船，现均收到故障船 C 的求救信号．已知 A，B 两船相距 100( 3＋1)海里，船 C 在船 A 的北偏东 60°方向上，船 C 在船 B 的东南方向上，海岸线 MN 上有一观测点 D，测得 船 C 正好在观测点 D 的南偏东 75°方向上． (1)分别求出 A 与 C，A 与 D 之间的距离(结果保留根号)． (2)已知距观测点 D 处 100 海里范围内有暗礁，若巡逻船 A 沿直线 AC 去营救 船 C，在去营救的途中有无触礁危险？(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73) 答案 一、1.A 2.A 3.B 4.A 5．B 解析：在 Rt △ ABD 中，AD＝AB·sin 60°＝4× 3 2 ＝2 3(m)，在 Rt △ ACD 中， AC＝ AD sin 45° ＝2 3 2 2 ＝2 6(m)，故选 B. 6．D 7.A 8．B 解析：如图，连接 BD，由三角形中位线定理得 BD＝2EF＝2×2＝4.又 BC ＝5，CD＝3， ∴CD2＋BD2＝BC2. ∴△BDC 是直角三角形，且∠BDC＝90°. ∴tan C＝BD CD ＝4 3. 9．D 解析：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝1 2 ，∴∠A＝30°； 当顶角为钝角时，如图②， sin (180°－∠BAC)＝1 2 ， ∴180°－∠BAC＝30°. ∴∠BAC＝150°. 10．A 解析：如图，过点 C 作 CN⊥DE，交 ED 的延长线于点 N，延长 AB 交 ED 的延长线于点 M，则 BM⊥DE，则 MN＝BC＝20 米． ∵斜坡 CD 的坡比 i＝1：0.75，∴令 CN＝x 米，则 DN＝0.75x 米．在 Rt △ CDN 中，由勾股定理，得 x2＋(0.75x)2＝102， 解得 x＝8(负值已舍去)， 则 CN＝8 米，DN＝6 米． ∵DE＝40 米，∴ME＝MN＋DN＋DE＝66 米，AM＝(AB＋8)米． 在 Rt △ AME 中，tan E＝AM ME ， 即 tan 24°＝AB＋8 66 ，从而 0.45≈AB＋8 66 ，解得 AB≈21.7 米． 二、11. 5 13 12.9 2 解析：如图，过点 A 作 AB⊥x 轴于 B， ∵点 A(3，t)在第一象限， ∴AB＝t，OB＝3， ∴tan α＝AB OB ＝t 3 ＝3 2 ， ∴t＝9 2. 13.2 3 14.1 2 15. 2 解析：由题意知 BD′＝BD＝2 2.在 Rt △ ABD′中，tan ∠BAD′＝BD′ AB ＝2 2 2 ＝ 2. 16.1 3 解析：如图，过 A′作 A′D⊥BC′于点 D，设 A′D＝x， 则 B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x. 所以 tan∠A′BC′＝A′D BD ＝ x 3x ＝1 3. 17．y＝2 3x－ 3 解析：tan 45°＝1，tan 60°＝ 3，－cos 60°＝－1 2 ，－6tan 30°＝－2 3.设函数 y ＝kx＋b 的图象经过点(1， 3)，(－1 2 ，－2 3)，则用待定系数法可求出 k＝2 3，b＝－ 3. 18. 3 解析：如图，过点 C 作 CH⊥l，垂足为点 H. 由题意得∠ACH＝60°，∠BCH＝30°. 设 CH＝x km， 在 Rt △ ACH 中，AH＝CH·tan∠ACH＝x·tan 60°＝ 3x km. 在 Rt △ BCH 中，BH＝CH·tan∠BCH＝x·tan 30°＝ 3 3 x km. 因为 AH－BH＝AB， 所以 3x－ 3 3 x＝2，解得 x＝ 3， 即船 C 到海岸线 l 的距离是 3 km. 三、19.解：(1)原式＝ 2×(2× 2 2 － 3 2 )＋ 6 2 ＝2－ 6 2 ＋ 6 2 ＝2. (2)原式＝ 3 2 ×1 2 － 3 3 × 3＋ 2 2 2 ＋ 2 2 2 ＝ 3 4 －1＋1 2 ＋1 2 ＝ 3 4 . 20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4 3. (2)∠B＝45°，b＝3 6，c＝6 3. 21．(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠DEC. 又∵∠AFC＝∠DEC， ∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC. ∴四边形 DECF 是平行四边形． (2)解：过点 D 作 DH⊥BC 于点 H，如图． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13. 又∵tan A＝12 5 ＝tan ∠DCH＝DH CH ， ∴DH＝12，CH＝5. ∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9. ∴DE＝ 92＋122＝15. ∴CF＝DE＝15. 22．解：设 AD＝x m，则 BC＝6x m. 在 Rt △ ADE 中，∵∠AED＝30°， ∴AE＝ AD tan 30° ＝ x 3 3 ＝ 3x(m)， DE＝2AD＝2x m. 在 Rt △ BCE 中，∵∠BEC＝60°， ∴BE＝ BC tan 60° ＝6x 3 ＝2 3x(m)， EC＝2BE＝4 3x m. ∵AE＋BE＝AB， ∴ 3x＋2 3x＝90，解得 x＝10 3. ∴DE＝20 3 m，EC＝120 m. 在 △ DEC 中，∠DEC＝180°－30°－60°＝90°，根据勾股定理，得 CD＝ (20 3) 2 ＋1202＝20 39(m)． 答：这两座建筑物顶端 C，D 间的距离为 20 39 m. 23．解：如图，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，延长 AC，交 BD 的延长线于点 F， 在 Rt △ CDE 中，i＝1∶1.875， ∴CE DE ＝ 1 1.875 ＝ 8 15 ， 设 CE＝8x 米，DE＝15x 米， 则 DC＝17x 米， ∵DC＝3.4 米， ∴CE＝1.6 米，DE＝3 米， 在 Rt △ MNH 中，tan∠MHN＝MN NH ＝168 336 ＝1 2 ， ∴在 Rt △ CEF 中，tan F＝CE EF ＝1.6 EF ＝tan∠MHN＝1 2 ， ∴EF＝3.2 米， 即 BF＝2＋3＋3.2＝8.2(米)， ∴在 Rt △ ABF 中，tan F＝AB BF ＝1 2 ，∴AB＝4.1 米． 答：铁塔的高度是 4.1 米． 24．解：(1)如图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E. 设 AE＝a 海里，则 BE＝AB－AE＝100( 3＋1)－a(海里)． 在 Rt △ ACE 中，∠AEC＝90°，∠EAC＝60°， ∴AC＝ AE cos 60° ＝a 1 2 ＝2a(海里)， CE＝AE·tan 60°＝ 3a(海里)． 在 Rt △ BCE 中，∠EBC＝45°， ∴∠BCE＝90°－∠EBC＝45°. ∴∠EBC＝∠ECB，BE＝CE. ∴100( 3＋1)－a＝ 3a， 解得 a＝100. ∴AC＝200 海里． 在 △ ACD 和 △ ABC 中，∠ACB＝180°－45°－60°＝75°＝∠ADC，∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC，∴AD AC ＝AC AB ， 即AD 200 ＝ 200 100（ 3＋1）， ∴AD＝200( 3－1)海里． 答：A 与 C 之间的距离为 200 海里，A 与 D 之间的距离为 200( 3－1)海里． (2)如图，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F. 在 Rt △ ADF 中，∠DAF＝60°， ∴DF＝AD·sin 60°＝200( 3－1)× 3 2 ＝100(3－ 3)≈127(海里)． ∵127＞100， ∴若巡逻船 A 沿直线 AC 去营救船 C，在去营救的途中无触礁危险．