人教版九年级数学上册第23章测试题

人教版九年级数学上册第 23 章测试题 第二十三章测试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下列 A，B，C，D 四幅图案中，能通过将图案(1)顺时针旋转 180°得到的是 ( ) 2．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 3．正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为( ) A．30° B．60° C．120° D．180° 4．如图， △ OAB 绕点 O 逆时针旋转 75°到 △ OCD 的位置，已知∠AOB＝40°，则 ∠AOD 等于( ) A．55° B．45° C．40° D．35° 5．如图， △ ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90°后到达了 △ CDE 的位置，下列 说法中不正确的是( ) A．线段 AB 与线段 CD 互相垂直 B．线段 AC 与线段 CE 互相垂直 C．点 A 与点 E 是两个三角形的对应点 D．线段 BC 与线段 DE 互相垂直 6．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与 图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是( ) A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，在 △ ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将 △ ABC 绕点 A 逆时针旋转， 使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B，D 两点间的距离 为( ) A. 10 B．2 2 C．3 D．2 5 8．如图，在平面直角坐标系中，点 B，C，E 在 y 轴上，Rt △ ABC 经过变换得到 Rt △ ODE.若点 C 的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是( ) A． △ ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，再向下平移 3 个单位长度 B． △ ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，再向下平移 1 个单位长度 C． △ ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°，再向下平移 1 个单位长度 D． △ ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°，再向下平移 3 个单位长度 9．如图，直线 y＝ 3x＋ 3与 y 轴交于点 P，将它绕着点 P 旋转 90°所得的直线 对应的函数解析式为( ) A．y＝ 3 3 x＋ 3 B．y＝－ 3 3 x＋ 3 C．y＝1 3x＋ 3 D．y＝－1 3x＋ 3 10．如图，将斜边长为 4 的直角三角板放在直角坐标系 xOy 中，两条直角边分别 与坐标轴重合，P 为斜边的中点，现将此三角板绕点 O 顺时针旋转 120°后， 点 P 的对应点的坐标是( ) A．( 3，1) B．(1，－ 3) C．(2 3，－2) D．(2，－2 3) 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：__________________． 12．如图，将 △ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到 △ COD.若∠AOB＝15°， 则∠AOD 的度数是________． 13．在平面直角坐标系中，若点 P(m，m－n)与点 Q(－2，3)关于原点对称，则点 M(m，n)在第________象限． 14．如图，将 △ OAB 绕着点 O 逆时针连续旋转两次得到 △ OA″B″，每次旋转的角 度都是 50°.若∠B″OA＝120°，则∠AOB＝________． 15．如图，在 △ ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm.若以 AC 的中点 O 为旋转中 心，将这个三角形旋转 180°后，点 B 落在 B′处，则 BB′＝________cm. 16．已知点 P(3，1－b)关于原点的对称点 Q 的坐标是(a，－1)，则 ab 的值是 ________． 17．如图，已知抛物线 C1，抛物线 C2 关于原点中心对称．如果抛物线 C1 的解析 式为 y＝3 4(x＋2)2－1，那么抛物线 C2 的解析式为____________________． 18．如图，直线 y＝－3 2x＋3 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，把 △ AOB 绕点 A 旋转 90°后得到 △ AO′B′，则点 B′的坐标是____________． 19．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°到正方形 AB′C′D′的 位置，则图中阴影部分的面积为________． 20．如图，在平面直角坐标系中，将 △ ABO 绕点 A 顺时针旋转到 △ AB1C1 的位置， 点 B，O 分别落在点 B1，C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将 △ AB1C1 绕着 B1 顺时针 旋转到 △ A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将 △ A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到 △ A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去……若点 A 3 2 ，0 ，B(0，2)， 则点 B2 022 的坐标为________． 三、解答题(21，22 题每题 8 分，23，24 题每题 10 分，25，26 题每题 12 分，共 60 分) 21．如图，AC 是正方形 ABCD 的对角线， △ ABC 经过旋转后到达 △ AEF 的位置． (1)指出它的旋转中心； (2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度； (3)分别写出点 A，B，C 的对应点． 22．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为 1，在 Rt △ ABC 中，∠C＝90°， AC＝3，BC＝4. (1)试在图中作出 △ ABC 以点 A 为旋转中心，按 顺时针方向旋转 90°后得到的 △ AB1C1； (2)若点 B 的坐标为(－3，5)，试在图中画出直 角坐标系，并写出 A，C 两点的坐标； (3)根据(2)中的直角坐标系作出与 △ ABC 关于 原点对称的 △ A2B2C2，并写出 B2，C2 两点的 坐标． 23．如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，且 PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将 △ PAC 绕点 A 逆时针旋转后得到 △ P′AB. (1)求点 P 与点 P′之间的距离； (2)求∠APB 的度数． 24．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝BC，将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 按逆 时针方向旋转角α到 △ A1BC1 的位置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1， BC1 分别交于点 E，F. (1)求证： △ BCF≌△BA1D； (2)当∠C＝α时，判定四边形 A1BCE 的形状并说明理由． 25．在 △ ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段 BC 绕点 B 逆时针 旋转 60°得到线段 BD. (1)如图①，直接写出∠ABD 的大小；(用含α的式子表示) (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断 △ ABE 的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接 DE，若∠DEC＝45°，求α的值． 26．已知∠DAC＝90°， △ ABC 是等边三角形，点 P 为射线 AD 上任意一点(点 P 不与点 A 重合)，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CQ， 连接 QB 并延长交直线 AD 于点 E. (1)如图①，猜想∠QEP＝________°； (2)如图②和图③，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其他条件不变，猜想∠QEP 的度数，并选取一种情况加以证明； (3)如图③，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且 AC＝4，求 BQ 的长． 答案 一、1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．B 10．B 二、11．平行四边形(答案不唯一) 12．60° 13．一 14.20° 15.4 5 16．1 17．y＝－3 4(x－2)2＋1 18．(5，2)或(－1，－2) 19．1－ 3 3 20．(6 066，2) 三、21．解：(1)它的旋转中心为点 A. (2)它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是 45 度．(答案不唯一) (3)点 A，B，C 的对应点分别为点 A，E，F. 22．解：(1) △ AB1C1 如图所示． (2)直角坐标系如图所示，点 A 的坐标为(0，1)，点 C 的坐标为(－3，1)． (3) △ A2B2C2 如图所示，点 B2 的坐标为(3，－5)，点 C2 的坐标为(3，－1)． 23．解：(1)连接 PP′.由旋转的性质知 AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC， ∴∠P′AP＝∠BAC＝60°. ∴△P′AP 是等边三角形． ∴PP′＝PA＝6. (2)∵P′B＝PC＝10，PB＝8，PP′＝6， ∴P′B2＝P′P2＋PB2. ∴△P′PB 为直角三角形，且∠P′PB＝90°. 由(1)知 △ P′AP 是等边三角形， ∴∠APP′＝60°. ∴∠APB＝∠P′PB＋∠P′PA＝90°＋60°＝150°. 24．(1)证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 按逆时针 方向旋转角α到 △ A1BC1 的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A1＝∠A＝∠C， ∠A1BD＝∠CBF. 在 △ BCF 与 △ BA1D 中， ∴△BCF≌△BA1D. (2)解：四边形 A1BCE 是菱形．理由：由题意知，∠A1BD＝α.∵∠A1＝∠A， ∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α.∴∠DEC＝180°－α.∵∠C＝α，∴ ∠A1＝α.∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α.∴∠A1BC＝∠ A1EC.又∵∠A1＝∠C，∴四边形 A1BCE 是平行四边形．又∵A1B＝BC，∴四 边形 A1BCE 是菱形． 25．解：(1)∠ABD＝30°－1 2α. (2) △ ABE 为等边三角形．证明如下：连接 AD，CD， ∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD，∴BC＝BD，∠DBC＝60°， ∴△BCD 为等边三角形．∴BD＝CD.又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝1 2 ∠BAC＝1 2α. ∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠EBC＝∠ABD＝30°－1 2α.又∵∠BCE＝150°， ∴∠BEC＝180°－ 30°－1 2α －150°＝1 2α.∴∠BAD＝∠BEC.又 BC＝BD， ∴△EBC≌△ABD(AAS)．∴AB＝BE. 又∵∠ABE＝60°，∴△ABE 为等边三角形． (3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝ 45°，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴CE＝DC＝BC.∴∠EBC＝∠BEC.∵ ∠BCE＝150°，∴∠EBC＝180°－150° 2 ＝15°. ∴30°－1 2α＝15°.∴α＝30°. 26．解：(1)60 点拨：如图①，连接 PQ.设 QE 与 PC 交于点 M. ∵线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CQ，∴PC＝CQ，∠PCQ＝60°， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC， ∴∠PCQ＝∠ACB， ∴∠PCQ－∠PCB＝∠ACB－∠PCB，即∠BCQ＝∠ACP. 在 △ CQB 和 △ CPA 中， ∴△CQB≌△CPA， ∴∠CQB＝∠CPA. 又∵在 △ PEM 和 △ CQM 中， ∠EMP＝∠CMQ， ∴∠QEP＝∠QCP＝60°. (2)∠QEP＝60°. 以∠DAC 是锐角为例进行证明． 证明如下：如图②，易知 CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∵△ABC 是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB＋∠BCP＝∠BCP＋∠PCQ， 即∠ACP＝∠BCQ. 在 △ CQB 和 △ CPA 中， ∴△CQB≌△CPA，∴∠Q＝∠CPA. ∵∠1＝∠2， ∴∠QEP＝∠QCP＝60°. (3)如图③，过点 C 作 CH⊥AD 交射线 AD 的反向延长线于点 H， 易证 △ CQB≌△CPA， ∴BQ＝AP. ∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°， ∴∠APC＝30°，∠CAH＝45°， ∴△ACH 为等腰直角三角形， ∴AH＝CH＝ 2 2 AC＝ 2 2 ×4＝2 2. ∵∠CPH＝30°，∴CP＝2CH＝4 2. 由勾股定理可得，PH＝ PC2－CH2＝ （4 2）2－（2 2）2＝2 6， ∴PA＝PH－AH＝2 6－2 2， ∴BQ＝2 6－2 2.