人教版九年级数学上册第22章测试题

人教版九年级数学上册第 22 章测试题 第二十二章测试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下列函数是二次函数的是( ) A．y＝3x2＋9 B．y＝mx2＋2x－3 C．y＝2x2＋1 x －2 D．y＝4 x2 2．抛物线 y＝2(x－3)2＋4 的顶点坐标是( ) A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4) 3．二次函数 y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则 a＋b＋1 的值是( ) A．－3 B．－1 C．2 D．3 4．将如图所示的抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后， 得到的抛物线解析式是( ) A．y＝(x－1)2＋1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝2(x－1)2＋1 D．y＝2(x＋1)2＋1 5．已知 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是( ) A．－1≤x≤3 B．－3≤x≤1 C．x≥－3 D．x≤－1 或 x≥3 6．已知二次函数 y＝x2－2mx－3，下列结论不一定成立的是( ) A．它的图象与 x 轴有两个交点 B．方程 x2－2mx＝3 的两根之积为－3 C．它的图象的对称轴在 y 轴的右侧 D．当 x＜m 时，y 随 x 的增大而减小 7．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax2＋bx 与 y＝bx＋a 的图象可能是( ) 8．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上部分点的横坐标 x、纵坐标 y 的对应值如下表所示： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中错误的是( ) A．抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(－2，0) B．抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，6) C．抛物线的对称轴是直线 x＝0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 9．向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列 时间中炮弹所在高度最高的是( ) A．第 8 秒 B．第 10 秒 C．第 12 秒 D．第 14 秒 10．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四 象限，设 P＝a＋b＋c，则 P 的取值范围是( ) A．－3＜P＜－1 B．－6＜P＜0 C．－3＜P＜0 D．－6＜P＜－3 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．二次函数 y＝1 2x2－6x＋21 的图象的开口向________，顶点坐标为________． 12．二次函数 y1＝mx2，y2＝nx2 的图象如图所示，则 m________n(填“＞”或“＜”)． 13．将一条长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一 个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是________cm2. 14．如图，二次函数 y＝x2－x－6 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C 点， 则 △ ABC 的面积为________． 15．已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c 与 x 轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则方程 ax2－2ax＋c＝0 的根为________． 16．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是________． 17．如图是一座抛物线形拱桥，当水面宽 4 m 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m，当水面下降 1 m 时，水面的宽度为________． 18．如图，将抛物线 y＝－1 2x2 平移得到抛物线 m.抛物线 m 经过点 A(6，0)和原 点 O，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y＝－1 2x2 交于点 Q，则图中阴影 部分的面积为________． 19．若二次函数 y＝2x2－4x－1 的图象与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，则 1 x1 ＋1 x2 的值为________． 20．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，有下列结论： ①二次三项式 ax2＋bx＋c 的最大值为 4； ②4a＋2b＋c＜0； ③一元二次方程 ax2＋bx＋c＝1 的两根之和为－1； ④使 y≤3 成立的 x 的取值范围是 x≥0. 其中正确的有________个． 三、解答题(21 题 8 分，22～25 题每题 10 分，26 题 12 分，共 60 分) 21．如图是抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的部分图象，其中 A(1，0)，B(0，3)． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图象，写出当 y＜3 时 x 的取值范围(作适当说明)． 22．已知二次函数 y＝x2＋bx－c 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为(m，0)， (－3m，0)(m≠0)． (1)求证：4c＝3b2； (2)若该函数图象的对称轴为直线 x＝1，试求二次函数的最小值． 23．如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴交于 点 B，若 OA＝1，OB＝3，抛物线的对称轴为直线 x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使它到点 A 的距离与到点 B 的距 离之和最小？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 24．如图，二次函数 y＝(x＋2)2＋m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 在抛物线上， 且与点 C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过该 二次函数图象上的点 A(－1，0)及点 B. (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b 的 x 的取值范围． 25．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为 1 000 m2 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为 x(m2)， 种草所需费用 y1(元)与 x(m2)的函数解析式为 y1＝ k1x（0≤x＜600）， k2x＋b（600≤x≤1 000）， 其图象如图所示；栽花所需费用 y2(元)与 x(m2)的函数解析式为 y2＝－0.01x2 －20x＋30 000(0≤x≤1 000)． (1)请直接写出 k1，k2 和 b 的值； (2)设这块 1 000 m2 空地的绿化总费用为 W(元)，请利用 W 与 x 的函数解析 式，求出 W 的最大值； (3)若种草部分的面积不少于 700 m2，栽花部分的面积不少于 100 m2，请求 出 W 的最小值． 26．已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B，C 分别为坐标轴上的三个 点，且 OA＝1，OB＝3，OC＝4. (1)求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以点 A，B，C，P 为顶 点的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点 M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM－AM|最大时 点 M 的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值． 答案 一、1．A 2．A 3．D 4．C 5．D 6．C 7．C 8.C 9.B 10．B 解析：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)， ∴0＝a－b＋c，－3＝c， ∴b＝a－3. ∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6. ∵抛物线的顶点在第四象限，a＞0， ∴b＝a－3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3， ∴－6＜2a－6＜0，即－6＜P＜0. 故选 B. 二、11．上；(6，3) 12．＞ 13．12.5 解析：设其中一段铁丝的长度为 x cm，两个正方形的面积之和为 S cm2， 则另一段铁丝的长度为(20－x)cm，∴S＝ 1 16x2＋ 1 16(20－x)2＝1 8(x－10)2＋12.5， ∴当 x＝10 时，S 有最小值，最小值为 12.5. 14．15 15．x1＝－1，x2＝3 解析：由题意，得 a＋2a＋c＝0，∴c＝－3a， ∴ax2－2ax－3a＝0.∵a≠0，∴x2－2x－3＝0.解得 x1＝－1，x2＝3. 16．－1＜x＜3 17．2 6 m 18．27 2 解析：连接 OP，OQ，设平移后的抛物线 m 的函数解析式为 y＝－ 1 2x2＋bx＋c，将点 A(6，0)和原点 O(0，0)的坐标分别代入，可得抛物线 m 的 函数解析式为 y＝－1 2x2＋3x，所以 P 3，9 2 ，Q 3，－9 2 ，所以点 P，Q 关于 x 轴对称，所以 S 阴影部分＝S △ POQ＝3×9 2 ＝27 2 . 19．－4 20．2 解析：抛物线开口向下，顶点坐标为(－1，4)，故二次函数 y＝ax2＋ bx＋c 的最大值为 4；当 x＝2 时，对应的点在 x 轴下方，故 4a＋2b＋c＜0； 二次函数的图象与 x 轴的交点为(1，0)，(－3，0)，则抛物线的解析式为 y＝ a(x＋3)(x－1)，将点(0，3)的坐标代入可得 a＝－1，令－(x＋3)(x－1)＝1， 化简可得 x2＋2x－2＝0，它的两根之和为－2；当 y≤3 时，x 的取值范围为 x≤－2 或 x≥0.综上所述，结论①②正确． 三、21．解：(1)∵函数的图象过 A(1，0)，B(0，3)， 故抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3. (2)抛物线的对称轴为直线 x＝－1，且当 x＝0 时，y＝3，∴当 x＝－2 时， y＝3，故当 y＜3 时，x 的取值范围是 x＜－2 或 x＞0. 22．(1)证明：由题意，知 m，－3m 是一元二次方程 x2＋bx－c＝0 的两根，根据 一元二次方程根与系数的关系，得 m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c， ∴b＝2m，c＝3m2，∴4c＝12m2，3b2＝12m2，∴4c＝3b2. (2)解：由题意得－b 2 ＝1，∴b＝－2，由(1)得 c＝3 4b2＝3 4×(－2)2＝3，∴y＝ x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴二次函数的最小值为－4. 23．解：(1)根据题意，得点 A 的坐标为(－1，0)，点 B 的坐标为(0，－3)． 又∵抛物线的对称轴为直线 x＝1， 故抛物线的解析式是 y＝x2－2x－3. (2)存在．如图，设抛物线与 x 轴的另一个交点是 C，由抛物线的对称性可 知点 A 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，连接 BC，则 BC 与对称轴的交点 即为点 P. ∵点 A 的坐标为(－1，0)，抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴点 C 的坐标为(3，0)． 设直线 BC 的解析式是 y＝kx－3， 将点 C(3，0)的坐标代入，得 3k－3＝0，解得 k＝1. ∴直线 BC 的解析式是 y＝x－3. 当 x＝1 时，y＝－2， ∴点 P 的坐标为(1，－2)． 24．解：(1)∵抛物线 y＝(x＋2)2＋m 经过点 A(－1，0)， ∴0＝1＋m， ∴m＝－1， ∴二次函数的解析式为 y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3， ∴点 C 的坐标为(0，3)， 又∵抛物线的对称轴为直线 x＝－2， 点 B，C 关于抛物线的对称轴对称， ∴点 B 的坐标为(－4，3)． ∵直线 y＝kx＋b 经过点 A，B， ∴一次函数的解析式为 y＝－x－1. (2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b 的 x 的取值范围为 x≤－4 或 x≥－1. 25．解：(1)k1＝30，k2＝20，b＝6 000. (2)当 0≤x＜600 时， W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋10x＋30 000＝－0.01(x－ 500)2＋32 500， ∵－0.01＜0， ∴当 x＝500 时，W 取得最大值， 最大值为 32 500. 当 600≤x≤1 000 时， W＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000. ∵－0.01＜0， ∴当 600≤x≤1 000 时，W 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝600 时，W 取得最大值， 为 32 400. ∵32 400＜32 500， ∴W 的最大值为 32 500. (3)由题意，得 1 000－x≥100， 解得 x≤900. 又 x≥700， ∴700≤x≤900. ∵当 700≤x≤900 时，W 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝900 时，W 取得最小值，最小值为 27 900. 26．解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c， 由题易知 A 的坐标为(1，0)，B 的坐标为(0，3)，C 的坐标为(－4，0)， ∴经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式为 y＝－3 4x2－9 4x＋3. (2)存在．以 CA，CB 为邻边时，如图，∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，∴BC＝ AC＝5，当 BP 平行且等于 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，∴BP＝AC＝5，且 点 P 到 x 轴的距离等于 OB 的长，∴点 P 的坐标为(5，3)；以 AB，AC 为邻 边时，AC≠AB，∴不存在点 P 使四边形 ABPC 为菱形；以 BA，BC 为邻边时， BA≠BC， ∴不存在点 P 使四边形 ABCP 为菱形．故符合题意的点 P 的坐标为(5，3)． (3)设直线 PA 的函数解析式为 y＝kx＋m(k≠0)， ∵A(1，0)，P(5，3)， ∴直线 PA 的函数解析式为 y＝3 4x－3 4 ，当点 M 与点 P，A 不在同一直线上时， 根据三角形的三边关系知|PM－AM|＜PA，当点 M 与点 P，A 在同一直线上 时，|PM－AM|＝PA，∴当点 M 与点 P，A 在同一直线上时，|PM－AM|的值 最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点，解方程组 得 ∴当点 M 的坐标为(1，0)或 －5，－9 2 时，|PM－AM| 的值最大，|PM－AM|的最大值为 5.