人教版九年级数学上册期末测试题

人教版九年级数学上册期末测试题 期末试题 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 2．一元二次方程 x(x－3)＝4 的解是( ) A．x＝1 B．x＝4 C．x1＝－1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4 3．抛物线 y＝－3 5 x＋1 2 2 －3 的顶点坐标是( ) A． 1 2 ，－3 B． －1 2 ，－3 C． 1 2 ，3 D． －1 2 ，3 4．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题， 简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹 竿横着放时比门的宽长 4 尺，竹竿竖着放时比门的高长 2 尺，竹竿斜着放时 与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为 x 尺，则可 列方程为( ) A．(x＋2)2＝(x－4)2＋x2 B．(x＋4)2＝x2＋(x－2)2 C．x2＝(x－4)2＋(x－2)2 D．(x＋4)2＝(x＋2)2＋x2 5．如图， △ ABC 内接于⊙O，CD 是⊙O 的直径，∠BCD＝54°，则∠A 的度数是 ( ) A．36° B．33° C．30° D．27° 6．一个不透明的袋子中有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入 8 个 黑球(黑球与白球除颜色外，其他均相同)，搅拌均匀后随机摸出一个球，记 下颜色，再把它放入袋子中，不断重复摸球 400 次，其中 88 次摸到黑球， 则估计袋子中有白球( ) A．18 个 B．28 个 C．36 个 D．42 个 7．如图，正方形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转 40°得到正方形 ODEF，连接 AF， 则∠OFA 的度数是( ) A．15° B．20° C．25° D．30° 8．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC＝4，O 为 BC 的中点，以 O 为圆 心作半圆 O 交 BC 于点 M，N，半圆 O 与 AB，AC 相切，切点分别为 D，E， 则半圆 O 的半径和∠MND 的度数分别为( ) A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30° 9．如图， △ ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝30°，⊙O 的半径为 5，若点 P 是 ⊙O 上的一点，在 △ ABP 中，PB＝AB，则 PA 的长为( ) A．5 B.5 3 2 C．5 2 D．5 3 10．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对 称轴为直线 x＝2，下列结论：(1)4a＋b＝0；(2)9a＋c＞3b；(3)8a＋7b＋2c ＞0；(4)若点 A(－3，y1)，点 B －1 2 ，y2 ，点 C 7 2 ，y3 在该函数图象上，则 y1＜y3＜y2；(5)若方程 a(x＋1)(x－5)＝－3 的两根为 x1 和 x2，且 x1＜x2，则 x1＜－1＜5＜x2，其中正确的有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．已知关于 x 的方程 x2＋(1－m)x＋m2 4 ＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的最 大整数值是________． 12．在平面直角坐标系中，点(－3，2)关于原点对称的点的坐标是________． 13．设 m，n 分别为一元二次方程 x2＋2x－2 018＝0 的两个实数根，则 m2＋ 3m＋n＝________． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线，切点为 F.若∠ACF＝65°，则∠E＝________． 15．如图，五一期间，某景区规定 A 和 B 为入口，C，D，E 为出口，小红随机 选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从 A 入口进入， 从 C 或 D 出口离开的概率是________． 16．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 O 分斜边 AB 为 BO∶OA＝1∶ 3.将 △ BOC 绕 C 点沿顺时针方向旋转到 △ AQC 的位置，则 ∠AQC＝________． 17．如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则以格点为圆心，半径为 1 和 2 的两 种弧围成的叶状阴影图案的面积为________． 18．如图，用一个圆心角为 120°的扇形围成一个无底的圆锥，若这个圆锥底面 圆的半径为 1 cm，则这个扇形的半径是________cm. 19．如图，Rt △ ABC 的内切圆⊙O 与两直角边 AB，BC 分别相切于点 D，E，过 劣弧 DE(不包括端点 D，E)上任一点 P 作⊙O 的切线 MN 与 AB，BC 分别交 于点 M，N，若⊙O 的半径为 r，则 Rt △ MBN 的周长为________． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(4，0)，且 OA＝OC＝4OB， 动点 P 在过 A，B，C 三点的抛物线上．过点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E， 交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，点 P 的坐标为________． 三、解答题(21 题 8 分，22，23 题每题 6 分，26 题 10 分，27 题 12 分，其余每 题 9 分，共 60 分) 21．选择适当的方法解下列方程： (1)x2－2x－143＝0; (2)5x＋2＝3x2. 22．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋3 的对称轴是直线 x＝1. (1)求证：2a＋b＝0； (2)若关于 x 的方程 ax2＋bx－8＝0 的一个根为 4，求方程的另一个根． 23．如图， △ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)． (1)请画出 △ ABC 关于 x 轴对称的 △ A1B1C1，并写出点 A1 的坐标； (2)请画出 △ ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后的 △ A2BC2； (3)求出(2)中 C 点旋转到 C2 点所经过的路径长(结果保留根号和π)． 24．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个三位数为“伞 数”．现从 1，2，3，4 这 4 个数字中任取 3 个，组成无重复数字的三位数． (1)请用画树状图的方法求所有可能得到的三位数； (2)甲、乙两人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜； 否则乙胜．你认为这个游戏规则公平吗？试说明理由． 25．如图， △ ABC 是等腰三角形，且 AC＝BC，∠ACB＝120°，在 AB 上取一点 O， 使 OB＝OC，以点 O 为圆心，OB 为半径作圆，过点 C 作 CD∥AB 交⊙O 于 点 D，连接 BD. (1)猜想 AC 与⊙O 的位置关系，并证明你的猜想； (2)试判断四边形 BOCD 的形状，并证明你的判断； (3)已知 AC＝6，求扇形 OBC 所围成圆锥的底面圆的半径 r. 26．某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件．试营销阶段发现：当销 售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的 销售量就减少 10 件． (1)写出商场销售这种文具每天所得的销售利润 w(元)与销售单价 x(元)之间 的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； (3)商场的营销部结合上述情况，提出了 A，B 两种营销方案： A 方案：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元； B 方案：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 27．如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1 的图象与 x 轴相交于 O，A 两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使 △ AOB 的面积等于 6， 求点 B 的坐标； (3)对于(2)中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使∠POB＝90°？若存在， 求出点 P 的坐标，并求出 △ POB 的面积；若不存在，请说明理由． 答案 一、1．C 2．C 3．B 4．C 5．A 解析：连接 BD，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC＝90°.∴∠BDC＝90°－ ∠BCD＝90°－54°＝36°.∴∠A＝∠BDC＝36°. 6．B 7．C 解析：∵正方形 ODEF 是由正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 40°得到的， ∴∠AOC＝90°，∠COF＝40°，OA＝OF，∴∠AOF＝90°＋40°＝130°， ∴∠OFA＝180°－130° 2 ＝25°. 8．A 9．D 10．B 解析：∵－ b 2a ＝2，∴4a＋b＝0.故(1)正确．∵当 x＝－3 时，y＜0， ∴9a－3b＋c＜0，∴9a＋c＜3b.故(2)错误．由图象可知抛物线经过(－1，0) 和(5，0)，∴ a－b＋c＝0， 25a＋5b＋c＝0， 解得 b＝－4a， c＝－5a， ∴8a＋7b＋2c＝8a－28a－ 10a＝－30a.∵a＜0，∴8a＋7b＋2c＞0.故(3)正确．∵点 A(－3，y1)，点 B －1 2 ，y2 ，点 C 7 2 ，y3 在该函数图象上，且7 2 －2＝3 2 ，2－ －1 2 ＝5 2 ，3 2 ＜5 2 ， ∴点 C 离对称轴的距离近．∴y3＞y2.∵a＜0，－3＜－1 2 ＜2，∴y1＜y2. ∴y1＜y2＜y3.故(4)错误．∵a＜0，∴(x＋1)(x－5)＝－3 a ＞0，即(x＋1) (x－5)＞0，故 x＜－1 或 x＞5，故(5)正确．∴正确的结论有 3 个，故选 B. 二、11．0 12．(3，－2) 13．2 016 14．50° 15．1 3 16．105° 17．2π－4 解析：标注字母如图所示，连接 AB，由题意得，阴影部分的面积＝ 2(S 扇形 OAB－S △ AOB)＝2×(90π×22 360 －1 2×2×2)＝2π－4. 18．3 解析：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设扇形的半径为 r cm， 则120 180×πr＝2π×1，解得 r＝3. 19．2r 解析：连接 OD，OE.易知 BD＝BE＝OD＝OE＝r.∵MN 与⊙O 相切于点 P，且⊙O 是 △ ABC 的内切圆，∴MD＝MP，NP＝NE.∴△MBN 的周长＝BM ＋MP＋PN＋BN＝BM＋MD＋NE＋BN＝BD＋BE＝2r. 20． 3＋ 17 2 ，2 或 3－ 17 2 ，2 解析：连接 OD，由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD＝EF.根据垂线 段最短，可得当 OD⊥AC 时，OD 最短，此时 EF 最短．在 Rt △ AOC 中，易 知 OC＝OA＝4，∴当 D 是 AC 的中点时，OD⊥AC.易得 DF∥OC，DF＝ 1 2OC＝2，∴点 P 的纵坐标是 2.∵A 的坐标为(4，0)，且 OA＝4OB，∴点 B 的坐标为(－1，0)．设过 A，B，C 三点的抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－ 4)，由点 C 的坐标为(0，4)，得－4a＝4，解得 a＝－1，因此抛物线的解析 式为 y＝－x2＋3x＋4，当 y＝2 时， x2－3x－2＝0，解得 x＝3± 17 2 .∴当线段 EF 的长度最短时，点 P 的坐标为 3＋ 17 2 ，2 或 3－ 17 2 ，2 . 三、21．解：(1)原方程可化为 x2－2x＋1＝143＋1，得(x－1)2＝144， ∴x－1＝±12，∴x1＝13，x2＝－11. (2)原方程可化为 3x2－5x－2＝0， (3x＋1)(x－2)＝0， 得 3x＋1＝0 或 x－2＝0， ∴x1＝－1 3 ，x2＝2. 22．(1)证明：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋3 的对称轴是直线 x＝1， ∴－ b 2a ＝1，即 2a＝－b， 移项，得 2a＋b＝0. (2)解：把 x＝4 代入方程 ax2＋bx－8＝0，得 16a＋4b－8＝0 ①. 由(1)可知，2a＋b＝0 ②， ①②联立，解得 a＝1， b＝－2， ∴原方程为 x2－2x－8＝0， 解得 x1＝4，x2＝－2. 即方程的另一个根是 x＝－2. 23．解：(1)如图．点 A1 的坐标为(2，－4)． (2)如图． (3)BC＝ 32＋22＝ 13，所以 C 点旋转到 C2 点所经过的路径长＝90π· 13 180 ＝ 13π 2 . 24．解：(1)根据题意画树状图如图： 由树状图可得，所有可能得到的三位数有 24 个，分别为：123，124，132， 134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324， 341，342，412，413，421，423，431，432. (2)这个游戏规则不公平． 理由如下： 组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342， 共有 8 个， ∴甲胜的概率为 8 24 ＝1 3 ， 乙胜的概率为16 24 ＝2 3. ∵1 3≠2 3 ， ∴这个游戏规则不公平． 25．解：(1)猜想：AC 与⊙O 相切．证明如下：∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠A＝∠ABC＝30°. ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°. ∴∠ACO＝∠ACB－∠OCB＝90°. ∴OC⊥AC.又 OC 是⊙O 的半径， ∴AC 与⊙O 相切． (2)四边形 BOCD 为菱形．证明如下： 连接 OD， ∵CD∥AB， ∴∠AOC＝∠OCD. ∵∠AOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°， ∴∠OCD＝60°. 又 OC＝OD， ∴△OCD 为等边三角形． ∴CD＝OD＝OB. ∵CD∥OB， ∴四边形 BOCD 为平行四边形． 又 OB＝OC， ∴四边形 BOCD 为菱形． (3)在 Rt △ AOC 中，AC＝6，∠A＝30°， ∴OA＝2OC. ∴OC2＋62＝(2OC)2. 解得 OC＝2 3(负值舍去)． 由(2)得∠AOC＝60°， ∴∠COB＝120°. 根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，得120π×2 3 180 ＝2πr.解得 r＝2 3 3 . 26．解：(1)由题意得，销售量为 250－10(x－25)＝－10x＋500， 则 w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000. (2)w＝－10x2＋700x－10 000＝－10(x－35)2＋2 250. ∵－10＜0， ∴当 x＝35 时，w 最大＝2 250. 故当销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大． (3)A 方案的最大利润更高，理由如下： A 方案中：20＜x≤30， ∵函数 w＝－10(x－35)2＋2 250 的图象开口向下，对称轴为直线 x＝35， ∴当 x＝30 时，w 有最大值，此时 wA 最大＝2 000. B 方案中： －10x＋500≥10， x－20≥25， 故 x 的取值范围为 45≤x≤49. ∵函数 w＝－10(x－35)2＋ 2 250 的图象开口向下，对称轴为直线 x＝35， ∴当 x＝45 时，w 有最大值，此时 wB 最大＝1 250. ∵wA 最大＞wB 最大， ∴A 方案的最大利润更高． 27．解：(1)∵函数的图象与 x 轴相交于点 O， ∴0＝k＋1. ∴k＝－1. ∴y＝x2－3x. (2)设 B 点的坐标为(x0，y0)． ∵△AOB 的面积等于 6， ∴1 2AO·|y0|＝6. 当 x2－3x＝0 时，即 x(x－3)＝0，解得 x＝0 或 x＝3. ∴AO＝3. ∴|y0|＝4，即|x20－3x0|＝4. ∴ x0－3 2 2 ＝25 4 或 x0－3 2 2 ＝－7 4(舍去)． 解得 x0＝4 或 x0＝－1(舍去)． 当 x0＝4 时，y0＝x20－3x0＝4， ∴点 B 的坐标为(4，4)． (3)假设存在点 P.设符合条件的点 P 的坐标为(x1，x21－3x1)． ∵点 B 的坐标为(4，4)， ∴∠BOA＝45°，BO＝ 42＋42＝4 2. 当∠POB＝90°时，易得点 P 在直线 y＝－x 上， ∴x21－3x1＝－x1. 解得 x1＝2 或 x1＝0(舍去)． ∴x21－3x1＝－2. ∴在抛物线上存在点 P，使∠POB＝90°，且点 P 的坐标为(2，－2)． ∴OP＝ 22＋22＝2 2. ∴△POB 的面积为 1 2PO·BO＝1 22 2×4 2＝8.