第六章 反比例函数
6.1反比例函数
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解反比例函数的概念，能根据反比例函数的概念判
断两个变量是否具有反比例函数的关系.
2.会求反比例函数的表达式，会用反比例函数解决简单
的实际问题. （重点）
学习目标
新课导入
当人和木板对地面的压力一定时，
随着木板面积的变化，人和木板
对地面的压强如何变化？
亮度可调节的台灯，当电压一定时，
怎样通过调节电阻来控制电流的变
化从而改变灯光的明暗？
新课导入
思考
生活是五彩缤纷的，在我们的数学世界里，虽然没有那么
多美丽的色彩，但是却有许多美丽而神奇的线．它们充满了智
慧，给我们展现了一个睿智的世界．瞧，旭日中学正在举行100
米赛跑．
你知道琳琳和华
华两位同学的比
赛成绩与他们的
速度有什么样的
函数关系吗?
新课讲解
知识点1 反比例函数的定义
合作探究
京沪高速铁路全长约为1318km,列车沿京沪高
速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间
t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系？
变量t是v的函数吗？为什么？
变量t与v之间的关系可以表示成：
你还能举出类似的实例吗？与同伴交流.
1318t = .
v
新课讲解
(1)判定一个函数为反比例函数的条件：
①所给等式是形如y＝ 或y＝kx－1或xy＝k的等式；
②比例系数k是常数，且k≠0.
(2)y是x的反比例函数⇔函数解析式为y＝ 或y＝kx－1
或xy＝k (k为常数，k≠0)．
k
x
k
x
新课讲解
例
典例分析
下列关系式中，y是x的反比例函数的是________
(填序号)①y＝2x－1；②y＝－ ；③y＝ ；
④y＝ .
2
3
x
5
x
1
2x
② ④
根据反比例函数的定义进行判断，看它是否满足反比
例函数的三种表现形式．①y＝2x－1是一次函数；
②y＝－ 是反比例函数；③y＝ ，y与x2成反比
例，但y与x不是反比例函数关系；④y＝ 是反比例
函数，可以写成 ；
导引：
5
x
2
3
x 1
2x1
2y
x
=
新课讲解
结论
判断一个函数是不是反比例函数的方法：
先看它是否能写成反比例函数的三种表现形式，
再看k 是否为常数且k≠0.
新课讲解
知识点2 反比例函数的表达式
求反比例函数的表达式，就是确定反比例函数表达式
y ＝ (k≠0)中常数k的值，它一般需经历：
“设→代→求→还原”这四步．
即：(1)设：设出反比例函数表达式y＝ ；
(2)代：将所给的数据代入函数表达式；
(3)求：求出k的值；
(4)还原：写出反比例函数的表达式．
k
x
k
x
新课讲解
例
典例分析
已知y是x的反比例函数，当x=4时，y=6.
(1)写出这个反比例函数的表达式；
(2)当x＝－2时，求y的值.
解：(1)设
把x=4，y=6代入
得k=24.
所以这个反比例函数的表达式为
(2)当x＝－2时，
.ky
x
,ky
x
24 .y
x
24 12.
2
y
新课讲解
总结
确定反比例函数表达式的方法：
在明确两个变量为反比例函数关系的前提下，先
设出反比例函数的表达式，然后把满足反比例函数关系的
一组对应值代入设出的表达式中构造方程，解方程求出待
定系数，从而确定反比例函数的表达式．
新课讲解
练一练
1 若y与x－2成反比例，且当x＝－1时，y＝3，则y与x之间的
关系是( )
A．正比例函数 B．反比例函数
C．一次函数 D．其他
B
新课讲解
知识点2 建立反比例函数的模型
确定实际问题中的反比例函数表达式类似于列二
元一次方程，两个变量就是两个未知数，关键是认真
审题，找到两个变量间的等量关系．比如面积s一定时，
矩形的长x和宽y的关系式为y= (s为定值)．这里只
有一个待定系数s，因此只需知道一组x，y的值即可求
出这个反比例函数的关系式．
s
x
新课讲解
例
典例分析
用反比例函数表达式表示下列问题中两个变 量
间的对应关系：
(1)小明完成100 m赛跑时，所用时间t(s)随他跑步
的平均速度v(m/s)的变化而变化；
(2)一个密闭容器内有气体0.5 kg，气体的密度
ρ(kg/m3)随容器体积V(m3)的变化而变化；
(3)压力为600 N时，压强p随受力面积S的变化而
变化；
(4)三角形的面积为20，它的底边a上的高h随底边
a的变化而变化．
新课讲解
导引：先根据每个问题中两个变量与已知量之间的等量
关系列出等式，然后通过变形得到函数表达式．
解：(1)∵vt＝100，∴t＝ (v＞0)；
(2)∵0.5＝ρV，∴ρ＝ (V＞0)；
(3)∵pS＝600，∴p＝ (S＞0)；
(4)∵ ah＝20，∴h＝ (a＞0)．
100
v
0.5
V
600
S
40
a
新课讲解
练一练
1 在下列选项中，是反比例函数关系的是( )
A．多边形的内角和与边数的关系
B．正三角形的面积与边长的关系
C．直角三角形的面积与边长的关系
D．三角形的面积一定时，它的底边长a与这边上
的高h之间的关系
D
课堂小结
一般地形如y=
（k为常数，
k≠0），那么称y
是x的反比例函数.
⑴“反比例关系”与“反比例函数”：成反
比例的关系式不一定是反比例函数,但是反
比例函数中的两个变量必成反比例关系.
⑵k≠0这个条件不能遗漏.
注意：⑴y=（k≠0）可以写成y=kx-1 (k≠0)的形式，注意自变量x
的 指数为﹣1， x 在解决有关自变量指数问题时应特别注意
系数k≠0这一限制条件;
(2) y= （k≠0）也可以写成xy=k（k≠0)的形式，用它可
以迅速地求出反比例函数解析式中的k.从而得到反比例函数的解析
式.两个变量的积均是一个常数(或定值).这也是识别两个量是否成
反比例函数关系的关键.
k
x
当堂小练
1.下列关系式y是关于x的反比例函数的是( )
A.y=4x B.yx=3
C.y=-1x D.y=x2-1
2.下列关系,两个变量之间成反比例函数关系的是( )
A.长40米的绳子剪去x米,还剩y米
B.买单价3元的笔记本x本,花了y元
C.一个正方形的面积为S,边长为a
D.一个菱形的面积为20,对角线的长分别为x,y
C
D
当堂小练
3.已知函数y=(m2-m)xm2-3m+1.
(1)当m为何值时,此函数是正比例函数?
(2)当m为何值时,此函数是反比例函数?
解:(1)由y=(m2-m)xm2-3m+1是正比例函数,得m2-3m+1=1且m2-m≠0,
解得m=3.
故当m=3时,此函数是正比例函数.
(2)由y=(m2-m)xm2-3m+1是反比例函数,得m2-3m+1=-1且m2-m≠0,
解得m=2. 故当m=2时,此函数是反比例函数.
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
第六章 反比例函数
6.2反比例函数的图像与性质
6.2.1 反比例函数的图像
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.会用描点法画反比例函数的图象.
2.掌握反比例函数图象的对称性. （重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
还记得画一次函数图象的步骤吗？
你能画出y=x+3的图象吗？
我们通过列表、描点、连线我们很容易
就能画出y=x+3的图象.
你能尝试画出反比例函数 的图象吗？
4y
x
y=x+3
新课讲解
知识点1 反比例函数的图像与坐标
图象的画法：
(1)反比例函数的图象是双曲线；
(2)画反比例函数的图象要经过“列表、描点、
连线”这三个步骤．
新课讲解
(1)双曲线的两端是无限延伸的，画的时候要“出头”；
(2)画双曲线时，取的点越密集，描出的图象就越准确，但计算量会
越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点即可；
(3)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线
连接．注意：两个分支不连接．
我们来画反比例函数 的图象．
(1)列表：
6y
x
x … －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 …
… －6 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1 …
新课讲解
(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在下图所
示的直角坐标系中描出相应的点．
(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点，就得到反比例
函数 的图象.
6y
x
新课讲解
结论
列表时，自变量的值可以以0为中心，在0的两边选
择绝对值相等而符号相反的值，既可简化运算又便于描
点；在列表、描点时要尽量多取一些数据，多描一些点，
方便连线．
新课讲解
练一练
1 已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为2×104时，这种显
示器工作的天数为d(天)，平均每天工作的时间为t(时)，那
么能正确表示d与t之间的函数关系图象的是( )C
新课讲解
知识点2 反比例函数图像的对称性
观察例1中函数图象，如果点P(x0,y0)在函数的图象 上,那么与
点P关于原点成中心对称的P′的坐标应是什么?这个点在函数 的图
象上吗?
4y
x
4y
x
双曲线既是一个轴对称图形又是一个中心对称图
形．对称轴有两条，分别是直线y＝x与直线y＝－x；对
称中心是坐标原点，任何一条经过原点的直线只要与双曲
线有两个交点，则这两个交点关于原点对称．
新课讲解
例
典例分析
如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一
组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数 (k＞0)的图
象与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则
这个反比例函数的表达式为________．
ky
x
3y
x
新课讲解
导引：由反比例函数图象的对称性可知阴影部分的面积正好等于
正方形面积的 , 设正方形的边长为b，由图中阴影部分的面积
等于9可求出b的值，进而可得出a的值，再根据点P(3a，a)在反比
例函数的图象上，可得出反比例函数的表达式．
1
4
新课讲解
练一练
1、已知P为函数 的图象上一点，且点P到原点的距离为2，
则符合条件的点P有( )
A．0个 B．2个
C．4个 D．无数个
2y
x
B
2、如图，以原点为圆心的圆与反比例函数 的图象交于A，B，
C，D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标为( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
3y
x
A
课堂小结
反比例函数图象及位置：
反比例函数
表达式
图象 位置
第一、三象限
第二、四象限
( 0)ky k
x
( 0)ky k
x
当堂小练
1.下列各点,在函数y=-6x的图像上的是( )
A.(-3,-2) B.(-2,3) C.(3,2) D.(-3,3)
2.正比例函数y=2x和反比例函数y=2x的图像的一个
交点为(1,2),则另一个交点为( )
A.(-1,-2) B.(-2,-1) C.(1,2) D.(2,1)
B
A
当堂小练
3.已知函数y=(m-2)xm2-5是反比例函数.
(1)求m的值;
(2)画出此函数的图像.
解:(1)∵函数y=(m-2)xm2-5是反比例函数,
∴m2-5=-1,m-2≠0,
∴m=-2.
(2)当m=-2时,反比例函数的解析式为y=-4x,
图像如答图.
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
第六章 反比例函数
6.2反比例函数的图像与性质
6.2.2 反比例函数的性质
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.能根据反比例函数的图像和表达式探索、理解反比例
函数的性质，并能根据图象求相应的函数表达式．
2.能运用反比例函数的图像和性质解决相关问题．
（重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
(1)如何画反比例函数的图象呢？
(2)其步骤是怎样的呢？
新课讲解
知识点1 反比例函数的性质
合作探究
1. 根据反比例函数 与 的表达
式及图像，探究下列问题：
6y
x
6y
x
新课讲解
表达式 图象的位置 y随x的变化情况
图象在第______、
________象限内
在每个象限内，y的值
随x的值增大而
_________
图象在第______、
________象限内
在每个象限内，y的值
随x的值增大而
_________
6y
x
6y
x
一
三
二
四
减小
增大
新课讲解
2. 对于函数 与 ，指出它们的图象所在象限，
并说明y的值随x的值的变化而变化的情况.
2y
x
2y
x
新课讲解
例
典例分析
反比例函数 的图象如图所示.
(1) 判断k为正数还是负数.
(⑵)如果A(－3，y1)和B(－1，y2)为这个函数图
像上的两点，那么y1与y2的大小关系是怎样
的？
ky
x
新课讲解
解：(1)因为反比例函数 的图象在第一、三
象限， 所以k＞0.
(⑵)由k＞0可知，在每个象限内，y的值随x的值增
大而减小，
∵－3＜－1,
∴y1＞y2.
ky
x
新课讲解
讨论结
根据反比例函数的增减性比较函数值大小的方法：
利用反比例函数的增减性来比较函数值的大小时，如果
给定的两点或几点能够确定在同一象限的分支上时，可以直接利用
反比例函数的性质解答；如果给定的两点或几点不能够确定在同一
象限的分支上时，则不能利用反比例函数的性质比较，需要根据函
数的图象和点的位置用数形结合思想来比较或利用特殊值法通过求
值来进行比较．
新课讲解
练一练
1
2
已知反比例函数 ，当1＜x＜3 时，y的最小整数值
是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
在反比例函数 的每一条曲线上，y都随着x的
增大而减小，则k的值可以是( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
A
A
6y
x
1 ky
x
新课讲解
知识点2 反比例函数中K的几何性质
双曲线的几何特性：
过双曲线 上的任意一点向两坐标轴作垂
线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，连接该点
与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三
角形的面积都等于 .
ky
x
2
k
新课讲解
例
典例分析
如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图
象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则
△POB的面积为________．
导引：根据反比例函数中
k的几何意义，得△POA
和△BOA的面积分别为2
和1，于是阴影部分的面
积为1.
4y
x
= 2y
x
=
1
新课讲解
归纳
求阴影部分面积的方法：
当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的方法，将它
转化为易求图形面积的和或差来进行计算．如本例就是将阴影
部分面积转化为两个与比例系数相关的特殊三角形的面积的差
来求，要注意转化思想和作差法的运用．
新课讲解
练一练
如图，点A为反比例函数 图象上一点，过A作AB⊥x轴于
点B，连接OA，则△ABO的面积为( )
A．－4
B．4
C．－2
D．2
4y
x
D
课堂小结
反
比
例
函
数
的
性
质
增减性 当K小于0，在每一象
限内，y的值随x值的
增大而增大
当K大于0，在每一象限
内，y的值随x值的增大
而减小
对称性
关于直线y=+x或y=-x
对称
关于原点对称
当堂小练
1.已知反比例函数y=-6x,下列结论不正确的是( )
A.图像必经过点(-3,2)
B.图像位于第二、四象限
C.若x＜-2,则0＜y＜3
D.在每一象限内,y随x值的增大而减小
2.在反比例函数y=m-7x的图像的每一支上,y随x值的增大而减小,
则m的取值范围是( )
A.m＞7 B.m＜7 C.m=7 D.m≠7
D
A
当堂小练
3.作出函数y=12x的图像,并根据图像解答下列问题:
(1)当x=-2时,求y的值;
(2)当2＜y＜3时,求x的取值范围;
(3)当-4＜x＜-2时,求y的取值范围.
解:图像如答图.
(1)当x=-2时,y=12-2=-6.
(2)当y=2时,x=122=6;
当y=3时,x=123=4,则x的取值范围是4＜x＜6.
(3)当x=-4时,y=12-4=-3;
当x=-2时,y=-6,则y的取值范围是-6＜y＜-3.
D
拓展与延伸
D
拓展与延伸
【答案】 C
第六章 反比例函数
6.3反比例函数的应用
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.知道反比例函数是解答现实生活中实际问题的一种有
效的数学模型．
2.会运用反比例函数的图像和性质解决实际问题，体会
数学的应用价值．（重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
1.反比例函数的一般形式:
2.反比例函数的图象:
3.反比例函数的图象的特征:
y = k
X
(k ≠0的常数)
双曲线
(1)k＞0时,双曲线位于一、三象限,在每一象限
内,y 随x的增大而减小;
(2) k＜0时,双曲线位于二、四象限,在每一象限
内,y 随x的增大而增大;
新课导入
情境导入
你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？
（1）体积为20cm³的面团做成拉面，面条的总长度y 与面条粗
细（横截面积）s有怎样的函数关系？
（2）某家面馆的师傅收益精湛，他拉的面条粗1mm2面条总长
是多少？
新课讲解
知识点1 实际问题中的反比例函数表达式
合作探究
下列问题中，如何利用函数来解答，请列出表达式
(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t （单位:h）
随该列车平 均速度v（单位:km/h）的变化 而变化；
(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y
随宽x的变化；
1463t
v
1000y
x
新课讲解
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积 为104 m3的圆柱
形煤气储存室.
(⑴)储存室的底面积S (单位：m2)与其 深度d(单位：m)有 怎样的函
数关系？
(⑵)公司决定把储存室的底面积S定为 500 m2,施工队施工
时应该向地下掘进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临
时改变计划， 把储存室的深度改为15 m.相应地，储
存室的底面积应改为多少（结果保留 小数点后两位)？
新课讲解
解: (1)根据圆柱的体积公式，得Sd= 104，
所以S关于d的函数关系式为
(2)把S=500代入 得
解得d=20(m).
如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向
地下掘进20 m深.
410 .S
d
410 ,S
d
410500 ,
d
新课讲解
结论
利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际
问题中的等量关系，把实际问题转化为数学问题回答.
新课讲解
例
典例分析
码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时
间.
(⑴)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：吨/天)与卸
货天数t之间有怎样的函数关系？
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载
完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？
分析：根据“平均装货速度 × 装货天数=货物的总量”，
可以求出轮船装 载货物的总量；再根据“平均卸货速度
=货物的总量 ÷ 卸货天数”，得到v 关于t 的函数关系式.
新课讲解
解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得
k=30×8 = 240，
所以v关于t 的函数关系式为
(2)把t=5代入
得 (吨/天).
240 .v
t
240 ,v
t
240 48
5
v
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载
完，那么平均每天卸载48吨.对于函数
当t>0时，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载
完，则平均每天至少要卸载48吨.
新课讲解
练一练
1
电是商品，可以提前预购．小明家用购电卡购买
800 kW·h电，那么这些电能够用的天数n(天)与小
明家平均每天的用电量m(kW·h)之间的函数表达式
为____________；如果平均每天用电4 kW·h，那么
这些电可用________天．200
800n
m
新课讲解
知识点2 实际问题中的反比例函数的图像
合作探究
学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在
知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好
用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y 天.
（1）则y与x之间有怎样的函数关系？
（2）画函数图象
新课讲解
解：（1）煤的总量为：0.6×150=90吨，
∵
∴
（2）函数的图象为：
9 0 ,x y
90 .y
x
新课讲解
例
典例分析
水池内原有12 m3的水，如果从排水管中每小时出x m3的水，那
么经过y h就可以把水放完．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)画出函数的图象；
(3)当x＝6时，求y的值．
(1)由生活常识可知xy＝12，从而可得y与x之间的数关系式．(2)
画函数的图象时应把握实际意义即x＞0，所以图象只能在第一象
限内．(3)直接把x＝6代入函数关系式中可求出y的值．
新课讲解
解：(1)由题意，得xy＝12，
所以 (x＞0)．
(2)列表如下：
12y
x
x(x＞0) … 2 4 6 8 12 …
… 6 3 2 1.5 1 …
新课讲解
描点并连线，
如图所示．
(3)当x＝6时，
12 2.
6
y
新课讲解
总结
考虑到本题中时间y与每小时排水量x的实际意义，
因而x应大于0，因此在画此实际问题中的反比例函数
的图象时，只能画出第一象限的一个分支，第三象限
的分支在此题中必须舍去．
课堂小结
(1)审清题意，找出问题中的常量、变量(有时常量、变量以图象的
形式给出)，并且理清常量与变量之间的关系；
(2)根据常量与变量之间的关系，设出反比例函数关系式；
(3)利用待定系数法确定函数关系式，并注意自变量的取值范围；
(4)利用反比例函数的图象与性质解决实际问题．
用反比例函数解决实际问题的步骤：
当堂小练
1.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻
R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图像如图,则I与R的函数表达
式为( )
A.I=12R B.I=8R
C.I=6R D.I=4R
2.如果一个等腰三角形的面积为10,底边长为x,底边上的高为y,那
么y与x的函数关系式为( )
A.y=10x B.y=5x
C.y=20x D.y=x20
A
C
当堂小练
3.某车队要把4 000吨物资从甲地运到乙地(方案确定后,每天的运输量不变).
(1)从运输开始,每天运输的物资吨数y(单位:吨)与运输时间x(单位:天)之间有怎样的函
数关系式?
(2)若物资需在8天之内送到,则车队每天运输的物资吨数应至少为多少吨?
解:(1)物资的总量为4 000吨,运输时间为x天,
∴每天运输的物资吨数y=4 000x.
故从运输开始,每天运输的物资吨数y(单位:吨)与运输时间x(单位:天)的函
数关系式为y=4 000x.
(2)把x=8代入函数关系式y=4 000x,得y=4 0008=500.
答:若物资需在8天之内送到,则车队每天运输的物资吨数应至少为500吨.
D
拓展与延伸
给我一个支点，我可以撬动地球！——阿基米德
1.你认为可能吗？
2.大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？
3.同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，
是真的吗？
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