北师大版九年级数学上册第一章教学课件

第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 1.1.1 菱形及其性质 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解菱形的定义。 2.掌握并理解菱形边的性质。 (重点） 3.掌握菱形对角线的性质。 学习目标 菱形对 新课导入 下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四 边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 新课导入 思考 （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有 性质。你能列举一些这样的性质吗？ 菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平 分。中心对称图形。 （2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。 新课讲解 知识点1 菱形的定义 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 要点精析： (1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组 邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可． (2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判 定方法． 新课讲解 1.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形， 则需 要添加的条件是(  ) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD C 新课讲解 2 如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， 要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是 ( ) A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．BD＝DC D．AD＝BD B 新课讲解 做一做 （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 对称轴之间有什么位置关系？ 菱形是轴对称图形，有两 条对称轴，分别是两条对 角线所在的直线，两条对 称轴互相垂直。 新课讲解 练一练 1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交 于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD的长. 新课讲解 新课讲解 知识点2 菱形的性质 菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些 特殊性质呢? 根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有 什么大小关系? 菱形的四条边都相等. 新课讲解 例1 如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2， E、F 分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、 AF，则△AEF 的周长为( ) A．2 B． C．4 D．3 分析： 在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则 △ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点， 所以AE垂直于BC，因此AE＝ ,所以 △AEF的周长为 ，故选B. 22 1 3  3 3 B 3 3 新课讲解 练一练 1 边长为3 cm的菱形的周长是( ) A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm c 新课讲解 知识点03 菱形对角线的性质 思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由 于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特 殊性质呢？ 菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系? 新课讲解 例 典例分析 已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交 于点O.求证（1）AB＝BC＝CD＝AD，（2）AC⊥BD. 证明： (1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)．又∵AB＝AD，∴AB＝ BC＝CD＝AD. (2)∵AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形． 又∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)． 在等腰三角形ABD中，∵OB＝OD，∴AO⊥BD，即 AC⊥BD. 新课讲解 思考 菱形的面积如何计算呢？ 菱形的面积有两种计算方法： 一种是底乘以高的积； 另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单. 新课讲解 例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝ 12cm，AC＝6 cm.求菱形的周长． 由于菱形的四条边都相等，所以要求 其周长就要先求出其边长．由菱形的性质 可知，其对角线互相垂直平分，因此可以 在直角三角形中利用勾股定理来进行计 算． 新课讲解 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6 cm，BD＝12 cm， ∴AO＝3 cm，BO＝6 cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理， 得AB＝ ∴菱形的周长＝4AB 2 2 2 23 6 5(cm).3AO BO    解： 课堂小结 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质 对称性 菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角 线所在的直线 边 定理1：菱形的四条边相等 对角线 定理2：菱形的对角线互相垂直，每一 条对角线平分一组对角 周长 L=4a 面积 (1)S=ah (2)菱形的面积等于对角线乘积的一半 当堂小练 1.菱形的定义: 是菱形. 2.菱形的性质:①菱形的四条边 ②菱形的对角 线 ，并且每一条对角线一组 对角. 3.下列说法不正确的有 (填序号) ①菱形的对边平行且相等.②菱形的对角线互相平分 ③菱形的对角线相等.④菱形的对角线互相垂直. ⑤菱形的一条对角线平分一组对角.⑥菱形的对角相等. 互相垂直 有一组邻边相等的平行四边形 相等 平分 ③ 当堂小练 4.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知 AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长. 解： ∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∵Rt△AOB 中OB 2+OA 2=AB2 AB=5cm，AO=4cm ∴OB=3cm ∴BD=2OB=6cm AC=2OA=8cm C B D A O D 拓展与延伸 如图，菱形花坛ABCD的周长为80m,∠ABC＝60°,沿着菱形的 对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积 （分别精确到0.01m和0.1m2 ）.       2 2 2 2 2 : 1 1, 6 0 3 0 2 2 1 1, 2 0 1 0 m 2 2 2 0 1 0 3 0 0 m 2 2 0 2 3 4 . 6 4 1 3 4 6 . 4 m 2A B C D A B C D A C B D A B O A B C R t O A B A O A B B O A B A O A C A O m B D B O m S A C B D                              菱 形 解 花 坛 是 菱 形 在 中 花 坛 的 两 条 小 路 长 花 坛 的 面 积 第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 1.3.1 正方形及其性质 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1. 正方形的定义 2.正方形的性质（重点） 学习目标 新课导入 你能利用下图理清下面四个特殊的四边形 之间的关系吗？ 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形， 所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能 说出正方形有哪些性质吗？ 新课导入 图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特 殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 新课讲解 知识点1 正方形的定义 合作探究 把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁 出正方形纸片，为什么？ 解：由折叠可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形. 新课讲解 1.下面四个定义中不正确的是(  ) A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形 D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 B 新课讲解 讨论 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形. 结论 1.如图，将5个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆放，点A1、A2、 A3 、A4分别是正方形的中心， 则阴影部分面积和为   . A1 A2 A3 A4 1 新课讲解 知识点2 正方形的性质 议一议 (1)正方形是矩形吗？是菱形吗？ (2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交 流． 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形 的所有性质． 新课讲解 例 典例分析 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC 延 长线上一点，且CE＝CF . BE与DF之间有怎样的关系？ 请说明理由． 解： BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下： (1)∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等， 四个角都是直角)． ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°. ∴∠BCE＝∠DCF. 又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF. 新课讲解 知识点03 一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二 次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程. 的根.练一练 下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解? -2，0 ，1，2，3，4. 解：1和3. 新课讲解 例 典例分析 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC 延 长线上一点，且CE＝CF . BE与DF之间有怎样的关系？ 请说明理由． 解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下： (1)∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)． ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°. ∴∠BCE＝∠DCF. 又∵CE＝CF，∴△BCE ≌△DCF.∴BE＝DF. 新课讲解 例 典例分析 (2)延长BE交DF于点M(如图)． ∵△BCE≌ △DCF， ∴∠CBE＝∠CDF. ∵∠DCF＝90°， ∴∠CDF＋∠F＝90°. ∴∠CBE＋∠F＝90°. ∴∠BMF＝90°. ∴BE⊥DF. 课堂小结 正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质， 因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方 形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相 等、垂直，角相等提供了重要的依据． 当堂小练 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(  ) A．四个角都相等 B．四条边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 B 当堂小练 2.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠， 使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH. 若 BE∶EC＝2∶1，则线段CH 的长是( ) A．3    B．4    C．5    D．6 B D 拓展与延伸 2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心， 则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 . 1 4 n  第一章 特殊的平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 1.3.2 正方形的判定 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.正方形的对称性 2.正方形的判定（重点、难点） 学习目标 新课导入 知识回顾 • 1.正方形的性质有哪些？ • 2.正方形的定义如何描述？ • 3.判定一个图形是矩形还有哪些方法？ 新课导入 如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打 开．怎样剪才能剪出一个正方形？ 新课导入 思考 • 1.判定一个矩形是正方形的方法有哪些？ • 2.判定一个菱形是正方形的方法有哪些？ • 3.如何判定一个图形是正方形，一般思考方法是 什么？ 新课讲解 知识点1 正方形的对称性 合作探究 例1 如图, 正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点， BE=1，F为AB上的一点，AF =2，P为AC上一个 动点，则PF+PE的最小值为_______. 新课讲解 分析： 找到点F 关于直线AC的对称点M，连接EM, 计算EM的 长即可. 如图, 在AD上取一点M，使AM=2, 点M即为 点F关于直线AC的对称点. 连接EM，过M点作MN⊥B 于N，由题意可知EN = BN－BE =AM－BE=2－1，易 得MN＝4， ∴EM＝ 新课讲解 结论 正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.它的中 心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条对角线和每 组对边中点连线所在直线. 新课讲解 练一练 1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边 上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗? 为什么? H G F E DA B C N M 新课讲解 练一练 1 H G F E DA B C N M 证明：∵ABCD 是正方形，AE=BF=CM=DN, ∴AN=BE=CF=DM. 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中， AE=BF=CM=DN， ∠A=∠B=∠C=∠D， AN=BE=CF=DM， ∴△AEN ≌△BFE ≌△CMF ≌△DNM. ∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF. ∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF） =180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°. ∵EN=FE=MF=NM，∴EFMN是菱形. 又∵∠NEF=90°，∴EFMN是正方形. 新课讲解 知识点2 正方形的判定 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么 条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与 同伴交流． 新课讲解 1.正方形的判定定理： （1）定理1：对角线相等的菱形是正方形. （2）定理2：对角线垂直的矩形是正方形. （3）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. （4）定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形. 请你证明以上定理. 新课讲解 2.判定方法： (1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是 正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形． (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形 是正方形． (3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互 相垂直的矩形是正方形． (4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相 等的菱形是正方形． 新课讲解 例 典例分析   已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平 分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是 正方形． 解： ∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°. 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝ ∠ABC＝45°，∠ECB＝ ∠DCB＝45°. ∴∠EBC＝∠ECB. ∴EB＝EC. 新课讲解 典例分析 ∴ BECF是菱形(菱形的定义)． 在△EBC中， ∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是 正方形)． 新课讲解 例 典例分析 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 不添加任何辅助线，请添加一个条件_____________， 使四边形ABCD是正方形．(填一个即可) ∠BAD＝90° 新课讲解 例 典例分析 在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上， 且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，则下列三种说法： ①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形； ②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形； ③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正 方形，其中正确的有(  ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 B 课堂小结 正方形的判定： 当堂小练 1. 在正方形ABCD的外侧作等边△ADE， 则∠AEB的度数为（ ） A．10° B．12.5° C．15° D．20° C 当堂小练 2.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边 三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC=_______. 【解析】△ABE为等边三角形 ∠BAE=60°， ∠DAE=150°， △ABE为等腰三角形， ∠AED=15° 同理∠BEC=15°所以∠DEC=30° 答案：30° E BC D A 30° D 拓展与延伸 D 拓展与延伸 D 拓展与延伸 D 拓展与延伸 第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 1.1.2 菱形的判定 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1. 由对角线的位置关系判定菱形（重点、难点） 2. 由边的数量关系判定菱形 学习目标 新课导入 1.菱形的定义? 2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形, 则只需补充 就可以判定它是一个菱形. 3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm, 则菱形ABCD的周长为 cm. 新课导入 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四 边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可 以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与 同伴交流． 思考 新课讲解 知识点1 由对角线的位置关系判定菱形 合作探究 • 可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是 菱形．下面我们证明这个结论． 新课讲解 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，AC⊥BD. 求证： ABCD是菱形． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线． ∴BA＝BC. ∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)． 新课讲解 讨论 结论 已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为 菱形的一条对角线吗？ 1. 判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2. 规律导引：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四 边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线 互相垂直平分. 新课讲解 例 典例分析 1 如图，▱ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加 一个适当的条件__________使其成为菱形(只填一个即 可)． AC⊥BD 新课讲解 练一练 1 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是菱形. D B CA O证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AO=CO.∵AC⊥BD, ∴ DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等) ∴四边形ABCD是菱形. 新课讲解 知识点2 由边的数量关系判定菱形 已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为 菱形的一条对角线吗？ 如图，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分 别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱 形．你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？ 与同伴交流． 定理：四边相等的四边形是菱形. 请你完成这个定理的证明. 讨论讨论 新课讲解 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O，AB ＝ ，OA＝2，OB＝1. 求证： ABCD 是菱形． 在△AOB中， ∵AB＝ ，OA＝2，OB＝1， ∴AB2＝AO2＋OB2. ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角． ∴AC⊥BD. ∴ ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)． 典例分析典例分析 例 5 5 新课讲解 例 典例分析 3 如图，在▱ ABCD中，对角线AC与BD交于点O， 若增加一个条件，使▱ ABCD成为菱形，下列给 出的条件不正确的是(  ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC C 新课讲解 结论 1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形. 2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平 行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四 边形的四条边都相等． 课堂小结 1.菱形的判定方法： (1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱 形； (3)(边)：四边相等的四边形是菱形． 当堂小练 如图1-6，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线 BD长10cm.求： （1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积. ° 2 2 2 2 9 0 1 1 1 0 5 ( c m ) ( 2 2 1 3 5 1 2 ( c m ) . 2 2 1 2 2 4 ( c m ) ( A B C D A C B D E A E D D E B D A E A D D E A C A E                    ( 1 ) 四 边 形 是 菱 形 ， 与 相 交 于 点 ， （ 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 ） ， 菱 形 的 对 角 线 互 相 平 分 ） 菱 形 的 对 角 线 互 相 解 : 平 分 ） . 当堂小练 2 ( 2 ) = + = 2 1 = 2 2 1 = 2 1 0 1 2 2 = 1 2 0 (cm ). ABC D ABD C BD ABD BD AE           菱 形 的 面 积 的 面 积 的 面 积 的 面 积 D 拓展与延伸 如图1-7，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部 分ABCD是菱形吗？为什么？ 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 1.2.1 矩形及其性质 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 矩形的边角性质 矩形的对角线性质 直角三角形斜边上中线的性质 1.理解矩形的定义。 2.掌握矩形的边角性。 3.理解并掌握矩形的对角线性质。（重点） 4.理解并掌握直角三角形斜边上中线的性质。 新课导入 知识回顾 请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边 形有哪些性质？ 边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分． 新课导入 情境导入 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特 殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 新课讲解 知识点1 矩形的定义 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 注意： (1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行 四边形不一定是矩形． (2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形； ②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可． 新课讲解 例1 如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分 别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四边形ABCD是矩形 吗? 简述你的理由． 分析：很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为 直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证． 证明：四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2， ∴AD∥BC．∵l1∥l2， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形． 新课讲解 分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由 量变到质变的变化过程． （2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直 角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形” 来定义矩形． 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 新课讲解 讨论 利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平 行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角. 结论 下列说法正确的是(  ) A．平行四边形是矩形 B．矩形不一定是平行四边形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有   B 新课讲解 例 典例分析 已知：四边形ABCD是矩形，∠C=90° 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° D CB A 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90° ∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 ° ∴∠B=180－∠C=90° ∴∠D=∠B=90° 即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 新课讲解 知识点2 矩形的边角性质 矩形是轴 对称图形. (1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所 有性质．你能列举一些这样的性质吗？ (2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ (3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流． 讨论思考 新课讲解 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°， 对角线AC与DB 相交于点O. 求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的 对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)． ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. 又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°. ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°. 新课讲解 例 典例分析 如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点， 且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列 结论中不正确的是( ) A．△AOB≌ △BOC B．△BOC≌ △EOD C．△AOD≌ △EOD D．△AOD≌ △BOC A 新课讲解 知识点03 矩形的对角线性质 练一练 任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你 有什么发现? 已知：如图所示，四边形ABCD是矩形． 求证：AC=DB． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)． ∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB． ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB． 于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等. 新课讲解 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 A 新课讲解 知识点04 直角三角形斜边上中线的性质 议一议 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么 BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什 么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 新课讲解 例 典例分析  如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°， AB＝2.5，求这个矩形对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD(矩形的对角线相等)， OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD(矩形的对角线互相平分)． ∴OA＝OD.∵∠AOD＝120°， ∴∠ODA＝∠OAD＝ (180°－120°)＝30°. 又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)， ∴BD＝2AB＝2×2.5＝5. 课堂小结 1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四 边形所有性质． 2．性质归纳： (1)边的性质：对边平行且相等． (2)对角线性质：对角线互相平分且相 等． (3)对称性：矩形是轴对称图形． 当堂小练 1.如图，P 是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是 AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE 的周长为(   ) A．14 B．16 C．17 D．18 D 当堂小练 2.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的 中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝ 4，则BF的长为( ) A．4 B．8 C．2 D．4 D D 拓展与延伸 矩形之歌 脸蛋方方是矩形，例如黑板和窗门. 对角线段皆相等，相互交叉且平分. 内有直角三角形，斜边中线半斜边. 若要牢记其定义，直角平行四边形. 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 1.2.2 矩形的判定 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.由对角线关系判定矩形 2.由直角的个数判定矩形（重点） 学习目标 新课导入 知识回顾 1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2．矩形有哪些性质？ 3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同 之处？ 新课导入 做一做 如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点 时，平行四边形的形状会发生变化． (1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发 生怎样的变化？ (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形 有什么特征？由此 你能得到一个怎样的猜想？ 新课讲解 知识点1 由对角线关系判定矩形 合作探究 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时， 一木工师傅要他们利用自己所学的几何知识 帮助检测一个窗框ABCD是不是矩形，他们 各自做了检测.你认为他们的方法对吗？ A B C D 新课讲解 例1 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， △ABO是等边三角形，AB＝4，求 ABCD是矩形. 新课讲解 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°. ∴OA＝OB＝OC＝OD＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. ∴ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩 形)． 新课讲解 讨论 结论 如图，在▱ ABCD中，延长AD到点E，使 DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一 个条件________，使四边形DBCE是矩形．EB＝DC 判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 新课讲解 练一练 1 下列关于矩形的说法中正确的是(  )  A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分 B 新课讲解 练一练 2 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD 相交于点O，下列结论中不正确的是(  ) A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形 D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形 D 新课讲解 知识点2 由直角的个数判定矩形 我们知道，矩形的四个角都是直角．反过 来，一个四边形至少有几个角是直角时，这 个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并 与同伴交流． 练一练想一想 新课讲解 例 典例分析 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平 分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. 求证：四边形ADCE是矩形． 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN＝ ∠CAM. ∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM)＝ ×180°＝90° 在△ABC 中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°. 又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°. ∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． 课堂小结 矩形判定方法1 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形判定方法2 有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形判定方法3 对角线相等的平行四边形是矩形. 当堂小练 1.已知平行四边形ABCD,下列条件不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC 2.在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分 别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( ) A.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形 B.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形 C.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形 D.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形 B A D 拓展与延伸 议一议 你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门 框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子， 你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并 与同伴交流．