第三章 概率的进一步认识
3.1用树状图或表格求概率
3.1.1用树状图或表格求概率
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.掌握用树状图列举所有等可能结果求概率. （重点）
2.掌握用表格列举所有等可能结果求概率. （重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
1、什么叫事件的概率？
2、一般地，如果在一次试验中有n种可能结果，
并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其
中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）
= 。
新课导入
• 连续掷两枚骰子，恰好两枚骰子的和为10的概率有
多少？
新课导入
思考
小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但
只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁
获胜谁就去看电影，游戏规则如下：
连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面
朝上， 则小明获胜；若两枚反面向上，小颖
获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则
小凡获胜.
你认为这个游戏公平吗？
新课讲解
知识点1 用树状图求概率
合作探究
口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出 1个
球，放回搅匀，再摸出第2个球，两次摸球就可能出现
3种结果：
（1）都是红球; （2）都是白球; （3）一红一白.
这三个事件发生的概率相等吗？
新课讲解
一位同学画出如图所示的树状图.
第1次摸出球
第2次摸出球 红 白
红 白
红 白
从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的
概 率相等，“摸出一红一白”的概率最大.
他的分析有道理吗？为什么？
思考
新课讲解
分析： 把两个白球分别记作白1，和白2.如图, 用画树 状图的
方法看看有哪些等可能的结果：
第1次摸出球
红 白1白2
红 白1 白2
红 白1白2 红 白1白2第2次摸出球
从中可以看出，一共有9种等可能的结果.在“摸出
两红”、“摸出两白”、“摸出一红一白”这三个
事件中，“摸出 ”的概率最小，等于
，“摸出 ”和“摸出
”的概率相等，都是 .
新课讲解
例
典例分析
小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏. 游戏
规则如下：
由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的
手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同， 那么按照“石
头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的
获胜者.
假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你
认为这个游戏对三人公平吗？
新课讲解
解：因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以可
以利用树状图列出所有可能出现的结果：
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，
新课讲解
两人手势相同的结果有3种：（石头，石头）（剪刀，剪刀）
（布，布），
所以小凡获胜的概率为 = ；小明胜小颖的结果有3种：
（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头），
所以小明获胜的概率为 = ；小颖胜小明的结果也有3种：
（剪刀，石头）（布，剪刀）（石头，布），
所以小颖获胜的概率为 = .因此，这个游戏对三人是公平
的.
3
9
1
3
3
9
1
3
3
9
1
3
新课讲解
归纳
树状图法：是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出
现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出
概率的方法．用树状图求概率适用于求两步或两步以上试验
的事件发生的概率，其画树状图和计算方法如图25.27：
故共有m·n·k…种可能情况，再分别计算各类情况的概率．
新课讲解
练一练
1.三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机
一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率
是( )
1 2 1 1A B . C . D .3 3 6 9
．
A
新课讲解
知识点2 用表格法求概率
问 题
掷两枚普通的正方体骰子，
掷得的点数之积有多少种可能？
点数之积为多少的概率最大，其
概率是多少?
我们用表25. 2.6来列举所有
可能得到的点数之积.
这一问题的
树状图不如
列表的结果
简明
新课讲解
例
典例分析
一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球
除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从
中随机摸出一个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.
解：先将两个红球分别记作“红1”“红2”，两个白
球分别记作“白1”“白2”，然后列表如下：
新课讲解
红1 红2 白1 白2 蓝
红1 （红1，红1）（红1，红2）（红1，白1）（红1，白2） （红1，蓝）
红2 （红2，红1）（红2，红2）（红2，白1）（红2，白2） （红2，蓝）
白1 （白1，红1）（白1，红2）（白1，白1）（白1，白2） （白1，蓝）
白2 （白2，红1）（白2，红2）（白2，白1）（白2，白2） （白2，蓝）
蓝 （蓝，红1） （蓝，红2） （蓝，白1） （蓝，白2） （蓝，蓝）
新课讲解
总共有25种结果，每种结果出现的可能性相同，而
两次摸到的球的颜色能配成紫色的有结果有4种：（红
1，蓝）（红2，蓝）（蓝，红1）（蓝，红2），
所以，P（能配成紫色）= .4
25
新课讲解
归纳总结
列表法：
1. 定义：用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方
式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法．
2. 适用条件：如果事件中各种结果出现的可能性均等，含有两次
操作(如掷骰子两次)或两个条件(如两个转盘)的事件．
3. 列表的方法：选其中的一次操作或一个条件作为横行，
另一次操作或另一个条件为竖行，列表计算概率，如下示范表格：
新课讲解
课堂小结
当堂小练
1.小芳和小丽是乒乓球运动员,在一次比赛中,每人只允许报“双打”
或“单打”中的一项,那么至少有一人报“单打”的概率为( )
A.14 B.13 C.12 D.34
2.有三张正面分别写有数-2,1,3的卡片,它们背面完全相同,现将这三
张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张,以其正面数字作为a的值,然后
把这张放回去,再从三张卡片中随机抽一张,以其正面的数作为b的
值,则点(a,b)在第一象限的概率为( )
A.16 B.13 C.12 D.49
D
D
当堂小练
3.(4分)现有两个不透明的袋子,其中一个装有红、黄两种
颜色的小球各1个,另一个装有红、黄、蓝三种颜色的球
各1个,小球除颜色外其他均相同.若小浩从两个袋子中分
别随机摸出一个小球,则摸出的两个小球颜色恰好相同的
概率为13.
D
拓展与延伸
枚举法和列表法一般适用于两个元
素进行两步试验的题目，在列举可能的
结果时，要分清“放回”与“不放回”
两种情况．
第三章 概率的进一步认识
3.1用树状图或表格求概率
3.1.2 用概率判断游戏的公平性
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.掌握用概率说明普通游戏的公平性（重点）
2.用概率说明几何游戏的公平性（重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
上节课我们通过了抛硬币的小实验了解了利
用树状图和列表的方法来求概率，请同学们回
顾下我们画树状图和列表的步骤和方法.
新课导入
• 随着试验可能性的增加，你还会继续画树
状图和列表吗？
• 这节课我们将继续学习用树状图或表格求
概率的有关内容.
新课讲解
知识点1 用概率说明普通游戏的公平性
合作探究
“石头、剪刀、布”是民间广为流传的一种游戏，游戏的两人每次做“石
头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并 约定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”
胜“布”，“布”胜“石头”，同 种手势不分胜负须继续比赛.现有甲、乙两人做
这种游戏.(1)一次游戏中甲获胜、乙获胜的概率各是多少？
(2)这种游戏对于两个人来说公平吗？
若分别用A，B表示甲、乙两人，用1，2，3表示石头、剪刀、布，则A1表示
甲出石头、 B2表示乙出剪刀，依次类推.于是，游戏的所有结果用“树状图”表
示．
新课讲解
分析：
新课讲解
所有结果是9种，且出现的可能性相等.因此，一次游
戏时：
(⑴)甲获胜的结果有(A1，B2)，(A2, B3)，(A3, B1)这3 种，故甲
获胜的概率是 同理，乙获胜的概率也是
(⑵)由(1)可知，这种游戏中，两人获胜的概率都是 机会
均等，故游戏对于两人来说是公平的.
3 1= .9 3
1 .3
1 ,3
3 1= .9 3
1 .3
新课讲解
归纳
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，如果对
于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，
否则不公平．
新课讲解
例
典例分析
某人的密码箱密码由三个数字组成，每个数字都是从0〜9中任选的.如果他忘
记了自己设定的密码，求在一 次随机试验中他能打开箱子的概率.
1 .1000
1 .1000
设在一次随机试验中他能打开箱子的事件为A. 根据 题意，在一次
随机试验中选择的号码应是000〜999 中的任意一个3位数，所有可
能出现的结果共有1000种， 且出现每一种结果的可能性相等.要能
打开箱子， 即选择的 号码与密码相同的结果只有1种，所以
P(A)=
答：在一次随机试验中他能打开箱子的概率为
新课讲解
练一练
1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则下列事件发生的
概率最大的是( )
A．两正面都朝上
B．两背面都朝上
C．一个正面朝上，另一个背面朝上
D．三种情况发生的概率一样大
C
新课讲解
知识点2 用概率说明几何游戏的公平性
甲、乙两人要去风景区游玩，仅知道每天开往风景区有3辆汽车，
并且舒适程度分别为上等、中等、下等3 种，但不知道怎样区分这些
车，也不知道它们会以怎样的顺 序开来.于是他们分别采用了不同的乘
车办法：甲乘第1辆 开来的车.乙不乘第1辆车，并且仔细观察第2辆车
的情况， 如比第1辆车好，就乘第2辆车;如不比第1辆车好，就乘第 3
辆车.试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种更有利于乘上舒 适度较好的
车？
新课讲解
解：容易知道3辆汽车开来的先后顺序有如下6种可 能
情况：
(上中下)，（上下中），（中上下），
(中下上)，（下上中），（下中上）.
假定6种顺序出现的可能性相等，我们来看一看在
各种 可能的顺序之下，甲、乙两人分别会乘到哪
一辆汽车：
新课讲解
于是不难看出：
甲乘到上等、中等、下等3种汽车的概率都是
而乙乘到上等汽车的概率是 , 乘到中等汽车的
概率是 ，乘到下等汽车的概率却只有
答：乙的乘车办法更有利于乘上舒适度较好的车.
2 1= .6 33 1=6 2
2 1=6 3
新课讲解
顺序 甲 乙
(上中下) 上 下
(上下中) 上 中
(中上下) 中 上
(中下上) 中 上
(下上中) 下 上
(下中上) 下 中
新课讲解
例 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并
写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
典例分析
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0.
所以二次项系数为3，一次项系数为－8，
常数项为－10.
新课讲解
总结
找出游戏规则下可能要发生的结果数需要
理解游戏的规则，必须深入读题。
课堂小结
对于游戏不公平的问题，可以利用相应问题中的
可能情形改动游戏规则，使修改后游戏是公平的，而
修改游戏规则的方式有多种情形，只要合理即可，一
般采用使所获得的概率相等达到目的.
当堂小练
1.甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子,规定掷出“和为7”算甲赢,
掷出“和为8”算乙赢,这个游戏是否公平?( )
A.公平 B.对甲有利 C.对乙有利 D.不能判断
2.抛硬币的游戏规则是:正面朝上,甲赢,反面朝上,乙赢.这个规则对甲、
乙双方是否公平?公平.因为正面朝上与反面朝上的可能性相等.
B
D
拓展与延伸
若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚
各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定这张车
票的归属，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一
面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给
小李．试用列表法或树状图法分析，这个规则公平吗？
D
拓展与延伸
解：列表如下：
小李小王 1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
D
拓展与延伸
第三章 概率的进一步认识
3.2 用频率估计概率
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解（重点）
2.能通过实验验用随机事件的频率估计一些复杂的随机事件
发生的概率（重点）
3.了解模拟试验，能用模拟试验的方法估计一些随机事件发
生的概率
学习目标
新课导入
知识回顾
• 抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”和“反
面向上”发生的可能性相等，这两个随机事件发生
的概率分别是 .
• 这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次
“正面向上”和50次“反面向上”呢？
0.5，0.5
新课导入
情境导入
400个同学中，一定有2个同学的生
日相同（可以不同年）吗？300个同
学呢？
可有人说：“50个同学中，就很可能
有两个同学的生日相同.”你同意这种
说法吗？与同伴交流.
新课讲解
知识点1 用频率估计概率
议一议
为了说明上述说法正确与否，我们可以通过大量重
复试验，用“50个人中有2个人的生日相同”的频率来
估计这一事件的概率.请你设计试验方案，并与同伴交
流.
新课讲解
例
典例分析
关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A．频率等于概率
B．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
B
导引：A.频率只能估计概率；B.正确；C.概率是定值；
D.可以相同，如“抛硬币试验”，可得到正面向上的频
率为0.5 ，与概率相同，故选B.
新课讲解
结论
1．频率：在试验中，某事件发生的次数与总次数的比值．
2．用频率估计概率
①一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于
某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)＝p.
②试验的所有可能结果不是有限个或者可能出现的结果发生的
可能性不一定相等时，都可以通过统计频率来估计概率．
③注意点：一般地，用频率估计概率时，试验次数应该尽可能
多，试验次数越多，结果越接近事件发生的概率．
新课讲解
④概率是通过大量重复试验中频率的稳定性得到的介于0～1
的常数，它反映了事件发生的可能性大小．
3．二级结论：
(1)当试验次数很多时，一个事件发生的频率稳定在相应的
概率附近．
(2)频率是通过试验得到的一个数据结果，因试验次数的不
同而有所改变，是一个实际的具体值．概率是一个事件发生的可能
性大小的理论值，它不因试验次数的改变而 变化是一个常数．
新课讲解
练一练
1 在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色
外没有任何其他区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它
放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则
估计盒子中大约有白球( )
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
2 在“拋掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字
“1”，“2”，“3”，“4”，“5”和“6”，如果试验的次数增
多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近________．
A
1
6
新课讲解
知识点2 频率与概率的关系
1．非等可能事件是无法用概率公式求概率的，只
能通过大量试验，用频率来估计概率．
2．非等可能事件一般是不能用替代物来模拟试验
的．
新课讲解
例
典例分析
一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的
反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹可能是“兵”字面朝上，
也可能是“兵”字面朝下，由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”
字面朝上的概率，某同学做了棋子下掷试验，试验数据如下表：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝
上 14 38 47 52 66 78 88
相应频率 0.70 0.45 0.63 0.59 0.55 0.56
新课讲解
(1)请将数据表补充完整(精确到0.01)；
(2)画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；
(3)如将试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将
稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
导引：利用“频率＝事件发生的次数÷试验次数”完成表
格，对应转化成折线图，结合折线图估计事件的概率．
新课讲解
解：(1)表中从左到右依次填18，0.52，0.55.
(2)绘制的频率分布折线图如图.
(3)随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率逐渐稳
定在0.55左右，利用这个频率估计P（“兵”字面朝上）
＝0.55.
课堂小结
用
频
率
估
计
概
率
当试验次数足够多时，
用试验频率估计事件发
生的概率
用试验频率估计概率
计算器模拟试验
替代物模拟试验
模拟试验
当堂小练
1.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率和概率,下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.在相同的条件下进行试验,如果试验次数相同,那么各试验小组所得频率的值也会相同
D.随着试验次数的增加,频率一般会逐步稳定在概率的附近
2.在一个不透明的布袋中,共有30个小球,除颜色外其他完全相同.若每次将球搅匀后摸出
一个球,记下颜色后再放回布袋.通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在
0.2左右,则口袋中红球的个数应该是( )
A.6 B.15 C.24 D.12
D
A
当堂小练
3.下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果:
每批粒数n100300400600发芽的粒数m96282382570发芽的频率
mn0.9600.9400.9550.950每批粒数n1 0002 0003 000发芽的粒数m9481 9042 850
发芽的频率mn0.9480.9520.950下面有三个推断:
①当n为400时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为0.955,所以大豆发芽的概率是
0.955;②随着试验时大豆的粒数的增加,大豆发芽的频率总在0.950附近摆动,显示出一定
的稳定性,可以估计大豆发芽的概率是0.950;
③若大豆粒数n为4 000,估计大豆发芽的粒数为3 800粒.
其中推断合理的是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
D
D
拓展与延伸
如图,长方形内有一不规则区域，现在玩投掷游戏，如果随
机掷中长方形的300次中，有150次是落在不规则图形内.
(1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ 50%
【拓展】
你能设计一个利用频
率估计概率的实验方法估
算该不规则图形的面积的
方案吗?
(2)若该长方形的面积为150平方米，试估计不规则图形
的面积. 75平方米
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