人教版八年级数学上册第十三章轴对称

第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.1轴对称 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.通过观察实例，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念.（重 点） 2.掌握轴对称图形的性质和成轴对称的两个图形的性质并能解决实 际问题.（难点） 学习目标 新课导入 情境导入 仔细观察，你能从这些图片中得到什么规律？ 归 纳 以上图形沿着一条直线翻折后，直线两旁的两个 部分能够完全重合. 新课讲解 知识点1 轴对称图形 概念： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 此时，也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. （1）轴对称图形是对一个图形来讲的，它是一个图形自身的对称特征， 它被对称轴分成的两部分能够互相重合. （2）一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条. 新课讲解 知识点1 全等形 根据以上的定义，你能举出生活中见过的一些轴对称图形的例子吗？ 新课讲解 练一练 以下图形哪些是轴对称图形1 是 是 不是 是 不是 是 新课讲解 练一练 你能说出以下轴对称图形有几条对称轴吗？ 2 1条 2条 4条 无数条 新课讲解 1、一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条，甚至有无数条. 2、轴对称图形的对称轴通常画成直线、虚线. 思考：以下常见的轴对称图形分别有几条对称轴，对称轴分别是哪些直线？ 角、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、长方形、正方形、正五边形、正六 边形、圆. 新课讲解 图形名称 对称轴 对称轴的 条数 角 角平分线所在的直线 1 等腰三角形 底边上的高（底边上的中线、顶角平分线）所在的直线 1 等边三角形 各边上的高（内角平分线、各边上的中线）所在的直线 3 等腰梯形 上、下底的中点所在的直线 1 长方形 对边中点所在的直线 2 新课讲解 图形名称 图形 对称轴 对称轴的 条数 正方形 对边中点所在的直线 两条对角线所在的直线 4 正五边形 过一边中点且与该边垂直的直线 5 正六边形 相对的顶点所在的直线 对边中点所在的直线 6 圆 过圆心的每一条直线 无数 新课导入 情境导入 仔细观察，下列每对图片有什么共同特点？ 图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能 够和右边的图形重合. 归 纳 新课讲解 知识点2 轴对称 概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另外一 个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称.这 条直线叫做对称轴，折叠后能够重合的点是对应点，叫做对称点. 理解轴对称定义的三点：1、有两个图形；2、存在一条直线；3、使得一 个图形沿着这条直线折叠后与另外一个图形重合. 新课讲解 练一练 分别观察以下每组图形，判断它们是否关于某条直线成轴对称？1 是 不是 是 不是 不是 是 E E E E E E E E E E E E 新课讲解 练一练 仔细观察，下列两个图形有什么区别？2 轴对称图形 两个图形成轴对称 新课讲解 轴对称图形和轴对称的区别和联系 名 称 关 系 轴对称图形 轴对称 区别 对象不同 意义不同 对称点和位置 不同 对称轴的数量 不同 联系 一个图形 两个图形 一个形状特殊的图形 两个图形之间的特殊关系 对称点在这个图形上 对称点分别在这两个图形上 一条或者多条或者无数条 只有一条 1、都能沿着某条直线折叠后相互重合； 2、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一 个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称. 新课讲解 练一练 1 D如下字体的四个汉字，是轴对称图形的是（ ） A.书 B.香 C.宜 D.昌 选项D中的汉字沿着竖直的一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合.注意B选项和C选项中均不能满足轴对称图形的定义，要看清楚 香的“禾”和宜的 “宀”. 新课讲解 练一练 2 如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴. 是，1条 不是 是，2条 是，4条 新课讲解 练一练 如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称吗？如果是，指出 它的对称轴和对称点. 3 C1 A1 B1 D1 E1 是 A和A1，B和B1，C和C1， D和D1，E和E1. A1 B1 C1 D1 是 A和A1，B和B1， C和C1，D和D1. G G 不是 课堂小结 轴 对 称 图 形 轴对称图形和两个图形成轴对称区别和联系 应用 利用轴对称图形和两个图形成 轴对称的定义进行判断 定义 1、轴对称图形 2、两个图形成轴对称 当堂小练 下列图形，不是轴对称图形的是（ ）C A B C D 当堂小练 判断下列说法的对错： 1、轴对称图形必有对称轴.（ ） 2、轴对称图形至少有一条对称轴.（ ） 3、关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合.（ ） 4、两个完全互相重合的图形必是轴对称.（ ） 5、两个图形成轴对称，则这两个图形是全等形.（ ） √ √ √ × √ D 拓展与延伸 完成下列填空： 1、成轴对称的两个图形的对应角（ ），对应边（ ）. 2、在“线段、钝角、长方形、等边三角形”这四个图形中，是轴对称 图形的有（ ）个，其中对称轴最多的是（ ），线段 的对称轴是（ ）. 3、成轴对称的两个图形（ ）全等形；把一个轴对称图形沿着对称 轴分成两个图形，这两个图形（ ）全等形.（填“是”或“否”） 相等 相等 4 等边三角形 经过线段中点且垂直于线段的直线 是 是 第十三章 轴对称 13.2 画轴对称图形 课时一 画轴对称图形 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1.理解图形轴对称变换的性质.（重点） 2.能够按照要求画出一个平面图形关于某条直线对称的图形.（重点） 新课导入 情境导入 如图，在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印.把 这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能够得到相应的 右脚印.这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线 就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被 对称轴垂直平分. 请你动手再画一个图形，看看能否得到相同的结论. 新课讲解 知识点1 1、轴对称变换：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的 图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同. 2、轴对称变换的性质：新图形上的每一点都是原图形上的某一点关 于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 思考：如果有一个图形和一条线段，如何画出 与这个图形关于这条直线对称的图形呢? 新课讲解 例 1 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形. 典例分析 △ABC可以由三个顶点的位置确定，只要 能分别画出这三个顶点关于直线l的对称点， 连接这些对称点，就能得到要画的图形. C A B 新课讲解 已知点A和直线l，画出点A关于直线l的对称点A′.思 考 1 过点A作直线l的垂线，垂足为O，在垂线 上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线 l的对称点. l A ∙ ∙┐ O 新课讲解 已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′.思 考 2 （1）过点A作直线l的垂线，垂足为O，在垂 线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线l的 对称点. （2）过点B作直线l的垂线，垂足为P，在垂 线上截取PB′=PB，点B′就是点B关于直线l的 对称点. （3）连接A′、B′，则线段A′B′即是所画. B A′ B′ A O P ┐ ┐ 新课讲解 例 1 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形. 典例分析 作法：（1）如图，过点A作直线l的垂线，垂 足为O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A 关于直线l的对称点. （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对 称点B′，C′. （3）连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即 为所求. A′ ┐ B′ B A O . . 新课讲解 知识点2 几何图形都可以看作由点组成，对于某些 图形，只要画出图形中的一些特殊点（如 线段端点）的对称点，连接这些对称点， 就可以得到原图形的轴对称图形. E A B D C l 如图，五边形ABCDE可以由五个顶点的位置确定大小、形状，只要能够画出五 个顶点A，B，C，D，E分别关于直线l的对称点，顺次连接五个对称点得到的 五边形即为所画的轴对称图形. 新课讲解 知识点2 画轴对称图形的方法可以归纳为“一找、二画、三连”： 找：在原图形上找特殊点（如线段端点）； 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连：依次连接各对称点； 连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 新课讲解 （1）特殊点对画轴对称图形特别重要，找特殊点时，要把确定图形 形状的特殊点找全，否则画出的图形将不准确或不完整. （2）常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点、中点等. 新课讲解 练一练 如图，△ABC是由△DEF经过轴对称变换得到的，直线l是对称轴. （1）△ABC与△DEF全等吗？全等的两个图形一定可以通过轴对 称变换得到吗？ （2）分别找出点B，C关于直线l的对称点，如果点M在△ABC内， 那么点M关于直线l的对称点一定在△DEF内吗？ （3）连接AD，线段AD与直线l有什么关系？ 1 新课讲解 练一练 如图，△ABC是由△DEF经过轴对称变换得到的，直线l是对称轴.1 （1）△ABC与△DEF全等.全等的两个图形不一定可以通过 轴对称变换得到. （2）点B，C关于直线l的对称点分别是点E，F；点M关于 直线l的对称点一定在△DEF内. （3）线段AD被直线l垂直平分. 新课讲解 练一练 如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形.2 l l l 新课讲解 练一练 如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形.2 l l l 作轴对称图形的口诀：作垂线，截等线，顺次连. 新课讲解 练一练 用纸片剪一个三角形，分别沿着它一边的中线、高、角平分线对 折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合？ 3 沿中线对折 沿高对折 沿角平分线对折 课堂小结 画 轴 对 称 图 形 1、新旧图形的对应点是对称点 2、连接对应点的线段被对称轴 垂直平分 轴对称的性质 画出已知图形的轴对称图形 一找，二画，三连 轴对称变换 成轴对称的两个图形全等 当堂小练 已知，一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号为 （ ） 分析：根据生活经验可知，物体与其在 水中的倒影关于水面成轴对称，因此在 倒影的下面画一条水平直线，然后作出 倒影关于这条直线成轴对称的图形即可. FM5379 当堂小练 如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形. l 当堂小练 已知：直线AB与直线A′B′交于点P，并且这两条直线关于直线l成轴 对称，下列说法正确的是（ ） C A.直线AB与直线A′B′的长度不相等 B.直线AB、A′B′与直线l不一定能交于 同一点 C.直线AB、A′B′与直线l一定交于P点 D.点P关于直线l的对称点不存在 拓展与延伸 如图所示，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点， P1P2交OA于M，交OB于N.若P1P2=8cm，则△PMN的周长是多少？ 解：∵P1、P关于OA对称， P2、P关于OB对称， ∴OA垂直平分P1P， OB垂直平分P2P. ∴MP1=MP，NP2=NP. ∴C△PMN=PM+MN+NP. =P1M+MN+NP2=P1P2=8cm. 第十三章 轴对称 13.2 画轴对称图形 课时二 用坐标表示轴对称 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1.理解在平面直角坐标系中, 已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标的 变化规律.（重点） 2.掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法.（难点） 新课导入 情境导入 如图是一幅老北京城的示意图, 其中西直门和 东直门是关于中轴线对称的, 如果以天安门为 原点, 分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立 平面直角坐标系, 根据如图所示的东直门的坐 标, 你能说出西直门的坐标吗？ 新课导入 在平面直角坐标系中, 画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点, 并把它 们的坐标填入表格中, 看看每对对称点的坐标有怎样的规律, 再和同学讨 论一下. 已知点 A（2,-3） B（-1,2） C（-6,-5） D（ ,1） E（4,0） 关于x轴的 对称点 关于y轴的 对称点 2 1 新课导入 已知点 A（2,-3） B（-1,2） C（-6,-5） D（ ,1） E（4,0） 关于x轴 的对称点 A′（2,3） B′（-1,-2） C′（-6,5） D′（ ,-1） E′（4,0） 2 1 2 1 新课导入 已知点 A（2,-3） B（-1,2） C（-6,-5） D（ ,1） E（4,0） 关于y轴 的对称点 A′′（-2,-3） B′′（1,2） C′′（6,-5） D′′（ ,1） E′′（-4,0） 2 1 2 1- 新课导入 已知点 A（2,-3） B（-1,2） C（-6,-5） D（ ,1） E（4,0） 关于x轴的 对称点 A′（2,3） B′（-1,-2） C′（-6,5） D′（ ,-1） E′（4,0） 2 1 2 1 关于y轴的 对称点 A′′（-2,-3） B′′（1,2） C′′（6,-5） D′′（ ,1） E′′（-4,0） 2 1- 根据表格所填的坐标, 你发现了什么规律 新课讲解 知识点1 关于坐标轴对称的点的坐标规律 1、点（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）, 特点是横坐标相同, 纵坐标互为相反数. 2、点（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）, 特点是纵坐标相同, 横坐标互为相反数. 新课讲解 知识点1 关于坐标轴对称的点的坐标规律 对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆； x轴对称横坐标相同， y轴对称纵坐标相同. 新课讲解 知识点2 在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法： 计算：计算出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标； 描点：根据对称点的坐标描点； 连接：按原图对应点连接所描各点得到对称图形. 所找的特殊点一定要能确定原图形, 否则画出的图形与原 图形不一定成轴对称. 新课讲解 例 1 如图，四边形ABCD的四个顶点的 坐标分别为A（-5,1）, B（-2,1）, C（- 2,5）, D（-5,4）, 分别画出与四边形 ABCD关于x轴和y轴对称的图形. 典例分析 新课讲解 已知点 A（-5,1） B（-2,1） C（-2,5） D（-5,4） 关于x轴的 对称点 A′（-5,-1） B′（-2,-1） C′（-2,-5） D′（-5,-4） 新课讲解 已知点 A（-5,1） B（-2,1） C（-2,5） D（-5,4） 关于y轴的 对称点 A′′（5,1） B′′（2,1） C′′（2,5） D′′（5,4） 新课讲解 练一练 在平面直角坐标系中, 点B的坐标是（4,-1）, 点A与点B关于x轴对 称, 则点A的坐标是（ ） A.（4,1） B.（-1,4） C.（-4,-1） D.（-1,-4） 2 分析：点A与点B关于x轴对称, 则横坐标相同, 纵坐标相反, 点B的坐标为（4,-1）, 则点A的坐标为（4,1）. A 新课讲解 练一练 若点A（m,2）与点B（3,n）关于x轴对称, 则m+n的值是（ ） A.1 B.-2 C.2 D.5 3 分析：点A与点B关于x轴对称, 则横坐标相同, 纵坐标相反. 点A的坐标为（m,2）, 则点B的坐标为（3,n）. 则m=3, n=-2, m+n=3+（-2）=1. A 课堂小结 画 轴 对 称 图 形 纵坐标相同，横坐标相反点（x,y）关于y轴对称 画出已知图形关于某条直线 成轴对称图形的方法 计算、描点、连接 点（x,y）关于x轴对称 横坐标相同，纵坐标相反 当堂小练 1. 点_________与点（-2，-3）关于x轴对称；点（-1，4）与点 ________关于y轴对称. 2. 若A（x，3）关于y轴的对称点是B（-2，y），则x=____，y=____. 点A关于x轴的对称点的坐标是__________. （-2，3） （1，4） （2，-3） 2 3 当堂小练 作出ABCDE关于y轴对称的图形，并写出点A、B、C、D、E对应点 的坐标. 当堂小练 已知点A(3x-1，2x+5)关于y轴对称的点在第一象限，求x的取值范围. 解：方法一：点A（3x-1，2x+5）关于y轴的对称点的坐标 为A′（1-3x，2x+5）. ∵点A′在第一象限， ∴1-3x>0，2x+5>0,解得 5 1 2 3x ＜ ＜ 拓展与延伸 在平面直角坐标系中, △ABC的顶点坐标分别为A（-4,1）, B（-2,1）, C（- 2,3）. （1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC向下平移4个单位长度； 做出平移后的△A2B2C2； （3）求四边形AA2B2C的面积. 拓展与延伸 （1）△ABC的顶点坐标分别为A（-4,1）, B（-2,1）, C（-2,3）, 关于y轴对 称的点分别为A1（4,1）, B1（2,1）, C1（2,3）. 拓展与延伸 （2）△ABC的顶点坐标分别为A（-4,1）, B（-2,1）, C（-2,3）, 向下平移 4个单位长度的点分别为A1（-4,-3）, B1（-2,-3）, C1（-2,-1）. 拓展与延伸 （3）四边形AA2B2C为梯形, 其中上底AA2=4, 下底B2C=6, 高A2B2=2, 所以 四边形AA2B2C的面积为10. 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1等腰三角形 课时一 等腰三角形的性质 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1.了解等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义.（重 点） 2.探索并掌握等腰三角形的性质，并用以解决实际问题.（难点） 新课导入 情境导入 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把 它展开，得到的△ABC有什么特点. A C B D 剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形. 新课导入 思 考 把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折，找出其中重合的线段和角. 由得出的重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？试试说出 你的猜想. 重合的线段：AB和AC，BD和CD； 重合的角：∠BAD=∠CAD， ∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC. A C B D 新课导入 猜 想 等腰三角形的两个底角相等，折痕AD为∠BAC的角平分线，为底边BC 的中线，为底边BC的高. 重合的线段：AB和AC，BD和CD； 重合的角：∠BAD=∠CAD， ∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC. A C B D 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪 下来，请试试折叠，此时猜想仍然成立吗？ 新课讲解 知识点 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写 成“等边对等角”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. A B C 应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中，不 在同一个三角形中不能使用. 新课讲解 （1）“等边对等角”是证明三角形中两个角相等的常用方法， 这种方法比利用三角形全等证明两个角相等更方便. （2）在等腰三角形中，依据三角形内角和等于180°，可以由顶角求 底角，也可以由底角求顶角，且注意：如果已知条件中未说明是顶角 还是底角时，要考虑所有可能的情况并分类讨论. 新课讲解 知识点 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ①∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD. ②∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC ，BD=CD. ③∵AB=AC，BD=CD， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. 你能不能证明①②③的结论？ B CD A 新课讲解 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，∠ADB=∠ADC . 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， ∴△ABD≌ △ACD（SAS）. ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC. ∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC. B CD A 新课讲解 B CD A证明：∵AD是底边BC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC， AD=AD， ∴Rt△ABD≌ Rt△ACD（HL）. ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD . 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的高，求证：∠BAD=∠CAD ，BD=CD. 新课讲解 （1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相 等或线段垂直. （2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上 的中线）所在的直线. 应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形，且必须是底边上的中线、 底边上的高和顶角的平分线才能互相重合. 新课讲解 （1）等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线 也相等. （2）等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. （3）等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角平分线）上任意一 点到两腰的距离相等. 等腰三角形的其他性质： 新课讲解 例 1 如图，△ABC是等腰三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC 上的高，请写出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并说明BD=CD. 典例分析 A B C ┐ ┐ 解： ∵AB=AC，∠BAC=90° , ∴∠B=∠C=45°. ∵AB=AC，AD是底边BC上的高， ∴AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠DAC=45°. ∴AD是底边BC上的中线，则BD=CD. 新课讲解 练一练 如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°， 则∠C的度数为（ ） A.35° B.45° C.55° D.60° 1 解：∵AB=AC，D为BC的中点， ∴∠B=∠C，AD⊥BC. ∵∠B=90°-∠BAD=55°, ∴∠C=55°. C 新课讲解 练一练 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA, 则∠B的大小为（ ） A.40° B.36° C.80° D.25° 2 解： ∵AB=AC， ∴∠C=∠B. ∵BD=BA，DA=DC， ∴∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B. 设∠C=∠B=x，则∠BAD=∠BDA=2x. ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,∴x=36°. ∴∠B=36°. B 课堂小结 等 腰 三 角 形 性质 等边对等角 定义 有两边相等的三角形 三线合一 当堂小练 如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数为（ ） A.50° B.60° C.65° D.70° A 解：∵AB//CD，∠1=65°, ∴∠ACD=∠1=65°. ∵AD=CD， ∴∠DCA=∠DAC=65°. ∴∠2的度数为：180°- 65°-65°=50°. 当堂小练 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. DB A C 解：∵∠BAD=26°，AB=AD， ∴∠B=∠ADB= （180°-26°）=77°. ∵AD=CD， ∴∠C=∠DAC. ∵∠ADB=77°，∠ADB=∠C+∠DAC， ∴∠C的度数为 ∠ADB=38.5°. 2 1 2 1 B 当堂小练 如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE， 求证：EF⊥ BC. 证明：作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAD. ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF. ∴∠CAD=∠AEF，∴AD∥EF. ∵AD⊥BC，∴EF⊥BC. 拓展与延伸 已知一个等腰三角形的一个内角是130°，它的另外两个内角是多少度？ 解：因为等腰三角形的两个底角相等， 所以这个已知的角只能是顶角， 则两个底角的度数都是（180°-130°）=25°, 所以另外两个内角的度数分别为25°，25°. 拓展与延伸 （2）已知一个等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个内角是多少度？ 解：①当已知角是等腰三角形的顶角时，另外两个内角是底角. 则两个底角的度数都是 （180°-40°）=70°, 所以另外两个内角的度数分别为70°，70°. ②当已知角是等腰三角形的底角时，另外两个内角一个是底角， 一个是顶角. 则底角的度数都是40°，顶角度数为（180°-40°-40°）=100°, 综上所述，另外两个内角为70°，70°或40°，100°. 拓展与延伸 （3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘 米，这个等腰三角形的周长最大是多少？ 分析：等腰三角形的两条边的长度比是3:2，有一条边的长为12厘米，所 以另外一条边是8厘米或者18厘米.此时已经有两种情况需要讨论： ①12厘米，8厘米 ②12厘米，18厘米 还需注意的是等腰三角形也要分情况讨论，哪段为腰，哪段为底边. 拓展与延伸 （3）已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘 米，这个等腰三角形的周长最大是多少？ 解：因为等腰三角形一条边长为12厘米，并且两条边的长度比为3:2， 所以和它不相等的另外一条边的长为8厘米或18厘米. ①当腰长为8厘米，底边长为12厘米时，周长为8+8+12=28（厘米）； ②当腰长为12厘米，底边长为8厘米时，周长为8+12+12=32（厘米）； ③当腰长为12厘米，底边长为18厘米时，周长为18+12+12=42（厘米）； ④当腰长为18厘米，底边长为12厘米时，周长为18+18+12=48（厘米）. 因为28