人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.1同底数幂的乘法 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解同底数幂的乘法的性质，会利用这一性质进行同底数幂的乘 法运算.（重点） 2.掌握同底数幂的乘法的运算性质的推导.（难点） 3.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作 用. 学习目标 新课导入 思 考 一种电子计算机每秒可进行1千万亿1015次运算，它工作103秒可进行多少 次运算？ 这个结果应该是多少呢？我们该怎样进行运算？ 1015和103分别表示什么意思，请写出并进行分析. 很容易得出这种电子计算机每秒可进行1015×103次的运算. 新课导入 思 考 一种电子计算机每秒可进行1千万亿1015次运算，它工作103秒可进行多少 次运算？ 1015=10×10×10×10×10×……×10×10 ;（15个10相乘） 103 =10×10×10 ;（3个10相乘） 1015×103 =（10×10×……×10×10）×（10×10×10） =10×10×10×10×10×……×10×10（18个10相乘） =1018 . 新课导入 观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) 32×33=35 ; 32表示2个3相乘，33表示3个3相乘，35表示5个3相乘. (2) (-4)3×(-4)4=(-4)7 ; (-4)3表示3个(-4)相乘，(-4)4表示个(-4)相乘，(-4)7 表示7个(-4)相乘. (3) a3×a5 =a8 ; a3表示3个a相乘，a5表示5个a相乘，a8表示8个a相乘. 新课导入 观察计算结果，你能发现什么规律？（m，n为正整数） (4) 3m×3n=3m+n ; 3m 表示m个3相乘，3n表示n个3相乘，3m+n表示(m+n)个3相乘. (5) (-4)m×(-4)n=(-4)m+n ; (-4)m 表示m个(-4)相乘，(-4)n 表示n个(-4)相乘，(-4)m+n表示(m+n)个(-4)相乘. (6) am×an=am+n . am 表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am+n 表示(m+n)个a相乘. 新课导入 规 律 以上6个式子都是两个底数相同的幂相乘，其结果的幂的底数仍与 原来两个幂的底数相同，结果的幂的指数是原两个幂的指数相加. （其中指数均为正整数） 思考：你能总结出同底数幂相乘的运算法则吗? 新课讲解 知识点1 同底数幂的乘法 性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. am×an=(a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a)(a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a) =a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a =am+n m个a n个a m+n个a 符号表示：am×an=am+n （m，n 都是正整数）. 新课讲解 知识点1 同底数幂的乘法 性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 符号表示：am×an=am+n （m，n 都是正整数）. (1)使用该性质运算的前提条件有两个：①乘法运算； ②底数相同. (2)单个字母或数字可以看成指数为1的幂，参与同底数幂的乘法运 算时， 不能忽略指数为1的幂. 新课讲解 知识点1 同底数幂的乘法 示例： a3×a5 = a8 (-a)×(-a)2×(-a)3 = (-a) 1+2+3 =(-a)6 底数a不变 指数相加 底数-a不变 指数相加 (-a)的指数为1 新课讲解 知识点1 同底数幂的乘法 (1)同底数幂的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底 数幂相乘，即 am∙ an∙ ap = am+n+p（m，n，p都为正整数）. (2)同底数幂的乘法的性质可以逆用，即 am+n = am∙ an （m，n都为正 整数）. 新课讲解 知识点1 同底数幂的乘法 (3)在幂的运算中，经常用到以下变形： (-a)m= am (m为正偶数) -am (m为正奇数) (a-b)m= (b-a)m (m为正偶数) -(b-a)m (m为正奇数) (1)同底数幂相乘 时，底数可以是单项式， 也可以是多项式. (2)底数不同时，若能化 成相同底数，则先化成 相同底数，再利用同底 数幂的乘法的性质计算. 新课讲解 练一练 1 下列运算中正确的是（ ） A. x2∙ x2=2x2 B. x2∙ x3=x6 C. x2∙ x3=x5 D. (-x)2∙ (-x)3=(-x)6=x6 C 解：A. x2∙ x2=x2+2=x4 B.C. x2∙ x3=x2+3=x5 D. (-x)2∙ (-x)3=(-x)2+3=(-x)5=-x5 新课讲解 练一练 2 计算：(1) x2∙ x5 ; (2) a∙ a5 ; (3) (-2)×(-2)4×(-2)3 ; (4) xm∙ x3m+1 . 解： (1) x2∙ x5 = x2+5 = x7 ; (2) a∙ a5 = a1+5 = a6 ; (3) (-2)×(-2)4×(-2)3 = (-2)1+4+3= (-2)8 = 256 ; (4) xm∙ x3m+1 = xm+3m+1 = x4m+1 . 新课讲解 练一练 3 解：(4) (x+3y)3∙(x+3y)2∙(x+3y)=(x+3y)3+2+1=(x+3y)6 ; (5) (x-y)3∙(y-x)4=(x-y)3∙(x-y)4=(x-y)7 . 计算：(1) x7∙ x ; (2) (-10)3×(-10)5 ; (3) -x2∙ (-x)8 ; (4) (x+3y)3∙(x+3y)2∙(x+3y) ; (5) (x-y)3∙(y-x)4 . 课堂小结 同 底 数 幂 的 乘 法 am×an=am+n （m，n为正整数） 性质：同底数幂相乘，底数不 变，指数相加. 当堂小练 1. x3·x2的运算结果是（ ） A. x2 B. x3 C. x5 D. x6 C 2. a16可以写成（ ） A. a8+a6 B. a8·a2 C. a8·a8 D. a4·a4 C 当堂小练 提示：3x+2=3x·32=36，3x=4. 3. 若3x+2=36，则 .  2 3x 2 4. 已知2a=2，2b=6，2c=18，试探求a，b，c之间的关系. 解：∵ 2b=6，∴2b · 2b=36，2a·2c=36， 2a·2c=2b · 2b ， ∴ 2a+c=22b， ∴ a+c=2b. 拓展与延伸 我国陆地的面积约是 9.6×106 平方千米，平均每平方千米的土地上，一 年从太阳得到的能量相当于燃烧 1.3×105 吨煤所产生的能量.求在我国领 土上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所燃烧的能量？ 解： 9.6×106 ×1.3×105=9.6×1.3×106 ×105 =12.48 ×106+5 =1.248 ×1012 . 则一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 1.248 ×1012 吨煤. 拓展与延伸 分析：因为 7m+n 能被16整除，所以16是 7m+n 的一个因式，要说明 7m+2+n 能被16整除，只需说明16或者 7m+n 是 7m+2+n 的一个因式即可. 判断一个式子能否被一个数整除，只需看这个式子能否化成 这个数与另一个式子的乘积形式. 如果 7m+n 能被16整除，试说明 7m+2+n 也能被16整除. 拓展与延伸 如果 7m+n 能被16整除，试说明 7m+2+n 也能被16整除. 解： 7m+2+n=72∙7m+n=49×7m+n=48×7m+7m+n . 因为7m+n和48×7m都能被16整除， 所以 48×7m+7m+n也能被16整除. 也即是 7m+2+n 也能被16整除. 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.2幂的乘方 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.了解幂的乘方的运算法则，熟练运用幂的乘方的运算法则进行实 际计算.（重点） 2.掌握幂的乘方的运算法则的推导.（难点） 3.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作 用. 学习目标 新课导入 思 考 用含有 x 的字母表示图(1)、图(2)的面积和图(3)的体积. 图(1)是边长为 x 的正方形； 图(2)是边长为 x2 的正方形； 图(3)是边长为 x2 的正方体. x (1) (2) x2 x2 (3) 新课导入 思 考 用含有 x 的字母表示图(1)、图(2)的面积和图(3)的体积. S(1)= x2 x (1) (2) x2 x2 (3) S(2)= (x2)2 V(3)=(x2)3 新课导入 (1) (x2)2 = x2∙2= x4 ; (2) (x2)3 = x2∙3= x6 . 观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) (x2)2 = x2∙x2 = x2+2= x4 ; (2) (x2)3 = x2∙x2∙x2 = x2+2+2= x6 . 结 论 新课导入 观察计算结果，你能发现什么规律？（m，n为正整数） (1) (32)3=32×32×32=36 ; (2) (a2)3=a2×a2×a2=a6 ; (3) (am)3=am×am×am=a3m （m是正整数）; (4) (am)n=am×am×∙∙∙am=amn （m，n为正整数）. n个am 新课导入 规 律 以上4个式子都是幂的乘方的形式，根据已经学过的乘方的意义和 同底数幂的乘法性质可以得出幂的乘方的结果中底数不变，指数 为两个指数的乘积（其中指数均为正整数）. 思考：你能总结出幂的乘方的运算法则吗? 新课讲解 知识点1 幂的乘方 性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘. n个m n个am 符号表示：(am)n=amn（m，n都是正整数）. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n. (am)n=am×am×∙∙∙am=amn =a(m+m+m+∙∙∙+m) 新课讲解 知识点1 幂的乘方 示例： = = = = 底数a不变 32）（a 32×a 6a 指数相乘 底数x+y不变 nmyx ][ ）（  nmyx  ）（ mnyx ）（  指数相乘 新课讲解 (1) 幂的乘方的性质也可以推广为 [(am)n]p=amnp (m，n，p都为正整数). (2) 幂的乘方的性质可以逆用，即 amn=(am)n (m，n为正整数). 知识点1 幂的乘方 新课讲解 (1)在形式上，幂的乘方的底数本身就是一个幂，根据乘方的 意义和同底数幂的乘法的性质可以推出幂的乘方的性质； (2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式. 幂的乘方用性质， 底数不变指数乘， 推广指数一次幂， 逆用性质巧计算. 知识点1 幂的乘方 新课讲解 练一练 1 计算下列式子： (1) (103)5 ; (2) (a4)4 ; (3) (am)2 ; (4) -(x4)3 . 解：(1) (103)5=103×5=1015 ; (2) (a4)4 =a4×4=a16 ; (3) (am)2 = am×2= a2m ; (4) -(x4)3=-x4×3=-x12 . 新课讲解 练一练 2 (3) -[(a-b)3 ]4 = -(a-b)3×4= -(a-b)12 . 计算：(1) (an+1)2 ; (2) [(-x)7]4 ; (3) -[(a-b)3 ]4 . 解：(1) (an+1)2 = a(n+1)×2 = a2n+2 ; (2) [(-x)7]4 = (-x)7×4 = (-x)28= x28 ; 新课讲解 练一练 3 已知 a2n=3，求 a4n-a6n 的值. 解：a4n-a6n = (a2n)2- (a2n)3 = 32-33 = -18 . 把指数是积的形式的幂写成幂的乘方，amn=(am)n （m，n都是正整数），然后整体代入，求出式子的值. 课堂小结 幂 的 乘 方 (am)n=amn （m，n为正整数） 性质：幂的乘方，底数不变， 指数相乘. 当堂小练 1.计算(x3)3的结果是（ ） A. x5 B. x6 C. x8 D. x9 D 2. 下列运算正确的是（ ） A. a2·a3=a6 B. (a2)3=a6 C. a5·a5=a25 D. (3x)3=3x3 B a5 a10 27x3 当堂小练 3. （1）若2x+y=3，则4x·2y= . （2）已知3m·9m·27m·81m=330，求m的值. 8 解：3m·32m·33m·34m=330 310m=330 m=3 拓展与延伸 已知16m=4×22n-2，27n=9×3m+3 ，求 m，n 的值. 解：因为16m=4×22n-2，所以24m =22×22n-2 . 所以24m=22n，即4m=2n，2m=n. ① 因为 27n=9×3m+3 ，所以(33)n=32×3m+3 . 所以33n=3m+5，即3n=m+5. ② 由①②得，m=1，n=2. 拓展与延伸 比较 355、444 、533 的大小. 解： 355 = (35)11 = 24311 ， 444 = (44)11 = 25611 ， 533 = (53)11 = 12511 . 因为125