人教版八年级数学上册第十二章全等三角形

第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.（重点） 2.能正确表示两个全等三角形，能找准全等三角形的对应边、对应 角.（难点） 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，并解决一些实 际问题. 学习目标 新课导入 情境导入 观察下列几组图形，他们的形状和大小有什么特点？ 归 纳 1、形状相同；2、大小相同；3、能够完全重合. 新课导入 情境导入 你能举出一些生活中的形状大小都相同的例子吗？ 新课讲解 知识点1 全等形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. 思考 判断下列两组图形是不是全等形？ 不是。形状不同，大小不等 不是。形状相同，大小不等 新课讲解 知识点1 全等形 思考 将△ABC沿直线BC平移得到△DEF，两个三角形之间有什么关系？ A B C D E F 1、△ABC与△DEF大小相等. 2、△ABC与△DEF形状相同. 3、△ABC与△DEF完全重合. 结论：一个图形经过平移后，位置发生变化，但是 大小、形状没有发生变化，平移前后的图形是全等形. 新课讲解 知识点1 全等形 思考 将△ABC沿直线BC翻折180°得到△DBC，两个三角形之间有什么 关系？ 1、△ABC与△DEF大小相等. 2、△ABC与△DEF形状相同. 3、△ABC与△DEF完全重合. 结论：一个图形经过翻折后，位置发生变化，但是 大小、形状没有发生变化，翻折前后的图形是全等形. 新课讲解 知识点1 全等形 思考 将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，两个三角形之间有什么关系？ 1、△ABC与△DEF大小相等. 2、△ABC与△DEF形状相同. 3、△ABC与△DEF完全重合. 结论：一个图形经过旋转后，位置发生变化，但是 大小、形状没有发生变化，旋转前后的图形是全等形. 新课讲解 知识点2 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 对应顶点：点A与点D，点B与点E， 点C与点F. 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF. 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F. 全等三角形中的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重 合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对 应角. A B C D E F 新课讲解 知识点2 全等三角形 全等三角形的表示：全等用符号“≌ ”表示，读作“全等于”. △ABC与△DEF全等，记作△ABC≌ △DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”. 注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上. 如果两个三角形全等，它们的对应边、对应角 有怎样的大小关系？ 新课讲解 例 1 如图，△ABN≌ △ACM，∠B、∠C是对应角，AB和AC是对应边， 写出其他对应边及对应角. 典例分析 解：对应边：AN和AM，BN和CM. 对应角：∠ANB和∠AMC， ∠NAB和∠MAC. B M N A C 新课讲解 知识点3 全等三角形的性质 如图，△ABC≌ △DEF， AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的 对应角相等. A B C D E F 新课讲解 例 2 如图，△ABD≌ △EBC，如果AB=3cm，BC=5cm，∠D=30°，求BE， BD的长和∠C的度数. 典例分析 解：∵△ABD≌△EBC， ∴AB=EB，BD=BC（全等三角形对应边相等）， ∠D=∠C（全等三角形对应角相等）. ∵AB=3cm，BC=5cm，∠D=30°， ∴BE=3cm，BD=5cm，∠C=30°. A B C D E 新课讲解 合作探究 观察下列3组全等三角形的对应边和对应角，你能得出什么结论？ A DB C B A C E D B D CE A △ABC≌ △DCB △ABC≌ △ADE △ABC≌△ADE 新课讲解 A DB C B A C E D B D CE A 对应边：AB=DC， AC=DB，BC=CB. 对应角：∠A=∠D， ∠ABC=∠DCB， ∠ACB=∠DBC. 对应边：AB=AD， AC=AE，BC=DE. 对应角： ∠B=∠D， ∠C=∠E， ∠BAC=∠DAE. 对应边：AB=AD， AC=AE，BC=DE. 对应角： ∠A=∠A， ∠C=∠E， ∠ABC=∠ADE. 新课讲解 1、全等三角形中，公共边一定是对应边. 2、全等三角形中，公共角一定是对应角. 3、全等三角形中，对顶角一定是对应角. 4、全等三角形中，最长的边与最长的边是对应边，最短的边与最短 的边是对应边，最大的角与最大的角是对应角，最小的角与最小的 角是对应角. 知识点3 全等三角形的性质 结论 新课讲解 5、对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角. 6、全等三角形中，对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线 相等，面积相等，周长相等.（面积相等的三角形不一定是全等三角 形，周长相等的三角形也不一定是全等三角形） 知识点3 全等三角形的性质 结论 新课讲解 练一练 下列各组图形是全等形的是（ ）1 D 新课讲解 练一练 有下列说法： ①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同 ； ③两个正方形一定是全等形； ④边数相同的图形一定能够重合. 其中错误说法的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2 错.形状大小相同的图形均能 完全重合 对 错，形状相同，大小不一定相同 错，形状大小都不一定相同 B 新课讲解 练一练 如图，△OCA≌ △OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点.说出 这两个三角形中相等的边和角. 3 解：∵△OCA≌ △OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点， ∴OC=OB，OA=OD，CA=BD， ∠A=∠D，∠C=∠B，∠COA=∠BOD. D O A BC 新课讲解 练一练 如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=46°，则∠DEF等于 （ ） A.100° B.54° C.46° D.34° 4 ：∵△ABC≌ △DEF， ∴∠A=∠D，∠C=∠F. ∵∠A=100°，∴∠D=100°. ∵在△DEF中，∠F=46°，∠D=100°， ∴∠DEF=180°-∠F-∠D=34°. 分析 课堂小结 全 等 三 角 形 用全等符号“ ≌ ”表示表示方法 有关概念 对应顶点、对应边、对应角 性质 对应边相等、对应角相等 定义 能够完全重合的两个三角形 当堂小练 1.判断题： (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.（ ） (2)全等三角形的周长相等，面积也相等.（ ） (3)面积相等的三角形是全等三角形.（ ） (4)周长相等的三角形是全等三角形.（ ） √ √ × × 当堂小练 （2）如图，△ABC≌ △ADE，则AB = _______，∠E = _______．若 ∠BAE = 120°，∠BAD = 40°，则∠BAC = _______. AD ∠C 80° 分析：∵△ABC≌ ADE，∴∠BAC=∠DAE ∵∠DAE=∠BAE-∠BAD ∴∠DAE=120°-40°=80° ∴∠BAC=80° 当堂小练 （3）在△ABC中，∠B = ∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°， 那么在△ABC中与100°角对应相等的角是（ ） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 分析：△ABC为等腰三角形，等腰三角形的底角不可能为钝角。 所以∠A=100° A D 拓展与延伸 解：（1）∵△BAD≌ ACE，∴BD=AE，AD=CE. ∵AE=AD+DE， ∴BD=AD+DE=DE+CE. （2）当△BAD满足∠ADB=90°时，BD//CE.理由如下： ∵△BAD≌ ACE， ∴∠ADB=∠CEA. 若∠ADB=90°，则∠CEA=90°，∠BDE=90°. ∵∠BDE=∠CEA， ∴BD//CE. 如图，点A、D、E在同一条直线上，且△BAD≌△ACE. （1）试说明BD=DE+CE； （2）△BAD满足什么条件时，BD//CE？并说明理由. D B E A C 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时一 用“边边边”判定三角形全等 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解并掌握三角形全等判定“边边边”条件的内容.（重点） 2.熟练利用“边边边”条件证明两个三角形全等.（难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标 新课讲解 思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足仅有一条边相等或者仅有一个角 相等，此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？ 结论：只有一条边或者一个角对应相等的两个三角 形不一定全等. 1、只有一条边相等的情况： 2、只有一个角相等的情况： 新课讲解 思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足有两个相等条件，此时的△ABC 和△A'B'C'全等吗？ 结论：两条边对应相等的两个三角形不一定全等. 1、有2条边相等的情况： 新课讲解 思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足有两个相等条件，此时的△ABC 和△A'B'C'全等吗？ 结论：两个角对应相等的两个三角形不一定全等. 2、有两个角对应相等的情况： 新课讲解 思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足有两个相等条件，此时的△ABC 和△A'B'C'全等吗？ 结论：一条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等. 3、有一条边和一个角分别对应相等的情况： 新课讲解 思考 画出△ABC和△A'B'C'，使得满足有3个相等条件，此时的△ABC和 △A'B'C'全等吗？ 1、有三条边对应相等的情况. 2、有两条边和一个角对应相等的情况. 3、有一条边和两个角对应相等的情况. 4、有三个角对应相等的情况. 新课讲解 思考 先画出一个△ABC，再画出一个△A'B'C'，使得AB=A'B'，BC=B'C'， CA=C'A'，此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？ 画法：（1）画线段BC=B'C'； （2）分别以B'C'为圆心，BA，BC为半径画弧， 两弧交点为A'； （3）连接线段A'B'，A'C'. 通过画图，你能得出什么样的结论？ 新课讲解 知识点1 全等形的判定1 判定1：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边 边边”或者“SSS”）. 符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中， AB=A'B'， AC=A'C'， BC=B'C'， ∴△ABC≌ △A'B'C'.（SSS） 新课讲解 例 1 在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D 的支架.求证△ABC≌△A'B'C'. 典例分析 证明：∵点D是BC的中点，∴BD=CD. 在△ABC和△A'B'C'中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， ∴△ABC≌ △A'B'C'（SSS）. A B CD AD 称为公 共边. 新课讲解 练一练 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证△ACD≌△CBE.1 D A B C E 证明：∵点C是AB的中点， ∴AC=CB. 在△ACD和△CBE中， AD=CE， CD=BE， AC=CB， ∴△ACD≌ △CBE（SSS）. 新课讲解 知识点2 作一个角等于已知角 用直尺和圆规作出一个角等于已知角. 如图，已知：∠AOB. 求作：∠A'O'B'，使得∠AOB=∠A'O'B'. 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D； 新课讲解 知识点2 作一个角等于已知角 （2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'； （3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'； 新课讲解 知识点2 作一个角等于已知角 新课讲解 练一练 工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一 个任意角，在边OA，OB上分别截取OM=ON.移动角尺，使角尺 两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便 是∠AOB的平分线，为什么？ 证明：在△MOC和△NOC中， OM=ON, OC=OC, CM=CN, ∴△MOC≌△NOC（SSS）. ∴∠MOC=∠NOC，则OC便是∠AOB的平分线. 新课讲解 练一练 如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由. 解：△ABC≌△DCB AB=CD AC=BD BC=CB ∴△MOC≌ △NOC（ SSS ）. 其中BC是两个三角 形的公共边. 新课讲解 练一练 如图，点D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，利用“SSS”判 定，要使△ABF≌△ECD，还需要增加条件（ ）. B A CD F E BF=CD 或 BD=CF 方法2 解： ∵BD=CF，∴BD+DF=CF+DF. 在△ABF和△ECD中， AB=CE， AF=ED， BF=CD， ∴△ABF≌ △ECD（SSS）. 方法1 解：在△ABF和△ECD中， AB=CE， AF=ED， BF=CD， ∴△ABF≌ △ECD（SSS）. 课堂小结 三 角 形 全 等 的 判 定 三边分别相等的两个三角形全等SSS 尺规作图 作一个角等于已知角 应用 利用“SSS”解决实际问题 分类探讨 只满足一个条件或者两个条件时 不能判定三角形全等 当堂小练 已知：如图，AC=FE，AD=FB，BC=DE.求证：AC//EF，DE//BC. A C B D E F 证明：∵AD=FB， ∴AD+DB=FB+BD，即AB=FD. 在△ABC和△FDE中， AC=FE， BC=DE， AB=FD， ∴△ABC≌ △FDE（SSS），则∠A=∠F，∠ABC=∠FDE. ∵∠A=∠F，∠ABC=∠FDE， ∴AC//EF，DE//BC. 当堂小练 如图，AB=AD，DC=BC，求证∠B=∠D. 解： 在△ABC和△ADC中， AB=AD， BC=DC， AC=AC， ∴ △ABC≌ △ADC（SSS）. ∴∠B=∠D. 当堂小练 如图，△ABC中，AB = AC，EB = EC，则由SSS可以判定（ ） A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE C.△BDE≌△CDE D.以上答案都不对 B D 拓展与延伸 解：作图如图所示： 作法：（1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧， 分别交OA，OB于点 D，E； （2）以点 C 为圆心，OD 长为半径画弧，交OB 于点 F； （3）以点 F 为圆心，DE 长为半径画弧， 与第2步中所画的弧相交于点 P ； （4）过C，P 两点作直线，直线 CP 即为要求作的直线. 已知∠AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与 OA平行的直线. 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时二 用“边角边”判定三角形全等 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解并掌握三角形全等判定“边角边”条件的内容.（重点） 2.熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等.（难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标 新课讲解 思考 画出△ABC和△A′B′C′，使得满足有两条边和一个角对应相等的条 件，此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？ 1、角夹在两条边的中间，形成两边夹一角的情况. 2、角不夹在两条边的中间，形成两边及其中一边对角的情况. 两种情况是否都能判定两个三角形全等？你能具体说明吗？ 新课讲解 思考 先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠A=∠A′， AC=A′C′（即两边及其夹角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′全 等吗？ 画法：（1）画∠DA′E＝∠A； （2）在射线A′D上截取A′B′＝AB， 在射线A′E上截取A′C＝AC； （3）连接B′C′. 通过画图，你能得出什么样的结论？ D 新课讲解 知识点1 全等形的判定2 判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可 以简写成“边角边”或者“SAS”）. 符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中， AB=A′B′， ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∴△ABC≌ △A′B′C′（SAS）. 新课讲解 例 1 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从 点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC 并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ 典例分析 如图所示，通过连线构成了△CAB和△CDE，能 够证明△CAB≌△CDE，就能说明DE的长就是A， B的距离. 新课讲解 解：由题可知，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）. 在△CAB和△CDE中， CA=CD， ∠ACB=∠DCE， CB=CE， ∴△CAB≌ △CDE（SAS）. ∴AB=DE，即DE的长就是A，B的距离. 新课讲解 如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相 同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？ 解：C，D到B的距离相等. ∵AB是南北方向，CD是东西方向， ∴∠BAD=∠BAC=90°. 在△BAD和△BAC中， AD=AC， ∠BAD=∠BAC， BA=BA， ∴△BAD≌ △BAC（SAS），∴BD=BC. AD B C 练一练 新课讲解 思考 先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠B=∠B′， AC=A′C′（即两边及其中一边的对角分别相等），此时的△ABC和 △A′B′C′全等吗？ 结论：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 新课讲解 练一练 判断下列结论的对错. （1）有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等. （2）如图，AD=BC，要根据“SAS”判定△ABD≌△BAC，还需 要添加的条件是（∠D=∠C）. （3）“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角. A C B D O 错，两边及其中一边的 对角分别相等的两个三 角形不一定全等. 错，需要添加∠DAB=∠CBA 对 新课讲解 结 论 （1）一定牢记“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边及 其夹角分别相等才能判定两个三角形全等. （2）在已知的两个三角形中，有两条边对应相等，一般要根据题 意去找第三条边对应相等（“SSS”），或者去找这两组边的夹角 对应相等（“SAS”）. 新课讲解 练一练 如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD.求证：△ABC≌△ADC. 证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， AB=AD， ∠BAC=∠DAC， AC=AC， ∴△ABC≌ △ADC（SAS）. 课堂小结 两边和它们的夹角分别相等的两 个三角形全等SAS 应用 利用“SAS”解决实际问题 分类探讨 两边及其夹角分别相等 两边及其中一边的对角分别相等三 角 形 全 等 的 判 定 当堂小练 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D. 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+FE，即BF=CE. 在△ABF和△DCE中， AB=DC， ∠B=∠C， BF=CE， ∴△ABF≌ △DCE（SAS）. ∴∠A=∠D. B D FE A C 当堂小练 如图，AB=AC，利用“SAS”判定△ADC≌ △AEB，需要添加什么条件， 请证明你的结论. 由题可知：∠A=∠A，AB=AC， 利用“SAS”判定， 需 要∠A的另一对应边相等，也即是AD=AE. 在△ADC和△AEB中， AC=AB， ∠A=∠A， AD=AE， ∴ △ADC≌ △AEB（SAS）. 解： 当堂小练 如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB//DE，AB=DE，AF=DC. 求证：BC//EF. 证明：∵ AB//DE， ∴∠A=∠D. ∵AF=DC， ∴ AF+FC=DC+CF.即AC=DF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE， ∠A=∠D， AC=DF， ∴ △ABC≌ △DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，BC//EF. B A D E C F D 拓展与延伸 解： DE=BF，DE//BF. 在△ADC和△CBA中， CD=AB， DA=BC， AC=CA， ∴ △ADC≌ △CBA（SSS）. ∴∠DAC=∠BCA. 如图，已知AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF，写 出DE和BF之间的关系，并证明你的结论. 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时三 用“两角一边”判定三角形全等 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解并掌握三角形全等判定“角边角、角角边”条件的内容.（重点） 2.熟练利用“角边角、角角边”条件证明两个三角形全等.（难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标 新课讲解 思考 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得AB=A′B′， ∠A=∠A′，∠B=∠B′（即两角和它们的夹边分别相等）.此时的 △ABC和△A′B′C′全等吗？ 画法：1、画A′B′=AB. 2、在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A ∠EB′A′=∠B， A′D，B′E相交于点C′. 3、△A′B′C′即为所作三角形. 通过画图，你能得出什么样的结论？ 新课讲解 如图，△A′B′C′就是所求作的三角形. 将原来的△ABC和△A′B′C′叠加在一起，能否完全重合？ C A B 结论：有两个角及其夹边对应相等的两个三角形能够完全重合. 新课讲解 知识点1 全等形的判定3 判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可 以简写成“角边角”或者“ASA”）. 符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中， ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∠C=∠C′， ∴△ABC≌ △A′B′C′（ASA）. 新课讲解 例 1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：AD=AE. 典例分析 D E B C A 解：在△ACD和△ABE中， ∠A=∠A （公共角）， AC=AB， ∠C=∠B， ∴△ACD≌ △ABE（ASA）. ∴AD=AE. 新课讲解 例 2 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 典例分析 证明：在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， BC=EF， ∠B=∠E， ∴△ABC≌ △DEF（ASA）. A B E D C F 你是不是这样证明的，错在哪里？ 新课讲解 例 2 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 典例分析 分析：BC，EF不是已知两对角的夹边， 在三角形中，知道两个角的关系，利用三 角形内角和定理可以求得第三个角之间的 关系.通过转化来构造“ASA”的判定条件. A B E D C F 新课讲解 例 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E， ∴∠C=∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E， BC=EF， ∠C=∠F， ∴△ABC≌ △DEF（ASA）. A B E D C F 新课讲解 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2. 求证：AB=AD. 练一练 分析：图中的两个三角形有公共边AC，有一 对角相等可以选择“SAS”或者“ASA”.根据题 意，有AB⊥BC，AD⊥DC，则构成 ∠ABC=∠ADC=90°.可以选择“ASA”，需要 将已知角转化成两角及其夹边，即可求证. A B C D 1 2 新课讲解 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2. 求证：AB=AD. 练一练 A B C D 1 2 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠ABC=∠ADC=90°. ∵在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠ABC=∠ADC， ∴∠ACB=∠ACD. 在△ABC和△ADC中， ∠1=∠2， AC=AC（公共边）， ∠ACB=∠ACD， ∴△ABC≌ △ADC（ASA）， ∴AB=AD. 新课讲解 练一练 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取 AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得 E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？ A B C D F E ┐ ┐ 分析：根据题意构造出两个直角三角形，利 用全等三角形的性质得出对应边相等.注意题 目中隐藏一对对顶角，根据“ASA”证明两个三 角形全等即可得出题目要求的结论. 新课讲解 练一练 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A， C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？ A B C D F E ┐ ┐ 解：由题可知：AB⊥BC，ED⊥DC， 则∠ABC=∠EDC=90°. 在△ABC和△EDC中， ∠ABC=∠EDC， BC=DC， ∠ACB=∠ECD， ∴△ABC≌ △EDC（ASA）. ∴AB=ED，则DE的长就是AB的长. 新课讲解 练一练 如下图，已知∠B=∠D，DC=BC，还需要给出什么条件，即可用 学过的判定得出△ABC≌ △EDC.根据哪个判定？ C E A D B （1）条件（ ）， 根据（ ）. （2）条件（ ）， 根据（ ）. AB=ED 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ∠ACB=∠ECD 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 新课讲解 思考 两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这样的两个三角形全等吗？ 在△ABC和△A'B'C'中，使得AB=A'B'，∠C=∠C'，∠B=∠B'. 此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？ A B B' A' C C' 请选用已经学过的全等三角形的判定来证明 △ABC和△A'B'C'全等. 新课讲解 已知，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠C=∠C′，∠B=∠B′. 证明△ABC≌△A′B′C′.？ A B B' A' C C' 证明：∵∠C=∠C′，∠B=∠B′， ∠A=180°-∠B-∠C， ∠A′=180°-∠B′-∠C′， ∴∠A=∠A′. 在△ABC和△A′B′C′中， ∠A=∠A′， AB=A′B′， ∠B=∠B′， ∴△ABC≌ △A′B′C′（ASA）. 新课讲解 知识点1 全等形的判定4 判定4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三 角形全等.（可以简写成“角角边”或者“AAS”）. 符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中， ∠A=∠A′， ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∴△ABC≌ △A′B′C′（AAS）. 要按照”角—角—边“的顺序书写. 新课讲解 例 1 如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DAC. 求证：△ABC≌△ADC. 典例分析 解：在△ABC和△ADC中， ∠B=∠D， ∠BAC=∠DAC， AC=AC（公共边）， ∴△ABC≌ △ADC（AAS）. ┐ A B D C ┐ 新课讲解 如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？练一练 分析： 利用三角形全等的性质说明AB=AC. AB，AC分别在△AEB和△ADC中， 则需要证明 △AEB≌ △ADC.题目中已有一边和两角相等，可 以考虑选择 “ASA”或者“AAS”，将∠1=∠2转化 成△AEB 和△ADC中相等的角即可. 1 B D A E 2 新课讲解 如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？练一练 1 B D A E 2 证明：∵∠2是△AEB的外角，∴∠AEB=180°-∠2. ∵∠1是△ADC的外角，∴∠ADC=180°-∠1. ∵∠1=∠2，∴ ∠AEB=∠ADC. 在△AEB和△ADC中， ∠A=∠A ∠AEB=∠ADC， BE=CD， ∴△AEB≌ △ADC（AAS）. ∴AB=AC. 新课讲解 如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两 个三角形是全等三角形. 有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？思考 思考 “ASA”和“AAS”之间有什么关系？ 在证明两个三角形全等过程中，“ASA”和“AAS”两个判定 是可以相互转化的. 你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？ 新课讲解 “ASA”和'AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹 边 把夹边相等写在两角相 等的中间 由三角形的内角和定理可知， “ASA”和“AAS”可以互相转化AAS “S”是其中一角 的对边 把两角相等写在一起， 边相等放在最后 新课讲解 练一练 如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请 用两种方法证明. BA O D C解：△AOC和△BOD全等，理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴OA=OB. ∵在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，∠AOC=∠BOD， ∴∠A=∠B（三角形内角和定理）. 在△AOC和△BOD中, ∠A=∠B， OA=OB， ∠AOC=∠BOD， ∴△AOC≌ △BOD（ASA）. 新课讲解 练一练 如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请 用两种方法证明. BA O D C解：△AOC和△BOD全等，理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴OA=OB. ∵在△AOC和△BOD中， ∠C=∠D， ∠AOC=∠BOD， OA=OB， ∴△AOC≌ △BOD（AAS）. 新课讲解 练一练 已知，如图，点E是AC上一点，AB=CE，AB//CD，∠ACB=∠D. 求证：BC=ED. 证明：∵AB//CD， ∴∠A=∠ECD. 在△ACB和△CDE中， ∠ACB=∠D， ∠A=∠ECD， AB=CE， ∴△ACB≌ △CDE（AAS）. ∴BC=ED. A B E C D 课堂小结 两角和它们的夹边分别相等的两 个三角形全等ASA 应用 利用“ASA、AAS”解决实际 问题 分类探讨 两角及其夹边分别相等 两角及其中一角的对边分别相等三 角 形 全 等 的 判 定 AAS 两角和其中一组角的对边分别相 等的两个三角形全等 对比探究 对比“ASA”和“AAS”的区别和 联系 当堂小练 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD. 证明：∵∠1=∠2，∠C=∠D， ∴∠ABC=∠ABD （三角形内角和定理）. 在△ABC和△ABD中， ∠1=∠2， AB=AB（公共边）， ∠ABC=∠ABD， ∴△ABC≌ △ABD（ASA）. ∴AC=AD. A B1 2 C D 当堂小练 如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE//AB，∠B=∠DAE. 求证：△ABC≌ △DAE. 证明：∵DE//AB， ∴ ∠CAB=∠EDA. 在△ABC和△DAE中， ∠CAB=∠EDA， AB=DA， ∠B=∠DAE， ∴△ABC≌ △DAE（ASA）. 为你支招：有平行线就可 以转化出相等的角. 当堂小练 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一 点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm， 那么AE=（ ）cm. 分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择 “SSS”，“SAS”或者“ASA”.根据题意的垂直关系 可以转化出相等的角，所以本题选择“ASA”. 利用好垂直关系和余角定理是解决本题的关键. 当堂小练 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一 点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm， 那么AE=（ ）cm.3 分析：∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°. ∴∠B=∠ACD. ∵EF⊥AC， ∴∠FEC=90°. ∴∠ACB=∠FEC. 在△ACB和△FEC中，∠B=∠FCE， BC=CE， ∠ACB=∠FEC， ∴△ACB≌ △FEC（ASA）. ∴ AC=EF. ∵BC=2cm，EF=5cm. ∴ AE=3cm. 当堂小练 如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC//DF. 求证：（1）△ABC≌ △DEF.（2）BE=CF. 证明：（1）∵AC//DF， ∴∠ACB=∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠F， ∠A=∠D， AB=DE， ∴△ABC≌ △DEF（AAS）. A C D FB E （2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF.∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF. 等边加（减）等边，其和（差） 还是等边，等角加（减）等角， 其和（差）还是等角. D 拓展与延伸 如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D. 1 B E D A 2 分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等 角减等角，其差仍然是等角.利用题目中已经给出 的角转化出新的相等的角，从而证明三角形全等， 利用全等的性质得出对应角相等，对应边相等. D 拓展与延伸 如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D. 1 B E D A 2 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE， AC=AE， ∠C=∠E， ∴△ABC≌ △ADE（ASA）. ∴AB=AD，∠B=∠D. D 拓展与延伸 如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下， 要△AED≌ △AFD，可添加一个什么条件？并给予证明. 已有一边和一角分别相等，可 以构造一边相等选择“SAS”. 解：（1） 添加AE=AF，证明如下： ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD. ∵在△AED和△AFD中，AE=AF， ∠EAD=∠FAD， AD=AD， ∴△AED≌ △AFD（SAS）. D 拓展与延伸 如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下， 要△AED≌ △AFD，可添加一个什么条件？并给予证明. 解：（2） 添加∠EDA=∠FDA ，证明如下： ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD. ∵在△AED和△AFD中，∠EDA=∠FDA， AD=AD， ∠EAD=∠FAD， ∴△AED≌ △AFD（ASA）. 已有一边和一角分别相等，可 以构造一角相等选择“ASA”. D 拓展与延伸 如图，已知AD是∠BAC的平分线，在不添加任何辅助线的前提下， 要△AED≌ △AFD，可添加一个什么条件？并给予证明. 解：（3） 添加∠DEA=∠DFA，证明如下： ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD. ∵在△AED和△AFD中，∠DEA=∠DFA， ∠EAD=∠FAD， AD=AD， ∴△AED≌ △AFD（AAS）. 已有一边和一角分别相等，可 以构造一边相等选择“AAS”. 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 课时四用“斜边、直角边” 判定直角三角形全等 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解并掌握直角三角形全等判定“斜边、直角边”条件的内容（重点） 2.熟练利用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等.（难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标 新课讲解 思考 两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就 可以说明两个三角形全等？ 由已经学过的三角形全等的判定可知，满足“一边一 锐角分别相等”或者“两直角边分别相等”就可以借助 “ASA”，“AAS”或者“SAS”证明. A B C B′ A′ ┐ ┐ 如果满足斜边和一条直角边分别相 等，这两个直角三角形全等吗？ 新课讲解 任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使得 ∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.试问Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等吗？ 画法：（1）画∠MC′N=90°； （2）在射线C′M上截取B′C′=BC； （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′； （4）连接A′B′. C′ A B C B′ A′ M N 新课讲解 知识点1 全等形的判定5 判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. （可以简写成“斜边、直角边”或者“HL”） 符号语言表示： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， AC=A′C′， BC=B′C′， ∴△ABC≌ △A′B′C′（HL）. 要按照”角—角—边 “的顺序书写. A B C B ′ A ′ ┐ ┐ C′ 新课讲解 已知条件 可选择的判 定方法 需寻找的条件 一锐角对应 相等 ASA或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或者与锐角（或 直角）的对边对应相等 斜边对应相 等 HL或AAS 可证一直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边对 应相等 HL或ASA或 AAS 可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或 证已知边所对的锐角对应相等 新课讲解 例 1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD. 求证：BC=AD. D A B C 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA， AC=BD， ∴Rt△ABC≌ Rt△BAD（HL）. ∴BC=AD. 新课讲解 练一练 如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF. 求证：AE=DF. A B C E D F 证明：∵CE=BF， ∴CE-FE=BF-EF，即CF=BE. ∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， BE=CF， ∴Rt△ABE≌ Rt△DCF（HL）. ∴AE=DF. 等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等 角加（减）等角，其和（差）还是等角. 新课讲解 已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90〫，有如下几个条件： ①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′，AB=A′B′； ③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，∠A=∠A′.其中，能判定 Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′的条件的个数为（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 练一练 根据已经学过的5种判定方法：“SSS”“SAS”、 “ASA”、“AAS”、“HL”，并结合题目中的已知条件 进行判断. 新课讲解 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ① ∠A=∠A′， AC=A′C′， ∠C=∠C′， Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（ASA）. ② AB=A′B′， AC=A′C′， Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（HL）. A B C B′ A′ ┐ ┐ C′ 新课讲解 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ③ AC=A′C′， ∠C=∠C′， BC=B′C′， Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（SAS）. ④ ∠A=∠A′， ∠C=∠C′， AB=A′B′， Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（AAS）. A B C B′ A′ ┐ ┐ C′ 课堂小结 根据已知条件选择适合证明两个 直角三角形全等的方法对比探究 应用 利用“HL”解决实际问题 HL 斜边和一条直角边分别相等的两 个直角三角形全等三 角 形 全 等 的 判 定 当堂小练 如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿着两条 直线行走，并同时到达D，E两地.DA⊥AB，EB⊥AB.D，E与路段AB的距 离相等吗？为什么？ 解：相等，理由如下： ∵C是路段AB的中点， ∴AC=BC. ∵同时出发，同时到达，且速度相同， ∴CD=CE. ∵DA⊥AB，EB⊥AB ∴△ACD和△BCE是直角三角形. ∵在Rt△ACD和Rt△BCE中，AC=BC， CD=CE， ∴ Rt△ACD≌ Rt△BCE（HL）. ∴DA=DB. D A B C E 当堂小练 如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在 BC上，且AE=CF.求证：△ABE≌ △CBF. 证明：∵∠ABC=90°，∠ABC+∠CBF=180°， ∴∠CBF=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF， AB=CB， ∴Rt△ABE≌ Rt△CBF（HL）. 当堂小练 如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC， AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明. 解：AB//CD，理由如下： ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB=∠DFC=90° ∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， BE=CF， ∴ Rt△ABE≌ Rt△DCF（HL）. ∴∠B=∠C，则AB//CD. C A B D EF D 拓展与延伸 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，P，Q两点分 别在AC上和过点A且垂直AC的射线AM上运动，且PQ=AB.当点P运 动到AC上什么位置时，△ABC与△QPA全等？ 分析：△ABC和△QPA是直角三角形，题目中已经有一边相等. ①因为AB，PQ分别为Rt△ABC和Rt△QAP的斜边，可以令 “BC=AP”，选择“HL”. ②因为AB，PQ分别为Rt△ABC和Rt△QAP的斜边，可以令 “AC=AP”，选择“HL”. D 拓展与延伸 解：①当点P运动到AP=BC的位置时， 在Rt△APQ和Rt△CBA中， PQ=BA， AP=BC， ∴Rt△APQ≌ Rt△CBA（HL）. ∴AP=BC=5cm. D 拓展与延伸 解：②当点P运动到AP=AC的位置时， Rt△APQ和Rt△CBA中， PQ=AB， AP=CA， ∴Rt△APQ≌ Rt△CAB（HL）. ∴AP=AC=10cm. 综上，当点P运动到使AP=5cm或者10cm位置时， △APQ和△CAB全等. 第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 课时一 角平分线的性质 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点） 2.探究并证明角平分线的性质.（难点） 3.会用角平分线的性质解决实际问题. 学习目标 新课讲解 思考 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶 点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个 角的平分线.你能说明它的道理吗？ 理由如下：如图构成了△ADC和△ABC， ∵在△ADC和△ABC中， AD=AB， AC=AC， DC=BC， ∴△ADC≌ △ABC（SSS），∴ ∠DAC=∠BAC. ∵点C在射线AE上， ∴AE是这个角的平分线. A D B C E 新课讲解 知识点1 作已知角的平分线 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线. 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧 线，交OA于点N，交OB于点M. （2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为 半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 2 1 新课讲解 知识点1 作已知角的平分线 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线. （1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不 能太长，也不能太短. （2）“以大于 MN的长为半径画弧”是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 MN的 长为半径画弧时不容易操作. 2 1 2 1 2 1 新课讲解 知识点1 作已知角的平分线 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB 的平分线. （3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为 所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在 角的内部. （4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接 OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. 新课讲解 思考 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一 点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE 并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. 经过测量发现，PD=PE，在OC上再取 几个点，都能得到同样的结论. 新课讲解 知识点2 角平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. （1）“点”是指角的平分线上任意位置的点； （2）“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度. 几何表示： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. ∴PD=PE. 新课讲解 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 分别为D、E.求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP， ∴△PDO≌ △PEO（AAS）， ∴PD=PE. 新课讲解 证明几何命题的一般步骤. （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程. （1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考 虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明； （2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等. 新课讲解 例 1 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的 距离相等. 典例分析 需要先将命题改写成”如果……那么……“的形式，然后确定已 知和求证. 新课讲解 已知，如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD 的延长线于点E.求证：BE=CF. 证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AD交AD的延长线于点E， ∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD， ∠BDE=∠CDF， BD=CD， ∴△BED≌ △CFD（AAS）， ∴BE=CF. 新课讲解 练一练 填空：下列结论一定成立的是（ ） ①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA、OB上的点，则PD=PE. ②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE. ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD┴OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P 到OB的距离为3. O B A CP D 图3 O B A CP D 图2 EO B A CP D 图1 E ┐ ┐ ┐ ③ 新课讲解 ①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE （PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）. ②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE （OC不是∠AOB的平分线）. ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3，则点 P到OB的距离为3（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）. O B A CP D 图3 O B A CP D 图2 EO B A CP D 图1 E ┐ ┐ ┐ 新课讲解 练一练 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E、F.求证：EB=FC. 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD， DE=DF， ∴Rt△BDE≌ Rt△CDF（HL）. ∴EB=FC. C A B D FE ┐ ┐ 课堂小结 角的平分线上的点到角的两边的 距离相等性质 应用 利用角平分线的性质解决实 际问题 角平分线的做法 会用尺规作图法画出一个已知角 的平分线 角 平 分 线 的 性 质 当堂小练 证明：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD. 在Rt△OCP和Rt△ODP中， ∵ OP=OP， PC=PD， ∴Rt△OCP≌ Rt△ODP（HL）. ∴ ∠CPO=∠DPO，OC=OD. 如图，OP为∠AOB 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D， 则下列结论错误的是（ ） A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD B 当堂小练 分析：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC. 又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌ Rt△AED（HL）， ∴AC=AE. ∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D， DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB 的周长为（ ） A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定 C D 拓展与延伸 如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB =AD，BC = CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F. 求证：CE = CF. 第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 课时二 角平分线的判定 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.探究并证明角的平分线的判定.（重点） 2.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点） 3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用. 学习目标 新课讲解 思考 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并 且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？ 作出公路和铁路相交的角的平分线，按照比例尺的比例在 该平分线上选取离交叉口处500m的位置即可建集贸市场. 到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？ 新课讲解 知识点1 角平分线的判定定理 角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上. O A B CP D E ┐ （1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部； （2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法. 几何表示： 如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 新课讲解 知识点1 角平分线的判定定理 如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， 且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. O A B CP D E ┐ 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PEO=∠PDO=90°. ∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD， PO=PO， ∴Rt△PEO≌ Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 新课讲解 知识点2 正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的， 性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据. 角的平分线的性质定理与判定定理的关系： 新课讲解 知识点3 分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？ 三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部. 新课讲解 知识点3 过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什 么结论？ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ A B C A B BC A C 过交点作三角形三边的垂线段相等 新课讲解 知识点3 如图，△ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P 到△ABC 三 边AB，BC，CA的距离相等. B C P D EF M NO ┐ ┐ ┐ A 证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB， 垂足分别为点M，N，O. ∵AD为△ABC的角平分线， ∴PN=PO. ∵BE为△ABC的角平分线， ∴PM=PO. ∵CF为△ABC的角平分线， ∴PM=PN. ∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等. 新课讲解 知识点3 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角 形三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三 角形三条角平分线的交点. A B C P 新课讲解 1、判断题： （1）如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.（ ） （2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（ ） × × O B A M 图2 NO B A Q M 图1 N ┐ Q ┐ 新课讲解 练一练 如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交 AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法： ①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE 的平分线上；③点P在∠BAC 的 平分线上.其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 CA E B D F P ┐ ┐ D 新课讲解 练一练 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求 证：AD是∠BAC的平分线. C E A F D B ┐ ┐ 分析：AD是∠BAC的平分线. （角的平分线的判定） DE⊥AB，DF⊥AC ，DE=DF. （三角形全等的判定） Rt△DEB≌ Rt△DFC. （直角三角形全等“HL”） BE=CF，DB=DC. 新课讲解 练一练 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求 证：AD是∠BAC的平分线. C E A F D B ┐ ┐ 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC， ∴Rt△BDE≌ Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF. ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线. 课堂小结 角的内部到角的两边的距离相等 的点在角的平分线上判定定理 应用 综合利用角的平分线的性质 和判定来解决实际问题 学会用添加辅助线 的方法解题角 平 分 线 的 判 定 当堂小练 如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD， OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）. 分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，且OF=OD=OE. （角的平分线的判定） OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB. （角的平分线的性质） ∠OBC=∠OBA， ∠OCB=∠OCA. （三角形内角和定理） 转化为 ∠BAC和∠BOC的关系. 当堂小练 如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD， OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）. 证明：∵OF=OD=OE， ∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB. ∵∠BAC=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°. ∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°. ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°. 2 1 125° 当堂小练 如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD. E A B C D F ┌┐ 分析： AC平分∠BAD. （角的平分线的判定） CF=CE. （全等三角形的性质） △CFB≌ △CED. （全等三角形的判定） ∠ADB+∠ABC=180°，BC=DC（转化已知条件）. 当堂小练 如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD. E A B C D F ┌┐ 证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ABC=∠EDC. ∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°. ∵在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED， ∠FBC=∠EDC， BC=DC， ∴△BCF≌ △DCE（AAS）. ∴CF=CE，即AC平分∠BAD. D 拓展与延伸 如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的 平分线. A B C E D ┌ ┌ 分析：AE是∠DAB的平分线. （角的平分线的判定） 点E到AB、AD的距离相等（BE=FE ）. （等量代换） BE=CE，EF=CE. （角的平分线的性质） DE平分∠ADC，∠DFE=∠C=90°. D 拓展与延伸 如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB 的 平分线. 证明：过点E作EF⊥AD于点F， ∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF. ∵E是BC的中点， ∴EC=EB. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线. A B C E D ┌ ┌ F