24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
第二十四章 圆
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.认识圆，理解圆的本质属性. （重点）
2.理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆等弧等
与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.
（难点）
学习目标
新课导入
知识回顾
小学阶段我们学习了圆的哪些性质？
d r
新课导入
课时导入
圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象(如图).
新课讲解
知识点1 圆的定义
我们在小学已经对圆有了初步认识，如图，观察画圆的过程，
你能说出圆是如何画出来的吗？
新课讲解
·
r
O
A
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一个端点A所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作
“⊙ O”，读作“圆O”，如下图所示.
固定的端点O叫做圆心，
线段OA叫做半径，一般用r表
示．
新课讲解
1.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ．
2.到定点的距离等于定长的点都在 ．
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到
定点O的距离等于定长r的点的集合．
O·
A
C E
r
r
r
r r
D
定长r
同一个圆上
圆的集合定义
从画圆的过程可以看出什么呢？
新课讲解
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆 等圆
半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同
确定一个圆的要素
新课讲解
1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
A
B C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
例
新课讲解
练一练
下列条件中，可以确定一个圆的是( )D
A.半径为1 cm B.圆心在点O处
C.半径是1 cm，且经过点P D.圆心在点O处，且直径是2 cm
新课讲解
知识点2 与圆有关的概念
· CO
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是
圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
新课讲解
O
A
B OA
B
圆中最长的弦是什么？为什么？
O
A
B
C
C
D
C
D
O
A
B
C
O
A
B
C
D
OA
BC
D
直径是最长的弦
新课讲解
·
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条
弧，每一条弧都叫做半圆．
C
O
A
B
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
(
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC.
(
新课讲解
· CO
A
能够重合的两个圆叫做等圆.
· CO1
A
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
新课讲解
练一练
1.下列语句正确的有( )
①直径是弦；
②弦是直径；
③半径相等的两个半圆是等弧；
④长度相等的两条弧是等弧；
⑤半圆是弧，弧不一定是半圆.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
√
×
√
×
√
1
新课讲解
2.在△ABC中，∠C=90°，求证：A，B，C三点在同一个圆上.
A
C B
O
2
课堂小结
圆
定义
旋转定义 要画一个确定的圆，关
键是确定圆心和半径
集合定义 同圆半径相等
有关
概念
弦(直径) 直径是圆中最长的弦
弧 半圆是特殊的弧
劣 弧
半 圆
优 弧
同心圆
等圆同圆
等弧 能够互相重合的两段弧
当堂小练
1.下列说法正确的是( )
A.直径是弦，弦是直径
B.半圆是弧，弧是半圆
C.弦是圆上两点之间的部分
D.半径不是弦，直径是最长的弦
D
当堂小练
2.下列说法中，不正确的是( )
A.过圆心的弦是圆的直径
B.等弧的长度一定相等
C.周长相等的两个圆是等圆
D.长度相等的两条弧是等弧
D
当堂小练
3.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是 cm.
4.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成
的图形是 .
5.如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的
延长线相交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的
度数是 .
5
圆
60°
当堂小练
6.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，求证
：A、B、C三点在同一个圆上.
证明：作AB的中点O，连接OC.
∵△ABC是直角三角形.
∴OA=OB=OC= AB.
∴A、B、C三点在同一个圆上.
1
2
拓展与延伸
求证：直径是圆中最长的弦.
证明：如图，在⊙ O中，AB是⊙ O的直径，半径是r.
CD是不同于AB的任意一条弦.
连接OC、OD，
则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.
在△OCD中，OC+OD＞CD，
∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.
24.1 圆的有关性质
24.1.1 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决
一些简单的计算、证明和作图问题. （重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. （难点）
学习目标
新课导入
知识回顾
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r
的点的集合．
1.圆的定义
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个
端点所形成的图形叫做圆．
2.弦的定义
3.弧的定义
圆上任意两点间的部分叫做弧.
新课导入
课时导入
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过
程中你有何发现？什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对
称图形？
新课讲解
知识点1 圆的对称性
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在
的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此
你能得到什么结论？
发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都
是它的对称轴．
新课讲解
圆有无数条对称轴，每一条
对称轴都是直径所在的直线.
圆有哪些对称轴？
O
新课讲解
1 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是
圆的对称轴.
导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直
径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
例
新课讲解
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意
一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′,
∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD，∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A，
在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
新课讲解
知识点2 垂径定理
2 如图，AB是⊙ O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E.你能
发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
答：线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD)
(
( (
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC
和BC，AD与BD重合．
(
(
( (
·O
A B
D
E
C
例
新课讲解
垂径定理*
·O
A B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，
(
(
AC =BC，
(
(
AD =BD.
推导格式：
新课讲解
垂径定理的几个基本图形：
A B
O
C
D
E A B
O
E
D
A B
O
D
C
A B
O
C
新课讲解
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结
论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；
②垂直于弦；
③平分弦（非直径）；
④平分弦所对的优弧 ；
⑤平分弦所对的劣弧.
在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，都可以推出
其他三个结论(知二推三).
新课讲解
“不是直径”这个条
件能去掉吗？如果不
能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
两条弧.
垂径定理的推论：
·OA
B
C
D
新课讲解
3 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400
年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆
弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到
弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点
后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵
州桥的实物图画出几何图形.
例
新课讲解
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
(
(
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2. 解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，
(
连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD
就是拱高.
(
由题设可知AB=37，CD=7.23，
所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.1
2
1
2
新课讲解
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到
弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过
连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂
径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
O
A BC
·
新课讲解
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r
之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
2
2 2
2
ar d
d+h=r
A B
C
D
O
h
r d2
a
新课讲解
练一练
如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，
AB=8，则CD的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
A
分析：
课堂小结
垂
径
定
理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直
径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其
中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距 构造直角三角形，
利用勾股定理计
算或建立方程.
基本图形及变式图形
当堂小练
1.如图，⊙ O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则
下列结论中错误的是( )
A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD
C.OD=DC D.AC=BC
2.半径为5的⊙ O内有一点P，且OP=4，则过点P的最
长弦的长是 ，最短弦的长是 .
C
10 6
⌒ ⌒
当堂小练
3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的
圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，
CD＝45m，求这段弯路的半径.
解：设半径为r.
∵OC⊥AB，∴AD=BD= AB=150m.
在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，
即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m.
因此，这段弯路的半径为272.5m.
1
2
当堂小练
4.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接
OA,OC,OD,OB,
则AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
拓展与延伸
如图，AB和CD分别是⊙ O上的两条弦，圆心O到
它们的垂线段分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和
ON的大小有什么关系？为什么？
拓展与延伸
解：OM＜ON.
理由如下：连接OA、OC.
则OA＝OC.∵ON⊥CD, OM⊥AB,
又∵AB＞CD,∴CN＜AM, ∴CN2＜AM2.
在Rt△OCN和Rt△OAM中，
OM2＝OA2-AM2,
ON2＝OC2-CN2,
∴OM2＜ON2. ∴OM＜ON.
1 1, .2 2CN CD AM AB ＝ ＝
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
第二十四章 圆
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决
相关问题. （重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的
“在同圆或等圆”条件的意义. （难点）
学习目标
新课导入
知识回顾
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
1.弦的概念：
2.弧的概念：
新课导入
课时导入
圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.
.
O
A B
将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你
得到什么结论呢？
新课讲解
知识点1 圆心角
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A ∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦
为AB，所对的弧为AB.
⌒
新课讲解
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
① ②
③ ④
新课讲解
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角 弧
弦
·O
B
A
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
新课讲解
练一练
1.下面四个图形中的角，是圆心角的是( ) D1
新课讲解
2. 如图，AB为⊙ O的弦，∠A＝40°，则AB所对的圆
心角等于( )
A．40° B．80°
C．100° D．120°
⌒
C
2
新课讲解
知识点2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
1 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的
位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
·
O A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .⌒ ⌒
例
新课讲解
如图，⊙ O与⊙ O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=60°，
请问上述结论还成立吗？为什么?
·O A
B
A1
·
O1
B1
·
新课讲解
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对
的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
新课讲解
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的
弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
A
B
O
D
C
新课讲解
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对
的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对
的弧相等．
新课讲解
如果弧相等 那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等 那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等在
同
圆
或
等
圆
中
题设 结论
新课讲解
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
2 如图，在⊙ O中， AB=AC ，∠ACB=60°，求证
∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
B C
O
⌒ ⌒
∵AB=AC，⌒ ⌒
例
新课讲解
练一练
=35BOC COD DOE ，
75 .
解：
·A O B
C
DE
课堂小结
圆心角
弦、弧、圆心
角的关系定理
在同圆或
等圆中
顶点在圆心的角
应 用 提 醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
当堂小练
1.如图，AB是⊙ O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则
∠COD的度数是( )
A．36° B．72°
C．108° D．48°
2.如图，已知AB是⊙ O的直径，
C、D是半圆上两个三等分点，
则∠COD= .
A
60°
⌒ ⌒ ⌒
当堂小练
3.如图，在⊙ O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的
度数.
解：∵AB=AC，
∴AB=AC.
∴∠B=∠C=75°，
∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
⌒ ⌒
⌒ ⌒
当堂小练
4.如图，在⊙ O中，AD=BC，求证：AB=CD.
证明：∵AD=BC.
∴AD=BC.
∴AD+AC=BC+AC,
即CD=AB.∴AB=CD.
⌒ ⌒
⌒
⌒ ⌒
⌒
⌒ ⌒
拓展与延伸
如图，在⊙ O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：△AEC≌ △DEB；
(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．
拓展与延伸
(1)证明：连接AD.
∵AB=CD, ∴AB=CD.
∴AB-AD=CD-AD.
即BD=AC. ∴BD=AC.
在△ADB和△DAC中，
∴△ADB≌ △DAC(SSS).
∴∠ABD＝∠DCA.
在△AEC和△DEB中，
∠DCA＝∠ABD,
∠AEC＝∠DEB,
AC=BD,
∴△AEC≌ △DEB(AAS).
⌒ ⌒
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒ ⌒
,
,
,
BD AC
AB CD
AD DA
拓展与延伸
(2)解：对称.
理由：连接OB、OC.则OB=OC.
由(1)知BE=CE，
连接BC，则OE垂直平分BC.
∴点B与点C关于直线OE对称.
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第二十四章 圆
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决
简单的几何问题. （重难点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
（难点）
新课导入
知识回顾
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角， ∠AOB.
新课导入
课时导入
如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点?
∠ACB的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，A两点.
新课讲解
知识点1 圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
A
BC
O
新课讲解
顶点在圆内 顶点在圆外
圆周角
圆心角
·
C O
AB
C
O
B
C
AB
A
B
C
O
A
B
C
O
B
A
A
想一想：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.
（2）（1） （3）
（5） （6）
C
（4）
边AC没有与
圆相交
圆周角
O
新课讲解
知识点2 圆周角定理及其推论
想一想：1.图中圆心角∠BOC与圆周角∠BAC存在怎样的数量关系.
1
2BAC BOC
2.是不是所有的圆心角和圆周角都符合这个数量关
系呢？需要满足什么样的条件呢？
A
BC
O
新课讲解
（1）当圆心O在∠BAC的一边上时（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
1
2BAC BOC
A
B C
O
新课讲解
O
A
B
D
O
A
C
新课讲解
C
O
D
O
（3）当圆心O在∠BAC的外部时
新课讲解
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
想一想：怎样证明等弧所对的
圆周角相等呢？通过一道题目
来探讨一下.
A
1
A
2
A
3
A
BC
O
新课讲解
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形
ABCD的对角线.
若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？⌒ ⌒
⌒ ⌒
解：∠1=∠2.
新课讲解
推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
想一想：如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边
形ABCD的对角线.
若AC是半圆，
∠ADC = ，
∠ABC = .
90°
90°
若AC是直径，
新课讲解
1 如图，⊙ O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙ O
于B, 求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ ADC 中，
2 2 2 210 6 8;DC AC AD
例
新课讲解
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
2 2 10 5 2(cm).2 2AB BC AC
B
新课讲解
知识点3 圆内接四边形及其性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，
这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个
多边形的外接圆.
圆内接多边形
新课讲解
2 如图，四边形ABCD为⊙ O的内接四边形，⊙ O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关为 . ∠A+ ∠C=180º，∠B+ ∠D=180º
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
证明：连接OB，OD.
∵∠A所对的弧为 ，∠C所对的弧为 ，
又 和 所对的圆周角的和是周角，
∴∠A+∠C=360°÷2=180°.
同理∠B+∠D=180°.
圆内接四边形的性质
例
新课讲解
C
O
D
B
A
∵∠A＋∠DCB＝180°，
E
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
3 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个
外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？
例
新课讲解
4 如图，AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E，交⊙ O
于D，AF交⊙ O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙ O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
例
课堂小结
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理
的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角
所对的弧相等.
90°的圆周角所对的弦是直径.
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）.
圆周角与直
径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）
课堂小结
圆内接四边形的角的“三种关系”：
1.对角互补，若四边形ABCD为⊙ O的内接四边形，则∠A
＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
2.四个内角的和是360°，若四边形ABCD为⊙ O 的内接四边
形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
3.任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边
形的外角等于其内对角．
当堂小练
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )C
当堂小练
2.如图，⊙ O中，弦AD平行于弦BC，
∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B.
又∵∠B= ∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
1
2
当堂小练
3.如图，⊙ O的半径为1，A,B,C是⊙ O上的三个点
，且∠ACB=45°，求弦AB的长.
解：连接OA、OB.
∵∠ACB=45°,
∴∠BOA=2∠ACB=90°.
又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
2 2 22 2 2.AB OA OB OA OA
当堂小练
4.如图，已知EF是⊙ O的直径，把∠A为60°的直角
三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边
AB与⊙ O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC
沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设
∠POF=x°，则x的取值范围是 ．30≤x≤60
拓展与延伸
如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点(点F不与
B、C重合)，A是BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．
(1)当α=50°时，求β的度数;
(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明.
⌒
⌒
C
拓展与延伸
解：(1)连接OA，交BF于点M.
∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°,
即β=20°.
(2)β=45°- α.
证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.
又∠C＝β＝ ∠AOB,
∴β＝ (90°-α)＝45°- α.
⌒
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
C
M
1
2
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
第二十四章 圆
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系. （难点）
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. （重点）
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
4.了解反证法的证明思想.
学习目标
新课导入
知识回顾
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于
定长r的点的集合．
圆的集合定义
新课导入
课时导入
问题： 观察下列图片.是一个小朋友玩飞镖游戏时在靶子上留
下的小孔，这些小孔和这些同心圆是什么关系呢？
新课讲解
知识点1 点和圆的位置关系
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.o.
C
.. .
B
.A.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内（如点B），点在圆上（如点C），点在圆外（如点A）.
新课讲解
dr
问题2：如何用数量关系来表示点和圆的位置关系呢？
⑴点在圆内 rO
·P
⑵点在圆上 rO
·
P
⑶点在圆外 rO·P
d
d
d
注：“ ”读
作“等价于”，
它表示从符号
的左边可以推
出 ，从右
边可以推
出 .
右边
左边
新课讲解
·
1 画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm并且小
于或等于3cm的点组成的图形.
·O
2cm
3cm
解：如图所示
∴阴影部分就是所求图形.
例
新课讲解
练一练
(湘西州)⊙ O的半径为5 cm，点A到圆心O的距
离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为( )
A．点A在圆上 B．点A在圆内
C．点A在圆外 D．无法确定
B
新课讲解
知识点2 确定圆的条件
如何过一个点A作一个圆？过点A可
以作多少个圆？ ·
·
·
·
·
答：任取一点为圆心，以圆心到点A
的距离为半径，画圆，可作无数个圆.
A
新课讲解
如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？
·
·
··A B
分析：作线段AB的垂直平分线，以其
上任意一点为圆心，以这点到点A或
点B的距离为半径画圆即.
答：可作无数个圆.
新课讲解
过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
AB
C
D
E
G
F
●
o
经过B,C两点的圆的圆心在线
段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这
两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在
线段AB的垂直平分线上.
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
新课讲解
活学巧记
过一点可作无数圆；
过两点可作圆无数，
圆心全在一直线；
过三点能作一个圆，
前提是三点不共线.
新课讲解
练一练
如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个
点中的任意3个点画圆，能画圆的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
新课讲解
知识点3 三角形的外接圆
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
A
B
CO
新课讲解
1. 外接圆与内接三角形
⊙ O叫做△ABC的外接圆，
△ABC叫做⊙ O的内接三角形.
到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形的外心
●O
A
B C三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边垂直平分线的交点.
性质：
一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.
定义：
新课讲解
三角形外接圆的作法：
1.作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
2.以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距
离为半径作圆即可.
新课讲解
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它
们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B C
●O
A
B CC
A
B
┐
●O ●O
新课讲解
练一练
如图， ⊙ O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙ O的半径为4.求AC的长.
新课讲解
知识点4 反证法
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
l1 l2
A B C
P如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以
作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在
线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直
平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，
l2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一
条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一
条直线上的三点不能作圆．
l
新课讲解
反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾(常与公
理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正
确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
反证法的一般步骤
① 假设命题的结论不成立，
② 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，
③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
新课讲解
反证法适用情形：
①命题的结论的表述为“肯定”或“否定”，且
用直接法证较困难；
②证明一个定理的逆命题，用直接法证较困
难．使用反证法的前提条件是“结论”的反面可
列举出来．
新课讲解
练一练
如图，我们要证明：如果AB∥CD,那么∠1=∠2.
假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，
使∠EOB′=∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，
可得A′B′∥CD.
这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，
这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.
用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.
证明：
课堂小结
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆
一个三角形的外
接圆是唯一的
反证法的证明思想：反设、归谬、结论
当堂小练
1.判断下列说法是否正确：
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )
(3) 经过三点一定可以确定一个圆.( )
(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )
√
√
×
×
当堂小练
2.⊙ O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为
8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙ O的位置关系是：点
A在 ；点B在 ；点C在 ．
3.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
圆内 圆上 圆外
B
当堂小练
4.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火
索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，已
知这个导火索的长度为18cm，点导火索的人以每秒
6.5m的速度撤离是否安全？为什么？
解：由题意可知，导火索燃烧完需18÷0.9=20(S).
又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，
则导火索燃烧完时撤离的最大距离为
6.5×20=130(m).
∵130＞120，∴安全.
拓展与延伸
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘
要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：
(1)在圆形瓷盘的边缘选
A、B、C三点；
(2)连接AB、BC；
(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；
(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
A
B C
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
课时1 直线和圆的位置关系
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d
和圆的半径r之间的数量关系. （难点）
2.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定
进行有关计算. （重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆
一个三角形的外
接圆是唯一的
反证法的证明思想：反设、归谬、结论
新课导入
课时导入
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据
直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
新课讲解
知识点1 直线与圆的位置关系的判定
如图，在纸上画一条直线 l，把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥
匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线 l 的公共点个
数的变化情况吗？
新课讲解
可以发现，直线和圆有三种位置关系，如图：
新课讲解
如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相
交，这条直线叫做圆的割线.
如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆
相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
如图(3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
新课讲解
直线与圆的
位置关系
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
2
交点
1
切点
切线
0
相离 相切 相交
位置关系 公共点个数
A B
C
割线
新课讲解
怎样用d (圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？
O
d
新课讲解
直线和圆相交
d< r 直线和圆相切 d= r 直线和圆相离 d> r
位置关系 数量关系
用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分直线与圆的
位置关系：
∟
r
d
o
公共点个数
rd
o
A B
∟
rd
o
C
新课讲解
1.判断直线和圆的位置关系有两种方法:
①将圆心到直线的距离与圆的半径相比较；
②根据直线与圆的交点的个数判定.
2.直线与圆相切是一种特殊的位置关系，此时直线与圆只
有一个交点.
一个圆有无数条切线，每一条切线与圆都只有一个切点.
新课讲解
1 已知圆的直径为13 cm，设直线和圆心的距离为d.
(1) 若d =4.5 cm，则直线与圆 ，直线与圆有 个公共点；
(2) 若d =6.5 cm，则直线与圆 ，直线与圆有 个公共点；
(3) 若d = 8 cm，则直线与圆 ，直线与圆有 个公共点.
相交 2
相切 1
相离 0
例
新课讲解
练一练
1. 已知⊙ O的半径为5 cm，圆心O到直线 l 的距离为5cm，则直
线 l 与⊙ O的位置关系为( )B
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
1
新课讲解
2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，判断以点C为
圆心，下列 r 为半径的⊙ C与AB的位置关系：
(1) r =2 cm； (2) r=2.4 cm； (3) r =3 cm. B
C A
D
2
课堂小结
直线与圆的
位置关系
定 义
性 质
判 定
相 离
相 切
相 交
公共点的个数
d与r的数量关系
定义法
性 质 法
相离：d>r
相切：d=r
相交：d r ： 相 离
d = r ： 相 切
d < r ： 相 交 相离：0个 相切：1个 相交：2个 当堂小练 1.已知⊙ O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l 与⊙ O的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 2.直线l与半径为r的⊙ O相离，且点O到直线l的距离为6 ，则r的取值范围是( ) A.r＜6 B.r=6 C.r＞6 D.r≥6 C A 当堂小练 3.⊙ O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为4cm，则直 线l与⊙ O的位置关系为 . 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=60°，BC=4cm，以点C为圆心， 3cm长为半径作圆，则⊙ C与AB的 位置关系是 . 相切 相交 拓展与延伸 如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC，点B的坐标为 (4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆 心D的坐标为 . 分析：若与OA,AB,BC三条边相切，D的坐 标为（3,1）；若与OA,BC,CO三条边相切, D的坐标为（1,1）；若与OA,AB,CO三条边 相切,D的坐标为（2,2）；若与AB,BC,CO三 条边相切,D的坐标为（2,0）. (1，1)，(3，1)(2，2)和(2，0) 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 课时2 切线的判定和性质 目 录 C O N T E N T S 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点 作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. （重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决 问题. （难点） 学习目标 新课导入 知识回顾 直线与圆的 位置关系 定 义 性 质 判 定 相 离 相 切 相 交 公共点的个数 d与r的数量关系 定义法 性 质 法 相离：d>r
相切：d=r
相交：d r ： 相 离
d = r ： 相 切
d < r ： 相 交 相离：0个 相切：1个 相交：2个 新课导入 课时导入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着 什么方向飞出的？ 新课讲解 知识点1 切线的判定 A B C 已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ (1) 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? (2) 二者位置有什么关系？为什么？ O 新课讲解 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA为⊙ O的半径 BC ⊥ OA于A BC为⊙ O的切线 A B C 切线的判定定理 应用格式 O 应用该定理时，两个条件缺一不可： 一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径. 新课讲解 O. l A O. l A B A O l (1) (2) (3) 1 判断下面的直线是不是圆的切线：例 新课讲解 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆 的切线； 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等 于半径，即d=r； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. A l O l rd A O lA O 新课讲解 (1) 有交点，连半径，证垂直； (2) 无交点，作垂直，证半径. 证切线时辅助线的添加方法： 新课讲解 2 如图，点D在⊙ O的直径AB的延长线上，点C在⊙ O上， AC=CD，∠D = 30°.求证：CD是⊙ O的切线. 解：如图，连接OC. 因为AC=CD，∠D=30°, 所以∠A= ∠D = 30°. 因为OA=OC，所以∠ACO=∠A = 30°，所以∠COD=60°， 所以∠OCD=90°，即OC⊥CD. 所以CD是⊙ O的切线. 例 新课讲解 练一练 下列命题中，真命题是( ) A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 D 新课讲解 知识点2 切线的性质 如图，如果直线l是⊙ O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O ∵直线 l 是⊙ O 的切线，A是切点， ∴直线 l ⊥OA. 应用格式 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 新课讲解 (1) 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂 直于CD,垂足为M. (2) 则OM
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