第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解一元二次方程的概念.
2.掌握一元二次方程的一般形式. （重点）
3.了解一元二次方程的根的概念. （重点）
4.能根据实际问题列一元二次方程. （重点、难点）
学习目标
新课导入
知识回顾
判断下列式子是否是一元一次方程：
2 0.3 5x =+
9 6.52
x =+
11 2x =+ -
一元一次方程
（1）只有一个未知数
（2）未知数的指数是一次
（3）方程的两边都是整式
新课导入
情境导入
在设计人体雕像时， 使雕像的上部 (腰以上)与下部(腰以下)
的高度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美
感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?
解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关
系： AC∶ BC＝BC∶ 2，即BC2＝2AC.
设雕像下部高 x m，可得方程x2＝2(2－x).
整理，得x2＋2x－4＝0.
A
C
B
新课导入
x2＋2x－4＝0
这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的
最高次数是2.
思考
（1）如何解这类方程?
（2）如何用这类方程解决一些实际问题?
新课讲解
知识点1 一元二次方程的定义
合作探究
问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，
宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然
后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方
盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，
那么铁皮各角应切去多大的正方形?
新课讲解
设切去的正方形的边长是 x cm，则盒底
的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.
根据方盒的底面积为3 600cm2，得
(100－2x)(50－2x)＝3 600.
整理，得 4x2－300x＋1 400=0.
化简，得 x2－75x＋350=0.
解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸.
x cm (100-2x) cm
(50-2x) cm
化简后的方程中未
知数的个数和最高
次数各是多少？
分析：
新课讲解
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一
场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
比赛组织者应邀请多少个队参赛？
全部比赛场数为 4×7=28.
设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他 (x－1) 个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所
以全部比赛共 场.
列方程 .整理，得 .
解上面方程即可得出参赛队数.
( )x x1 12 -
( )x x1 1 282 - = x x2 56- =
分析：
（2）方程中只含有 未知数，未知数的最高次数是 ．
（1）这些方程的两边都是 ．整式
2
观察由上面的问题得到的方程有什么特点？
新课讲解
讨论
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知
数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
结论
x2−x=56 x2−75x+350=0 x2+2x−4=0
一个
新课讲解
例 1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0；
④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二
次方程的有 个.
1
x
1
①含有两个未知数. ②不是整式方程.
④未知数的最高次数不是2.
⑤整理后未知数的最高次数不是2.
③符合一元二次方程的“三要素”.
分析：
× √×
× ×
典例分析
新课讲解
练一练
如果方程(m－3)xm2－7－x ＋3＝0是关于x一元二次方程，
那么m的值为( )
A．±3 B．3
C．－3 D．以上都不对
下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0
1
x
D
C
1
2
新课讲解
知识点2 一元二次方程的一般形式
为什么要限制
a ≠0， b， c
可以为0吗？
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经
过整理，都能化成如下形式：
ax²+bx+c=0 (a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
新课讲解
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数 一次项系数
二次项 一次项 常数项指出方程各项的
系数时要带上前
面的符号哟.
二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项：
新课讲解
例 2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并
写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
典例分析
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0.
所以二次项系数为3，一次项系数为－8，
常数项为－10.
新课讲解
知识点3 一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方
程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
练一练
下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解?
-2，0 ，1，2，3，4.
解：1和3.
新课讲解
例 3 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根，求
3a2+6a+ 2 019的值.
典例分析
解：由题意，得a2+2a-2=0，即a2+2a=2.
∴ 3a2+6a+2 019
=3(a2+2a)
=3×2 +2 019
=2 025.
课堂小结
一
元
二
次
方
程
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
是整式方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）
二次项系数
一次项系数
常数项
1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别
是（ ）
A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0
C
当堂小练
2. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？
－4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4.
解：－4， 3.
当堂小练
3. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
有一根1 m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06 m2的平
方的长方形?
解：设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x)m.
根据题意，得x(0.5-x)=0.06.
整理，得50x2-25x+3=0.
D
拓展与延伸
1. 若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .
2. 若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .
3. 若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 .
1
-1
2
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
课时2 配方法
第二十一章 一元二次方程
目
录
C
O
N
T
E
N
T
S
1 学习目标 2 新课导入
3 新课讲解 4 课堂小结
5 当堂小练 6 拓展与延伸
7 布置作业
1.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程.
（重点）
2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，
体会转化的数学思想.
学习目标
新课导入
知识回顾
解下列方程：
(1)2x²=8
(2)(x+3)²-25=0
(3)9x²+6x+1=4
直接开
平方法
新课导入
知识回顾
因式分解的完全平方式，你还记得吗?
.2
;2
)(
)(
222
222
baba
baba
ab
ab
完全平方式
新课导入
课时导入
(1)x²+10x+ =(x+ )²
(2)x²-12x+ =(x- )²
(3)x²+5x+ =(x+ )²
(4)x²- x+ =(x- )²
(5)4x²+4x+ =(2x+ )²
3
2
6²
55²
6
1
²
1
新课导入
课时导入
移项
两边加上32,使左边配成完全平方式
左边写成完全平方的形式
开平方
变成了(x+h)2=k的形式
想一想如何解方程？
x2+6x+4=0
新课导入
思考
以上解法中,为什么在方程 两边加9?
加其他数行吗?
像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,
这个方程怎
样解？
变
形
为
的形式．（ａ为非负常数）
变形为x2－8x＋1＝0
(x－4)2=15
x2-8x+16=-1+16
叫做配方法.
新课讲解
知识点1 一元二次方程配方的方法
例1 用利用完全平方式的特征配方，并完成填空．
(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2＋(________)x＋ 36＝[x＋(________)]2；
(3)x2－4x－5＝(x－________)2－______．
25 5
±12 ±6
2 9
导引：配方就是要配成完全平方，根据完全平方
式的结构特征，当二次项系数为1时， 常
数项是一次项系数一半的平方．
例
新课讲解
归纳
当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数，
则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则
一次项系数为常数项的平方根的两倍．注意有两个．
新课讲解
练一练 1.填空：
(1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2；
(2)x2－12x＋____＝(x－____)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2；
(4)x2－ x＋____＝(x－____)2.
2.将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( )
A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5
C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
2
3
25 5
36 6
D
新课讲解
3.将代数式 x2－10x＋5 配方后，发现它的最小值
为( )
A． －30 B． －20 C． －5 D．0
4.不论x，y为何实数，代数式 x2＋y2＋2x－4y＋7
的值( )
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
B
A
新课讲解
知识点2 用配方法解一元二次方程
x2＋6x＋4＝0 (x＋3)2＝5
这种方程
怎样解？
变
形
为
2 a 的形式．(a为非负常数)
变形为
新课讲解
解：
常数项移到“＝”右边
2 解方程：3x2－6x＋4＝0.
移项，得 3x2－6x＝－4
二次项系数化为1，得
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以 x取任 何实数
时， (x－1)2 都是非负数， 上式都不成立， 即原
方程无实数根．
x2－2x＝ .4
3
x2－2x ＋ 12 ＝ ＋ 12.4
3
(x－1)2＝ .1
3
两边同时除以3
两边同时加上二次项系
数一半的平方
例
新课讲解
3 解下列方程．
(1)x2－8x＋1＝0；
(2)2x2＋1＝3x.
(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
分析：
例
解： (1) 移项，得
x2－8x＝－1.
配方，得
x2－8x＋42＝－1＋42，
(x－4)2＝15.
由此可得 4 15,x
, . 1 24 15 4 15x x
新课讲解
新课讲解
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得
= .x
23 1
4 16
2 3 1 .2 2x x
2 2
2 3 3 1 3 .2 4 2 4x x
3 1 ,4 4x
1 2
11, 2x x
课堂小结
用配方法解一元二次方程的步骤:
w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
w2.移项:把常数项移到方程的右边;
w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
w4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;
w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
w6.求解:解一元一次方程;
w7.定解:写出原方程的解.
当堂小练
1. 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加
上4的是( )
A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5
C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5
2.用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的
是( )
A．(x＋4)2＝－9 B． (x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25 D． (x＋4)2＝7
A
D
当堂小练
3.下列用配方法解方程2x2－x－6＝0，开始出现错误的
步骤是( )
2x2－x＝6， ①
， ②
， ③
④
A．① B．② C．③ D．④
2 1 32x x
2 1 1 132 4 4x x
21 13 .2 4x
C
当堂小练
4.解下列方程：
(1)x2－x－ ＝0;
(2)x(x＋4)＝8x＋12.
7
4
2
2 2
拓展与延伸
—般地，如果一个一元二次方程通过配方转化
成 (x＋n)2＝p 的形式，那么就有：
(1)当p>0时，方程有两个不等的实数根
(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程无实数根． 新课讲解 1 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围为 ． 解： 因为关于 x 的一元二次方程 kx2-4x+2=0有两个不相等的 实数根， 所以 k≠0且Δ＞0，即 (-4)2-4×k×2＞0， 解得 k＜2且 k≠0， 所以k的取值范围为 k＜2且 k≠0． 例 新课讲解 归纳 判断方程根的情况的方法： 1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个 完全平方式，则该方程有两个相等的实数根； 2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个 不相等的实数根； 3．当方程中a，c同号时，通过Δ的符号来判断根的情况． 新课讲解 练一练 1 方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的 值分别为( ) A．3、1、4 B．3、－1、－4 C．3、－4、－1 D．－1、3、－4 一元二次方程 中，b2－ 4ac的值应是( ) A．64 B．－64 C．32 D．－32 2 22 4 3 2 2x x B A 新课讲解 3. 则该方程根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根 A （重庆中考）已知一元二次方程2x2-5x+3=0 新课讲解 知识点2 求根公式解方程 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直 接代入求根公式，可以避免配方的过程而直接得出 根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 确定a，b，c 的值时，要注 意它们的符号. 新课讲解 2 用公式法解方程：x2－4x－7＝0； a＝1，b＝－4，c＝－7. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0. 方程有两个不等的实数根 解： 2 4 2 b b acx a 1 22 11, 2 11.x x ( 4) 44 2 11,2 1 即 u 1.确定系数； u 2.计算Δ ； u 3.代入 ； u 4.定根 . 提示：方程必须 要转化成一般形 式才能确定系数 例 新课讲解 3 用公式法解下列方程： (1) 2x2－ ＋1＝0； (2) 5x2－3x＝x＋1； (3) x2＋17＝8x. 2 2x 解：(1) a＝2，b＝ ，c＝1. Δ＝b2－4ac＝ －4×2×1＝0. 方程有两个相等的实数根 2 2 2( 2 2) 1 2 2 2 2 .2 2 2 2 bx x a 例 新课讲解 (2)方程化为5x2－4x－1＝0. a＝5，b＝－4，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根
1 2
11, .5x x
2 4 ( 4) 36 4 6 .2 2 5 10
b b acx a
即
新课讲解
(3)方程化为x2－8x＋17＝0.
a＝1，b＝－8，c＝17.
Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－412(舍去)；当x=8 时，26-2x=10
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